Matemticas B 4 E.S.O. Tema 1 Los nmeros Reales1 TEMA 1 LOS NMEROS REALES 1.1CLASIFICACIN DE LOS NMEROS REALES 31.1.1TIPOS DE NMEROS 3Los nmeros naturales son : 1, 2, 3, ...., 10, 11, ...., 102, 103,.... . Hay infinitos. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N. 3Losnmerosenterosincluyenlosnaturales,susopuestosyelcero:...,-11,-10, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ...., 10, 11, ..... Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Z. 3Losnmerosfraccionessonfracciones(a/b)dondeelnumeradornoes mltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos: -Fracciones propias :Numerador < Denominador(Ejemplo: 2/3) -Fracciones impropias :Numerador > Denominador(Ejemplo: 3/2) Los nmeros fraccionarios tienen una expresin como nmero decimal -Nmeros decimales exactos : Nmero finito de decimales : 1,234 -Nmerosdecimalesperidicospuros:Nmeroinfinitodedecimalestales que la parte decimal se repite : 1,234234234..... = 1, 234-Nmeros decimales peridicos mixtos : Nmeroinfinito de decimales tales que hay alguna cifra decimal que no se repite: 1,2344444..... = 1,234 3Losnmerosracionalesincluyenlosnmerosenterosylosfraccionarios.Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Q. 3 Losnmerosirracionalessonaquellosquenosonracionales:H,2 , 101001.... (Nmeros decimales no peridicos) 41.1.2ESQUEMA DE CLASIFICACIN DE LOS NMEROS 4 t ..... peridicos no males Deci ; ; 5 ; 3 - ; 2 (I) ES IRRACIONAL ..... 1 7,3 : mixtos peridicos Decimales;.... 31 , 7 ;34: puros peridicos Decimales;......43; 0,31 : exactos Decimales. IOS FRACCIONAR.... 8 ;424 -; 11 - NATURALES NO ENTEROS...... 81 ;624; 4 ; 0 (N) NATURALES(Z) ENTEROS(Q) RACIONALES(R) REALES3enteros) no s (Racionale3negativos) (Enteros Matemticas B 4 E.S.O. Tema 1 Los nmeros Reales2 1.2PASAR DE FRACCIN A DECIMAL Y VICEVERSA 31.2.1PASAR DE FRACCIN A DECIMAL 3Paraobtenerlaexpresindecimaldeunafraccin,seefectaladivisindel numerador entre el denominador. 3Ejemplos: - 48= 2 Natural -25 , 249= Decimal exacto -3 , 1 .... 333333 , 134= = Decimal peridico puro -6 1 , 1 .... 166666 , 167= = Decimal peridico mixto 31.2.2PASAR DE DECIMAL A FRACCIN 3Decimales exactos: N = 2,38Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero. 100N = 238Despejar N N = 100238Simplificar la fraccin, si es posible N = 50119

3Decimales peridicos puros: N = 2, 38Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro nmero con elmismo periodo. 100N = 238, 38Restarlos 99N = 236Despejar N N = 99236Simplificar la fraccin, si es posible N = 99236 3Decimales peridicos mixto: N = 2,38Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en peridicopuro 10N = 23, 8 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro nmero con elmismo periodo. 100N = 238, 8 Restarlos 90N = 215Despejar N N = 90215Simplificar la fraccin, si es posible N = 1843 Matemticas B 4 E.S.O. Tema 1 Los nmeros Reales3 1.3NMEROS APROXIMADOS 31.3.1EXPRESINAPROXIMADADEUNNMERO.CIFRAS SIGNIFICATIVAS. 3Cuando utilizamoslosnmeros decimales para expresarmedicionesconcretas, se deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas. 3Sellamancifrassignificativasaaquellasconlasqueseexpresaunnmero aproximado. Slo de deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste. 3Para expresar una cantidad con unnmero determinado de cifrassignificativas recurriremos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la ltima cifra significativa y si es menor que cinco la dejamos como est. Ejemplos: Redondear con tres cifras significativas: 123.421 ~ 123.000 123.521 ~ 124.000 123.721 ~ 124.000 Alredondearnmerosdecimales,normalmente,nosquedamoscondos decimales. 1.3.2CONTROL DEL ERROR COMETIDO 3Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error. 3El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de Medicin, en valor absoluto (en positivo) Error Absoluto = | Valor Real Valor de Medicin | 4Peronoeslomismocometerunerrordeuncentmetroalmedirunatizaque una pizarra, por tanto definimos: El Error Relativocomo es el cociente entre el error absoluto y el valor real Error Relativo = Real ValorAbsoluto Error 4Llamamos cotas de los errores a cantidadesmayores o iguales quelos errores con menor o igual nmero de cifras significativas. 4Alvalernosdenmerosdecimalesparadarvaloresaproximados,elerror absoluto es inferior a una cantidad del orden de la ltima cifra significativa. Elvalorrelativoestantomenorcuantasmscifrassignificativasdemos correctamente. Matemticas B 4 E.S.O. Tema 1 Los nmeros Reales4 1.4NOTACIN CIENTFICA 41.4.1INTRODUCCIN 4Los nmeros siguientes estn puestos en notacin cientfica: 2,48 . 1014 = 248.000.000.000.000(14 cifras a partir de la coma) 7,561. 10-14 = 0,00000000000007561 (14 cifras de la coma al 7) 4La notacin cientfica tiene sobre la usual la siguiente ventaja: las cifras se nos dancontadas,conloqueelordendemagnituddelnmeroesevidente.Esta notacinestil,sobretodo,paraexpresarnmerosmuygrandesomuy pequeos. 41.4.2DEFINICIN 4Un nmero puesto en notacin cientfica consta de : -Unaparteenteraformadaporunasolacifraquenoeselcero(ladelas unidades) -El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal. -Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del nmero. N = a , bcd...... x 10n a = Parte entera (slo una cifra) bcd..... = Parte decimal 10n = Potencia entera de base 10 4Si n es positivo, el nmero N es grande Si n es negativo, el nmero N es pequeo 41.4.3OPERACIONES CON NMEROS EN NOTACIN CIENTFICA 4Ensumasyenrestashayqueprepararlossumandosdemodoquetengan todos la misma potencia de base 10 y as poder sacar factor comn. 5,83 . 109 + 6,932 . 1012 7,5 . 1010 = 5,83 . 109 + 6932 . 109 75. 109 = = (5,83 + 6932 75) . 109 = = 6862,83 . 109 = 6,86283 . 1012 ~ 6,86 . 1012 4El producto, el cociente y la potencia son inmediatos, teniendo en cuenta: 10b. 10c = 10b+c10b : 10c = 10b-c()c . bcb10 10 = (5,24 . 106) . (6,3 . 108) = (5,24 . 6,3) . 106+8 = 33,012 . 1014 = 3,3012 . 1015 ~ 3,3. 1015 (5,24 . 106) : (6,3 . 108) = (5,24 : 6,3) . 106-8 = 0,8317 . 10-2 = 8,317 . 10-3 ~ 8,32. 10-3 (5,24 . 106)2= (5,24)2 . 106.2 = 27,4576 . 1012 = 2,74576 . 1013 ~ 2,75. 1013 Matemticas B 4 E.S.O. Tema 1 Los nmeros Reales5 41.4.3CALCULADORA PARA NOTACIN CIENTFICA 4Interpretacin:5,7490109significa5,74901 . 109 4Escritura: Para poner 5,74901 . 109 5,74901 EXP 9 Para poner 2,94 . 10-13 2,94 EXP 13 4Operaciones:Lasoperacionesseencadenancomosifuerannmeros cualesquiera.Lapropiacalculadora,alpresionar=,daelresultadoenforma cientfica. 4Modo cientfico (SCI) : Elmodo SCI hace quela calculadora trabajesiempre connmerosennotacincientficay,adems,conlacantidaddecifras significativas que previamente le hayamos indicado. Por ejemplo si, con una calculadora en la que se accede al Modo SCI mediante la secuencia MODE 8, deseamos trabajar con la notacin cientfica con tres cifras significativas (dos decimales) para realizar la siguiente multiplicacin: (3.475.980.000) . (1,27 . 10-5), haremos: -Preparar la calculadora: MODE 8 3 0.00 00 -Introducir el primer factor 3475980000 x 3,48 09 -Introducir el segundo factor 1,27 EXP 5 -Ejecutar el producto = 4,14 04 4Observaciones: CuandolacalculadoraestenModoSCI,admiteexpresionesnocientficas, peroaldarleaunatecladeoperacionesoal=,poneelnmeroennotacin cientfica, con las cifras significativas deseadas, redondeando. La calculadora conserva en su memoria los dgitos que no exhibe en la pantalla. SienelejemploanteriorponemoslacalculadoraenModoNORMAL (MODE 9), inmediatamente se muestra en la pantalla el resultado con todas las cifras: 44144,946. 41.4.5RDENES DE MAGNITUD 4Paradesignarrdenesdemagnitud(grandesopequeos),existenalgunos prefijos: Giga 109Kilo 103 Deci 10-1 Micro 10-6 Hecto102Centi 10-2 Mega106Deca10Mili10-3 Nano 10-9 Matemticas B 4 E.S.O. Tema 1 Los nmeros Reales6 1.5NMEROS NO RACIONALES 31.5.1INTRODUCCIN 3Nmeros racionales son los que se pueden poner como cociente de dos nmeros enteros. Hay nmeros que no son racionales como, por ejemplo, 2 . 31.5.2NMEROS IRRACIONALES 3Los nmeros no racionales se llaman irracionales.-2es irracional -Si p no es cuadrado perfecto,pes irracional. -En general, si p es un nmero entero y npno es un nmero entero (es decir, p no es una potencia n-sima), entonces np es irracional. -H es irracional -Los nmeros decimales no peridicos son irracionales. 3Laexpresindecimaldeunnmeroirracionaltieneinfinitascifrasno peridicas. Encualquierintervalodelarecta,porpequeoquesea,hayinfinitosnmeros irracionales. 1.6LOS NMEROS REALES 41.6.1DEFINICIN 4Elconjuntoformadoporlosnmerosracionalesylosirracionalessellama conjunto de nmeros reales y se designa por R. 4Con los nmeros reales podemos realizar las mismas operaciones que hacamos conlosnmerosracionales:sumar,restar,multiplicarydividir(salvoporel cero) y se siguen manteniendo las mismas propiedades. Tambin podemos extraer races de cualquier ndice (salvo races de ndice par denmerosnegativos)yelresultadosiguesiendounnmeroreal.Esono ocurra con los nmeros racionales. 41.6.2LA RECTA REAL 4Cadapuntodelarectacorrespondeaunnmeroracionaloaunnmero irracional. Por eso a la recta numrica la llamaremos recta real. Matemticas B 4 E.S.O. Tema 1 Los nmeros Reales7 1.7REPRESENTACIN DE NMEROS SOBRE LA RECTA REAL 41.7.1INTRODUCCIN 4Todo nmero real puedesituarsesobrela recta real, dependiendo de cmo sea el nmero 31.7.2REPRESENTACINDENATURALES,ENTEROSODECIMALES EXACTOS 3Ejemplo: 2; 3,47

-4 -3 -2 -101 234 3 3,13,2 3,3 3,43,5 3,63,73,83,94 3,43,41 3,423,43 3,44 3,45 3,463,47 3,483,49 3,5

1.7.3REPRESENTACIN DE FRACCIONES 3Se divide cada unidad en tantas partes como tenga en denominador y se toman tantas como tenga el numerador. Ejemplo : 5/6

4Ejemplo : 11/6 = 1 + 5/6(Se divide igual pero la unidad entre el 1 y el 2) Ejemplo : -11/6 = -1 5/6 (Se divide igual pero la unidad entre el 1 y 1l 2) 41.7.4REPRESENTACIN DE IRRACIONALES CUADRTICOS 4SeutilizaelteoremadePitgorasdondelahipotenusaesloquequeremos dibujar. ()2 221 3 10 + = 01 Matemticas B 4 E.S.O. Tema 1 Los nmeros Reales8 41.7.5REPRESENTACINDEDECIMALESNOEXACTOS(peridicosono peridicos) 4 Ejemplo: 3,47 3, 47 3,470470047.....

-4 -3 -2 -101 234 3 3,13,2 3,3 3,43,5 3,63,73,83,94 3,43,41 3,423,43 3,44 3,45 3,463,47 3,483,49 3,5 1.8INTERVALOS Y SEMIRRECTAS 4Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura especial: NOMBRESMBOLOSIGNIFICADO REPRESENTACIN Intervalo abierto(a,b){ x / a < x < b } N comprendidos entre a y b Intervalo cerrado[a,b]{ x / a s x s b } N comprendidos entre a y b, stos incluidos. (a,b]{ x / a < x s b } N comprendidos entre a y b, incluido b Intervalo semiabierto [a,b){ x / a s x < b } N comprendidos entre a y b, incluido a (-,a){ x / x < a } Nmeros menores que a (-,a]{ x / x s a } N menores que a y el propio a (a,){ x / a < x } Nmeros mayores que a 4 Semirrecta [a,){ x / a s x } N mayores que a y el propio a 1.9POTENCIAS 31.9.1PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS 3 [1] a0 = 1[3] am.an = am+n [6] (a.b)n = an.bn [8]

a-n = na1 [2] a1 = a[4] am : an = am-n [7](a:b)n = an : bn [9] nnn nababba= |.|

\|= |.|

\| [5] (am)n = am.n Matemticas B 4 E.S.O. Tema 1 Los nmeros Reales9 1.10RACES 31.10.1DEFINICIN 3 Se llamaraz n-sima de un nmero a y se escribe na , a un nmero b que cumple la siguiente condicin: na = bsi bn = a nase llama radical, a radicando, y n, ndice de la raz. 31.10.2ALGUNAS PECULIARIDADES DE LAS RACES 3 Si a > 0, naexiste cualquiera que sea n Si a < 0, slo existe su raz de ndice impar. Aunque en general, un nmero positivo, a, tiene dos races cuadradas:ay - a , con 4 nos referimos a su races positiva, es decir, a 2. 41.10.3FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES 4 Forma exponencial de radicales : n1na a =

nmn ma a = 41.10.4POTENCIAS Y RACES CON CALCULADORA 3 Races cuadradas: 180 180 = 13,41640786 4Potencias: xy 264 2 xy 64 = 1,84467440719 1,844674407. 1019 4Races con la tecla xy 525 2) 483 ( 483 = 483 ( 2 : 5 ) = 11,84619432 10110100000 100000 = 100000 xy 10 1/x = 3,16227766 4 Tecla y1x (En otras calculadoras x) 5 1 5350 350 = 350 y1x 5 = 3,227108809 Matemticas B 4 E.S.O. Tema 1 Los nmeros Reales10 1.11PROPIEDADES DE LOS RADICALES 4Losradicalestienenunaseriedepropiedadesquesededucendelas propiedades de las potencias: 4 1. nnppa a =2. n n nb . a ab =3. nnnbaba=4.( )n ppna a =5. mn m na a = 46.Sumaodiferenciaderadicales:Dosradicalesdistintosnopueden sumarsesinoesobteniendosusexpresionesdecimalesaproximadas. Slo puede sumarse radicales idnticos. 3 2 + = 5 3 2 2 5 3 2 2 + = +2 10 2 5 2 3 2 2 5 . 2 3 . 2 2 2500 18 84 4 2 2 3 4= + + = + + = + + 47.Para multiplicar o dividir radicales: Primero hay de reducirlos a ndice comn 6 3 . 2 3 . 2 = = 6 6 2 3 3200 5 . 2 5 . 2 = = 48.Racionalizacindedenominadores:Avecesconvienesuprimirlas races del denominador. Para ello hay quemultiplicarlo por la expresin adecuada.Naturalmente,elnumeradortambinsemultiplicarporesa misma expresin.

5555.51512513333 2 3 2 3= = = ( )223 53 253 53 53 53 53 5.3 513 5122+=+=+=++=