SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...
Cálculo Multivariado - Math · 2015. 9. 3. · Cálculo Multivariado. Contenido 1. Funciones de Rn...
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Cálculo Multivariado
Contenido
1. Funciones deRn aR 2
1Funciones de R
n a R
1: Funciones, límites y continuidad
Una función de varias variablesR2 aR tiene la forma:
f(x, y) = z
dondex, y ∈ D ⊆ R2.
y
x
z
y
x
z
x
y
f(x, y) = x2 + y2
3
y
x
z
y
x
z
x
y
f(x, y) = sin(x+ sin y)
y
x
z
y
x
z
x
y
f(x, y) = x2 − y2
y
x
z
y
x
z
x
y
f(x, y) = −8y/(x2 + y2 + 1)
Definición:seaf una función de dos variables con dominioD. Decimos queL es límite def(x, y) cuando(x, y)se apróxima a(a, b), quedando escrito como lım
(x,y)→(a,b)f(x, y) = L, si para todoǫ > 0, existeδ > 0, tal que si
|(x, y)− (a, b)| < δ, entonces|f(x, y)− L| < ǫ.
Ejercicio:Mostrar que lım(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2no existe. Si nos aproximamos al(0, 0) por el ejex, es deciry = 0,
entonces tenemosx2 − y2
x2 + y2=
x2
x2= 1. Por el contrario si nos aproximamos al(0, 0) por el ejey, es decirx = 0,
entonces tenemosx2 − y2
x2 + y2=
−y2
y2= −1. Lo que significa que el lım
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2no existe.
Ejercicio:Mostrar que lım(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe. En este caso si nos acercamos por los ejesx o y al (0, 0) en
ambos casos0
y2= 0 y
0
x2= 0, pero si nos acercamos por la rectax = y
xy
x2 + y2=
x2
x2 + x2=
1
2, por lo tanto el
límite tampoco existe.
4
Ejercicio: Mostrar que lım(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y4no existe. En este caso, para cualquier líneay = mx, tenemos
x(mx)2
x2 + (mx)4=
m2x3
x2 + (mx)4=
m2x
1 +m4x2que tiende a0 si (x, y) → (0, 0). Pero si nos acercamos por la pa-
rábolax = y2, tenemosxy2
x2 + y4=
y4
x4 + y4=
1
2, esto quiere decir que el límite tampoco existe.
Definición: seaf una función de dos variables con dominioD. Decimos quef(x, y) es continua en(a, b) silım
(x,y)→(a,b)f(x, y) = f(a, b). f es continua enD, si es continua en todos los puntos deD.
2: Derivadas
Para funciones de varias variables existen diferentes derivadas:
1. Derivadas parciales.
2. Derivadas direccionales.
3. Derivada.
Derivadas ParcialesLa derivada, al igual que en cálculo de una variable, es un límite. La derivada existe en un puntoa ∈ D en el
dominio de la función si el límite existe. En el caso de varias variables, primero se considera el caso, de aproximarsepor los ejesx y y, entonces decimos que existen las derivadas parciales, respecto ax o ay. Sif(x, y) es la función, la
derivada respecto ax, tomando ay como constante, se denota comofx(x, y) o fx o∂f
∂x. Análogamente la derivada
parcial respecto ay, existe si el limite al aproximarse al punto considerado por el ejey. Denotamos a la parcial
respecto ay comofy(x, y) o fy o∂f
∂y.
Por otra parte si nos aproximaos al punto en cuestión por una línea rectay = ax o equivalentemente por ladirección del vectoru, entonces decimos que existe la derivada direccional defu(x, y). Por su puesto las derivadasparciales son las derivadas direccionales pori, j o k.
Finalmente la derivada (a secas) de una función de varias variables existe, si existe el límite cuándo nos aproxi-mamos por cualquier lugar. Generalmente se denota porDf(x, y).
Hecho : sif(x) : R → R, entoncesL(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0), es decirL(x) es una línea que aproxima af(x) cerca dex0.
En el casoR2 → R, L(x, y) la derivada de una funciónf(x, y) : R2 → R es la matriz
(
∂f
∂x,∂f
∂y
)
.
En el casoR3 → R, L(x, y) la derivada de una funciónf(x, y, z) : R3 → R es la matriz
(
∂f
∂x,∂f
∂y,∂f
∂z
)
.
En general para funciones deRn → R, L(x1, .., xn) la derivada de una funciónf(x) : Rn → R es la matriz(
∂f
∂x1,∂f
∂x2, ...,
∂f
∂xn
)
.
El vector
(
∂f
∂x1,∂f
∂x2, ...,
∂f
∂xn
)
también es llamado el gradiente def y denotado como∇f .
Para el caso generalf : Rn → Rm la derivada se convierte en la matriz Jacobiana.
J(f) =
∂y1
∂x1· · ·
∂y1
∂xn
.... . .
...∂ym
∂x1· · ·
∂ym
∂xn
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Ejercicio:Seaf(x, y) = xexy, entoncesfx = xyexy + exy.
Notación:fxx =∂2f
∂x2, fxy =
∂2f
∂y∂x, fyx =
∂2f
∂x∂y.
Teorema de Clairaut: Sif está definida en el discoD y (a, b) ∈ D. Si las funcionesfxy, fyx son continuas en
D, entoncesfxy(a, b) = fyx(a, b).
Regla de la cadena en una variable:
Sabemos que(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) odf
dx=
df
dy
dy
dxdondey = g(x).
Regla de la cadena en dos variable: Seaz = f(x, y), y x = g(t), y = h(t), todas diferneciables, entonces
dz
dt=
∂f
∂x
dx
dt+
∂f
∂y
dy
dt
Ejercicio:SeaS(w, h) = 0,1091w0,425h0,725 la función que relaciona la superficie (pies cuadrados) del cuerpode una persona en función de su pesow (el libras) y la alturah (en pulgadas). Encuentre la tasa a la cualS cambia sidw
dt= 10lb/año y
dh
dt= 2,3pul/año,w = 100lb, y h = 60pul.
ComodS
dt=
∂S
∂w
dw
dt+
∂S
∂h
dh
dt
= (0,1091)(0,425)w−0,575h0,725 dw
dt+ (0,1091)(0,725)w0,425h−0,275 dh
dt= (0,1091)(0,425)(100)−0,575(60)0,725(10) + (0,1091)(0,725)(100)0,425(60)−0,275(2,3)= 1,057
Regla de la cadena en dos variable: Seaz = f(x, y), y x = g(s, t), y = h(s, t), todas diferneciables, entonces
dz
ds=
∂f
∂x
∂x
∂s+
∂f
∂y
∂y
∂s
dz
dt=
∂f
∂x
∂x
∂t+
∂f
∂y
∂y
∂t
Derivadas Direccionales
Si f(x, y, z) es diferenciable, la derivada direccional def en dirección del vector unitariou = (a, b, c)es:
Duf(x, y) = ∇(f) · u
Duf(x, y) = fxa+ fyb+ fzc
Regla de la cadena en dos variable: Supongamos quef es diferenciable. El valor valor máximo deDu ocurrecuandou tiene la misma dirección que∇f , y el valor es|∇f |.
Ejercicio:Seaφ(x, y, z) = c una superficie, entonces∇φ es un vector perpendicular a la superficie.
6
Máximos y mínimos
1. Una funciónf(x, y) tiene un máximo local, sif(x, y) ≤ f(a, b) en una vecindad de(a, b).
2. Una funciónf(x, y) tiene un mínimo local, sif(x, y) ≥ f(a, b) en una vecindad de(a, b).
Si f tiene un máximo o mínimo local, entoncesfx(x, y) = 0. y fy(x, y) = 0
Supóngase que las segundas derivadas parciales def son continuas en una vecindad de(a, b), yfx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.
D =
∣
∣
∣
∣
fxx fxyfyx fyy
∣
∣
∣
∣
Entonces:
1. SiD > 0, y fxx > 0, f(a, b) es unmínimo local.
2. SiD > 0, y fxx < 0, f(a, b) es unmáximo local.
3. SiD < 0, y fxx > 0, f(a, b) es unpunto silla.
Multiplicadores de Lagrange
Para encontrar los máximos o mínimos def(x, y, z) sujeto a la restriccióng(x, y, z) = k:1. Encontrar los valoresx, y, z y λ tales que:∇f(x0, y0, z0) = λ∇g(x0, y0, z0) y g(x, y, z) = k
2. Evaluar los puntos de paso anterior, el valor más grande es el máximo, el valor más pequeño es elmínimo.