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Universidad Politcnica de MadridEscuela Tcnica Superior de Ingenieros Industriales

Matemticas de la EspecialidadIngeniera Elctrica

Funciones de interpolaciny aproximacin

Jos Luis de la Fuente OConnorjldelafuente@etsii.upm.esjoseluis.delafuente@upm.es

Clase_interpolacin_aproximacin_funciones_2014.pdf

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ndice

Introduccin Interpolacin polinmica Polinomios de Lagrange Polinomios de Newton Polinomios Ortogonales Interpolacin polinmica por trozos Interpolacin de Hermite Interpolacin por splines cbicas

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Introduccin

Lecture Lecture 88 InterpolationInterpolation

LinearLinear InterpolationInterpolation

QuadraticQuadratic InterpolationInterpolation

PolynomialPolynomial InterpolationInterpolation

PiecewisePiecewise Polynomial InterpolationPolynomial Interpolation

Numerical MethodsNumerical Methods for for CivilCivil EngineersEngineers

Mongkol JIRAVACHARADETS U R A N A R E E INSTITUTE OF ENGINEERINGUNIVERSITY OF TECHNOLOGY SCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

Visual Interpolation

Vehicle speed is approximately 49 km/h

0

20

4060

80

100

120

km/h

Figure 10.2

kmh20

40

60 80 100

120 140

12 1234

56

789

1110

NMM: Interpolation page 2

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Fonts == interpolation

how do we contain our interpolation?splinesPostscript (Adobe): rasterization on-the-fly. Fonts, etc are defined ascubic Bezier curves (linear interpolation between lower order Beziercurves)TrueType (Apple): similar, quadratic Bezier curves, thus cannot convertfrom TrueType to PS (Type1) losslessly

T. Gambill (UIUC) CS 357 April 12, 2011 2 / 29

Why Splines?

truetype fonts, postscript,metafontsgraphics surfacessmooth surfaces are neededhow do we interpolatesmoothly a set of data?keywords: Bezier Curves,splines, B-splines, NURBSbasic tool: piecewiseinterpolation

T. Gambill (UIUC) CS 357 April 12, 2011 3 / 29

La interpolacin tiene como objeto, en general, la obtencin de nuevospuntos a partir del conocimiento de un conjunto discreto de ellos.

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La idea es obtener una funcin que se verifique en todos los puntos conocidos yque permita calcular tantos nuevos como se desee.

Examples Polynomial interpolation Piecewise polynomial interpolation

Basic motivations

I Plotting a smooth curve through discrete data points

Suppose we have a sequence of data points

Coordinates x1 x2 xnFunction y1 y2 yn

I Try to plot a smooth curve (a continuous differentiable function)

connecting these discrete points.

Por ejemplo, encontrar el valor de y para un x cualquiera en un experimento enel que se han obtenido un conjunto de puntos .x;y/.

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La interpolacin tiene como objeto la obtencin de nuevos puntos apartir del conocimiento de un conjunto discreto de ellos.

Por ejemplo, encontrar el valor de y para un x cualquiera en unexperimento en el que se han obtenido un conjunto de puntos.x;y/.

Interpolation between data points

known datay

x

Consider a set of xy data collected during an experiment.

We use interpolation technique to estimate y at x where theres no data.

What is the corresponding value of y for this x ?

BASIC IDEASBASIC IDEAS

From the known data ( xi , yi ), interpolate

Determining coefficient a1, a2, . . . , an of basis function F(x)

F(x) = a1F1(x) + a2F2(x) + . . . + anFn(x)

Polynomials are often used as the basis functions.

F(x) = a1 + a2 x + a3 x2 + . . . + an xn-1

ixxxFy = for )(

nn

ii

ii

yx

yxyx

yx

MM

MM

11

11

++

interpolateyx

y

xx

y

F(x)

y Datos conocidos

Cul es el valor dey que corresponde aeste x?

x

La interpolacin se puede ver como lo inverso de la evaluacin de una funcin.En sta, se pide evaluar un valor de y para un valor dado de x. En lainterpolacin, dados esos puntos, calcular la funcin que pueda generarlos.

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La aproximacin busca obtener una funcin que de resultados tan cercanoscomo sea posible a los de otra, o a un conjunto de datos, no necesariamentepasando por todos ellos.

Por ejemplo, aproximar una funcin para evitar tener que evaluar sucomplicada expresin: la de la distribucin normal estndar,

N.x/ D 1p2

x1

ey2=2 dy:

Obtener una funcin terica preestablecida que mejor se ajusta a puntosempricos (ajustes por mnimos cuadrados).

Tambin, poder derivar o integrar valores dados en forma de tabla. Hacer pasar por datos discretos funciones continuas y derivables, : : :

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Interpolacin vs. aproximacin o ajuste.

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Interpolacin vs. aproximacin y ajuste.Interpolation v.s. Curve Fitting

known datay

x

interpolationcurve fit

Curve fitting: fit function & data not exactly agree

Interpolation: function passes exactly through known data

Interpolation & Extrapolation

Interpolation approximate within the range of independent variable

of the given data set.

Extrapolation approximate outside the range of independent variable

of the given data set.

xx1 x2

y

y Datos conocidosFuncin aproximadaInterpolacin

x El ajuste, en general, busca predecir una tendencia o elcomportamiento de datos de acuerdo con un modelo dado;la interpolacin, que la funcin, o funciones, a que de lugar incluyatodos los datos conocidos, habitualmente buenos.

En general,la aproximacin o ajuste busca predecir una tendencia, o el

comportamiento de datos, acorde con un modelo establecido;

la interpolacin que la funcin, o funciones, a que de lugar incluya todos losdatos conocidos, habitualmente buenos.

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Numricamente: para obtener una funcin f .x/ de interpolacin, un primerenfoque consiste en obtenerla como combinacin lineal de un conjunto defunciones base.

Si se considera un conjunto de n funciones base, j , j D 1; : : : ; n, se pretendeque

f .x/ DnijD1

cjj .x/:

Las funciones base pueden ser diversas: Polinomios, polinomios por trozos o porciones Funciones racionales Funciones trigonomtricas Otras.

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Si se tienen m datos (de un muestreo de una funcin, de un experimento, etc.)a los que se quiere aproximar una funcin, y n funciones base, despus de unsencillo proceso se llega a un sistema de ecuaciones lineales

nijD1

cjj .xi/ D f .xi/; i D 1; : : : ; m:

Este sistema: Si m > n, lo normal es que sea incompatible y habra que resolverlo

mediante tcnicas de mnimos cuadrados.

Si m < n, el sistema tendr muchas soluciones. Si m D n se puede determinar una nica funcin.

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Comprobar, ejecutar y discutir el fichero Interpolacion_eje1.m

>> Interpolacion_eje1p =

-0.0022 0.1802 0.3544p =

-0.0000 0.0017 -0.0529 0.6705 -0.6192

xdat = [1 5 10 30 50];ydat = log(xdat);plot(xdat,ydat, o)hold on

pause

p = polyfit(xdat,ydat,2)xvet=1:0.1:50;plot(xvet,polyval(p,xvet))hold on

pause

p = polyfit(xdat,ydat,4)plot(xvet,polyval(p,xvet))

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

2

3

4

5

6

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Clases EPFL: Position du problme

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Interpolacin polinmica

Teorema principal de la interpolacin polinmica Sean .x1; y1/, .x2; y2/,: : : ; .xn; yn/ n duplas de puntos con distintas xi . Existe un polinomio, y slouno, P , de grado n 1 o menor, que satisface P.xi/ D yi , i D 1; : : : ; n.

La polinmica es la forma ms extendida de interpolacin. En la expresinnijD1

cjj .xi/ D f .xi/; i D 1; : : : ; n;

como funciones base se escogen los monomios j .x/ D xj1. Da lugar apn1.x/ D c1 C c2x C c3x2 C C cnxn1 cuyos coeficientes ci son la

solucin del sistema lineal1 Ac D

2641 x1 xn111 x2 xn12::: ::: : : : :::1 xn xn1n

375264c1c2:::cn

375 D264f .x1/f .x2/:::f .xn/

375.1A es una matriz de Vandermonde

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Ejemplo. Consideremos los precios de gas natural que siguen:Ao x 2007 2008 2009 2010 2011 2012Precio y 133,5 132,2 138,7 141,5 137,6 144,2

year=[2007 2008 2009 2010 2011 2012];precio=[133.5 132.2 138.7 141.5 137.6 144.2];M = vander(year);a = M\precio;x=linspace(min(year),max(year));p=polyval(a,x);plot(year,precio ,o,x,p,-);

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Copiar y pegar en Matlab. Luego usar Interpolacion_eje2.

>> Interpolacion_eje2Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 7.482181e-033.> In Interpolacion_eje2 at 4

year=[2007 2008 2009 2010 2011 2012];precio=[133.5 132.2 138.7 141.5 137.6 144.2];M = vander(year);a = M\precio;x=linspace(min(year),max(year));p=polyval(a,x);plot(year,precio ,o,x,p,-);hold on

pause

x1 = 2007:1:2012;y = interp1(year,precio,x1,linear);plot(year,precio,o,x1,y,-)hold on

pause

ys = year-mean(year);A = vander(ys);a = A\precio;ds = x - mean(year);p = polyval(a,ds);plot(year,precio,o,x,p,-);

2006 2006.5 2007 2007.5 2008 2008.5 2009 2009.5 2010 2010.5 2011128

130

132

134

136

138

140

142

144

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Polinomios de Lagrange

Si se tienen dos puntos .x1; y1/ y .x2; y2/, el polinomio lineal que los interpolaes

p1.x/ D c1 C c2x;siendo los coeficientes c1 y c2:

c1 D y1x2 y2x1x2 x1 y c2 D

y2 y1x2 x1 :

Sustituyndolos en la expresin de p1.x/, y reordenndola, queda

p1.x/ D y1 x x2x1 x2 C y2

x x1x2 x1 D y1l1.x/C y2l2.x/:

l1 y l2 son los polinomios de interpolacin de Lagrange de primer orden.

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En general, para un conjunto de datos, .xi ; yi/, i D 1; : : : ; n, las funcionesbase de Lagrange en Pn1 son

lj .x/ D

nYkD1kj

.x xk/

nYkD1kj

.xj xk/; j D 1; : : : ; n:

Las funciones lj .x/ son polinomios de grado n 1 y cumplen que

lj .xi/ D ij D(1 si i D j0 si i j ; i; j D 1; : : : ; n:

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En la figura se ven las funciones base de Lagrange parax D 0 0;25 0;50 0;75 1T .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

l k(x)

Funciones base de Lagrange para x=[0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00]

l1

l2

l3

l4

l5

Con esta base, la matriz de antes, A, ya no es la de Vandermonde, sino laidentidad, I , y el polinomio de interpolacin

pn1.x/ D y1l1.x/C y2l2.x/C C ynln.x/:

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Cdigo de Matlab para obtener la interpolacin con polinomios de Lagrange.

function [l,L]=lagrang_int(x,y)% Calcula el polinomio de interpolacin de Lagrange% x e y vectores de datos; l, coeficientes polinomio resultante,% L polinomio base

N=length(x)-1; l=0;for m=1:N+1

P=1;for k=1:N+1

if k~=m, P=conv(P,poly(x(k)))/(x(m)-x(k)); endendL(m,:)=P; % Polinomios de Lagrange basel=l+y(m)*P; % Coeficientes el polinomio resultante

end

% do_Lagrange_intx = [-2 -1 1 2]; y=[-6 0 0 6];l = lagrang_int(x,y)xx = [-2:0.02:2]; yy = polyval(l,xx);plot(xx,yy,b,x,y,o)

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El resultado es el de la figura.

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 26

4

2

0

2

4

6

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Volvamos sobre el problema de los precios del gas natural.% do_Lagrange_int_gas_1year = [2007 2008 2009 2010 2011 2012];precio= [133.5 132.2 138.7 141.5 137.6 144.2];ys = year-mean(year);l = lagrang_int(ys,precio)x = linspace(min(year),max(year),200);ds = x - mean(year);p=polyval(l,ds); plot(year,precio ,o,x,p,-);

2007 2008 2009 2010 2011 2012130

135

140

145

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Polinomios de Newton

El polinomio de interpolacin de Newton tiene la formapn1.x/ D c1 C c2.x x1/C c3.x x1/.x x2/C

C cn.x x1/.x x2/ .x xn1/:

Las funciones base de Newton son

j .x/ Dj1jkD1

.x xk/; j D 1; : : : ; n:

Para i < j , j .xi/ D 0, por lo que la matriz A es triangular inferior, conaij D j .xi/.

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En la figura se ven las funciones base de Newton parax D 0 0;50 1;00 1;50 2T .

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En la figura se ven las funciones base de Newton parax D 0 0;50 1;00 1;50 2T .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

New

k(x)

Funciones base de Newton para x=[0.00, 0.50, 1.00, 1.50, 2.00]

1

2 3 4 5

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Ejemplo

Calculemos el polinomio de interpolacin de Newton para los puntos.2;27/, .0;1/ y .1; 0/.

El sistema que hay que resolver es241 0 01 x2 x1 01 x3 x1 .x3 x1/.x3 x2/

3524c1c2c3

35 D 24y1y2y3

35 : Sustituyendo 241 0 01 2 0

1 3 3

3524c1c2c3

35 D 242710

35 ;cuya solucin es c D 27 13 4T . El polinomio es pues

p.x/ D 27C 13.x C 2/ 4.x C 2/x:

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El clculo polinomio de interpolacin de Newton se puede optimizar usando lasdiferencias divididas.

Volviendo a la expresin matricial general anterior para un polinomio desegundo grado,241 0 01 x2 x1 0

1 x3 x1 .x3 x1/.x3 x2/

3524c1c2c3

35 D 24y1y2y3

35 ;si se sustrae de la segunda fila la primera, y de la tercera tambin la primera, setiene 241 0 00 x2 x1 0

0 x3 x1 .x3 x1/.x3 x2/

3524c1c2c3

35 D 24 y1y2 y1y3 y1

35 :

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Si se divide la segunda fila por .x2 x1/ y la tercera por .x3 x1/ se llega a

241 0 00 1 00 1 x3 x2

3524c1c2c3

35 D26666664

y1

y2 y1x2 x1y3 y1x3 x1

37777775 :De la segunda fila se obtiene que c2 D .y2 y1/=.x2 x1/.

Se introducen ahora las diferencias divididas de primer ordenf x1; x2 y2 y1

x2 x1 y f x1; x3 y3 y1x3 x1 :

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Si se sustrae la tercera fila de la segunda se llega a241 0 00 1 00 0 x3 x2

3524c1c2c3

35 D264 y1f x1; x2f x1; x3 f x1; x2

375 : Si se divide la tercera fila por x3 x2 se llega a241 0 00 1 0

0 0 1

3524c1c2c3

35 D264 y1f x1; x2f x1; x2; x3

375 ;donde

f x1; x2; x3 f x1; x3 f x1; x2x3 x2

no trivialD f x2; x3 f x1; x2x3 x1 :

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Lo no trivialf x1; x3 f x1; x2

x3 x2 Dy3y1x3x1

y2y1x2x1

x3 x2 D.x3 x1/

y3y1x3x1

y2y1x2x1

.x3 x2/.x3 x1/ D

y3 y2 C y2 y1 y2y1x2x1

.x3 x2 C x2 x1/

.x3 x2/.x3 x1/

Dy3y2x3x2 C

y2y1x3x2

.y2y1/.x3x2/

.x2x1/.x3x2/ .y2y1/.x2x1/.x2x1/.x3x2/

x3 x1 Dy3y2x3x2

y2y1x2x1

x3 x1 Df x2; x3 f x1; x2

x3 x1

Con estas frmulas de recurrencia, para un polinomio de segundo grado,c1 D f x1 D y1c2 D f x1; x2 D y2 y1

x2 x1

c3 D f x1; x2; x3 D f x2; x3 f x1; x2x3 x1 D

y3y2x3x2

y2y1x2x1

x3 x1 En general

f xi ; : : : ; xj D f xiC1; : : : ; xj f xi ; : : : ; xj1xj xi :

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Las diferencias divididas se pueden calcular en forma de tablax f f ; f ; ; f ; ; ; x1 f x1

f x1; x2

x2 f x2 f x1; x2; x3

f x2; x3 f x1; x2; x3; x4

x3 f x3 f x2; x3; x4

f x3; x4

x4 f x4

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Ejemplo

Calcular el polinomio de interpolacin de Newton dex 1 3

20 2

y 3 1343 5

3

La tabla de diferencias divididas es:x f f ; f ; ; f ; ; ; 1

32

0

2

3

134

3

53

12

16

23

13

53

2

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El polinomio es entoncesp3.x/ D 3C 12.x 1/C 13.x 1/

x 3

2

2.x 1/ x 32

x

D 3 103x C 16

3x2 2x3:

Este programa realiza la interpolacin de Newton.function [n,DD]=Newton_int_1(x,y)% Interpolacin con polinomios de Newton% Vectores de entrada x e y; salida: coeficientes en n y dif. en DD

N = length(x)-1;DD = zeros(N+1,N+1); DD(1:N+1,1) = y(:);for k=2:N+1

for m=1:N+2-kDD(m,k)=(DD(m+1,k-1)-DD(m,k-1))/(x(m+k-1)-x(m)); % Diferencias divididas

endend

a = DD(1,:); n = a(N+1);for k=N:-1:1

n = [n a(k)] - [0 n*x(k)]; % n(x)*(x-x(k-1))+a_k-1end

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Ahora resolvamos un ejemplo cualquiera con este programa.%do_newton_int_1.mx=[-2 -1 1 2 4]; y=[-6 0 0 6 60]; % datos ordenados[n,DD] = Newton_int_1(x,y)n0 = lagrang_int(x,y) % por comparar con Lagrangex = [1 2 4 -1 -2]; y=[0 6 60 0 -6]; % orden aleatorio datos[n1,DD]= Newton_int_1(x,y)xx = [-2: 0.02 : 4]; yy = polyval(n,xx);clf, plot(xx,yy,b-,x,y,o) % se dibuja ltimo caso

2 1 0 1 2 3 410

0

10

20

30

40

50

60

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d e f g

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9 4 6 5

1 2 3

32/57

La salida de Matlab sera (ojo! coeficientes=pol. Lagrange):>> do_newton_int_1n =

0 1 0 -1 0DD =

-6 6 -2 1 00 0 2 1 00 6 7 0 06 27 0 0 0

60 0 0 0 0n0 =

Columns 1 through 30.000000000000000 1.000000000000000 0.000000000000000

Columns 4 through 5-1.000000000000000 0

n1 =0 1 0 -1 0

DD =0 6 7 1 06 27 5 1 0

60 12 1 0 00 6 0 0 0

-6 0 0 0 0>>

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Resolvamos a mano el ejemplo anterior con la tabla.>> x=[1 3/2 0 2];>> y=[3 13/4 3 5/3];>> [n DD]=Newton_int_1(x,y)n =Columns 1 through 3-2.000000000000000 5.333333333333334 -3.333333333333334Column 43.000000000000000

DD =Columns 1 through 33.000000000000000 0.500000000000000 0.3333333333333333.250000000000000 0.166666666666667 -1.6666666666666673.000000000000000 -0.666666666666667 01.666666666666667 0 0Column 4-2.000000000000000

000

>>

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Polinomios Ortogonales

Otra base interesante para interpolacin es la del espacio vectorial depolinomios ortogonales Pn.

El producto interior de dos polinomios p y q, hp; qi, en el intervalo a; b, sedefine como

hp; qi Dl ba

p.x/q.x/!.x/ dx;

donde !.x/ es una funcin de peso no negativa. Los polinomios p y q sonortogonales si hp; qi D 0.

Un conjunto de polinomios fpig es ortonormal si

hpi ; pj i D(1 para i D j0 para i j:

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Se puede usar cualquier procedimiento de ortogonalizacin, por ejemploGram-Schmidt, para obtener una base ortonormal de un espacio de polinomios.

Por ejemplo, si !.x/ D 1, y en el intervalo 1; 1 se aplica Gram-Schmidt alos monomios 1, x, x2, x3; : : :, escalando los resultados para que pk.1/ D 1,para cada k, se obtienen los polinomios de Legendre

1; x; .3x2 1/=2; .5x3 3x/=2;.35x4 30x2 C 3/8; .63x5 70x3 C 15x/=8; : : : ;

los primeros n de los cuales forman una base ortogonal de Pn1. Su frmulageneral es

pi.x/ D 12i i

d i

dxi

.x2 1/i :

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En la figura se representan los seis primeros polinomios de Legendre.

Otros polinomios ortogonales conocidos:Polinomio Smbolo Intervalo Funcin de pesoLegendre Pk 1; 1 1Chebyshev, primer tipo Tk 1; 1 .1 x2/1=2Chebyshev, segundo tipo Uk 1; 1 .1 x2/1=2Jacobi Jk 1; 1 .1 x/.1C x/; ; > 1Laguerre Lk 0;1/ exHermite Hk .1;1/ ex2

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Los polinomios ortogonales tienen propiedades muy tiles para algoritmosnumricos.

Satisfacen frmulas de recurrencia que los hacen fciles de generar y evaluar:pkC1.x/ D .kx C k/pk.x/ kpk1.x/:

La de los polinomios de Legendre, por ejemplo, es

.k C 1/PkC1.x/ D .2k C 1/xPk.x/ kPk1.x/:

Tambin se usan frecuentemente para aproximar por mnimos cuadradosfunciones mediante polinomios de cualquier grado, pues la ortogonalidad haceque la matriz del sistema que se resuelve sea diagonal.

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Los polinomios de Chebyshev son otro tipo de polinomios de uso frecuente. En su forma trigonomtrica se definen, para x 2 1; 1, por la identidad

Tk.x/ D cos.k arc cos.x//adems de que T0.x/ D 1 y T1.x/ D 1. La frmula de recurrencia de trestrminos es

TkC1.x/ D 2xTk.x/ Tk1.x/:

Los primeros son pues1; x; 2x2 1; 4x3 3x;

8x4 8x2 C 1; 16x5 20x3 C 5x; : : : ;

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Los cinco primeros los representa esta grfica.

Su propiedad quizs ms interesante es la equialternancia, o equioscilacin, pueslos sucesivos puntos extremos tienen igual magnitud pero signo distinto, comose aprecia en la figura.

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En interpolacin polinmica de puntos de una funcin continua, el error mximoen un intervalo se minimiza si se escogen como puntos de interpolacin lasraces de los extremos de un polinomio de Chebyshev de grado adecuado: losnudos o puntos de Chebyshev.

Los puntos de un polinomio de Chebyshev Tk son los k ceros o races de esepolinomio, es decir,

xi D cos2i 12k

; i D 1; : : : ; k

y los kC 1 puntos extremos (mximos y mnimos), incluidos los de los extremosdel intervalo, es decir

xi D cosi

k

; i D 0; : : : ; k:

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Los puntos de Chebyshev son las abcisas de los puntos igualmente espaciados alo largo de la semicircunferencia de radio 1 en R2.

cs412: introduction to numerical analysis 10/12/10

Lecture 10: Introduction to Splines

Instructor: Professor Amos Ron Scribes: Mark Cowlishaw, Nathanael Fillmore

1 Review of Chebyshev Points

Last time we talked briefly about using Chebyshev points for polynomial interpolation. The idea isthat our choice of interpolation points can have a large impact on the error of our interpolant. Recallthe expression for error in polynomial interpolation (Given f the function we are approximating,interval [a, b], interpolation points ~x = (x0, x1, . . . , xn), and interpolant pn):

E(t) = f(t) pn(t) = f(n+1)(c)

(n+ 1)!(

ni=0

(t xi))

(a)

(for some c [a, b]) (1)

If we know a great deal about the function f , then we may be able to choose points so as toreduce the error. If we dont have such information about the function, however, the best we cando is to reduce the product (a). The Chebyshev points effectively minimize the maximum value ofthe product (a).

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 1: Choosing Chebyshev Points

Recall the process for selecting Chebyshev points over an interval [a, b], as shown in Figure 1:

1. Draw the semicircle on [a, b] centered at the midpoint ((a+ b)/2).

2. To select N + 1 points, split the semicircle into N arcs of equal length.

3. Project the arcs onto the x-axis, giving the following formula for each Chebyshev point xj

xj =a+ b

2+b a2

cos(j piN

)(for j = 0, 1, . . . , N)

1

Usar puntos de Chebyshev como abcisas de interpolacin, en vez de puntosigualmente espaciados, tiene ventajas interesantes. Por ejemplo, se quiereinterpolar puntos de la funcin de Runge

f .x/ D 11C 25x2

en el intervalo 1; 1.

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Usando puntos igualmente espaciados en las abcisas fenmeno de Runge ylos puntos de Chebyshev, el resultado que se obtiene con polinomios de Newtones el que sigue.

1 0.5 0 0.5 10.5

0

0.5

1

1.5

2

1 0.5 0 0.5 10.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

El programa que se ha usado es este.% Chebyshev_ejemplo_1.mf = @(x) 1./(1+25*x.^2); n = 11;xe = linspace(-1,1,n);xc = cos((2*(1:n)-1)*pi/2/n);t = -1:.01:1;c = Newton_int_1(xe,f(xe)); t1 = polyval(c,t);subplot(121), plot(t,f(t),b,t,t1,r,xe,f(xe),o)c = Newton_int_1(xc,f(xc)); t1 = polyval(c,t);subplot(122), plot(t,f(t),b,t,t1,r,xc,f(xc),o)

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Se puede probar que el polinomio de Chebyshev de grado n que mejor interpola,o aproxima, puntos de una funcin f .x/ usando puntos de Chebyshev es:

p.x/D 1nC 1

nC1XiD1

f .xi/c0

CnikD1

2

nC 1

nC1XiD1

Tk.xi/f .xi/

!ck

Tk.x/:

Para calcular el valor de ese p.x/ en determinados puntos se puede usar elalgoritmo de Clenshaw:

nikD0

ckTk.x/ D u0 xu1;

dondeun D cn; un1 D cn1 C 2xun yuj D cj C 2xujC1 ujC2; j D n 2; n 1; : : : ; 0:

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1 2 3

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Los dos programas que siguen calculan ese polinomio y lo evalan paradeterminados puntos.

function [c,x] = chebpol_int(fn,n)x = cos((2*(1:n)-1)*pi/2/n);y = feval(fn,x);T = [zeros(n,1) ones(n,1)];c = [sum(y)/n zeros(1,n-1)];a = 1;for k = 2:n

T = [T(:,2) a*x.*T(:,2)-T(:,1)];c(k) = sum(T(:,2).* y)*2/n;a = 2;

end

function u = chebpol_clenshaw(c,x)n = length(c);u = c(n)*ones(size(x));if n > 1

ujp1 = u;u = c(n-1)+2*x*c(n);for j = n-2:-1:1

ujp2 = ujp1;ujp1 = u;u = c(j)+2*x.*ujp1-ujp2;

endu = u-x.*ujp1;

end

Si se utilizan con>> f = @(x) 1./(1+25*x.^2);>> [c,x] = chebpol_int(f,11);>> t = -1:.01:1;>> plot(t,f(t),b,t,chebpol_clenshaw(c,t),r,x,f(x),ok)

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Da como resultado:

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

que es la misma grfica de antes.

Aqu se pueden ver otras aproximaciones.

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Interpolacin polinmica por trozos Como hemos podido ver, algunas veces, al interpolar mediante un nicopolinomio un conjunto amplio de datos se suelen producir resultados pocosatisfactorios en forma de oscilaciones.

Una mejora consiste en interpolar cada intervalo entre datos mediante un nicopolinomio u otra funcin.

La interpolacin ms simple es un segmento de lnea recta entre cada dos datoso nudos.

Aqu se pueden ver algunos casos.

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Interpolacin de Hermite

Esta interpolacin tiene en cuenta los valores de la funcin a aproximar porinterpolacin en puntos concretos y el de sus derivadas.

Cada tramo es un polinomio de tercer grado con primera derivada continua enlos extremos.

El nmero de ecuaciones que se aade as al sistema lineal que subyace en elproceso es significativo.

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Supongamos que se quiere aproximar f .x/ en el intervalo xi ; xd , medianteinterpolacin con un polinomio de tercer grado

p.x/ D aC b.x xi/C c.x xi/2 C d.x xi/2.x xd /;y que f .xi/ D yi , f .xd / D yd , p.xi/ D yi , p.xd / D yd , p0.xi/ D si yp0.xd / D sd .

Necesitaremos calcular a, b, c y d . La derivada del polinomio esp0.x/ D b C 2c.x xi/C d

2.x xi/.x xd /C .x xi/2

.

Sustituyendo los valores conocidos se tiene quea D yi aC b.xd xi/C c.xd xi/2 D ydb D si b C 2c.xd xi/C d.xd xi/2 D sd :

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Escribiendo esto en forma matricial,266641 0 0 0

0 1 0 0

1 xi xd .xd xi/2 00 1 2.xd xi/ .xd xi/2

3777526664a

b

c

d

37775 D26664yisiydsd

37775 : Si se tienen n nudos o datos, har falta determinar 4.n 1/ parmetros de lospolinomios.

El que se requiera que interpolen esos n datos aade 2.n 1/ ecuaciones, puescada n 1 cbica debe verificar los valores en sus extremos.

El que tengan derivadas continuas aade otras n 2 ecuaciones para cadapunto de unin.

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El total de ecuaciones es 3n 4, lo que deja 4.n 1/ 3nC 4 D nparmetros libres.

La interpolacin por tanto no es nica, por lo que se pueden fijar mscondiciones para esos grados de libertad: monotonicidad, convexidad, etc.

La funcin que realiza esta aproximacin en Matlab es pchip.

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Una sesin de trabajo con un ejemplo sencillo puede ser>> x = -3:3;>> y = [-1 -1 -1 0 1 1 1];>> t = -3:.01:3;>> p = pchip(x,y,t);>> plot(x,y,o,t,p,-)>> legend(datos,pchip,3)

3 2 1 0 1 2 31

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

datospchip

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Interpolacin por splines cbicas

Una spline es una curva definida, normalmente, mediante polinomios de gradok, con continuidad hasta la derivada k 1.

Una spline cbica es un polinomio de tercer grado con continuidad hasta lasegunda derivada.

La idea de interpolar mediante splines es usar varias frmulas, cada unacorrespondiente a un polinomio de grado bajo, para pasar a travs de variospuntos.

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El ejemplo ms simple es un spline lineal, en el que se conectan los puntos ainterpolar mediante segmentos de recta.

En la figura se muestra un ejemplo de spline lineal y el mismo con spline cbica.

166 | CHAPTER 3 Interpolation

2. Build a Matlab program to evaluate the cosine function correct to 10 decimal places usingChebyshev interpolation. Start by interpolating on a fundamental domain [0,/2], and extendyour answer to inputs between 104 and 104. You may want to use some of the Matlab codewritten in this chapter.

3. Carry out the steps of Computer Problem 2 for lnx, for inputs x between 104 and 104. Use[1,e] as the fundamental domain. What is the degree of the interpolation polynomial thatguarantees 10 correct digits? Your program should begin by nding the integer k such thatek x < ek+1. Then xek lies in the fundamental domain. Demonstrate the accuracy of yourprogram by comparing it with Matlabs log command.

4. Let f (x) = e|x|. Compare evenly spaced interpolation with Chebyshev interpolation byplotting degree n polynomials of both types on the interval [1,1], for n = 10 and 20. Forevenly spaced interpolation, the left and right interpolation base points should be 1 and 1. Bysampling at a 0.01 step size, create the empirical interpolation errors for each type, and plot acomparison. Can the Runge phenomenon be observed in this problem?

5. Carry out the steps of Computer Problem 4 for f (x) = ex2 .

3.4 CUBIC SPLINESSplines represent an alternative approach to data interpolation. In polynomial interpola-tion, a single formula, given by a polynomial, is used to meet all data points. The idea ofsplines is to use several formulas, each a low-degree polynomial, to pass through the datapoints.

The simplest example of a spline is a linear spline, in which one connects the dotswithstraight-line segments. Assume that we are given a set of data points (x1,y1), . . . , (xn,yn)with x1 < < xn. A linear spline consists of the n 1 line segments that are drawnbetween neighboring pairs of points. Figure 3.12(a) shows a linear spline where, betweeneach neighboring pair of points (xi,yi), (xi+1,yi+1), the linear function y = ai + bix isdrawn through the two points. The given data points in the gure are (1,2), (2,1), (4,4),and (5,3), and the linear spline is given by

1 2 3 4 5

1

2

3

4

y

x1 2 3 4 5

1

2

3

4

y

x

(a) (b)Figure 3.12 Splines through four data points. (a) Linear spline through (1,2), (2,1),

(4,4), and (5,3) consists of three linear polynomials given by (3.15). (b) Cubic spline

through the same points, given by (3.16).

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Como en el caso de Hermite, las splines cbicos para interpolar n puntos de unafuncin imponen 3n 4 condiciones, ms n 2 adicionales por requerirse lacontinuidad de la segunda derivada.

Los dos grados de libertad adicionales se fijan si, por ejemplo, Las primeras derivadas en los extremos izquierdo y derecho se fijan en

sendos valores.

Las segundas derivadas en los extremos son cero. Las primeras y segundas derivadas en los extremos son iguales dos a dos, etc.

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Ejemplo

Estudiemos la interpolacin de tres puntos .x1; y1/, .x2; y2/ y .x3; y3/. Los polinomios de los dos tramos podran ser

p1.x/ D 1 C 2x C 3x2 C 4x3p2.x/ D 1 C 2x C 3x2 C 4x3:

Se necesitan 8 ecuaciones para determinar los parmetros.

El que las cbicas pasen por los puntos dados impone las siguientes condiciones1 C 2x1 C 3x21 C 4x31 D y11 C 2x2 C 3x22 C 4x32 D y21 C 2x2 C 3x22 C 4x32 D y21 C 2x3 C 3x23 C 4x33 D y3:

La continuidad de las primeras derivadas en x2 impone esta condicin2 C 23x2 C 34x22 D 2 C 23x2 C 34x22:

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1 2 3

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La continuidad de las segundas derivadas en x2 impone esta otra23 C 64x2 D 23 C 64x2:

Por definicin, se impone que las segundas derivadas en los extremos sean cero,lo que hace que

23 C 64x1 D 0 y 23 C 64x3 D 0:

Todo en forma matricial queda2666666664

1 x1 x21 x

31 0 0 0 0

1 x2 x22 x

32 0 0 0 0

0 0 0 0 1 x2 x22 x

32

0 0 0 0 1 x3 x23 x

33

0 1 2x2 3x22 0 1 2x2 3x22

0 0 2 6x2 0 0 2 6x20 0 2 6x1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 2 6x3

3777777775

2666666664

12341234

3777777775D

2666666664

y1y2y3y40

0

0

0

3777777775:

Resolviendo este sistema se obtiene la solucin deseada.

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1 2 3

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La funcin que realiza esta aproximacin en Matlab es spline. Una sesin de trabajo puede ser, comparando con Hermite,

x = -3:3;y = [-1 -1 -1 0 1 1 1];t = -3:.01:3;p = pchip(x,y,t);s = spline(x,y,t);plot(x,y,o,t,p,-,t,s,-.)legend(datos,pchip,spline,4)

3 2 1 0 1 2 31.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

datospchipspline