CONCEPTOS BASICOS DE ESTADISTICA

CONCEPTOS BASICOS DE ESTADISTICA

I. Distribuciones Unidimensionales:

1. Introduccin.

2. Poblacin, elementos y caracteres.

3. Variables y atributos.

1. Introduccin:

La palabra "estadstica" suele utilizarse bajo dos significados distintos, a saber:

1 Como coleccin de datos numricos.- Esto es el significado ms vulgar de la palabra estadstica. Se sobrentiende que dichos datos numricos han de estar presentados de manera ordenada y sistemtica. Una informacin numrica cualquiera puede no constituir una estadstica, para merecer este apelativo, los datos han de constituir un conjunto coherente, establecido de forma sistemtica y siguiendo un criterio de ordenacin.

Tenemos muchos ejemplos de este tipo de estadsticas. El Anuario Estadstico publicado por el Instituto Nacional de Estadstica, El Anuario de Estadsticas del Trabajo,

2 Como ciencia.- En este significado, La Estadstica estudia el comportamiento de los fenmenos de masas. Como todas las ciencias, busca las caractersticas generales de un colectivo y prescinde de las particulares de cada elemento. As por ejemplo al investigar el sexo de los nacimientos, iniciaremos el trabajo tomando un grupo numeroso de nacimientos y obtener despus la proporcin de varones. Es muy frecuente enfrentarnos con fenmenos en los que es muy difcil predecir el resultado; as, no podemos dar una lista, con las personas que van a morir con una cierta edad, o el sexo de un nuevo ser hasta que transcurra un determinado tiempo de embarazo, etc.La estadstica es una ciencia matemtica que se refiere a la coleccin, estudio e interpretacin de los datos obtenidos en un estudio. Es aplicable a una amplia variedad de disciplinas, desde la fsica hasta las ciencias sociales y usada en la toma de decisiones en reas de negocios e instituciones gubernamentales.

La Estadstica se divide en dos ramas:

La estadstica descriptiva, que se dedica a los mtodos de recoleccin, descripcin, visualizacin y resumen de datos originados a partir de los fenmenos en estudio. Los datos pueden ser resumidos numrica o grficamente. Ejemplos bsicos de descriptores numricos son la media y la desviacin estndar. Resmenes grficos incluyen varios tipos de figuras y grficos.

La inferencia estadstica, que se dedica a la generacin de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenmenos en cuestin teniendo en cuenta lo aleatorio e incertidumbre en las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la poblacin de estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de repuestas a preguntas si/no (prueba de hiptesis), estimaciones de caractersticas numricas (estimacin, pronsticos de futuras observaciones, descripciones de asociacin (correlacin) o modelamiento de relaciones entre variables (anlisis de regresin). Otras tcnicas de modelamiento incluyen ANOVA, series de tiempo y minera de datos.

Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadstica aplicada. Hay tambin una disciplina llamada estadstica matemtica, la cual se refiere a las bases tericas de la materia. La palabra estadsticas tambin se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadstico a un conjunto de datos, como en estadsticas econmicas, estadsticas criminales, etc.Por tanto, el objetivo de la estadstica es hallar las regularidades que se encuentran en los fenmenos de masa.

2. Poblacin, elementos y caracteres.

Es obvio que todo estudio estadstico ha de estar referido a un conjunto o coleccin de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que denominaremos poblacin.

Las personas o cosas que forman parte de la poblacin se denominan elementos. En sentido estadstico un elemento puede ser algo con existencia real, como un automvil o una casa, o algo ms abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo.

A su vez, cada elemento de la poblacin tiene una serie de caractersticas que pueden ser objeto del estudio estadstico. As por ejemplo si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella los siguientes caracteres:

Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesin, Peso, Altura, Color de pelo, etc.

Luego por tanto de cada elemento de la poblacin podremos estudiar uno o ms aspectos cualidades o caracteres.

La poblacin puede ser segn su tamao de dos tipos:

Poblacin finita: cuando el nmero de elementos que la forman es finito, por ejemplo el nmero de alumnos de un centro de enseanza, o grupo clase.

Poblacin infinita: cuando el nmero de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesen considerarse infinitos.. Como por ejemplo si se realizase un estudio sobre los productos que hay en el mercado. Hay tantos y de tantas calidades que esta poblacin podra considerarse infinita.

Ahora bien, normalmente en un estudio estadstico, no se puede trabajar con todos los elementos de la poblacin sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma. Este subconjunto puede ser una muestra, cuando se toman un determinado nmero de elementos de la poblacin, sin que en principio tengan nada en comn; o una subpoblacin, que es el subconjunto de la poblacin formado por los elementos de la poblacin que comparten una determinada caracterstica, por ejemplo de los alumnos de la UNJBG, la subpoblacin formada por los alumnos de la FACF, o la subpoblacin de alumnos varones.

3. Variables y atributos.

Como hemos visto, los caracteres de un elemento pueden ser de muy diversos tipos, por lo que los podemos clasificar en dos grandes clases:

a. Variables Cuantitativas.

b. Variables Cualitativas o Atributos o carctera. Las variables cuantitativas son las que se describen por medio de nmeros, como por ejemplo el peso, Altura, Edad, Nmero de Suspensos

A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases:

Cuantitativas discretas. Aquellas a las que se les puede asociar un nmero entero, es decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad, por ejemplo nmero de hermanos, pginas de un libro, etc.

Cuantitativas continuas: Aquellas que no se pueden expresar mediante un nmero entero, es decir, aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores cualesquiera la variable pueda tomar cualquier valor intermedio, por ejemplo peso, tiempo. etc.

No obstante en muchos casos el tratamiento estadstico hace que a variables discretas las trabajemos como si fuesen continuas y viceversa.

b. Las variables cualitativas o atributos o carcter son aquellos caracteres que para su definicin precisan de palabras, es decir, no le podemos asignar un nmero. Por ejemplo: Sexo, Profesin, Estado Civil, Rgimen de una empresa, Tipo de Actividad Econmica de una empresa etc.

A su vez las podemos clasificar en:

Ordenables: Aquellas que sugieren una ordenacin, por ejemplo la graduacin militar, El nivel de estudios, etc.

No ordenables: Aquellas que slo admiten una mera ordenacin alfabtica, pero no establece orden por su naturaleza, por ejemplo el color de pelo, sexo, estado civil, actividad econmica de una empresa, rgimen de una empresa, medio de difusin que utilizan para propaganda, etc.II. Tablas Estadsticas:

A partir de este momento nos vamos a ocupar de las estadsticas de una sola variable, "Estadsticas Unidimensionales".

Las tablas estadsticas segn el nmero de observaciones y segn el recorrido de la variable estadstica, as tenemos los siguientes tipos de tablas estadsticas:

1. Tablas Tipo I 2. Tablas Tipo II

3. Tablas Tipo III

1. Tablas tipo I

Cuando el tamao de la muestra y el recorrido de la variable son pequeos, por ejemplo si tenemos una muestra de las edades de 5 personas, por lo que no hay que hacer nada especial simplemente anotarlas de manera ordenada en filas o columnas.

Edad de los 5 miembros de una familia: 5, 8, 16, 38, 45

2. Tablas tipo IICuando el tamao de la muestra es grande y el recorrido de la variable es pequeo, por lo que hay valores de la variable que se repiten. Por ejemplo, si preguntamos el nmero de personas activas que hay en 50 familias obtenemos la siguiente tabla:

Personas Activas en 50 familias

2122124211

2321113422

2212111322

3231242141

1343222133

Podemos observar que la variable toma valores comprendidos entre 1 y 4, por lo que precisaremos una tabla en la que resumamos estos datos quedando la siguiente tabla:

Personas ActivasNmero de Familias

116

220

39

45

3. Tablas tipo IIICuando el tamao de la muestra y el recorrido de la variable son grandes, por lo que ser necesario agrupar en intervalos los valores de la variable. Por ejemplo si a un grupo de 30 alumnos les preguntamos el dinero que en ese momento llevan encima, nos encontramos con los siguientes datos:

4501152250300175802526806057851595230050001200100

518020067550037515002059851851253154255601100

Evidentemente, la variable estadstica tiene un recorrido muy grande, 4995 pesetas, por lo que s queremos hacer una tabla con estos datos tendremos que tomar intervalos. Para decidir la amplitud de los intervalos, necesitaremos decidir cuntos intervalos queremos?. Normalmente se suele trabajar con no ms de 10 o 12 intervalos.

Amplitud =4995/10 = 499,5 Por lo que tomaremos intervalos de amplitud 500

Debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

a. Tomar pocos intervalos implica que la "prdida de informacin" sea mayor.

Los intervalos sern siempre Abiertos por la izquierda y Cerrados por la Derecha y ( Li-1 , Li ]b. Procuraremos que en la decisin de intervalos los valores observados no coincidan con los valores de los extremos del intervalo y si esto ocurre que no sea en ms de un 5% del total de observaciones.

Con estas recomendaciones tendremos la siguiente tabla:

( Li-1 , Li ]Frecuencia

( 0,500]17

( 500, 1000]5

( 1000,1500]4

( 1500, 2000]1

( 2000, 2500]1

( 2500, 3000]1

( 3000, 3500]0

( 3500, 4000]0

( 4000, 4500]0

( 4500, 5000]1

III. Tcnicas de recuentoAunque hoy en da, si se realiza un estudio estadstico importante esta tarea la realiza el ordenador, ya sea por medio de programas de estadstica especficos BMDP, SPSS, o bien utilizando herramientas informticas de propsito general como Bases de Datos u Hojas de Clculo

A lo largo del curso, veremos como mediante hojas de clculo o bases de datos podemos realizar este recuento.

Veamos como realizaramos este proceso manualmente, para ello veremos diversas tcnicas de ir anotando 53-1-u-puntuaciones:

Aunque el mtodo ms utilizado o conocido sea el primero, quizs el ms cmodo de utilizar es el 2 en la mayora de los casos, cuando no se tiene una computadora personal.Cuando se tiene software estadstico, se facilitan los clculos y la elaboracin de cuadros y grficos.

IV. Distintos Tipos de FrecuenciaUna de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadstico es la tabulacin de resultados, es decir, recoger la informacin de la muestra resumida en una tabla en la que a cada valor de la variable se le asocian determinados nmeros que representan el nmero de veces que ha aparecido, su proporcin con respecto a otros valores de la variable, etc. Estos nmeros se denominan frecuencias: As tenemos los siguientes tipos de frecuencia:

1. Frecuencia absoluta

2. Frecuencia relativa

3. Porcentaje 4. Frecuencia absoluta acumulada

5. Frecuencia relativa acumulada

6. Porcentaje acumulado

7. Ejemplo

1. Frecuencia absoluta:

La frecuencia absoluta de una variable estadstica es el nmero de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por ni2. Frecuencia relativa:La frecuencia absoluta, es una medida que est influida por el tamao de la muestra, al aumentar el tamao de la muestra aumentar tambin el tamao de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida til para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamao de la muestra. La denotaremos por fi Donde N = Tamao de la muestra3. Porcentaje:

La frecuencia relativa es un tanto por uno, sin embargo, hoy da es bastante frecuente hablar siempre en trminos de tantos por ciento o porcentajes, por lo que esta medida resulta de multiplicar la frecuencia relativa por 100. La denotaremos por pi.

4. Frecuencia Absoluta Acumulada:

Para poder calcular este tipo de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable estadstica ha de ser cuantitativa o cualitativa ordenable. En otro caso no tiene mucho sentido el clculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, es el nmero de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable y lo representaremos por Ni.

5. Frecuencia Relativa Acumulada:

Al igual que en el caso anterior la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamao de la muestra, y la denotaremos por Fi

6. Porcentaje Acumulado:

Anlogamente se define el Porcentaje Acumulado y lo vamos a denotar por Pi como la frecuencia relativa acumulada por 100.

Veamos esto con un ejemplo: Tomamos para ello los datos relativos a las personas activas.

Personas ActivasNmero Familias

Porcentaje de FamiliasNmero de Familias AcumuladoPorcentaje Acumulado de Familias

XiValores de la variableniFrecuencias absolutas simplesfiFrecuencias relativas simplespiPorcentajeNiFrecuencias absolutas acumuladasFiFrecuencias relativas acumuladasPiPorcentaje acumulado

x1 = 11616/50 = 0.3232%1616/50 = 0.3232%

x2 =22020/50 = 0.4040%3636/50 = 0.7272%

x3 =399/50 = 0.1818%4545/50 = 0.9090%

x4 =455/50 = 0.1010%5050/50 = 1.00100%

TotalN = 5050/50 = 1.00100 %- - -- - -- - -

En este ejemplo se puede ver fcilmente como se calculan estas frecuencias.

V. Medidas Estadsticas:

1. Introduccin.

2. Tipos de Medida

3. Algunas consideraciones 1. INTRODUCCINEn el resto del tema nos ocuparemos exclusivamente de las variables cuantitativas, puesto que con los atributos no se pueden realizar operaciones aritmticas. Como hemos estudiado, las variables estadsticas cuantitativas se dividen o clasifican en discretas o continuas, por lo que necesitaremos precisar cmo se calculan dichas medidas en cada caso.

En las variables cuantitativas continuas, dado que la tabulacin de los datos se hace mediante intervalos, necesitaremos tomar un valor del intervalo para poder operar. Este valor se denomina marca de clase y es el punto medio del intervalo.

Las medidas estadsticas pretenden "resumir" la informacin de la "muestra" para poder tener as un mejor conocimiento de la poblacin. Se clasifican en:

2. TIPOS DE MEDIDA1. Medidas de Centralizacin:

Que sirven para determinar los valores centrales o medias de la distribucin

2. Medidas de Dispersin:

Nos van a dar una idea sobre la representatividad de las medidas centrales, a mayor dispersin menor representatividad.

3. Medidas de Localizacin:

tiles para encontrar determinados valores importantes, para una "clasificacin" de los elementos de la muestra o poblacin.

4. Medidas de la Simetra:

Sirven para ver si la distribucin tiene el mismo comportamiento por encima y por debajo de los valores centrales.

5. Ejemplo del clculo de los coeficientes de simetra y Curtsis 3. ALGUNAS CONSIDERACIONESEl Estadstico Yule ha definido algunas propiedades deseables para una medida estadstica:

1. Debe definirse de manera objetiva: dos observadores distintos deben llegar al mismo resultado numrico.

2. Usar todas las observaciones y no algunas de ellas solamente, de manera que si varia alguna observacin la medida considerada debe reflejar esta variacin.

3. Tener un significado concreto: la interpretacin debe ser inmediata y sencilla.

4. Ser sencilla de calcular.

5. Prestarse fcilmente al clculo algebraico: Lo que permitir demostraciones ms elegantes. 6. Ser poco sensible a las fluctuaciones mustrales. Esta condicin es imprescindible en la Estadstica Matemtica y en la Teora de Muestreo.

VI. Medidas de CentralizacinA. Media

a. Media aritmtica b. Media geomtrica c. Media armnica

B. Mediana

a. Variable discreta. b. Variable contina.

C. Moda

a. Variable discreta. b. Variable contina.

Vamos a estudiar en este apartado los distintos tipos de media que hemos detallado en el apartado anterior

a. Media aritmticaLa media aritmtica de una variable se define como la suma ponderada de los valores de la variable por sus frecuencias relativas y lo denotaremos por y se calcula mediante la expresin:

xi representa el valor de la variable o en su caso la marca de clase.

Propiedades:

1. Si multiplicamos o dividimos todas las observaciones por un mismo nmero, la media queda multiplicada o dividida por dicho nmero.

2. Si le sumamos a todas las observaciones un mismo nmero, la media aumentar en dicha cantidad.

3. Adems de la media aritmtica existen otros conceptos de media, como son la media geomtrica y la media armnica.

b. Media geomtricaLa media geomtrica de N observaciones es la raz de ndice N del producto de todas las observaciones. La representaremos por G.

Solo se puede calcular si no hay observaciones negativas. Es una medida estadstica poco o nada usual.

c. Media armnicaLa media armnica de N observaciones es la inversa de la media de las inversas de las observaciones y la denotaremos por H

Al igual que en el caso de la media geomtrica su utilizacin es bastante poco frecuente.

B. MEDIANALa mediana es el valor central de la variable, es decir, supuesta la muestra ordenada en orden creciente o decreciente, el valor que divide en dos partes la muestra.

Para calcular la mediana debemos tener en cuenta si la variable es discreta o continua.

Clculo de la mediana en el caso discreto:

Tendremos en cuenta el tamao de la muestra.

Si N es Impar, hay un trmino central, el trmino que ser el valor de la mediana.

Si N es Par, hay dos trminos centrales, la mediana ser la media de esos dos valores

Veamos un ejemplo:Si N es par N=12Si N es impar N=13

1,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,271,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27,30

Los Trminos Centrales son el 6 y 7

Es decir los valores 9 y 12Trmino Central es el 7

Es decir el valor 12

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Me = 12

Clculo de la mediana en el caso contino:

Si la variable es continua, la tabla vendr en intervalos, por lo que se calcula de la siguiente forma:

Nos vamos a apoyar en un grfico de un histograma de frecuencias acumuladas.

De donde la mediana vale: donde ci es la amplitud del intervalo

Vemoslo por medio de un ejemplo.

Supongamos los pesos de un grupo de 50 personas se distribuyen de la siguiente forma:

Li-1LiniNiComo el tamao de la muestra es N=50, buscamos el intervalo en el que la Frecuencia acumulada es mayor que 50/2=25, que en este caso es el 3 y aplicamos la frmula anterior. Luego la Mediana ser

Me =

455566

55651016

65751935

75851146

8595450

C: MODALa moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta, la que ms se repite, es la nica medida de centralizacin que tiene sentido estudiar en una variable cualitativa, pues no precisa la realizacin de ningn clculo.

Por su propia definicin, la moda no es nica, pues puede haber dos o ms valores de la variable que tengan la misma frecuencia siendo esta mxima. En cuyo caso tendremos una distribucin bimodal o polimodal segn el caso.

Apoyndonos en el grfico podemos llegar a la determinacin de la expresin para la Moda que es: Otros autores dan una expresin aproximada para la moda que viene dada por la siguiente expresin:

Veamos su clculo mediante un ejemplo, para ello usaremos los datos del apartado anterior

Li-1LiniNiUtilizando la frmula aproximada

455566

55651016

65751935

75851146

8595450

VII. MEDIDAS DE DISPERSIN

1. Breve Introduccin

2. Rango

3. Concepto de desviacin

4. Desviacin Media

5. Varianza

6. Desviacin Tpica

7. Cuasivarianza

8. Cuasi Desviacin tpica

9. Coeficiente de Variacin

10. Ejemplo

Hasta el momento hemos estudiado los valores centrales de la distribucin, pero tambin es importante conocer si los valores en general estn cerca o alejados de estos valores centrales, es por lo que surge la necesidad de estudiar medidas de dispersin.

Rango: Es la primera medida que vamos a estudiar, se define como la diferencia existente entre el valor mayor y el menor de la distribucin,. Lo notaremos como R. Realmente no es una medida muy significativa en la mayora de los casos, pero indudablemente es muy fcil de calcular.

HYPERLINK "" Hemos estudiado varias medidas de centralizacin, por lo que podemos hablar de desviacin con respecto a cualquiera de ellas, sin embargo, la mas utilizada es con respecto a la media. Desviacin: Es la diferencia que se observa entre el valor de la variable y la media aritmtica. La denotaremos por di .No es una medida, son muchas medidas, pues cada valor de la variable lleva asociada su correspondiente desviacin, por lo que precisaremos una medida que resuma dicha informacin.

La primera solucin puede ser calcular la media de todas las desviaciones, es decir, si consideramos como muestra la de todas las desviaciones y calculamos su media. Pero esta solucin es mala pues como veremos siempre va a ser 0.

Luego por lo tanto esta primera idea no es valida, pues las desviaciones positivas se contrarrestan con las negativas.

Para resolver este problema, tenemos dos caminos:

Tomar el valor absoluto de las desviaciones. Desviacin media

Elevar al cuadrado las desviaciones. Varianza.

Desviacin media:

Es la media de los valores absolutos de las desviaciones, y la denotaremos por dm.

Varianza:

Es la media de los cuadrados de las desviaciones, y la denotaremos por o tambin por .

Aunque tambin es posible calcularlo como:

Este estadstico tiene el inconveniente de ser poco significativo, pues se mide en el cuadrado de la unidad de la variable, por ejemplo, si la variable viene dada en cm. La varianza vendr en cm2.

Desviacin tpica:

Es la raz cuadrada de la varianza, se denota por Sx o x.

Este estadstico se mide en la misma unidad que la variable por lo que se puede interpretar mejor.

Otros dos estadsticos importantes son la cuasivarianza y la cuasidesviacin tpica, que como veremos cuando estudiemos el tema de estimacin estadstica, son los estimadores de la varianza y desviacin tpica poblacionales respectivamente.

Cuasivarianza:

Es una medida de dispersin, cuya nica diferencia con la varianza es que dividimos por N-1, la representaremos por o y la calcularemos de la siguiente forma:

Cuasidesviacin tpica:

Es la raz cuadrada de la cuasivarianza y la denotaremos por SN1 o N-1.

Todas estas medidas de dispersin vienen influidas por la unidad en la que se mide la variable, esto implica que si cambiamos de unidad de medida, los valores de estos estadsticos se vean a su vez modificados. Adems, no permite comparar por ejemplo, en un grupo de alumnos si los pesos o las alturas presentan ms dispersin. Pues no es posible comparar unidades de distinto tipo.

Precisamos por lo tanto, una medida "escalar", es decir, que no lleve asociado ninguna unidad de medida.

Coeficiente de Variacin:

Es un estadstico de dispersin que tiene la ventaja de que no lleva asociada ninguna unidad, por lo que nos permitir decidir entre dos muestras, cual es la que presenta mayor dispersin. La denotaremos por C.V.

EjemploVeamos por ltimo un ejemplo de cmo se calculan todas estas medidas.

45556650300-19,4116,42258,1615000

5565101660600-9,494883,636000

657519357013300,611,46,8493100

758511468088010,6116,61235,9670400

85954509036020,682,41697,4432400

N=503470420,86082246900

=

Dm=

=

C.V.=

VIII. Medidas de Localizacin: Cuartiles, deciles y percentiles.

Las medidas de localizacin dividen la distribucin en partes iguales, sirven para clasificar a un individuo o elemento dentro de una determinada poblacin o muestra. As en psicologa los resultados de los test o pruebas que realizan a un determinado individuo, sirve para clasificar a dicho sujeto en una determinada categora en funcin de la 53-1-u-puntuacin obtenida.

1. Cuartiles.

2. Deciles.

3. Percentiles.

4. Ejemplos de clculo.

5. Algunas medidas de dispersin asociadas

1. Cuartiles

Medida de localizacin que divide la poblacin o muestra en cuatro partes iguales.

Cuartil 1: Q1 = Valor de la variable que deja a la izquierda el 25% de la distribucin.

Cuartil 2: Q2= Valor de la variable que deja a la izquierda el 50% de la distribucin = mediana.

Cuartil 3: Q3= Valor de la variable que deja a la izquierda el 75% de la distribucin.

Al igual que ocurre con el clculo de la mediana, el clculo de estos estadsticos, depende del tipo de variable.

Caso I: Variable cuantitativa discreta:

En este caso tendremos que observar el tamao de la muestra: N y para calcular Q1 o Q3 procederemos como si tuvisemos que calcular la mediana de la correspondiente mitad de la muestra.

Caso II: Variable cuantitativa contina:

En este caso el clculo es ms simple:, sea la distribucin que sigue:

[Li-2 -- Li-1)ni-1Ni-1

[Li-1 -- Li)niNi

Siendo el intervalo coloreado donde se encuentra el Cuartil correspondiente:

y

2. DecilesMedida de localizacin que divide la poblacin o muestra en 10 partes iguales

No tiene mucho sentido calcularlas para variables cualitativas discretas. Por lo que lo vamos a ver slo para las variables continuas.

dk = Decil k-simo es aquel valor de la variable que deja a su izquierda el k10 % de la distribucin.

[Li-2 -- Li-1)ni-1Ni-1

[Li-1 -- Li)niNi

Siendo el Intervalo coloreado donde se encuentra el Decil correspondiente:

k = 1 .. 9

Percentiles:

Medida de localizacin que divide la poblacin o muestra en 100 partes iguales

No tiene mucho sentido calcularlas para variables cualitativas discretas. Por lo que lo vamos a ver slo para las variables continuas.

pk = Percentil k-simo es aquel valor de la variable que deja a su izquierda el k % de la distribucin.

[Li-2 -- Li-1)ni-1Ni-1

[Li-1 -- Li)niNi

Siendo el Intervalo de color donde se encuentra el percentil correspondiente:

k = 1 .. 99

EJEMPLO:Como se puede observar la forma de calcular estas medidas es muy similar a la del clculo de la mediana.

Veamos el clculo de algunas de estas medidas en el ejemplo que estamos estudiando. Vamos a calcular Q1, , Q3 , d3, y p45Li-1LiniNi

455566

55651016

65751935

75851146

8595450

Clculo de Q1: Buscamos en la columna de las frecuencias Acumuladas el valor que supere al 25% de N=50, corresponde al 2 intervalo.(50/4=12.5)

Anlogamente calculemos Q3, Buscamos ahora en la misma columna el correspondiente al 75 %de N que en este caso es el 4 intervalo (3.50/4=37.5)

Veamos ahora el decil 3: (corresponde al 30 % 3 50 / 10 = 15) sera el 2 intervalo.

Por ltimo veamos el percentil 45 (4550/100 = 22.5) Corresponde al intervalo 3.

Algunas medidas de Dispersin asociadas

Una vez estudiadas las medidas de localizacin surgen dos nuevas medidas de dispersin, que son:

Recorrido intercuartlico: Semirecorrido intercuartlico: Recorrido interdeclico: Recorrido intercentilico: IX. Medidas de Simetra:

Las medidas de la asimetra, al igual que la curtosis, van a ser medidas de la forma de la distribucin, es frecuente que los valores de una distribucin tiendan a ser similares a ambos lados de las medidas de centralizacin. La simetra es importante para saber si los valores de la variable se concentran en una determinada zona del recorrido de la variable.As < 0As = 0As > 0

Asimetra Negativa a la Izquierda

Simtrica

Asimetra Positiva a la Derecha.

Para medir la asimetra se puede realizar atendiendo bsicamente a dos criterios:

Comparando la Media y la Moda.

Comparando los valores de la variable con la media.

Comparando la Media y la Moda:

Si la diferencia es positiva, diremos que hay asimetra positiva o a la derecha, en el caso de que sea negativa diremos que hay asimetra negativa o a la izquierda. No obstante, esta medida es poco operativa al no ser una medida relativa, ya que esta influida por la unidad en que se mida la variable, por lo que se define el coeficiente de Asimetra como:

Esta medida es muy fcil de calcular, pero menos precisa que el coeficiente de asimetra de Pearson.

El coeficiente de asimetra de Pearson, se basa en la comparacin con la media de todos los valores de la variable, as que es una medida que se basar en las diferencias , como vimos en el caso de la dispersin si medimos la media de esas desviaciones sera nula, si las elevamos al cuadrado, seran siempre positivas por lo que tampoco serviran, por lo tanto precisamos elevar esas diferencias al cubo.

Para evitar el problema de la unidad, y hacer que sea una medida escalar y por lo tanto relativa, dividimos por el cubo de su desviacin tpica. Con lo que resulta la siguiente expresin:

X. Medida de apuntamiento o CurtsisLa Curtsis es una medida del apuntamiento, que nos indicar si la distribucin es muy apuntada o poco apuntada

Curtosis NegativaCurtosis nulaCurtosis Positiva

Leptocrtica

Mesocrtica

Platicrtica

Como podemos observar, el coeficiente de curtosis nos mide el grado de apuntamiento de la distribucin. Este coeficiente lo vamos a denotar por K y se calcula segn la siguiente expresin:

Veamos por ltimo el clculo de estos dos ltimos coeficientes en el ejemplo que estamos estudiando.

45556650300-19,4-43808,304849881,098

5565101660600-9,4-8305,8478074,896

657519357013300,64,1042,4624

758511468088010,613101,176138872,466

85954509036020,634967,264720325,638

N=503470-4041,61787156,56

=

Mo =70.24

As =

INCLUDEPICTURE "http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-145.gif" \* MERGEFORMATINET

Coeficiente de Asimetra de Pearson As =

K =

Luego es una distribucin asimtrica negativa o a la izquierda y Leptocrtica.

_1248321534.unknown

_1248450318.unknown

_1490972603.unknown

_1248450812.unknown

_1248434219.unknown

_1248450227.unknown

_1248434152.unknown

_1248321152.unknown

_1248321250.unknown

_1248321280.unknown

_1248320812.unknown