CLASES_MAESTRIA_1-2011 financiera

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1

UNIVERSIDAD AUTONOMA ³GABRIEL RENE MORENO´UNIVERSIDAD AUTONOMA ³GABRIEL RENE MORENO´FACULTAD DE AUDITORIA FINANCIERA O CONTADURIA PUBLICA

UNIDAD DE POSTGRADOUNIDAD DE POSTGRADO

MAESTRIA EN FINANZAS EMPRESARIALESMAESTRIA EN FINANZAS EMPRESARIALESMÓDULO: MATEMATICAS FINANCIERASMÓDULO: MATEMATICAS FINANCIERAS

FACILITADOR: MSc. Lic. ERNESTO M. QUINTANILLA SANCHEZ

Junio de 2011



2

Matemática FinancieraLa Matemática Financiera persigue la aplicacióndel cálculo matemático a las finanzas,centrándose en el estudio del valor del capital en

el tiempo.Las Matemáticas Financieras o IngenieríaEconómica tienen como objetivo fundamental el

estudio y análisis de todas aquellas operaciones yplanteamientos en los cuales intervienen lasmagnitudes de: Capital, Interés, Tiempo y Tasa.



3

InterésEl interés (I) es el costo o precio de utilizar recursos deterceros y depende de tres variables:Capital inicial (c) El tiempo (t) La tasa de interés (i)Por lo anterior:

I = c * i * t

El costo del dinero puede establecerse por día, por semana,por mes, etc., siendo lo más usual que el dinero se pacte auna tasa de interés nominal anual, susceptible deproporcionalizarce en distintos períodos de tiempo, a partir de dicha tasa anual.



4

Interés Simple

MONTO (S)

Horizonte de T iempo

C=100 C=100

I=50

PlazoPara el Pago

Podemos entender fácilmente el concepto de Interés Simple con unejemplo.Supongamos que A le presta a B Bs./100 con la condición de que ledevuelva Bs./150 luego de un período de tiempodado.

¿Qué incluye el pago de 150?

Incluye la devolución del capital más los intereses, entonces se ve que:S = C + I e I = S - CS = C + C * i * tS = C ( 1 + i * t )Donde ³S´ es el monto acumulado a partir de un capital llamado ³C´ a una tasa deinterés ³i´ por un período de tiempo denominado ³t´.



5

Interés CompuestoExplicaremos el tema de interés compuesto mediante un ejemplo:Si un estudiante pide prestados Bs./1.000 al 50% anual durante 3 años, elInterés Simple a pagar en cada año será:

c i t I

Para el Año 1 1.000,00 0.5 1 500,00

Para el Año 2 1.000,00 0.5 1 500,00

Para el Año 3 1.000,00 0.5 1 500,00

1.500,00Total en Tres Años

También podríamos haber calculado el interés acumulado en estos tres años de

la siguiente manera:I = c * i * tI = 1000 * 0.50 * 3

I = 1500



6

Interés Compuesto (continuación)Nótese, que para el cálculo del Interés Simple, el capital sobre el que se calcula elinterés correspondiente para cada año es de Bs./1000.Hagamos ahora los cálculos, para este mismo ejemplo, considerando que losintereses se capitalizan:

Como puede observarse, tanto el Interés Simple como el Interés Compuesto secalculan en función de las variables c, i y t; siendo la única variante que para elcálculo del Interés Compuesto, el interés del período pasa a formar parte delcapital para el cálculo del interés del período siguiente.

c i t I

Para el Año 1 1.000,00 0.5 1 500,00

Para el Año 2 1.500,00 0.5 1 750,00

Para el Año 3 2.250,00 0.5 1 1.125,00



7

i=50% i=50% i=50%

F =P(

+ it) F =P (

+ it) F =P (

+ it)

F1 = 1 000(1+0.50*1) F2 = 1 500(1+0.50*1) F3 = 2 250(1+0.50*1)

F1 = 1 500 F2 = 2 250 F3 = 3 375

P=1000 F1=? F2=? F3=?

0 1 2 3

Proceso de Capitalización de los intereses

Si hubiéramos hallado el monto acumulado en tres años con interés simple, éstesería igual a 2500.

S = 1 000(1 + 0.50*3)= 2 500

Cuando los intereses se capitalizan podemos hallar el monto acumulado para

³n´ períodos con la fórmula:

F = P (1 + i)^n y P = F 1/(1+i)Donde:F = Monto Acumulado o Valor Futuro al final del enésimo período.P = Capital Inicial o Valor Actual.

i = Tasa de interés por período.n = Número de períodos.



8

I t r t v r i l

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12

ñ

l r

I t r s i l I t r s st @10%



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FLUJO DE CAJACONCEPTO: Son Todos los Ingresos y Egreso de Efectivo que puede tener una persona o una empresa, en cualquier instante del tiempo.

FLUJO DE CAJA NETO = ENTRADAS - DESEMBOLSOS

CONCEPTO: Es simplemente una representación gráfica de un flujo de cajaen una escala de tiempo

DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA

0

duraciónorigen

vencimiento

n

INGRESOS (+)

EGRESOS (-)



10

ANUALIDADES

Fi¡ ¢ £

¤

e£

Perio¤

o¤

e P¢ ¥

o

Perio ¤ o ¤ e I ¡ terv ¢ £ o ¤ e P ¢ ¥ o

I¡

ic io¤

e£

Perio¤

o¤

e P¢ ¥

o

P¦

§

zo o Termi ̈

o©

e¦

§

A ̈

u§

¦ i

©

§

©

A1 A2 A3 A4

21 3 4

P F=?

CONCEPTO: Es una serie de pagos periódicos que se hacen en cantidades

iguales y a intervalos regulares de tiempo.

Los principales elementos que conforman una anualidad son:

A: Pago Periódico, es el importe cobrado o pagado, según sea el caso, en cadaperíodo y que no cambia en el transcurso de la anualidad.

F: El Valor Futuro viene a ser la suma de todos los pagos periódicos(A),capitalizados al final del enésimo período.P: El Valor Actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos(A) futuros,descontados a una tasa de interés o de actualización.i: Es la tasa de interés por período.n: Representa al número de períodos .



11

TIPOS DE ANUALIDADES

VENCIDAS

ANTICIPADAS PERPETUAS

DIFERIDAS

PERPETUAS DIFERIDAS



12

ANUALIDADES

1 2 3 4 6 7 8 9 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A f

1 2 3 4 6 7 8 9 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A f



13

ANUALIDADES

0 1 3 5 7 8 9 10

10 10 10 10 10

A

0 1 3 5 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10

A



14

ANUALIDADES

1 4

1 1 1 1 1

A

1 4

1 1 1 1 1

A



15

Valor Presente Serie Uni orme

Por definición el valor presente en el diagramade flujo que representa el tiempo se coloca unperiodo antes del primer pago.

3 4 6 7

1 1 1 1 1 1 1VP

tiem o, meses,a os,et



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FORMULAFactor Valor Presente Serie Uni orme

� La ecuación que permite calcular elvalor presente de una serie uniforme de

pagos (o ingresos) esta dada por:(1+i)^n - 1

P = A * ----------------

i*(1+i)^n

P = A * [{(1+i)n-1}/{i*(1+i)n}]



17

Factor de Recuperación de Capital

Este factor permite calcular la anualidad que yodebo cobrar de manera periódica (serie uniformede pagos) en el futuro dado que he realizado una

inversión en el presente. Anualidad dado un Valor Presente (A/P)

i*(1+i)^n

A = P * ---------------(1+i)^n ± 1

A = P * [{i*(1+i)n}/{(1+i)n-1}]



18

Valor Futuro de una Serie Uni orme

Por definición el valor futuro en eldiagrama de flujo que representa el tiempo

se coloca en el ultimo pago.

1 1 1 1 1 1 1

VF

tiem o me ea o et



19

FORMULA

Factor Valor Futuro Serie Uni ormeLa ecuación que permite calcular el valor futuro de una serie uniforme de pagos (o

ingresos) esta dada por:(1+i)^n - 1

F = A * ---------------

iF = A * [{(1+i)n-1}/i]



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Factor Fondo de Amortización

Este factor permite calcular la anualidadque yo debo cobrar de manera periódica(serie uniforme de pagos) para que en unfuturo dado tenga el monto que yoexactamente debo recibir.

Anualidad dado un Valor Futuro (A/F)

i

A = F * ---------------

(1+i)^n ± 1

A = F * [i/{(1+i)n

-1}]



22

Costo Capitalizado o Perpetuidad

Una perpetuidad, no es más que una anualidadIndefinida (Infinito - E )

La ecuación básica es:

VP = Anualidad / tasa de Interés

Las reglas para el calculo de Valor Presente se

mantienen Invariables

P = A / i A = P * i

i i0 1 2 3 4 5 6

A i



23

EL FLUJO DE CAJA

DEFINICIÓN: Es sencillamente un esquema

que presenta en forma sistemática losegresos e ingresos de efectivo, registradoscada período a período.



24

1.200.000

500.000

200.000

270.000 270.000 270.000

570.000

110.000

460.000

110.000 110.000 110.000

0 1 2 3 4 T

UN EJEMPLO DE LA PRESENTACIÓN DEL FLUJO DEFONDOS EN FORMA GRÁFICA

T-1



25

Este lujo se puede con ertir en lujo neto como semuestra a continuación:

T-10 1 2 3 4 T

160.000160.000 160.000

460.000

160.000

700.000

260.000

Año



26

GRADIENTES

CONCEPTO: Se llama gradientes a una serie de pagosperiódicos que tienen una ley de formación. Esta ley deformación hace referencia a que los pagos puedenaumentar o disminuir, con relación al pago anterior, en

una cantidad constante

22

A

G



27

CONDICIONES PARA SER

CONSIDERADO UN GRADIENTE:Los pagos deben tener una ley de formación.

Los pagos deben ser periódicos.

La serie de pagos debe tener un valor presentey un valor futuro equivalente.

El número de pagos debe ser igual al numerode gradientes



28

TIPOS DE GRADIENTESLINEALES O ARITMETICAS:

CRECIENTES Y DECRECIENTES

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

CALCULO DE CUOTA

GRADIENTE DIFERIDAGRADIENTE PERPETUA

GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA



29

A+nG

A+3G

A+2G

A+GA

2

GRAFICADE UNGRADIENTE

P = P P = P (A)(A) ++ -- P P (G)(G)



30

GRADIENTES

El gradiente puede ser: CRECIENTEEl gradiente puede ser: CRECIENTE

000 0

00000

0 3

VP total = VP anualidad + VP gradienteVP total = VP anualidad + VP gradiente

Gradiente lineal

creciente



31

GRADIENTES

1

1 3

El gradiente puede ser: DECRECIENTEEl gradiente puede ser: DECRECIENTE

VP total = VP anualidadVP total = VP anualidad -- VP gradienteVP gradiente

Gradiente lineal decreciente

GradienteGradiente ³G´³G´GG == EnEn Ambos Ambos CasosCasos eses lala VariaciónVariación entreentre cadacada unouno dede loslosperiodosperiodos..

M ANTIENE M ANTIENE LAS LAS REGLAS REGLAS DE DE CALCULO CALCULO DELDEL VALOR VALOR PRESENTE PRESENTE



32

GRADIENTE ECUACIONES

CRECIEN

TECRECIEN

TE�� VP total = VP anualidad + VP gradienteVP total = VP anualidad + VP gradiente

DECRECIENTEDECRECIENTE�� VP total = VP anualidadVP total = VP anualidad -- VP gradienteVP gradiente

VP total = A * + G/i *(1+i)^n - 1

-----------------

i*(1+i)^n

(1+i)^n - 1 n----------------- - -------

i*(1+i)^n (1+i)^n

VP total = A * - G/i *(1+i)^n - 1

-----------------i*(1+i)^n

(1+i)^n - 1 n----------------- - -------

i*(1+i)^n (1+i)^n



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Interés Nominal y E ecti o Interés nominal (r): La tasa de interés del período por el

número de períodos.

³Nominal´ significa ³aparente o pretendido´ es decir,una tasa nominal no es real, por lo que se debeconvertir a una tasa efectiva.

Interés efectivo (i): Aquella que mide realmente el interés

otorgado o cobrado. Cuando el período de capitalización NO ESTÁ DADO, la

tasa de interés es EFECTIVA.



34

Interés Nominal y E ecti oLa Tasa E ecti a Anual o Tasa Anual Equi alente (TEA) es unareferencia orientativa del costo real de una inversión o préstamo.

El cálculo de la TEA está basado en el tipo de interés compuesto y enla hipótesis de que los intereses obtenidos se vuelven a invertir al

mismo tipo de interés.

FORMULA DE CALCULO DE LA TASA EFECTIVA ANUAL

TEA= (1+i)^n -1Donde: TEA: Tasa Efectiva Anual

i: Tasa Sub-Periodica (menor a un Año)n: Veces de capitalización de la tasa sub-periodica



35

Ejemplo

a) 1.000 Bs. depositados al 10% anual EFECTIVO.

b) 1.000 Bs. depositados al 10% anual con capitalización semestral(NOMIN AL).

» Equivalente a un interés efectivo anual de 10,25%.

1.000 1.100 Al cabo de un año

1.000 1.050 1.102,5

5% 5%5% en cada Semestre(período de Capitalización)



36

Interés Nominal y E ecti o

TEs del período cap.Enunciado Tipo de Interés Periodo Cap.

10% anual Cap.trimestral Nominal Trimestre 2 5%

5% Semestral E ecti o Semestre 5%

10% anual Cap.Anualmente E ecti o Anual 10%

�En los siguientes enunciados, indique: Tipo de interés, y el período decapitalización, además calcule el interés efectivo en dicho período



37

EL FLUJO DE CAJA

NORMAS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL FLUJO

Fijar la Periodicidad.

Se supone que los costos se desembolsan y los ingresosse reciben al final de cada período.

Se utiliza la contabilidad de caja.



38

ELEMENTOS BÁSICOS:

Los costos (egresos) de Inversión o montaje.

Los costos (egresos) de Operación.

Los beneficios (ingresos) de Operación.

El Valor de Salvamento de los Activos delProyecto.



39

Ingresos

0 1 2 nn -1

Egresos

Presente

Tiempo

Representación Grá ica



40

EVALUACIÓN FINANCIERA

DE PROYECTOS



41

La forma correcta de abordar la evaluaciónde proyectos debe ser consecuente con losprincipios del concepto de equivalencia.

Se debe tener en cuenta, específicamente,todos los ingresos y egresos que aparecen

en el proyecto de inversión.



42

Se debe tener en cuenta el valor relativo deldinero en el tiempo.

Se debe tomar en cuenta la tasa de interésde equivalencia o de oportunidad, cuando secomparan cantidades que aparecen en

momentos diferentes.



43

INDICES PARA MEDIR LA BONDAD

FINANCIERA DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN«METODOS»

EL VALOR PRESENTE NETO (VAN)

EL COSTO ANUAL EQUIVALENTE (CAUE)

EL COSTO CAPITALIZADO (CC)

LA TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

LA RELACIÓN BENEFICIO/COSTO (B/C)



44

EL VALOR ACTUAL NETODe inición: Es el valor del proyecto medido o

comparado en dinero de hoy o actual.(PRESENTE)

Denotación: Cuando se presenta el valor presente

de un proyecto, se debe hacer explícita la tasa deinterés que se emplea para calcularlo.

VAN(i)=



45

Si las vidas útiles son diferentes deberácalcularse el Mínimo Común Múltiplo delas vidas Útiles, para igualar y hacer comparables las alternativas.

En caso de que las vidas útiles sean

iguales, se calcula directamente.

METODO DEL VALOR ACTUAL OPRESENTE NETO



46

Cuando VAN > 0 : Señala que el proyecto esconveniente.

Cuando VAN < 0 : Señala que el proyecto no es

atractivo.

Cuando VAN = 0 : Señala que el proyecto es indiferente.

Signi icado: El valor presente neto es el valor en dineroactual de una alternativa de inversión.

Criterio de Decisión de Un Solo Proyecto:



47

Criterio de Decisión de Uno o Mas Proyectos:Cuando VAN(A) > VAN(B) : Se debe seleccionar el

proyecto (A). (En caso de un análisis de Ingresos oganancias)

Cuando VAN(A) > VAN(B) : Se debe seleccionar elproyecto (B). (En caso de un análisis de Egresos ocostos)



48

EL COSTO ANUAL UNIFORMEEQUIVALENTE (CAUE)

USO: Es particularmente útil para evaluar proyectos que esencialmente constituyen unafuente de egresos, es decir cuando elproyecto está conformado únicamente por desembolsos.

CAUE (x ) = VAN (x) * (1+i ) n * i(1+i ) n -1



49

CAUE

El Costo Anual Uniforme Equivalente oCAUE, no es más que la determinaciónde la Anualidad de un Valor Presente, Un

valor Futuro o Una serie cualquiera depagos NONO Uniforme.

� En Otras palabras:

� A dado un VP

� A dado un VF

� A dado una serie de pagos no Uniforme



50

Usos del CAUE:El principal USO del CAUE, es la

evaluación de alternativas con vidas útilesdiferentes.

Por ejemplo la evaluación entre comprar unVehículo Nuevo y Uno Usado.

0 5

00 000

0 00 0

A n u a l i d a d

E q u i v

a l e n t

e ( C A

U E )



51

LA RELACIÓN BENEFICIO - COSTO

USO:

Se utiliza para evaluar estudios de grandesproyectos públicos de inversión.

Se apoya en el método del valor presente neto.



52

CALCULO: Se calcula el valor presente de los ingresos

asociados con el proyecto en cuestión.

Se calcula el valor presente de los egresosdel proyecto.

Se establece una relación entre el VAN delos ingresos y el VAN de los egresos al dividir la primera cantidad por la segunda.



53

DENOTACIÓN:

B = VAN ingresos (i )

C VAN egresos ( i )

Criterio:

> 1 Conveniente

B = = 1 Indiferente

C < 1 No es atractivo

Signi icado: Al sustraer del resultado la unidad se obtiene lacantidad que genera cada peso de inversión, cuando esteúltimo se expresa en valor presente.

LA RELACIÓN BENEFICIO - COSTO



54

LA TASA INTERNA DE RETORNO

De manera conceptual es aquella tasa de interésque espera tener un inversionista.

Técnicamente es aquella tasa de interés que haceuna ecuación de valor presente neto igual a cero

TIR VAN = O



55

Criterio de Decisión de Un Solo Proyectos:

Cuando TIR > i : Señala que el proyecto esconveniente.

Cuando TIR < i : Señala que el proyecto no esatractivo.

Cuando TIR = i : Señala que el proyecto esindiferente.



56

Criterio de Decisión de Uno o Mas Proyectos:

Cuando TIR(A-B ) > i : Se debe seleccionar el

proyecto (A)

Cuando TIR(A-B ) < i : Se debe seleccionar elproyecto (B).



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Periodo de recuperación del capital.

Es el número de años que toma para un proyecto recuperar de lasganancias netas el capital invertido. No mide necesariamente larentabilidad o atractividad de un proyecto.Se lo puede calcular por la relación

(FA)n-1

PRC = N ± 1 + -----------

Fn

En donde:N = año en que el flujo acumulado cambia de signo(FA)n-1 = flujo de efectivo acumulado en el año previo a N Fn = flujo neto de efectivo en el año N



58

EjemploCon la siguiente in ormación calcule el PRC

AÑOFLUJO NETO

DE FONDOS

FLUJO

ACUMULADO

0 -1000 -1000

1 250 -750

2 400 -3503 300 -50

4 300 250

5 250 500

6 300 800

PRC= 4 ± 1 + = 3,16 años = 3 años y 2 meses----------

50

300



59

EJEMPLOS1.- Se esta considerando dos maquinas por parte de unaempresa de metales. La maquina A tiene un costo inicialde $ 30.000.- y costos anuales de operación de $ 6.000.-,

así como un valor de salvamento de $ 4.500.-. Lamaquina B tiene un costo inicial de $ 44.000.- un costoanual de operación de $ 3.000.- con un valor desalvamento de 10.000.- , si se espera que ambasmaquinas duren 12 años, determine cual debe

seleccionarse bajo el método del: VAN, CAUE, CC y TIR,considere una tasa de interés del 10% anual.



60

EJEMPLOS2. Se están considerando la compra de dos máquinas que tienen

los siguientes costos, para un proceso de producción continuo.

Utilizando una tasa de inter és del 15% anual, determine cual

debe seleccionarse bajo el método del VAN, CAUE, CC, y TIR.

DETALLE MAQUINA "X" MAQUINA "Z"

COSTO INICIAL BS. 50.000,00 BS. 200.000,00

GASTO ANUAL DE OPERACIÓN BS. 62.000,00 BS. 24.000,00

VALOR DE SALVAMENTO BS. 10.000,00 BS. 0,00

REPARACION GENERAL A LOS 6 AÑOS BS. 0,00 4.000,00



61

INFLACIONTodo el mundo que viva hoy esta bien enterado de elhecho de que $1 de hoy no puede comprar la mismacantidad de bienes o servicios como puedo comprar $1

de hace 10 años atrás.

Esto es por que el valor del dinero ha decrecido como unresultado de dar mas dinero por menos bienes

(Inflación).



62

TASA INFLADAEs aquella tasa que me permite hacer comparacionesconsiderando la inflación y los efectos que esta tiene enun inversión a largo plazo.

FORMULA DE LA TASA INFLADA

Donde: i= tasa de interésf= tasa de inflación.

if= tasa inflada

if = i + f + if



63

FORMULA DEL RENDIMIENTO REAL( i - f )

(1+ f )ir = ---------------

La Tasa de Interés Real (ir ), representa la tasa a cual eldinero presente se transformara en dinero futuroequivalente con el mismo poder de compra

Donde:i= tasa de interés del proyecto (TIR)f= tasa de inflación.ir=tasa de rendimiento real



64

DETALLE MAQUINA "A" MAQUINA "B"COSTO INICIAL BS 10,000.00 BS. 20,000.00COSTO ANUAL DE OPERACIÓN BS 8,000.00 BS. 3,000.00VALOR DE SALVAMENTO BS 3,000.00 BS. 6,000.00VIDA UTIL, AÑOS 10 10.00

Dos maquinas bajo consideración por la compañíaMETAL ± MEC tendrán los siguientes costos:

EJEMPLO

¿Cuál maquina deberá seleccionarse si la Tasa de interéses del 15% y la Tasa de Inflación del 12% Anual?, Use unanálisis del VAN, CAUE, CC Y TIR (REAL)



65

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