Clase 6 (FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS).pdf
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Conceptos a conocer UNIDAD I. PlANO CARTESIANO
2- Funciones:
• Funciones Trigonométricas
Objetivos
Análisis de las funciones trigonométricas
Bibliografía
Cálculo con Geometría Analítica, Denis Zill.
Funciones
Trigonométricas Las funciones seno y coseno de un ángulo t, se denotan por
cos 𝑡 y 𝑠𝑒𝑛 𝑡, y se puede interpretar de dos maneras:
1- Como las coordenadas 𝑥 y 𝑦 de un punto en un circuito unitario
Funciones
Trigonométricas 2- Como el cociente de las longitudes de lados de un triángulo rectángulo
Medidas de Ángulos
Medidas en grados Medidas en radianes
Medidas de Ángulos Ejemplo
Realizar las siguientes conversiones:
Tabla de Conversiones
Angulares
Medidas angulares
• Los ángulos que se miden en dirección contraria a las manecillas
del reloj tienen medida positiva
• Los ángulos que se miden en la misma dirección de las manecillas
del reloj tienen medidas negativas
Ángulo Normal: Ángulo que parte del
eje x positivo
Ángulos Coterminales
• Dos ángulos en Posición Normal son Coterminales si tienen el mismo
lado terminal
𝜋
4 −
7𝜋
4 y
Son coterminales
Funciones
Trigonométricas
Adicionales
Valores Numéricos
Valores Numéricos
Valores Numéricos Ejemplo
Obtener las funciones trigonométricas adicionales
Algunas Identidades
Básicas Como los ángulos 𝑡 y 𝑡 + 2𝜋 son coterminales , por tanto los valores de la
función sin 𝑡 y cos 𝑡 se repiten cada 2𝜋 radianes
Identidad Fundamental
𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = (𝑠𝑒𝑛 𝑡)2
𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = (𝑐𝑜𝑠 𝑡)2
𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑡
𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡
(𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = 1) 𝑠𝑒𝑛2 𝑡
Identidad Fundamental Dividiendo la identidad fundamental entre sen2 𝑡
𝑠𝑒𝑛2 𝑡
𝑠𝑒𝑛2 𝑡+𝑐𝑜𝑠2 𝑡
𝑠𝑒𝑛2 𝑡=
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑡
Dividiendo la identidad fundamental entre 𝑐𝑜𝑠2 𝑡
(𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = 1) 𝑐𝑜𝑠2 𝑡
𝑠𝑒𝑛2 𝑡
𝑐𝑜𝑠2 𝑡+𝑐𝑜𝑠2 𝑡
𝑐𝑜𝑠2 𝑡=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑡
1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝑡 = csc2 𝑡
1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 = sec2 𝑡
Otras Identidades
Gráficas de las Funciones
Trigonométricas
Gráficas de las Funciones
Trigonométricas
Análisis de las Gráficas Las gráficas revelan la naturaleza periódica de las funciones
trigonométricas
𝑦 = sin 𝑥
• Es periódica en el intervalo de 0 ; 2𝜋
• Se repite cada 2𝜋 unidades
• Tiene amplitud 1
𝑦 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 𝑘 > 0
• Tiene amplitud 𝐴
• Período 2𝜋 𝑘
Ejemplos Comparar las gráficas 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 = −2 𝑠𝑒𝑛𝑥
Ejemplos Trazar las gráfica 𝑦 = cos 4𝑥
coscot csc
1 cos
senx xx x senx
x
Primer ejercicio: Establece si la siguiente expresión es o no es identidad
Ejercicios de Identidades
Trigonométricas
cos cos 1
1 cos
senx x xsenx
x senx senx
2 2cos cos 1 cos 1
1 cos
sen x x x x sen x
x senx senx
2 2 2cos cos cos cos
1 cos
sen x x x x x
x senx senx
2 2 2cos cos cos cos
1 cos
sen x x x x x
x senx senx
2 2 2cos 1 cos cos
1 cos
x sen x x x
x senx senx
Cambiamos cotx y cscx por sus respectivas equivalencias
Realizamos suma de fraccionarios a ambos lados de la igualdad.
Efectuamos propiedad distributiva en cos 1 cosx x
Analizando el numerador, se debe buscar un modo de eliminar la
expresión . 2sen xEsta es una forma, pero pueden existen otras maneras de hacerlo.
Aquí agrupamos los dos primeros términos.
¡Se factoriza!, pues existe un FACTOR COMÚN en la expresión del paréntesis
arriba. 2 cos cossen x x x
2 2cos 1 cos cos
1 cos
x x x
x senx senx
2 2cos cosx x
senx senx
3 2 2cos cos cos
1 cos
x x x
x senx senx
2 3 2cos cos cos
1 cos
x x x
x senx senx
2 2 2cos cos cos cos
1 cos
x x x x
x senx senx
Cambiamos la expresión por 2 1sen x 2cos x
Multiplicamos los dos primeros términos 2cos cosx x
Ordenamos o cambiamos el orden para ver las cosas mejor…
Nuevamente factorizamos el numerador de la izquierda
Y simplificando la expresión anterior, finalmente concluimos que
!!!ES IDENTIDAD¡¡¡
Segundo ejercicio: Establece si la siguiente expresión es o no es identidad
cos tan2 tan
cos
senx x xx
x
Ejercicios de Identidades
Trigonométricas
cos
1 1 cos 2 tancos
senx x senx
x xx
2 tancos
senx senxx
x
22 tan
cos
senxx
x
2tan 2tanx x
Cambiamos la expresión tanx por su equivalente
Simplicando la expresión nos queda senx. cos
1 cos
x senx
x
Sumando…
!!!ES IDENTIDAD¡¡¡
