Clase 6: Polinomios y Factorización

6.1 Polinomios

Un polinomio real en la variable x es cualquier expresión de la forma donde los coeficientes a son números reales para i = 1, 2, 3,...n y n es un entero no negativo. El polinomio será polinomio complejo en la variable x si los coeficientes a son números complejos.

6.2 Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es el mayor exponente que aparece en el polinomio, en un término con coeficiente diferente de cero.

Ejemplo

- 2x exp.4 +1 es un polinomio de grado 4.

-Raíz de 3x exp.5 +xexp.4 -7 es un polinomio de grado 5.

- 2x + 8 es un polinomio de grado 1 o lineal.

-5 es un polinomio de grado 0 o constante. Lo anterior es consistente con la definición porque 5=5x exp.a.

-X exp.2 + 2x exp. De menos 1 + 7 no es un polinomio porque aparece un exponente negativo.

6.3 Operaciones básicas

El tema de los polinomios carecería de utilidad si no ahondáramos en sus propiedades. Los polinomios, como los números enteros, cumplen la ley clausuraría para la suma, la resta y la multiplicación que se definirán más adelante. Es decir, la suma, resta y producto de polinomios es un polinomio.

6.3.1 Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios, se suman coeficientes de términos con el mismo exponente. El polinomio suma es la suma algebraica de todos los términos resultantes. Ejemplo:

6.3.2 Resta de polinomios

Para restar dos polinomios, se cambian los signos de los términos del polinomio restado; el más se cambia por menos y el menos por más y se suman algebraicamente. Ejemplo:

6.3.3 Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por el otro polinomio, utilizando las leyes de los exponentes; después se agrupan términos de exponentes iguales usando la operación suma definida anteriormente.

6.4 Productos notables y factorización

6.4.1 Productos notables

Algunos productos aparecen con tal frecuencia que es importante tenerlos presentes. Los tres productos más conocidos son los siguientes:

En los tres productos anteriores, se supone que x es la variable y a es la constante

6.4.2 Polinomios primos Se dice que un polinomio es primo con respecto a un conjunto dado de números si:

1. Los coeficientes son de ese conjunto de números.

2. No se puede escribir como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes en ese conjunto. Ejemplo:

6.4.3 Factorización completa

Se dice que un polinomio no primo está completamente factorizado con respecto a un conjunto dado de números si es el producto de polinomios primos respecto a ese conjunto determinado. Ejemplo: