Clase18Abril-EstrategiasVoraces

7/21/2019 Clase18Abril-EstrategiasVoraces

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Algoritmos voraces(Greedy algorithms)


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Algoritmos voraces

Tambin conocidos como algoritmos vidos omiopes

Su caracterstica es que toman decisiones basndoseen la informacin que tienen en forma inmediata, sintener en cuenta los efectos que esto pueda tener en

el futuro, es decir, nunca reconsidera su decisin, seacual fuera la situacin que ocurrir ms adelante

Se confa que la decisin tomada sea la mejor para la

solucin general del problema...


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Algoritmos voraces

Utiliados en aplicaciones de optimiacin...

Son algoritmos fciles de dise!ar " de implementar pero NOsiempre llevan a una solucin correcta del

problema

#uando si obtienen la solucin correcta, lo $acen deuna manera eficiente Sin embargo, es difcil demostrar formalmente cuando

un algoritmo vora es correcto o no...


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Ejemplo: cambio

%l cliente compra unamercancia de &' pesos "

paga con ()** +a" que dar pesos

con monedas de (&*,()*, (- " ()

Se considera ptima lasolucin que entreguelas menos monedas.


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Algoritmo cambio

epetir/ %legir la moneda ms grande que no supere el cambio a entregar 0asarla al montn del cambio

+asta que se alcance el cambio e1acto 2o no se

pueda3

Seleccin

Factibilidad

Verificacin de la solucin


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Ejemplo cambio

Tomar moneda de/ 4levamos/ &* 5 &*

&* 5 6* &* 5 7* )* 5 * - 5 -

) 5 7 ) 5


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Estructura general de un

algoritmo voraz Se apo"a en un conjunto original de datos 2C3, " el

conjunto resultante que contendr la solucin 2S3

S =

Mientras C y no se haya encontrado la solucin:

x = seleccinde mejor candidato de C C = C - {x}

si esfactibleS {x} entonces S = S {x}

Si S tiene la solucindevolver S, sino, no hay solucin


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El problema del rbol de

extensin mnima 8ado un grafo no dirigido " ponderado Cul es el costo MNIMO para tener a todos los

vrtices conectados? 4a solucin del problema, implica que se obtenga un

subgrafo del grafo original, en el que 9: se tengan

ciclos por lo tanto, la solucin obtiene un ;?9 @A9>@B por la optimiacin

que se realia.


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Ejemplo

C#mo puedo tener conectadas a las siguientesciudades por un costo mnimoD

Monterrey

Reynosa

Tampico

Cd. Victoria

Saltillo

Mxico DF

4!"

"#

$%&

#!#$


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Ejemplo

C#mo puedo tener conectadas a las siguientesciudades por un costo mnimoD

Monterrey

Reynosa

Tampico

Cd. VictoriaSaltillo

Mxico DF

4!"

"#

$%&

#!#$


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Algoritmo general paraobtener el !rbol de extensin

mnima Sea el grafo E F 2G, B3 en donde G es el conjunto de

vrtices " B el conjunto de arcos de la forma !vi, vj".

S =

Mientras !no se haya resuelto el #ro$lema"

Seleccionar un arco de % de acuerdo a cierta #ol&tica de

o#timi'acin --> SELECCION Si al a(re(ar ese arco a S no (enera un ciclo en el su$(ra)o,a(re(arlo a S --> FC!I"ILI##

Si !*,S" cu$re todos los v+rtices, el #ro$lema se ha resuelto --

> $E%IFICCI&N #E L SOL'CI&N

a )orma en ue se

hace la seleccindetermina el al(oritmo

es#ec&)ico


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Algoritmo de "rim

S =

. = {v/}


Seleccionar el v+rtice de *-. ue sea el m0s

cercano !menor #eso" a al(uno de los v+rtices

en .%(re(ar el v+rtice a .

%(re(ar el arco corres#ondiente a S

Si . = * el #ro$lema se ha resuelto


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Ejemplo

S =

. = {v%}*-. = {v1, vC, v2, v3}

Seleccionar el arcode menor costo de

. a *-.7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


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Ejemplo

S = {!v%, v1"}

. = {v%,,v1}*-. = {vC, v2, v3}

Seleccionar el arcode menor costo de

. a *-.7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


15/42

Ejemplo

S = {!v%, v1",!v1, v3"}

. = {v%,,v1, v3}*-. = {vC, v2}

Seleccionar el arco demenor costo de . a

*-.7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


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Ejemplo

S = {!v%, v1",!v1, v3",

!v3, vC"}. = {v%,,v1, v3, vC}

*-. = {v2}

Seleccionar el arco de

menor costo de . a

*-.

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


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Ejemplo

S = {!v%, v1",!v1, v3",

!v3, vC", !vC, v2" }

. = {v%,,v1, vC, v2, v3}

*-. =

4uesto ue . es i(ual a

*, se ha encontrado

la solucin7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


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#mplementacin "rim

%structuras de datos/

H/ @atri de ad"acencias.

nearestIiJ/ >ndice del vrtice de K ms cercano a vi.

distanceIiJ/ peso del arco entre vi" el vrtice de

nearestIiJ.


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#deas algoritmo

Se inicialia nearestIiJ con ) "distanceIiJ con HI)JIiJ.

Sigue el ciclo para n5) vrtices que pasan a K Se encuentra el mnimo de distanceIiJ, el ndice es

vnear.

Se a!ade a L el vrtice entre vnear " nearestIvnearJ Se $ace distanceIvnearJ F 5) 2pasa a K3 Se actualian distance " nearest


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$omplejidad

8os ciclos, cada uno con n5) iteraciones dentrode un MrepeatN

4a complejidad no depende de los datos, " es&2n5)32n5)3, o sea de orden :2n&3


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Algoritmo de %rus&al

S =

. = su$conjuntos disjuntos de *, cada uno con cada uno de

los v+rtices de *

5rdenar los arcos en % en )orma ascendente de acuerdo a

su #eso


Seleccionar el si(uiente arco de %

Si el arco conecta 6 v+rtices de ., unir los su$conjuntos y

a7adir el arco a S

Si todos los su$conjuntos se han unido, el #ro$lema se ha

resuelto


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Ejemplo

S =

. = {{v%} {v1} {vC} {v2} {v3}}

% = {!v%, v1", !vC, v3", !v1, v3",

!vC, v2", !v2, v3", !v1, vC", !v%,

v2", !v%, vC"}

Seleccionar el arco de menor

costo de % y si une a dos

su$conjuntos de ., unirlos y

a(re(ar el arco a S

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


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Ejemplo

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6

S = {!v%, v1"}

. = {{v%,v1} {vC} {v2} {v3}}

% = {!vC, v3", !v1, v3", !vC, v2",

!v2, v3", !v1, vC", !v%, v2", !v%,

vC"}

Seleccionar el arco de menor

costo de % y si une a dos


a(re(ar el arco a S


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Ejemplo

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6

S = {!v%, v1", !vC, v3"}

. = {{v%,v1} , {vC,v3} {v2}}

% = {!v1, v3", !vC, v2", !v2, v3",

!v1, vC", !v%, v2", !v%, vC"}

Seleccionar el arco de menorcosto de % y si une a dos


a(re(ar el arco a S


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Ejemplo

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6

S = {!v%, v1", !vC, v3", !v1, v3"}

. = {{v%,v1 ,vC,v3} {v2}}

% = {!vC, v2", !v2, v3", !v1, vC",

!v%, v2", !v%, vC"}

Seleccionar el arco de menorcosto de % y si une a dos


a(re(ar el arco a S


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Ejemplo

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6

S = {!v%, v1", !vC, v3", !v1, v3" ,

!vC, v2"}

. = {{v%,v1 ,vC, v2,v3}}

% = {!v2, v3", !v1, vC", !v%, v2",

!v%, vC"}

4uesto ue . slo contiene un

su$conjunto con todos los

v+rtices, S contiene la

solucin


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#mplementacin de los

algoritmos equieren de un tipo de dato conjunto, que permita

trabajar con las operaciones de conjuntos 2unin,

diferencia, a!adir3. (ri)se apo"a en la matri de transiciones, " en

arreglos au1iliares (ver detalle en libro).

*rus+alrequiere de la implementacin del tipo de datoconjunto disjunto (ver detalle en libro).

4os ,E(Spueden a"udar a obtener otras versiones

eficientes de implementacin.


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'$mo se comprueba uelos algoritmos son

correctos %n el caso de la prora)aci.n din)ica, basta

comprobar que se cumple el principio de optimalidad

para saber que se tiene un algoritmo vlido %n el caso de divide / vencers, la recursividad est

fundamentada, " comprueba la valide del

algoritmo %n el caso de alorit)os voraces, se requiere una

demostracin matemtica especfica dependiendo del

problema, " normalmente es ms compleja (ver


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'$mo es elcomportamiento de los

algoritmos (ri)es un algoritmo con un comportamiento igual

para todos los casos, que tiene una complejidad de

tiempo de orden O0n12, siendo nla cantidad devrtices en el grafo (ver detalle en el libro).

*rus+ales un algoritmo en el que influ"e la cantidad

de arcos en su comportamiento. Su peor caso, tieneuna complejidad de tiempo de orden O0n1lo1n2oO0) lo1)2, siendo nla cantidad de vrtices " mla

cantidad de arcos (ver detalle en el libro).


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'$ul de los dosalgoritmos es mejor

utilizar C#untos arcos puede tener un grafo no dirigido

conectado de nvrticesD @>9>@:/ n - 1 arcos @B=>@:/ n (n - 1) / 2 arcos

Prim O(n2)vs. Kruskal O(m log2m)

0or lo tanto, para un grafo con pocos arcos, *rus+alresultar ms eficiente, "

para un grafo mu" denso 2altamente conectado3, (ri)

funcionar mejor...


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E*E+",-

# "

! 4 %

& ' $ #(

!"

#(

4

#'

$ #"

%

"'

"!

4#&

# "

! 4 %

& ' $ #(

!"

#(

4

#'

$ #"

%

"'

"!

4#&

%./0%A,

".#+


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El problema del

camino ms corto COu pasara si en determinada aplicacin se requiere

conocer el camino ms corto de un vrtice a otroD

%lAlgoritmo de Floydobtiene el camino ms corto deT:8:S los vertices $acia T:8:S los vrtices " tieneun comportamiento de O0n32

Si slo se requiere el anlisis para un slo camino,Cpodra $acerse de una manera ms eficienteD SI la propuesta delAlgoritmo de Dijkstraresuelve el

problema en O0n1

2.


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Algoritmo de 1ij&stra

S =

. = {v/}


Seleccionar el v+rtice de *-. ue ten(a el caminom0s corto desde v/usando slo a los v+rtices en .

como intermediarios

%(re(ar el v+rtice a .

%(re(ar el arco ue lle(a a al v+rtice seleccionado

a S

Si . = * el #ro$lema se ha resuelto


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Ejemplo

S =

. = {v%}

*-. = {v1, vC, v2, v3}

Seleccionar el v+rtice de

*-. ue ten(a el

camino m0s corto

desde v%, #asando #or

los v+rtices de .

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


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Ejemplo

S = {!v%, v1"}

. = {v%, v1}*-. = {vC, v2, v3}


*-. ue ten(a el

camino m0s corto


los v+rtices de .

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


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Ejemplo

S = {!v%, v1",!v1, v3"}

. = {v%, v1, v3}*-. = {vC, v2}


*-. ue ten(a el

camino m0s corto


los v+rtices de .

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


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Ejemplo

S = {!v%, v1" ,!v1, v3",

!v3

, vC

"}

. = {v%, v1, vC, v3}

*-. = {v2}


*-. ue ten(a el

camino m0s corto


los v+rtices de .

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


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Ejemplo

S = {!v%, v1" ,!v1, v3",

!v3

, vC

", !v%

, v2

" }

. = {v%, v1, vC, v2, v3}

*-. =

4uesto ue . es i(ual a

*, se ha encontrado

la solucin

7

A B

C

D E

2

59

310

12

6


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#mplementacin del

Algoritmo de 1ij&stra Utilia a la matri de ad"acencias del grafo 2H3. Se au1ilia de un arreglo L, inde1ado de & a n, en donde

guardar la longitud de los caminos ms cortos delvrtice v/al vrtice vi, usando slamente a los vrtices

del conjunto K como intermediarios.

Se au1ilia de un arreglo !, inde1ado de & a n, en dondeguardar el ndice del vrtice v, cu"o arco !v,vi"es elPltimo arco en el camino ms corto de v/a viusando

solamente a los vrtices del conjunto K comointermediarios.


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S = 8

)or !i = 68 i


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e = arco )ormado #or vmin; y vmin8

%7adir e a S8

)or !i=68 i


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2rabajo 3: +ximo 4

personas 0rogramar en 0"ton, Qava, #, #RR, los

algoritmos de 0rim, rusal " 8istra. 4uego

#ompararlos terica como empricamente. Lec$a %ntrega/ * @a"o &*)- V )-/'* +rs %ntregar #digo e >nforme del trabajo.

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