CLASE_5_COCIENTE NOTABLE DIVISIBILIDAD.doc

8/18/2019 CLASE_5_COCIENTE NOTABLE DIVISIBILIDAD.doc

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UINTA SEPARATA DE ÁLGEBRA

CICLO: 2003 - I

DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

Determina polinomios y calcula restos endivisiones donde el Teorema del resto no se puede

aplicar directamente.

Principios:

1º. Si un polinomio es divisible entre otro entoncesel residuo es cero.

0)()( =→÷ R xQ x P

2º. Si un polinomio es divisible por separado entre

varios binomios, entonces ser divisible entre el

producto de ellos. Si:

0))(()(

0)()(

0)()(

=→++÷⇒

=→+÷

=→+÷

Rb xa x x P

Rb x x P

Ra x x P

!º. Si un polinomio es divisible entre otro

"actori#able, entonces ser divisible entre cada unode los "actores por separado. Si:

0)()(

0)()(

0)(()( 2

=→+÷⇒

=→+÷⇒

=→+++÷

Rb x x P

Ra x x P

Rab xba x x P

$º. Si al dividir un polinomio entre varias

e%presiones por separado d un mismo resto,entonces al dividirlo entre el producto de ellos,

tambien nos dar el mismo resto com&n. Si:

k Rb xa x x P

k Rb x x P

k Ra x x P

=→++÷⇒

=→+÷

=→+÷

))(()(

)()(

)()(

'º. Si un polinomio se anula para %a, entonces

ser divisible entre (%a). Si P(a)0

0)()( =→−÷⇒ Ra x x P

*º. Si un polinomio es "actori#able, entonces ser

divisible entre cual+uiera de sus "actores.

Sea:

xbcacab xcba x x P ++++++= )()()( 2!

0))(()(

0)()(

2=→+++÷⇒

=→+÷⇒

Rab xba x x P

Rc x x P

º. Si al dividendo y divisor se multiplica por unamisma cantidad, el cociente no se altera, pero el

resto +ueda multiplicado por dic-a cantidad Si:

nRQnd nD

RQd Dn

+=⇒

+=

.

).(

º. Si al dividendo y divisor se divide entre una

misma cantidad, el cociente no se altera, pero elresto +ueda dividido por dic-a cantidad. Si:

n

RQ

n

d

n

D

n

RdQ D+=⇒

+−

PROBLEMAS

1. /l dividir un polinomio P(%) entre (%!!%2)

se obtiene como residuo: !%2'%2. alcular

el residuo +ue se obtiene de dividir dic-o

polinomio entre (%1).2. Si se divide un polinomio P(%) entre (%! )

se obtiene !%2*%1! como resto. allar el

resto de dividir dic-o polinomio entre

(%22%$).

3. alcular el termino independiente de un

polinomio de 'º 3rado +ue sea divisible entre

(2%$!) y +ue al dividirlo separadamenteentre (%1) y (%2).

4. 4ncontrar un polinomio P(%) de !º 3rado

sabiendo +ue al dividirlo separadamenteentre (%!), (%2) y (%') se obten3a siempre

el mismo residuo 5* y al dividirlo entre

Humanizando al hombre con la educación



5 t a. Separata 2 Álgebra – CICLO 200 ! I

(%1) el resto sea 5$2. Dar como respuesta la

suma de sus coe"icientes.

5. allar el polinomio P(%) de 3rado ! si es

divisible entre (%2) y (%!) y cuya suma de

coe"icientes es $ y tiene por terminoindependiente a *.

6. /l dividir un polinomio P(%) entre (%1) y(%1) se obtienen como restos 2 y $

respectivamente. allar el resto de dividir dic-o polinomio entre %2 5 1.

7. 6n polinomio P(%) de tercer 3rado se divide

separadamente entre (%1)7 (%2) y (%!)7

dando como resto com&n '. /dems aldividirlo entre %1 da un resto i3ual a 28.

alcular el t9rmino independiente de P(%).

8. /l dividir P(%) entre (%1) se obtuvo comoresto 2. ;u9 resto se obtendr al dividir

(P(%))10 entre (%1).

9. Si los polinomios

!)(

*)(

2

2

++=

++=

bx x x g

ax x x f son divisibles

por c x xh += 2)( , -allar acbc.

10. Determinar un polinomio de 'to. 3rado +uesea divisible entre 2%$! y +ue al dividirlo

separadamente por %1 y %2 los restosobtenidos sean respectivamente y 2!2.

COCIENTE NOTABLE

<lamaremos .= a los cocientes +ue se obtienen

en "orma directa, es decir, sin la necesidad de

e"ectuar la operaci>n de divisi>n.Son de la "orma:

y x

y x nn

±

±7 n∈ = ∧ n≥2

CASOS

1)

y x

y x nn

−

− 4s .=. ∀ n∈ =

2) y x

y x nn

+

−4s .=. ∀ n par

!) y x

y x nn

+

+

4s .=. ∀ n impar

$) y x

y x nn

−

+ ?NO! 4s .=.

PROPIEDAD:

Siba

mn

y x

y x

±

± @enera un .=. <ue3o:

r b

m

a

n== donde r ∈ N.

Termino K-esimo.

1−−=

k k n

k y xt

PROBLEMAS

1. De:2

.0$0

baba

−

− , -allar el termino

de lu3ar 21.

2. ;u9 lu3ar ocupa el termino de 3rado!$ en el cociente notable 3enerado por:

y x

y x

−

−

2

20$0

A.

!. alcular m si la divisi>n:

mm

mm

y x y x−

−

+

++

1

211!

3enera un

.=.

$. Si la division:

)(.

)()(22

100100

y x xy

y x y x

+

−−+, es

un .=. calcular el valor numerico del

termino central para %! e y 22 .




5 t a. Separata Álgebra – CICLO 200 ! I

'. Beducir:

2...

1...

2

!2!$!*!

2,2,$,*,

+

++−+−

−+−+−

x

x x x x

x x x x x

*. 4n el .=. dado por:,! y x

y x ba

−

−,

e%iste un t9rmino central +ue es i3ual a2!1

y xc

, allar abc.

Lima, febrero del 2003


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