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CÁLCULO DE IMÁGENES Y PREIMÁGENES Ejemplos
1. Si g x cot x calcule las preimágenes de
1
3
.
Solución
A Se plantea la ecuación que se debe resolver para calcular las preimágenes.
1cot x
3
1cot x
3
B Se establece el valor conocido que resuelve esta ecuación.
1cot
3 3
C Se aplica la periodicidad de la función cotangente para encontrar todas las preimágenes.
1cot x x k k
33
2. Si h x secx calcule la imagen de 53
6
.
Solución
A Se calcula el ángulo de referencia.
539
6 6
Entonces el ángulo de referencia 6
.
B Se calcula la imagen del ángulo de referencia.
2sec
6 3
C Se calcula la imagen ubicando el cuadrante respectivo.
53
6
está ubicado en el III cuadrante,
donde la función secante es negativa.
53 2sec sec
6 6 3
3. Calcule 39csc
4
.
Solución
A Se busca un ángulo coterminal.
39 78
4 4
7
4
es un ángulo
coterminal.
B Se calcula la imagen conociendo que el ángulo coterminal se ubica en el IV cuadrante donde la función cosecante es negativa.
39csc
4
7csc
4
csc4
2
4. Asocie cada función trigonométrica con su respectiva imagen, escribiendo la
letra correspondiente dentro del paréntesis.
A 11sec
6
2
3
B 14csc
3
2
C 10sec
3
2
D 17csc
6
2
3
E 31tan
3
3
F 29cot
6
3
Solución
A 11 2sec sec
6 6 3
2B
3
B 14 2csc csc
3 3 3
C 2
C 10sec sec 2
3 3
D 2
D 17csc csc 2
6 6
2A
3
E 31tan tan 3
3 3
F 3
F 29cot cot 3
6 6
E 3
5. Calcule los valores de para los cuales se cumple con toda certeza que
2sen 2 0 .
Solución
A Se plantea la ecuación que se debe resolver, la cual se reduce a calcular las preimágenes de
2
2
.
2sen 2 0
2sen
2
B Se establece un valor conocido.
2sen
4 2
C La función seno es negativa en los cuadrantes III y IV, lo cual permite encontrar dos posibles valores para las preimágenes.
5 7o
4 4
D Se aplica la periodicidad de la función seno para encontrar todas las preimágenes.
52k k
42
sen o2
72k k
4
Ejercicios
1. Calcule los valores de x para los cuales se cumple con toda certeza que
3tanx 3 0 .
2. Asocie cada función trigonométrica con su respectiva imagen, escribiendo la letra correspondiente dentro del paréntesis.
A 38sen
3
2
3
B 19cos
6
3
2
C 14csc
3
1
3
D 35sec
6
3
2
E 19tan
6
1
3
F 49cot
3
2
3
3. Si f x secx determine cuáles de los siguientes valores de x tienen la
misma imagen:
a) 32
6
b) 29
6
c) 41
6
d) 47
6
4. Si h x senx
calcule las preimágenes de 1 .
5. Calcule los valores de para los cuales se cumple con toda certeza que
4cos 2 0 .
Soluciones
1.
A Se plantea la ecuación que se debe resolver, la cual se reduce a calcular las preimágenes de
3
3
.
3tanx 3 0
3tanx
3
B Se establece un valor conocido tomando en cuenta que la función tangente es negativa en el II cuadrante.
3tan
6 3
5 3tan
6 3
D Se aplica la periodicidad de la función tangente para encontrar todas las preimágenes.
3 5tanx x k k
3 6
2.
A 38 3sen sen
3 3 2
2D
3
B 19 3cos cos
6 6 2
3B
2
C 14 2csc csc
3 3 3
1E
3
D 35 2sec sec
6 6 3
3A2
E 19 1tan tan
6 6 3
1F
3
F 49 1cot cot
3 3 3
2C
3
3.
A Se analiza 32
x6
.
32 16x
6 3
Se ubica en el III cuadrante donde la secante es negativa.
16sec sec 2
3 3
B Se analiza 29
x6
.
Se ubica en el III cuadrante donde la secante es negativa.
29 2sec sec
6 6 3
C Se analiza 41
x6
.
Se ubica en el II cuadrante donde la secante es negativa.
41 2sec sec
6 6 3
D Se analiza 47
x6
.
Se ubica en el I cuadrante donde la secante es positiva.
47 2sec sec
6 6 3
E Se da respuesta al problema planteado.
Los valores de x que tienen la misma
imagen son 29
6
y 41
6
.
4.
A Se encuentra el primer ángulo cuadrantal para obtener una preimagen.
3sen 1
2
B Se aplica la periodicidad de la función seno para encontrar todas las preimágenes.
senx 1
3x 2k tal que k
2
5.
A Se plantea la ecuación que se debe resolver, la cual se reduce
a calcular las preimágenes de1
2.
4cosx 2 0
1cosx
2
B Se establece una preimagen usando el valor conocido del I cuadrante.
1cos
3 2
D Se aplica la periodicidad de la función coseno para encontrar todas las preimágenes.
1cosx x 2k k
2 3
