Asignatura: Ecuaciones Diferenciales

CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESINSTITUTO POLITCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA MECNICA Y ELECTRNICA

ZACATENCO

2AM2

ECUACIONES DIFERENCIALES

ALUMNO: ROLANDO HERNNDEZ PROFESOR: ING. JESS HUMBERTO GUERRERO BASILIO BASILIO

Se dice que una ecuacin que contiene las derivadas de una o ms variables dependientes, con respecto a una o ms variables independientes, es una ecuacin diferencial.

CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en funcin de: TIPO. ORDEN. LINEALIDAD.

CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Si una ecuacin diferencial contiene slo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

CLASIFICACIN POR TIPO

Si una ecuacin diferencial contiene derivadas parciales de una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes se dice que es una ecuacin diferencial parcial.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

CLASIFICACIN SEGN EL ORDEN

El orden de una ecuacin diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuacin.

La ecuacin:

Es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden.

Una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden se puede expresar mediante la forma general:F(x, y, y, y, . . ., y(n))=0Donde F es una funcin de valores reales de n+2 variables x, y, y, y, ..., y(n).

Es posible despejar de una ecuacin diferencial ordinaria en forma nica la derivada superior y(n) en trminos de las n+1 variables restantes. La ecuacin diferencial:

Donde f es una funcin continua de valores reales, se denomina forma normal.

CLASIFICACIN SEGN LA LINEALIDAD

Se dice que una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y, y, . . ., y(n).

Esto significa que una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando

En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2)

y se puede observar las caractersticas de una ecuacin diferencial lineal:

La variable dependiente y y todas sus derivadas y, y, . . ., y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada trmino en que interviene y es 1.

Los coeficientes a0, a1, , an de y, y, . . ., y(n) dependen slo de la variable independiente x.

Una ecuacin diferencial ordinaria no lineal es aquella que NO es lineal.

Las siguientes ecuaciones diferenciales son no lineales:

El coeficiente de y depende de y

Funcin no lineal de y

Potencia de y diferente de 1

Solucin de una ecuacin diferencial

Cualquier funcin f, definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden reduce la ecuacin a una identidad, se considera solucin de la ecuacin en el intervalo.

Soluciones explcitas e implcitas Se dice que una solucin en la que la variable dependiente se expresa solamente en trminos de la variable independiente y constantes es una solucin explcita. Una relacin G(x,y)=0 es una solucin implcita de una ecuacin diferencial ordinaria en un intervalo I, siempre que existe al menos una funcin f que satisface tanto la relacin como la ecuacin diferencial en I.

Familias de soluciones

Una solucin que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c)=0 de soluciones al que se le da el nombre de familia uniparamtrica de soluciones. Cuando se resuelve una ecuacin diferencial de n-simo orden F(x, y, y, y, . . ., y(n))=0, se busca una familia no paramtrica de soluciones G(x, y, c1, c2, , cn)=0. Esto significa que una ecuacin diferencial puede poseer un nmero infinito de soluciones que corresponden al nmero ilimitado de elecciones de los parmetros.

Solucin particular

Una solucin de una ecuacin diferencial que est libre de parmetros arbitrarios se le llama solucin particular.

Solucin singular

A veces una ecuacin diferencial posee una solucin que no es un miembro de una familia de soluciones de la ecuacin, es decir, una solucin que no se puede obtener al especificar alguno de los parmetros de la familia de soluciones. Esta clase de solucin se denomina solucin singular.

Problema de valores iniciales

El problema que consiste en resolver:

donde y0, y1, , yn-1 son constantes reales especificadas de manera arbitraria, se denomina problema de valores iniciales. Los valores de y(x) y sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0; y(xo)=yo, y(xo)=y1, ..., y(n-1)(xo)=yn-1 se llaman condiciones iniciales. Existencia de una solucin nica

Sea R una regin rectangular en el plano xy definida para a