Clase3_IEInteresNominalEfectivo

Interés Nominal y Efectivo 1 Docente Mg. Ing. J. Paredes C.

UNIVERSIDAD SAN PEDRO Ingeniería Informática y de Sistemas

Ingeniería Económica

TASAS DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS

FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

En el capítulo 1 aprendimos que la diferencia fundamental entre el interés simple y el interés compuesto consiste en

que el interés compuesto incluye el interés sobre el interés ganado en el periodo anterior, mientras que el interés

simple no lo incluye.

Aquí analizaremos las tasas de interés nominal y efectiva, que implican la misma relación básica. En este caso la

diferencia estriba en que los conceptos de nominal y de efectivo se deben aplicar cuando se calcula el interés

compuesto más de una vez al año. Por ejemplo, si una tasa de interés es de 1 % mensual, deben tomarse en cuenta los

términos nominal y efectivo para las tasas de interés.

Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de la ingeniería y de

las finanzas personales. Los proyectos de ingeniería, según se estudiaron en el capítulo 1, se financian a través de

deuda y de capital propio. Los intereses por préstamos, hipotecas, bonos y acciones se basan en tasas de interés

compuesto para periodos más frecuentes que un año. Un estudio de ingeniería económica debe tomar en cuenta esos

efectos. En nuestras finanzas personales, administramos la mayoría de nuestros desembolsos e ingresos de efectivo

para periodos distintos a un año. De nuevo, se presenta el efecto de los cálculos de interés compuesto para periodos

más frecuentes que un año. Primero analicemos una tasa de interés nominal.

Tasas nominales y efectivas de interés: La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo

resultado que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la característica de ser

simultáneamente nominal y efectiva.

La tasa de interés nominal, r, es una tasa de interés que no considera la capitalización de intereses. Por definición,

R = tasa de interés por periodo número de periodos (4.1)

Una tasa nominal puede fijarse para cualquier periodo: 1 año, 6 meses, 1 trimestre 1 mes, 1 semana, 1 día, etcétera.

La ecuación (4.1) se aplica para calcular el valor equivalente de para cualquier periodo menor o mayor. Por ejemplo,

la tasa nominal de r = 1.5% mensual es la misma que cada una de las siguientes tasas:

Observe que ninguna de estas tasas nominales menciona la frecuencia de la composición.

Todas ellas tienen la forma: "r% por periodo de tiempo t".

Ahora consideremos una tasa de interés efectiva.




La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo establecido. La tasa de interés

efectiva toma en cuenta la acumulación del interés durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Por

lo general, se expresa como tasa anual efectiva pero se puede utilizar cualquier periodo como base.

Tasa Efectiva: Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas

de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas.

La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en

determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa

globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera

implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica.

Las tasas nominales y efectivas, tienen la misma relación entre sí que el interés simple con el compuesto. Las

diferencias están manifiestas en la definición de ambas tasas.

Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas de interés

nominales sean convertidas a tasas efectivas. Por definición de la palabra nominal «pretendida, llamada, ostensible o

profesada» diríamos que la tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva.

La frecuencia de capitalización de la tasa efectiva se incluye en el enunciado de la tasa nominal. Si la frecuencia de

capitalización no se menciona explícitamente, se considera que es la misma que el periodo de r, en cuyo caso las

tasas nominal y efectiva poseen el mismo valor. Los siguientes enunciados corresponden a tasas nominales; sin

embargo, los valores de las tasas de interés efectivas no serán los mismos durante todos los periodos, como

consecuencia de las diferentes frecuencias de capitalización.

4% anual, compuesto mensualmente (composición más frecuente que el periodo establecido)

12% anual, compuesto trimestralmente (composición más frecuente que el periodo establecido)

9% anual, compuesto diariamente (composición más frecuente que el periodo establecido)

3% cuatrimestral, compuesto mensualmente (composición más frecuente que el periodo establecido)

6% semestral, compuesto semanalmente (composición más frecuente que el periodo establecido)

3% trimestral, compuesto diariamente (composición más frecuente que el periodo establecido)

Observe que estas tasas hacen mención de la frecuencia de capitalización. Todas tienen la forma: "r% por periodo de

tiempo t, compuesto m-mente". La m corresponde a un mes, trimestre, semana, o alguna otra unidad de tiempo. La

fórmula para calcular el valor de la tasa de interés efectiva para cualquier enunciado de tasa nominal o efectiva, se

estudia en la siguiente sección.

Para tomar en cuenta debidamente el valor del dinero en el tiempo, todas las fórmulas de interés, factores,

valores tabulados y relaciones de hoja de cálculo deben incluir la tasa de interés efectiva.

Por lo tanto, es primordial determinar la tasa de interés efectiva antes de realizar los cálculos del valor del dinero en

el tiempo para un estudio de ingeniería económica.

Esto es especialmente cierto cuando se presenta flujos de efectivo en intervalos de tiempo distintos de un año.

Las siglas TPA y RPA se utilizan en muchas situaciones financieras individuales en lugar de las tasas de interés

nominal y efectiva. La tasa porcentual anual (TPA) es la misma que la tasa de interés nominal, y el rendimiento

porcentual anual (RPA) se utiliza en lugar de la tasa de interés efectiva. Las definiciones e interpretaciones de este

capítulo son las mismas para estos términos.

Sobre la base de estas descripciones, siempre hay dos unidades de tiempo asociadas con un enunciado relativo a una

tasa de interés.

Periodo de tiempo, es el periodo en el que se expresa el interés. Ésta es la t del enunciado de r% por periodo de

tiempo t; por ejemplo, 1% mensual. La unidad de tiempo de un año es por mucho la más común, de ahí que se

suponga así cuando no se especifica otra unidad.




Periodo de capitalización o composición (PC), es la unidad de tiempo más corta durante la que se paga o gana

interés, el cual se identifica por el término capitalización (o composición) en el enunciado de la tasa, por ejemplo 8%

anual compuesto mensualmente. Si no se especifica, entonces se supone que es de 1año.

Frecuencia de composición, es el número de veces que la capitalización m ocurre dentro del periodo de tiempo t. Si

los periodos de capitalización PC y de tiempo t son los mismos, la frecuencia de capitalización es 1, por ejemplo

1% mensual compuesto mensualmente.

Considere la tasa de 8% anual, capitalizable mensualmente. Tiene un periodo de tiempo t de 1año, un periodo de

capitalización PC de 1mes, y una frecuencia de m de 12 veces por año. Una tasa de 6% por año, capitalizable en

forma semanal, tiene t = 1 año, PC = 1 semana, y m = 52, con base en el estándar de 52 semanas por año.

En temas anteriores, todas las tasas de interés tenían valores de t y m de un año. Esto significa que las tasas eran tasas

efectivas y nominales, en virtud de que se utilizaba la misma unidad de un año. Se acostumbra expresar la tasa

efectiva sobre la misma base de tiempo que el periodo de composición. La tasa efectiva correspondiente por PC se

determina mediante la fórmula

Tasa efectiva por PC =

(4.2)

Como ejemplo, suponga que r = 9% anual, compuesto mensualmente; así, m = 12.

La ecuación (4.2) se aplica para obtener la tasa efectiva de 9%/12 = 0.75% mensual, con un periodo de composición

mensual. Es importante observar que el cambio del periodo fundamental t no altera el periodo de composición, que

en este caso es un mes.

Ejemplo

A continuación se listan las diferentes tasas de préstamo bancario para tres proyectos distintos de equipo de

generación de electricidad. Determine en cada inciso la tasa efectiva considerando el periodo de composición.

a) 9% anual, compuesto trimestralmente.

b) 9% anual, compuesto mensualmente.

e) 4.5% por 6 meses, compuesto semanalmente.

Solución

Aplique la ecuación (4.2) para calcular la tasa efectiva por PC para diferentes frecuencias de composición. La gráfica

adjunta indica la distribución de la tasa de interés en el tiempo.




A veces no es evidente si la tasa establecida es nominal o efectiva. Básicamente existen tres formas de expresar las

tasas de interés, como lo indica la tabla 4.1. La columna de la derecha contiene el enunciado relativo a la tasa de

interés efectiva.

Para el primer formato, no hay enunciado para las tasas nominal o efectiva; aunque el periodo de composición está

definido. Debe calcularse la tasa efectiva (lo cual se analiza en las siguientes secciones). En el segundo formato, la

tasa establecida se identifica como efectiva (también se le denomina RPA), así que la tasa se utiliza directamente en

los cálculos.

En el tercer formato, no se identifica la frecuencia de composición; por ejemplo, 8% anual. En tal caso, dicha tasa es

efectiva exclusivamente durante el periodo (de composición) de un año. Para cualquier otro periodo, debe calcularse

la tasa efectiva.

4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS ANUALES En esta sección sólo se estudiarán las tasas de interés efectivas anuales. Por lo tanto, el periodo fundamental t será de

un año, y el periodo de composición puede ser cualquier periodo menor a un año. Por ejemplo, una tasa nominal de

6% anual compuesta trimestralmente equivale a una tasa efectiva de 6.136% anual. Hasta ahora éstas son las tasas

más empleadas en la industria y los negocios. Las literales utilizadas para representar las tasas de interés nominal y

efectiva son las siguientes:

r = tasa de interés nominal anual

m = número de periodos de capitalización o composición por año

i = tasa de interés efectiva por periodo de composición (PC) = r/m




ie = tasa de interés efectiva anual

Como se señaló antes, el análisis de las tasas de interés nominal y efectiva es análogo al del interés simple y

compuesto. Como en el caso del interés compuesto, una tasa de interés efectiva en cualquier punto del año incluye

(capitaliza) la tasa de interés de todos los periodos de composición previos del año. Por lo tanto, la deducción

de una fórmula para la tasa de interés efectiva es semejante a la lógica que se sigue para establecer la relación del

valor futuro F = P(1 + i)n

El valor futuro F al final de año es el principal P más los intereses acumulados P(i) durante el año. Puesto que el

interés se puede capitalizar varias veces durante el año, se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos

la fórmula para F al final de año.

(4.3)

Como lo indica la figura 4.1, la tasa i por PC debe capitalizarse durante todos los m periodos para obtener el efecto

total de la capitalización al final del año. Esto significa que F también se representa de la siguiente manera:

(4.4)

Considere el valor F para un valor presente P de $1. Igualando estas dos expresiones para F y sustituyendo P por $1,

se obtiene la fórmula para la tasa de interés anual efectiva ie.

(4.5)

Así, la ecuación (4.5) sirve para calcular la tasa de interés anual efectiva para cualquier número de periodos de

composición cuando i es la tasa para un periodo de composición.

Si la tasa anual efectiva ie, y la frecuencia de composición m tienen valores conocidos, la ecuación (4.5) se resuelve

para i y se determina la tasa de interés efectiva por periodo de composición.

(4.6)

Además, es posible determinar la tasa anual nominal r utilizando la definición de i antes dada, es decir,




(4.7)

Esta expresión es la misma que la ecuación (4.1), donde PC representa el periodo de tiempo.

Ejemplo 1: Jacki obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco nacional (MBNA), con una tasa establecida de

18% anual y un periodo de composición mensual. Para un saldo de $1 000 al principio del año, calcule la tasa anual

efectiva y el adeudo total al banco MBNA después de un año, tomando en cuenta el hecho de que no se efectúa

ningún pago durante el año.

Solución

Hay 12 periodos de composición por año. Por lo tanto, m = 12 e i = 18%/12 = 1.5% mensual. Si el saldo de $1 000

no se reduce durante el año, se aplica la ecuación (4.5) y enseguida la ecuación (4.3) para obtener la información

necesaria para Jacki.

F = $ 1000(1.19562) = $ 1195.62

Jacki pagará 19.562%, o $195.62 más los $1 000 del saldo, por la utilización del dinero del banco durante el año.

En la tabla 4.2 se utiliza la tasa de 18% anual, capitalizada durante diferentes periodos (anuales a semanales), para

determinar las tasas de interés anuales efectivas durante estos periodos de composición diversos. En cada caso, la

tasa del periodo de composición i se aplica m veces durante el año. Mediante la ecuación (4.5), la tabla 4.3 resume la

tasa anual efectiva para tasas nominales utilizadas con frecuencia.

En los cálculos se utiliza un total de 52 semanas y 365 días por año. En la sección 4.8 se analizan los valores de la

columna correspondiente a la composición continua.

Cuando se aplica la ecuación (4.5) el resultado normalmente no es un entero.

Por consiguiente, un factor de ingeniería económica no puede obtenerse directamente de las tablas de factores de

interés. Existen tres alternativas para determinar el valor del factor.

Se lleva a cabo una interpolación lineal entre dos tasas tabuladas (según se indica en la sección 2.4).

Se utiliza la fórmula del factor sustituyendo i por ie•

Se crea una hoja de cálculo utilizando ie o i = r/m en las funciones, según lo requiera la función de la hoja de

cálculo.

En los ejemplos resueltos a mano se emplea el segundo método y el último en las soluciones por computadora.

4.3 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA CUALQUIER PERIODO

Ya se presentaron los conceptos de tasas de interés anual efectiva y nominal. Ahora, además del periodo de

composición (PC), es necesario considerar la frecuencia de los pagos o ingresos; es decir, el periodo de transacción

de flujo de efectivo. Por sencillez, éste recibe el nombre de periodo de pago (PP). Es importante distinguir entre el

periodo de composición y el periodo de pago, ya que muchas veces no coinciden. Por ejemplo, si una compañía

deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de interés nominal de 14% anual, con un

periodo de composición semestral, el periodo de pago es de un mes, mientras que el periodo de composición es de 6

meses (figura 4.3). Asimismo, si una persona deposita dinero cada año en una cuenta de ahorros con un interés

compuesto trimestral, el periodo de pago es de un año, mientras que el periodo de composición es de 3 meses.




Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan con mayor frecuencia que la anual, es decir, PP < 1 año, en

las fórmulas de la ingeniería económica debe utilizarse la tasa de interés efectiva durante el PP. La fórmula de la tasa

de interés anual efectiva se generaliza fácilmente para cualquier tasa nominal, sustituyendo la tasa de interés del

periodo por r/m en la ecuación (4.5).

(

)

(4.8)

Donde,

r = tasa de interés nominal por periodo de pago (PP)

m = número de periodos de composición por periodo de pago (PC por PP)

En lugar de ie, esta expresión general utiliza la literal i para representar el interés efectivo. Este hecho coincide con

los diferentes usos que se le dan a i en el resto de del curso. Gracias a la ecuación (4.8), es posible tomar una tasa

nominal (r% anual o cualquier otro periodo) y convertirla en una tasa efectiva i para cualquier periodo que se defina

como base, el más común de los cuales es el periodo PP. Los siguientes 2 ejemplos ilustran cómo hacerlo.

Ejemplo 2: Visteon, una compañía que salió de la Ford Motor Company, abastece de partes importantes de

automóvil a los fabricantes de automóviles alrededor del mundo, y constituye el abastecedor más importante de la

Ford. Un ingeniero pertenece al comité de Visteon que evalúa propuestas para incorporar maquinaria de medición de

coordenadas, de la nueva generación, a la fabricación automática de partes de alta precisión. Tres propuestas de

venta incluyen las tasas de interés que aparecen a continuación. Visteon hará pagos semestrales exclusivamente. El

ingeniero se encuentra confundido respecto de las tasas de interés efectivas (su valor anual y durante el periodo de

pago de 6 meses).

Propuesta núm. 1: 9% anual, compuesto trimestralmente

Propuesta núm. 2: 3% trimestral, compuesto trimestralmente

Propuesta núm. 3: 8.8% anual, compuesto mensualmente

a. Determine la tasa efectiva de cada propuesta si se harán pagos semestrales, y construya diagramas de flujo de

efectivo semejantes a los de la figura 4.3 para las tasas de las diferentes propuestas.

b. ¿Cuáles son las tasas anuales efectivas? Éstas formarán parte de la elección de la propuesta final.

c. ¿Qué propuesta incluye la tasa anual efectiva más baja?

Solución

a. Fije el periodo de pago (PP) a 6 meses, convierta la tasa nominal r% a una tasa semestral y, luego, determine m.

Por último, aplique la ecuación [4.8] para calcular la tasa de interés semestral efectiva i. Para la propuesta 1, los

cálculos correctos son los siguientes:

PP = 6 meses

r = 9% anual = 4.5% durante 6 meses

m = 2 trimestres durante 6 meses

(

)

La tabla 4.4 (sección de la izquierda) resume las tasas semestrales efectivas de las tres propuestas. La figura 4.4a

representa el diagrama de flujo de efectivo de las propuestas 1 y 2, los pagos semestrales (PP = 6 meses) y el periodo

de composición trimestral (PC = 1 trimestre). La figura 4.4b es la misma para el periodo de composición mensual

(Propuesta 3).




b. Para la tasa anual efectiva, el periodo básico en la ecuación [4.8] es de un año. Éste es igual a PP = 1 año. Para la

propuesta 1, r = 9% anual m = 4 trimestres por año

(

)

La sección de la derecha de la tabla 4.4 presenta un resumen de las tasas anuales efectivas.

c. La propuesta 3 incluye la tasa anual efectiva menor de 9.16%, que equivale a una tasa semestral efectiva de

4.48%

Comentario

Las tasas efectivas de la propuesta 2 sólo se pueden encontrar directamente en la tabla 4.3.

Para determinar la tasa semestral efectiva, localice la línea de la tasa nominal de 6% bajo m = 2, que representa el

número de trimestres durante 6 meses. La tasa semestral efectiva es 6.09%. Asimismo, en el caso de la tasa nominal

de 12%, hay m = 4 trimestres por año; por lo que la tasa anual efectiva i = 12.551 %. Aunque la tabla 4.3 se diseñó

originalmente para tasas anuales nominales, es adecuada para otros periodos de tasa nominal, siempre y cuando se

incluya el valor apropiado de m en los encabezados de columna.

Problema: Una compañía punto-com planea invertir dinero en un nuevo fondo de capital riesgoso, que actualmente

reembolsa 18% anual con un periodo de composición diario. ¿Cuál es el valor de la tasa de interés efectiva anual y

semestral?

RELACIONES DE EQUIVALENCIA: COMPARACIÓN ENTRE LA DURACIÓN DEL PERIODO DE

PAGO Y DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN (PP VERSUS PC)

En los cálculos de equivalencia con porcentajes altos, la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la

frecuencia de la capitalización de los intereses. Por ejemplo, los flujos de efectivo pueden ser mensuales, mientras

que la capitalización puede ser anual, trimestral o más frecuente. Considere los depósitos realizados en una cuenta de

ahorros cada mes, cuyos rendimientos tienen un periodo de capitalización trimestral. La duración del PC es de un

trimestre, mientras que la duración del PP es de un mes. Para llevar a cabo correctamente los cálculos de

equivalencia, resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalización y el periodo de pago,

y que en consecuencia la tasa de interés se ajuste.

Las siguientes tres secciones describen los procedimientos para determinar los valores correctos de i y n, para los

factores de la ingeniería económica y las soluciones en hoja de cálculo. Primero se compara la duración del PP y la




duración del PC; después se identifica la serie de flujos de efectivo con pagos únicos (P y F) o con una serie (A, G o

g). La tabla 4.5 contiene las referencias a las diferentes secciones.

Cuando solamente existen pagos únicos, no hay periodo de pago PP definido en sí por los flujos de efectivo. La

duración del PP, por lo tanto, queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de interés. Si la tasa es de 8%

semestral, compuesto trimestralmente, el PP es semestral, el PC es trimestral, y PP > PC.

Observe que las referencias a las diferentes secciones de la tabla 4.5 son las mismas cuando PP = PC y cuando PP >

pe. Las ecuaciones para determinar los valores de i y n son las mismas. Además, la técnica que toma en cuenta el

valor del dinero en el tiempo es la misma, en virtud de que sólo cuando se presentan flujos de efectivo se determina

el efecto de la tasa de interés. Por ejemplo, suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses (PP semestral), y

que el interés tiene un periodo de capitalización trimestral (PC trimestral). Después de 3 meses no hay flujo de

efectivo ni es necesario determinar el efecto de la composición trimestral.

Sin embargo, en el mes 6 es necesario considerar los intereses acumulados durante los dos periodos de composición

trimestrales anteriores.

4.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP PC Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago único, hay dos formas igualmente correctas de

determinar i y n para los factores P/F y F/P. El método 1 es más fácil de aplicar, porque las tablas de interés que

aparecen en la parte posterior del libro por lo común ofrecen el valor del factor. El método 2 quizá requiera cálculos

mediante la fórmula para el factor, ya que la tasa de interés efectiva que resulta no constituye un entero. En el caso

de las hojas de cálculo, cualquier método es aceptable; sin embargo, por lo general el método 1 es más fácil.

Método 1: Se determina la tasa de interés efectiva durante el periodo de composición PC, y se iguala n al número de

periodos de composición entre P y F. Las relaciones para calcular P y F son:

(4.9)

(4.10)

Por ejemplo, suponga que la tasa establecida de la tarjeta de crédito es una tasa efectiva de 15% anual, compuesto

mensualmente. En este caso, PC es igual a un mes. Para calcular P o F a lo largo de un periodo de dos años, se

calcula la tasa mensual efectiva de 15%/12 = 1.25% y el total de meses de 2(12) = 24. Así, los valores 1.25% y 24 se

utilizan para el cálculo de los factores P/F y F/P.

Se puede utilizar cualquier periodo para determinar la tasa de interés efectiva; sin embargo, el PC constituye el mejor

fundamento. El valor del PC es mejor porque sólo a lo largo del PC una tasa de interés efectiva tiene el mismo valor

numérico que la tasa nominal durante el mismo periodo del PC, lo cual se estudió en la sección 4.1 y en la tabla 4.1.

Esto significa que la tasa de interés efectiva durante el PC por lo general es un número entero. Entonces, es posible

utilizar las tablas de los factores que aparecen en la parte posterior de este curso.

Método 2: Se determina la tasa de interés efectiva para el periodo t de la tasa nominal, y sea n igual al número total

de periodos utilizando el mismo periodo. Las fórmulas de P y F son las mismas que las de las ecuaciones [4.9] y

[4.10], salvo que el término i% efectiva por t se sustituye por la tasa de interés.

En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual compuesto mensualmente, el periodo t es 1 año. La tasa de

interés efectiva durante un año y los valores n son:

El factor P/F es el mismo por ambos métodos: (P/F,1.25%,24) = 0.7422, utilizando la tabla 5; y (P/F,16.076%,2) =

0.7422 aplicando la fórmula del factor P/F.

Problema 3: Un ingeniero que trabaja como consultor privado realizó depósitos en una cuenta especial, para cubrir

gastos de viaje no reembolsados. La figura 4.5 muestra el diagrama de flujo de efectivo. Calcule cuánto hay en la

cuenta después de 10 años a una tasa de interés de 12% anual, compuesto semestralmente.

Solución

Sólo interesan los valores de P y F. Ambos métodos se ejemplifican para calcular F en el año 10.




Método 1: Utilice el PC semestral para expresar la tasa efectiva semestral de 6% por cada periodo de 6 meses. Hay n

= (2)(número de años) periodos semestrales por cada flujo de efectivo. Utilizando los valores de los factores de la

tabla 11, se observa que el valor futuro, por medio de la ecuación (4.10), es

Método 2: Exprese la tasa efectiva anual con base en un periodo de composición semestral

El valor de n es el número real de años. Utilice la fórmula del factor (F/P, i, n) = (1.1236)

n y la ecuación (4.10) para

obtener la misma respuesta que con el método l.

F= 1000(F/P,12.36%,10)+ 3000(F/P,12.36%, 6)+ 1500(FlP,12.36%,4)

1000(3.2071) + 3 000(2.0122) + 1500(1.5938)

= $11634

Figura 4.5: Diagrama de flujo del ejemplo

EJEMPLO 3.21 Suponga que se invierten $1,000 en una sola exhibición durante 10 años a una tasa nominal de interés del 5%

capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es su valor al final del décimo año?

Existen cuatro periodos de capitalización por año, es decir un total de 4 × 10 = 40 periodos de interés. La tasa de

interés por periodo de interés es 6%/4 = 1.5%. Al sustituir estos valores en la ecuación 3.3, se obtiene

F = P(F/P, 1.5%, 40) = 1000(1.015)40 = 1000(1.814) = 1814.0

Otra forma de resolverlo es con la tasa efectiva de interés, la cual, a partir de la ecuación i =(1+0.06/4)4 – 1, es del

6.14%. Por lo tanto, F = P(F/P, 6.14%, 10) = $1000.00(1.0614)10

= $1814.0.

Ejemplo 4: Si depositamos UM 2,500 ahora, UM 7,500 dentro de 3 años a partir de la fecha del anterior abono y

UM 4,000 dentro de seis años a la tasa de interés del 18% anual compuesto trimestralmente. Deseamos saber cuánto

será el monto acumulado dentro de 12 años.

Solución:

Como sabemos, en las ecuaciones sólo utilizamos tasas de interés efectivas o periódicas, por ello, primero

calculamos la tasa periódica trimestral a partir de la tasa nominal del 18%:

r = 0.18; n = 4; i =?

r = 0.18/4 =0.045 tasa periódica trimestral

Utilizando la tasa periódica de 4.5% por trimestre y luego períodos trimestrales para n, aplicamos sucesivamente la

fórmulas indicadas.




m = (12*4) = 48; (8*4) = 32 y (6*4) = 24

2,500*1.04548

+ 7,500*1.04532

+ 4,000*1.04524

UM 62,857.55

Respuesta:

El monto que habremos acumulado dentro de 12 años, capitalizados trimestralmente es UM 62,857.55

Ejemplo 5: Supóngase que se piden prestados US$1000,00; un prestamista cobra el 12% anual y otro, un 1 %

mensual. Los montos a pagar serían los siguientes:

P1 = 1000.00 (1+0.12) =US$ 1120.00

P2= 1000.00 (1+0.01)12

=1000.00 (1.126825) = USS 1126.25

Se observa que el 12% anual resulta más conveniente. Se concluye que el 1% mensual no equivale al 12% anual,

sino a un 12.68%. La equivalencia se determina con la siguiente fórmula:

Interés Efectivo, Ie = (1 +

)

m – 1

Dónde:

r = tasa interés nominal

m= número de periodos o frecuencia de capitalización

En el ejemplo:

Ie = (1+0.01)12

– 1 = 12.68%

Significa que el 1 % mensual equivale a un 12.68% anual.

4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP PC Cuando se incluyen series gradiente o uniformes en la sucesión de flujo de efectivo, el procedimiento es

esencialmente el mismo que el del método 2 antes expuesto, salvo que ahora PP queda definido por la frecuencia de

los flujos de efectivo. Esto también establece la unidad de tiempo de la tasa de interés efectiva. Por ejemplo, si los

flujos de efectivo son trimestrales, el PP es de un trimestre y, por consiguiente, se necesita una tasa de interés

efectiva trimestral. El valor n es el número total de trimestres. Si PP es igual a un trimestre, 5 años se traducen en un

valor de n de 20 trimestres. Esto constituye una aplicación directa de la siguiente directriz general:

Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo, A, G, g) y el periodo de pago es igualo mayor que el

periodo de capitalización,

• Se calcula la tasa de interés efectiva i por periodo de pago.

• Se determina n como el número total de periodos de pago.

Al llevar a cabo cálculos de equivalencia para series, sólo estos valores de i y n se pueden utilizar en las tablas de

interés, las fórmulas de factores y las funciones de hoja de cálculo. En otras palabras, no hay otras combinaciones

que proporcionen respuestas correctas, como en el caso de los flujos de efectivo de pago único.

La tabla 4.7 muestra la formulación correcta de diversas series de flujo de efectivo y tasas de interés. Observe que n

siempre es igual al número total de periodos de pago y que i es una tasa de interés efectiva que se expresa de acuerdo

con el mismo periodo que n.




Problema 6: Un ingeniero de control de calidad pagó $500 semestrales en los pasados 7 años por el contrato de

mantenimiento del software de una LAN. ¿Cuál es la cantidad equivalente después del último pago, si estos fondos

se obtienen de un consorcio que ha estado reembolsando 20% de intereses anuales con composición trimestral?

Solución

La figura 4.6 muestra el diagrama de flujo de efectivo. El periodo de pago (6 meses) es más largo que el periodo de

capitalización (trimestre); es decir, PP > pc. Si aplicamos la directriz, es necesario determinar una tasa de interés

efectiva semestral. Aplique la ecuación (4.8) con r = 0.10 por cada periodo de 6 meses y m = 2 trimestres por cada

periodo semestral.

(

)

La tasa de interés efectiva semestral también se obtiene de la tabla 4.3 utilizando un valor r de 10% y m = 2 para

llegar a i = 10.25%.

El valor i = 10.25% parece razonable, ya que esperamos que la tasa de interés efectiva sea ligeramente superior a la

tasa de interés nominal de 10%, por cada periodo de 6 meses. El número total de periodos de pagos semestrales es n

= 2(7) = 14. La relación para F es:

F = A(F/A,10.25%,14)

F= 500(28.4891)

F= $14 244.50

Figura 4.6: Diagrama de depósitos semestrales utilizado para determinar el valor de F (ejemplo 6).




Problema 7: Suponga que usted planea adquirir un automóvil y obtiene un préstamo de $12 500 al 9% anual,

compuesto mensualmente. Los pagos deben efectuarse mensualmente durante 4 años. Determine el pago mensual.

Compare las soluciones manual y por computadora.

Solución

Se busca una serie mensual A; los valores de PP y PC son de un mes. Utilice los pasos para PP = PC en el caso de

una serie uniforme. La tasa de interés efectiva mensual es de 9%/12 = 0.75%, y el número de pagos es (4 años)(12

meses por año) = 48.

Introduzca PAGO(9%/12, 48, -12,500) en cualquier celda para que aparezca $311.06 en la pantalla.

La figura 4.7 muestra una hoja de cálculo completa con la función PAGO en la celda B5 de acuerdo con el formato

de referencia a celdas. Este pago mensual de $311.06 equivale a la siguiente solución a mano, empleando la notación

convencional y las tablas de factores.

A = $12 500(A/P,0.75%,48) = 12500(0.02489) = $311.13

Comentario

Es incorrecto usar la tasa anual efectiva de i = 9.381% y n = 4 años, para calcular el valor mensual A, ya sea que la

solución se obtenga a mano o por computadora. El periodo de pago, la tasa de interés efectiva y el número de pagos

deben expresarse sobre la misma base de tiempo, que en este caso es de un mes.

Problema 8: Una compañía SWHP compró un sistema robotizado de prescripción de recetas médicas, para atender

con mayor rapidez y exactitud al paciente, con medicación estable en forma de píldoras. Los pacientes tienen

problemas crónicos de salud, como diabetes, tiroides y presión alta. Suponga que el sistema de alto volumen tiene un

costo de $3 millones de instalación y un costo estimado de $200 000 anuales para materiales, operación, personal y

mantenimiento. La vida esperada es de 10 años. Un ingeniero biomédico de la compañía SWHP desea calcular el

total de ingresos que se requieren por cada periodo semestral para recuperar la inversión, los intereses y los costos

anuales. Determine este valor semestral A a mano y por computadora, si los fondos están evaluados a 8% anual

utilizando dos diferentes periodos de composición:

1. 8% anual, compuesto semestralmente.

2. 8% anual, compuesto mensualmente.

Solución

La figura 4.8 muestra el diagrama de flujo de efectivo. Durante los 20 periodos semestrales, los costos anuales se

presentan cada dos periodos (un periodo sí y otro no); se busca la serie de recuperación de capital para cada periodo

de 6 meses. Este esquema vuelve algo engorrosa la solución a mano si se utiliza el factor P/F, en lugar del factor

P/A, para determinar P en el caso de los 10 costos anuales de $200 000. Se recomienda la solución por computadora

en tales casos.

Solución a mano (tasa 1): A continuación se resumen los pasos para calcular el valor semestral A:

PP = PC a 6 meses; se calcula la tasa de interés efectiva por cada periodo semestral

Figura 4.8 Diagrama de flujos de efectivo con dos diferentes periodos de capitalización (ejemplo 8).

Tasa de interés efectiva semestral i = 8%/2 = 4% por 6 meses, con un periodo de composición semestral.

Número de periodos semestrales n = 2(10) = 20.




Se calcula P, utilizando el factor P/F para n = 2, 4, ..., 20 periodos ya que los costos son anuales, no semestrales.

Después se utiliza el factor A/P a lo largo de los 20 periodos para determinar el valor semestral de A.

Conclusión: se requiere un ingreso de $ 318778 cada 6 meses para cubrir los costos y un interés de 8% anual, con

periodo de composición semestral.

Solución a mano (tasa 2): El PP es semestral; en cambio, el PC ahora es mensual; por lo tanto, PP > PC. Para

calcular la tasa semestral efectiva, la tasa de interés efectiva, ecuación (4.8), se aplica con r = 4% y m = 6 meses por

cada periodo semestral.

Capitalización más frecuente de 8% de interés anual. Observe que todos los factores P/F y A/P implica más cálculos

y es más susceptible al error que la solución en hoja de cálculo.

Ahora se requieren $320 064, es decir, $1 286 más cada 6 meses para cubrir la capitalización P/F y A/P deben

calcularse con las fórmulas de los factores al 4.067%. Este método, por lo general, implica más cálculos y es más

susceptible al error que la solución en hoja de cálculo.

Ejemplo 9: Una compañía punto-com planea invertir dinero en un nuevo fondo de capital riesgoso, que actualmente

reembolsa 18% anual con un periodo de composición diario. ¿Cuál es el valor de la tasa de interés efectiva anual y

semestral?

Solución

a) Aplique la ecuación (4.8), con r = 0.18 y m = 365.

(

)

b) En este caso, r = 0.09 cada 6 meses y m = 182 días.

(

)

La formula de la tasa de interes nominal, conociendo la tasa efectiva

[ √ ]

Ejemplo 10: Un comerciante desea una tasa de rendimiento anual efectiva de 20%, capitalizable mensual, para que

su inversión sea rentable. ¿Cuál es la tasa de interés nominal?

Datos:




[ √ ] = [ √

] = 0.18371364526 = 18.371364526%

4.7 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS SERIES CON PP < PC Si una persona deposita dinero cada mes en una cuenta de ahorros con un interés compuesto trimestral, ¿ganan

intereses todos los depósitos mensualmente antes del siguiente periodo de composición trimestral? Si un banco le

cobra a una persona intereses el día 15 del mes en sus pagos de la tarjeta de crédito, y si la persona hace el pago

completo el día primero, ¿reduce la institución financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado? La

respuesta común es no. Sin embargo, si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir un préstamo

bancario de $10 millones, con un interés compuesto trimestral, el ejecutivo de finanzas de la empresa probablemente

insistiría en que el banco redujera la cantidad de intereses, basándose en el pago anticipado. Éstos constituyen

ejemplos de PP < pc. El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de efectivo entre puntos de

capitalización implica la pregunta de cómo manejar la capitalización interperiódica. Fundamentalmente existen dos

políticas: los flujos de efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un interés compuesto.

En el caso de una política de no intereses interperiódicos, se considera que los depósitos (flujos de efectivo

negativos) se realizan al final del periodo de capitalización; asimismo, se considera que los retiros se hacen al

principio. Como ejemplo, si se tiene un interés compuesto trimestral, los depósitos mensuales se trasladan al final del

trimestre (no se obtienen intereses interperiódicos), y todos los retiros se trasladan al principio (no se pagan intereses

durante todo el trimestre). Tal procedimiento puede alterar significativamente la distribución de los flujos de

efectivo, antes de que se aplique la tasa de interés efectiva trimestral para determinar P, F o A. Esto lleva, en efecto, a

los flujos de efectivo a una situación donde PP = PC, según se analizó en las secciones 4.5 y 4.6. El ejemplo 4.10

ilustra este procedimiento y el hecho económico de que, dentro de un marco temporal de un periodo de

capitalización, no hay ninguna ventaja en intereses si se efectúan pagos anticipados.

Por supuesto, quizá se presenten factores no económicos.

Ejemplo 11: Rob es el ingeniero de coordinación de obra en Alcoa Aluminium, donde se encuentra una mina en

renovación, en la cual un contratista local ha instalado un nuevo equipo de refinamiento de materiales. Rob

desarrolló el diagrama de flujo de efectivo de la figura 4.10a en unidades de $1 000 desde la perspectiva del

proyecto. El diagrama incluye los pagos al contratista que Rob autorizó para el año en curso y los anticipos

aprobados por las oficinas centrales de Alcoa. Rob sabe que la tasa de interés proyectos de campo de equipo como

éstos es de 12% anual, compuesto trimestralmente, y que Alcoa no va a insistir en la capitalización interperiódica de

los intereses. ¿Se encontrarán o no las finanzas del proyecto de Rob en números "rojos" al final del año? ¿Por

cuánto?

Solución

Sin considerar algún interés entre periodos, la figura 4.10b refleja el traslado de los flujos de efectivo. El valor futuro

después de 4 trimestres requiere F a una tasa de interés efectiva trimestral de 12%/4 = 3%. La figura 4.10b muestra

todos los flujos de efectivo negativos (pagos al contratista) trasladados al final del trimestre respectivo, y todos los

flujos de efectivo positivos (ingresos de las oficinas centrales) trasladados al principio del trimestre respectivo.

Calcule el valor de F al 3%.




Rob puede concluir que las finanzas del proyecto en la obra se encontrarán en números rojos por alrededor de

$357600 al final del año.

Si PP < PC y se obtienen intereses por composición entre periodos, los flujos de efectivo no se trasladan; así, los

valores equivalentes P, F o A se determinan utilizando la tasa de interés efectiva por periodo de pago. Las relaciones

de la ingeniería económica se determinan de la misma forma que en las acciones anteriores para PP PC. La

fórmula de la tasa de interés efectiva tendrá un valor menor que 1, ya que tan sólo hay una parte fraccionaria del PC

en un PP. Por ejemplo, los flujos de efectivo semanales y la composición trimestral requieren que m=1/13 de un

trimestre.

Cuando la tasa de interés nominal es de 12% anual, con periodo de composición trimestral (el mismo que 3% cada

trimestre, con composición trimestral), la tasa de interés efectiva por cada PP es

4.8 TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA CAPITALIZACIÓN CONTINUA Si dejamos que la capitalización se presente con más frecuencia cada vez, los periodos de capitalización se van

acortando. Entonces, el valor de es decir, el número de periodos de composición por periodo de pago, aumenta. Esta

situación ocurre en los negocios con una gran cantidad de flujos de efectivo diarios; así, es adecuado considerar




intereses con periodos de capitalización continua. Conforme se aproxima al infinito, la tasa de interés efectiva,

ecuación [4.8], debe expresarse de otra forma. Primero recordemos la definición de la base del logaritmo natural.

(4.12)

La ecuación (4.12) se aplica para calcular la cuando los periodos para y son los mismos. Como ejemplo, si la tasa

anual nominal 15% anual, la tasa de interés efectiva continua anual es

(4.13)

Por conveniencia, la tabla 4.3 incluye tasas de interés efectivas continuas para las tasas nominales listadas.

Ejemplo 12: a) Calcule las tasas de interés anual y efectiva mensual, para una tasa de interés del 18% anual con

composición continua.

b) Un inversionista necesita un rendimiento efectivo de, por lo menos, el 15%. ¿Cuál es la tasa nominal anual

mínima aceptable para la composición continua?

Ejemplo 12: Las ingenieras Marci y Suzanne invierten $5 000 durante 10 años al 10% anual. Calcule el valor futuro

para ambas, si Marci recibe intereses anuales compuestos, y Suzanne, intereses continuos.




En algunas actividades de negocios, los flujos de efectivo se presentan durante el día. Ejemplos de costos son los

costos de energía yagua, costos de inventario y costos de mano de obra. Un modelo realista para estas actividades

consiste en incrementar la frecuencia de los flujos de efectivo para que se tornen continuos. En tales casos, el análisis

económico puede llevarse a cabo para un flujo de efectivo continuo (también denominado flujo continuo de fondos) y

para la composición continua de intereses antes estudiada. Entonces, es necesario derivar expresiones diversas para

los factores. De hecho, las diferencias económicas para los flujos de efectivo continuos, relativos al flujo de efectivo

discreto y a los supuestos de composición discreta, normalmente no son muy grandes. En consecuencia, muchos

estudios de ingeniería económica no exigen al analista que utilice estas formas matemáticas para llevar a cabo la

evaluación apropiada de un proyecto y tomar una decisión.

4.9 TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO Las tasas de interés reales para una corporación varían año con año, dependiendo del estado financiero de la

empresa, de su sector en el mercado, de las economías nacional e internacional, de las fuerzas de inflación y de

muchos otros factores. Las tasas de préstamo pueden incrementarse de un año a otro. Las hipotecas de bienes

inmuebles financiadas mediante un interés de tipo HTA (hipoteca de tasa ajustable) constituyen un buen ejemplo. La

tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada año para que refleje la antigüedad del préstamo, el costo actual del dinero

de la hipoteca, etcétera. Un ejemplo de tasas de interés que se incrementan con el tiempo son los bonos protegidos

contra la inflación, emitidos por el gobierno de Estados Unidos y otras agencias. La tasa de dividendos que paga el

bono permanece constante a lo largo de su periodo de vida; sin embargo, a la cantidad global que se debe al

propietario del bono cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste ascendente, de acuerdo con el índice de

inflación del índice de precios al consumidor (IPC).

Esto significa que la tasa anual de rendimiento se incrementará cada año de acuerdo con la inflación observada.

Cuando los valores de P, F y A se calculan utilizando una tasa de interés constante o promedio, durante la vida de un

proyecto, las alzas y bajas de i son despreciables.

Si la variación de i es grande, los valores equivalentes variarán de manera considerable de aquellos que se calculan

mediante la tasa constante. Aunque un estudio de ingeniería económica puede ajustar matemáticamente los valores

variables de i, los cálculos resultan más complicados.

Para definir el valor de P para los valores del flujo de efectivo futuro (Ft) con diferentes valores de i (it) para cada

año t, supondremos una composición anual. Sea

it = tasa de interés efectiva anual para el año t (t = años 1 a n)

Para determinar el valor presente, se calcula P para cada valor Ft utilizando la it que aplique y sumando los

resultados. De acuerdo con la notación estándar y el factor P/F,




(4.13)

Cuando sólo están involucradas cantidades únicas, es decir, una P y una F en el año final n, el último término de la

ecuación (4.13) es la expresión del valor presente del flujo de efectivo futuro.

P = Fn(P/F,i1,1)(P/F,i2,1)… (P/F,in,1) (4.14)

Si se requiere la serie uniforme equivalente A durante todos los n años, primero se calcula P con cualquiera de las

dos últimas ecuaciones; enseguida se sustituye el símbolo A por cada símbolo F; Ya que el valor equivalente P se

determinó numéricamente utilizando las tasas variables, esta nueva ecuación sólo tendrá una incógnita, A El

siguiente ejemplo ilustra tal procedimiento.

Ejemplo 13: CE, lnc. arrienda equipo pesado para perforación de túneles. Las utilidades netas del equipo para cada

uno de los últimos 4 años han ido disminuyendo, como lo indica la siguiente tabla. Ésta, además, incluye las tasas de

rendimiento anuales sobre el capital invertido. La tasa de rendimiento se ha ido incrementando. Determine el valor

presente P y la serie uniforme equivalente A de la serie de utilidades netas. Tome en cuenta la variación anual de las

tasas de rendimiento.

Solución

La figura 4.11 muestra los flujos de efectivo, las tasas de cada año y los valores equivalentes de P y A. La ecuación

(4.13) se utiliza para calcular P. Ya que para los años 1 y 2 el rendimiento neto es $70 000 y la tasa anual es 7%, el

factor P/A se aplica exclusivamente para estos dos años.




Para determinar una serie anual equivalente, se sustituye el símbolo A por los valores de utilidad neta en la parte

derecha de la ecuación (4.15), que se iguala a P = $ 172816 y se despeja A. Esta ecuación toma en cuenta los valores

variables i de cada año. La figura 4.11 muestra la transformación del diagrama de flujo de efectivo.

Comentario

Si se utiliza el promedio de las cuatro tasas anuales, es decir, 8.25%, el resultado es A =$52467. Esto representa

$690 de presupuesto sobreestimado anual sobre la cantidad equivalente requerida.

Cuando hay un flujo de efectivo en el año O y las tasas de interés varían anualmente, debe incluirse dicho flujo de

efectivo cuando se determina el valor de P.

En el cálculo de la serie uniforme equivalente A durante todos los años, hay que incluir el año 0, ya que es

importante considerar este flujo de efectivo inicial en t = 0.

Esto se logra con la inserción del factor de valor para (P/F, io, 0) en la relación para A. Este factor de valor siempre

es 1.00. También es correcto encontrar el valor A usando una relación de valor futuro para F en el año n. En este

caso, el valor A se determina con el empleo del factor F/P, y el flujo de efectivo en el año n se toma en cuenta con la

inclusión del factor (F/P, io, 0) = 1.00.

Valor presente de una perpetuidad Una perpetuidad es una anualidad con una duración infinita; es una anualidad que nunca deja de proporcionar a su

tenedor una cantidad al final de cada año. Entonces una perpetuidad se define como una serie infinita de pagos de

algún modo constantes, A, y su valor presente P puede expresarse de la siguiente manera:

P =

Siendo P el valor presente de una anualidad perpetua, A la anualidad perpetua, i la tasa de interés

Considérese el siguiente ejemplo:

Ejemplo 14: Una anualidad de US$100 durante a) 10 años y b) perpetua (por siempre), al final de cada año, al 8%.

a. P= 100(P/A,8%, 10) = 100.00(6.7107)= US $671.07

b. P = 100/0.08 = US $1250

El valor presente de una perpetuidad se utiliza para evaluar la factibilidad económica de proyectos con una vida útil

muy larga, como por ejemplo un puente, una autopista, un aeropuerto, inversiones forestales o fideicomisos.

Ejercicios Propuestos

Tasas nominal y efectiva 1. Identifique el periodo de capitalización para los intereses establecidos que siguen: a) 1% mensual; b) 2.5%

trimestral, y c) 9.3% anual, compuestos semestralmente.

2. Identifique el periodo de capitalización para los intereses que siguen: a) 7% nominal anual, compuesto

trimestralmente; b) 6.8% efectivo anual, compuesto mensualmente, y c) 3.4% efectivo trimestral, compuesto

semanalmente.

3. Determine el número de veces que el interés se capitalizaría en 1 año para los siguientes intereses establecidos:

a) 1% mensual; b)2% trimestral, y c) 8% anual, compuestos semestralmente.

4. Para una tasa de interés de 10% anual compuesta trimestralmente, determine el número de veces que se

capitalizaría el interés: a) por trimestre, b) por año y c) en tres años.

5. Para una tasa de interés de 0.50% trimestral, determine la tasa de interés nominal para: a) en un semestre, b)

anual y c) en dos años.

6. Para una tasa de interés de 12% anual capitalizable cada 2 meses, determine la tasa de interés nominal para: a)

4 meses, b) 6 meses y c) 2 años.




7. Para una tasa de interés de 10% por año, compuesto trimestralmente, calcule la tasa nominal por: a) 6 meses y

b) 2 años.

8. Identifique las tasas de interés establecidas como nominales o efectivas: a) 1.3% mensual; b) 1% semanal,

compuesto semanalmente; c) 15% nominal anual, compuesto mensualmente; d) 1.5% efectivo por mes,

compuesto diariamente, y e) 15% anual, compuesto semestralmente.

9. ¿Qué tasa de interés efectiva por 6 meses es equivalente a 14% anual, compuesto semestralmente?

10. Una tasa de interés de 16% anual, compuesto trimestralmente, ¿a qué tasa anual de interés efectivo equivale?

11. Que tasa de interés nominal por año equivale a 16% anual, compuesto semestralmente?

12. ¿Cuál es la tasa de interés efectivo anual que equivale a 18% efectivo anual, compuesto semestralmente?

13. ¿ Qué periodo de capitalización se asocia con anual, respectivamente?

14. Una tasa de interés de 1 % mensual, ¿a qué tasa efectiva por dos meses equivale?

15. Un interés de 12% anual compuesto mensualmente, ¿a cuáles tasas nominal y efectiva por 6 meses equivale?

16. a. Una tasa de interés de 6.8% por periodo qué tasa de interés semanal es equivalente? b. ¿La tasa semanal es

nominal o efectiva?. Suponga 26 semanas por semestre.

17. Si en una cuenta de ahorros que paga el 15% anual se depositan US$ 1000.00 anuales durante 5 años, ¿qué

cantidad se acumularía al final del año 10, si el primer depósito se hizo al final del año 1?

18. ¿Qué cantidad es necesario depositar ahora en una cuenta de ahorros que paga el 10% para acumular al final del

quinto año US$10 000,00?

19. ¿Cuál es el interés que se gana en un proyecto que requiere de una inversión inicial de US$10000.00 y produce

US$20 114.00 al término de su vida de 5 años?

20. ¿Cuáles son los montos de la mensualidad y de la anualidad, respectivamente, que resultan de otorgar un crédito

para la compra de un terreno por valor de US$ 500000,00, si la tasa de interés es del 18% anual y las

condiciones de pago son de 10% de enganche y el resto se reparte por igual, primero en 60 mensualidades y.

posteriormente en 5 anualidades?

21. ¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de US$ P en duplicarse, si la tasa de interés es del 10%?

22. Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una carrera profesional en el Instituto Tecnológico. Las

catreras en este instituto duran normalmente 8 semestres, y la colegiatura semestral que actualmente es de

US$20 000.00, crece por el efecto de la inflación a razón del 10% semestral. Para lograr este objetivo, el padre

de familia planea depositar una cantidad anual durante 10 años, empezando al final del octavo aniversario del

nacimiento de su hijo. Si la cuenta de ahorros paga un 15% anual, y el primer pago semestral se efectúa al final

de la primera mitad del año 18; ¿de qué monto deben ser las anualidades que se depositen en la cuenta de

ahorros, de tal modo que al hacer el pago de la última cuota semestral se agote la cuenta? y, ¿de qué tamaño

debe ser el primer depósito, si las cantidades que se depositen cada año pueden crecer a una razón constante de

US$5000,00?

23. Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va disminuyendo a una razón constante

de US$500.00 por año. La suma del primer depósito es de US$10 000.00 y la del último de US$5500,00. Si en

la cuenta de ahorros se gana un 15% anual, ¿de qué cantidad debe ser un depósito anual constante durante el

mismo tiempo, de tal manera que la cantidad acumulada sea la misma?

24. ¿Qué cantidad debe ser depositada en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual, de modo que se pueda

retirar US$700,00 al final del año 1, US$1500.00 al final del año 3 y US$2000,00 al final del año 5, y la cuenta

quede agotada?

25. Una persona deposita en una cuenta de ahorros US$10 000.00 anuales durante 5 años, al final de los cuales la

mitad del saldo acumulado es retirado. Posteriormente, son deposita US$20 000,00 anuales en la misma cuenta

durante 5 años más; oficialmente, el saldo acumulado es retirado al término del año 15. Si en la cuenta de

ahorros se gana un 10% anual, ¿qué cantidades serían retiradas al final del quinto año y al final del año 15

respectivamente?

26. Alguien contrae una deuda en t=0 por un valor X . Si el interés que se cobra es del 10%, y los pagos que se

acordó hacer son de US$5000,00, US$4000.00. US$3000,00, US$2000,00 y US$1000,00 en 1=6, 7, 8, 9 y 10

respectivamente, determine el valor de X.

27. ¿Cuál es el interés efectivo de una tasa de interés del 18% anual si se capitaliza anualmente?, ¿si se capitaliza

semestralmente?: ¿si se capitaliza anualmente?, ¿si se capitaliza semestralmente?; ¿si se capitaliza

mensualmente?




28. Si se hacen depósitos anuales de USS 1000,00 durante 5 años, en una cuenta de ahorros que paga el 5%

semestral, ¿cuál es la cantidad que se acumula al final del año 5?

29. Una persona desea recibir US$1000.00 al final de cada uno de los siguientes cuatro trimestres. Si la cuenta de

ahorros paga un anual capitalizado, cada trimestre, ¿cuál es el depósito inicial requerido?

30. Una persona ha solicitado un préstamo de US$10 000,00 a una tasa de interés del 10% anual, capitalizable cada

trimestre, el cual piensa cancelar en 10 pagos semestrales iguales. Si el primer pago se hace un año después de

conseguir el préstamo, ¿cuál sería el monto de estos pagos?

31. ¿Cuánto tiempo lardaría una cantidad de dinero en triplicarse, si la tasa de interés es del 10% anual, capitalizable

cada semestre?

32. Una persona ha solicitado un préstamo de US$10 000.00 a una institución bancaria que le cobra un 12% anual

capitalizable cada semestre. Esta persona desea devolver el préstamo en seis anualidades iguales. Si el primer

pago se efectúa en el momento de recibir el préstamo, ¿cuál sería el monto de esas anualidades?

33. Después de conocer los intereses que se cobran en algunas financieras, una persona se dedica al negocio de

prestamista. La forma de operar es la siguiente: Cuando alguien solicita un préstamo, esa cantidad es trasladada

al final del plazo concedido en años, de acuerdo a la expresión: F= P(F/P,10%, n). Luego, para determinar el

monto de los pagos anuales, la cantidad F es dividida entre el número de años que abarca el préstamo. Si la

persona solicita el préstamo a un plazo de 5 años, ¿cuál sería el interés real anual que resulta de esa transacción?

34. Una persona obtuvo un préstamo de US$5000,00 a un plazo de 3 años y a una tasa de interés del 15% anual. Los

intereses que se generan en este plazo se determinaron como sigue:

I = 5000.00 (F/P, 15%,3)- 5000,00 = $2605,00

Los intereses fueron deducidos del principal; por consiguiente, a cambio de recibir US$2395,0 esta persona

deberá pagar US$5000,00 dentro de 3 años. ¿Cuál es el interés real anual que se va a pagar en este préstamo?

35. Una persona ha solicitado un préstamo de US$100 000.00 para comprar un automóvil. Desea pagar este

préstamo en 36 mensualidades iguales. Si se cobra un 2% mensual, se determina el tamaño de los pagos

mensuales de la siguiente manera:

Mensualidad = [100 000,00 + 100 000,00(0,02)36]36= US$4778.00

¿Cuál sería el interés real mensual que resulta de aceptar esta fuente de financiamiento?

36. Se efectúan cuatro depósitos trimestrales iguales de US$1000,00 en (=0, 1, 2,3 (los períodos son trimestrales) en

una cuenta que paga el 10% anual. Posteriormente, se realizan dos retiros iguales en t=5 y t=10. Si con el

segundo retiro se agota la cuenta, ¿cuál es el monto de estos retiros?

37. Se efectúan depósitos semestrales de USS500.00 en una cuenta que paga el 12% anual. ¿Cuál sería el valor

acumulado en esta cuenta después de realizar depósitos?

38. ¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta de ahorro que paga el 10% anual si se quiere realizar 10 retiros

anuales? Suponga que el primer retiro es de US$1000,00 y que a partir del segundo, los retiros aumentan a una

razón constante de US$500,00.

39. Una persona ha depositado US$10 000,00 en una cuenta de ahorro que paga el 15% anual. Si esta persona desea

retirar de la cuenta 10 montos con la finalidad de colocarlos a una razón del 20% anual, ¿cuál sería el tamaño del

primer retiro, de tal modo que al efectuar el décimo retiro se agote la cuenta?

40. ¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que discurre a lo largo del año durante 5 años y que crece a una

razón del 20% anual? Supóngase que el flujo de electivo del primer año es de US$5000,00 y la tasa de interés

nominal anual es del 10%.

41. ¿Cuál es el valor futuro de gastar US$10 000,00, US$15 000,00 y US$20 000.00 en t=1, 3 y 5, respectivamente,

si los desembolsos se efectúan al final del periodo, y la tasa de interés es de 15%?

42. Con periodos de composición anuales, semestrales y trimestrales, calcule el valor futuro si se realiza un depósito

de US$5000.00 y determine la tasa de interés efectiva, a una tasa de interés anual del 12% durante cinco años, a

una tasa del 16% anual durante seis años y del 20% anual durante diez años, respectivamente.

43. Se desea conocer el valor futuro a dos años de un depósito de US$15 000,00 que se efectuó el día de hoy en una

cuenta que paga una tasa de interés anual nominal del 12%. Calcule el valor futuro respectivo del depósito,

suponiendo que la composición del interés se efectúa anualmente, trimestralmente y mensualmente en forma

continua.

44. Observe el siguiente cuadro:

Determine para cada una de las perpetuidades el factor de interés del valor presente apropiado y el valor

presente.




45. Comenzando a partir de hoy, se realiza una inversión de US$1200,00 al año, en una cuenta de retiro individual

que obtiene el 12% anual. ¿Cuánto tendrá disponible después de 40 años?

46. Si la tasa de retorno requerida es del 12% ¿qué valor tendrá en este momento una inversión que paga US$80,00

al año, al comienzo de cada uno de los próximos 20 años?

47. ¿Cuál es el valor presente de una anualidad perpetua del 8%, 200 años después?

48. Indicar el número de periodos (n) y la tasa de interés por periodo

Clase3_IEInteresNominalEfectivo

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