Clase Profesor Elkin to Matematico Uis

MMéétodos Numtodos Numééricos en ricos en IngenierIngenierííaa

CAPCAPÍÍTULO II: AproximaciTULO II: Aproximacióón Numn Numééricarica

Elkin Rodolfo SantafElkin Rodolfo Santaféé RangelRangelIngeniero de PetrIngeniero de Petróóleosleos

BucaramangaBucaramanga –– Colombia Colombia ©© 20082008

©© Elkin SantafElkin Santaféé ●● 2008 2008 ●● MMéétodostodos NumNumééricosricos en en IngenierIngenierííaa CAP. II: CAP. II: AproximaciAproximacióónn NumNumééricarica

Cifras SignificativasCifras Significativas

Se les llama cifras significativas (también dígitos significativos) al número de todos los dígitos conocidos reportados en una medida, más el último dígito que es incierto (estimado).

Este grupo de cifras tiene un significado y sentido representativo para el problema que se estáresolviendo.



Reglas para determinar el número de cifras significativas en una medida:

Los números diferentes de 0 siempre son significativos. Ejemplo: 32.2356g tiene 6 cifras

Los ceros entre números siempre son significativos. Ejemplo: 208.3g tiene 4 cifras

Todos los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.Ejemplo: 7.30 g tiene 3 cifras



Reglas para determinar el número de cifras significativas en una medida:

Los ceros que sirven para ubicar el punto decimal no se cuentan. Ejemplo: 0.0345g tiene 3 cifras y 5630g también tiene 3

cifras (en notación científica)

Números que resultan de contar o constantes definidas, tienen infinitas cifras significativas.

Ejemplo: en el salón se contaron 24 estudiantes, esa medida tiene infinitas cifras porque es un número exacto.



En el momento de operar con las cifras:

Al multiplicar o dividir, la respuesta tendrá el mismo número de cifras significativas que el factor que tenga menos cifras.



En el momento de operar con las cifras:

En las sumas y restas, alinea por punto decimal los números y el resultado tendrá tantos lugares decimales como el dato menos exacto (con menos lugares después del punto).



Reglas de redondeo:

● Si el dígito a eliminar es 5 seguido de un número que no sea 0 el que se queda se aumenta8.2353→8.24

● Si el dígito a eliminar es menor que 5, no hagas cambios en el que se queda8.231 → 8.23

● Si el dígito a eliminar es mayor que 5 aumenta en 1 al que se queda8.236 → 8.24



Reglas de redondeo:

● Si el dígito que vas a eliminar es 5 seguido de 0 mira al próximo que sigue, si es impar aumentas y si es par lo dejas igual

8.23503→8.248.23502→8.23

Aporte de las seriesAporte de las series


Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como

donde N es el índice final de la serie.


Aporte de las seriesAporte de las series

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .

Las series convergen o divergen. Una serie diverge si

Una serie converge si,

Serie de TaylorSerie de Taylor


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

nin

iiiii Rh

nxfhxfhxfhxfxfxf ++++++=+ !

...!3!2

3'''

2''

'1

( )( )( )

11

! 1+

+

+= n

n

n hn

fR ξ

Tipos de Diferencia Finita


( ) ( ) ( )iii xfh

xfxf '1 ≈− −( ) ( ) ( )iii xf

hxfxf '1 ≈

−+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

nin

iiiii Rh

nxfhxfhxfhxfxfxf ++++++=+ !

...!3!2

3'''

2''

'1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

nin

iiiii Rh

nxfhxfhxfhxfxfxf +++−+−=− !

...!3!2

3'''

2''

'1

SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE

SERIE DE TAYLOR HACIA ATRÁS

D.F. Progresiva D.F. Regresiva


Tipos de Diferencia Finita


SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE

SERIE DE TAYLOR HACIA ATRÁS

D.F. Central

+

( ) ( ) ( ) ( ) ...!3

22 3'''

'11 +++= −+ hxfhxfxfxf i

iii

( ) ( ) ( ) ( ) ...!3 2

2'''

11' −−−

= −+ hxfh

xfxfxf iiii


Orden de Truncamiento


( ) ( ) ( ) ( )iii xfhOh

xfxf '1 =+−+

( ) ( ) ( ) ( )iii xfhOh

xfxf '1 =+− −

( ) ( ) ( ) ( )211'

2hO

hxfxfxf ii

i +−

= −+


Exactitud y precisiExactitud y precisióónn


La PRECISIÓN es la reproducibilidad de los datos que se obtienen al aplicar un método (Aplicación específica de una técnica). Es afectada por los errores aleatorios es decir de los errores, los cuales no se conoce su fuente de error.

La EXACTITUD es que tanto nos acercamos a l valor real aceptado. No puede haber exactitud si no hay precisión, pero si puede haber precisión sin haber exactitud.

Definiciones de ErrorDefiniciones de Error


Valor verdadero = Valor Aproximado + error

Esta definición no toma en cuenta el orden de magnitud del valor que se estima. Por ejemplo, un error de 1 cm es mucho más significativo si se está midiendo un remache en lugar de un puente.

Et = Valor verdadero - Valor Aproximado



Para solucionar este problema se puede normalizar el error respecto al valor verdadero.

*100 trel

error verdaderoEvalor verdadero

=

Se denota como error relativo porcentual verdadero.Sin embargo, en las situaciones reales no se tienen dichos valores verdaderos.



Para solucionar este problema se hace uso de la mejor estimación posible.

*100 a

error apróximadoEvalor apróximado

=

Se denota como error relativo aproximado.También cuando existen involucrados procesos iterativos existe una expresión asociada.



Para relacionar las iteraciones:

*100 a

aproximación actual aproximación anteriorEaproximación actual

−=

El signo no influye pero si la magnitud y las cifras significativas asociadas:

a sE E< ( )20.5*10 %nsE −=



Otros tipos de errores son:

• Errores de redondeo: overflow – underflow• Errores aleatorios• Error de truncamiento

Caso AplicadoCaso Aplicado


Aplicación al flujo de un fluido incompresible 1D monofásico.

Se desea calcular las tasas (de inyección y de producción) y la distribución de presiones para el siguiente sistema:

60 ft

420 ft2

2

2

2001200

600 /

100 /

x

iny

pro

k mDcp

A ftP lb ft

P lb ft

μ=

=

=

=

=



Suposiciones:

- Sistema lineal- Medio homogéneo- Fluido incompresible

( )K qtρφα ρ α α

μ⎛ ⎞ ∂

−∇ ⋅ ∇Φ = ±⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠► Ecuación fundamental de flujo de fluidos.




Dadas las características del sistema se usan las presiones de inyección y de producción para calcular el flujo a través de todas las celdas.

360XΔ =

iny proP P PΔ = −

KA Pqx

ψμ

Δ=

Δ1,127ψ = 2

3

//

k DP lb ftq STBD ft

→

→

→




(0, 2)(1,127)(200)(600 100)(1,0)(360)

KA Pqx

ψμ

Δ −= =

Δ

62q Blsd=

iny prodq q= −

Dadas las condiciones entonces:





21 1

2 2

2i i iP P PPx x

+ −− +∂≈

∂ Δ

( )K qtρφα ρ α α

μ⎛ ⎞ ∂

−∇ ⋅ ∇Φ = ±⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

2

2 0Px

∂=

∂

Ecuación resultante una vez hechas las simplificaciones respectivas.




21 1

2 2

2i i iP P PPx x

+ −− +∂≈

∂ Δ i i+1i-1

2 3

2 3 4

3 4 5

4 5 6

5 6

2 6002 0

2 02 0

2 100

P PP P P

P P PP P P

P P

− = −− =

− =− =

− = −




2

3

4

5

6

516,67433,33

350266,67183,33

P psiP psiP psiP psiP psi

=====

El perfil de presión resultante será:

Atribución No Comercial 2.5 Colombia

Usted es libre de:

• Copiar, distribuir, exhibir y ejecutar la obra.• Hacer obras derivadas.

Bajo las siguientes condiciones:

Atribución. Usted debe atribuir la obra en la forma especificada por el autor o licenciante.

No comercial. Usted no puede usar esta obra con fines comerciales.

Sus usos legítimos u otros derechos no son afectados de ninguna manera por lo dispuesto precedentemente.

Este es un resumen legible-por-humanos del Código Legal (Licencia Completa).

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