Coloración de Grafos Planos

Huberto Ayanegui SantiagoHuberto Ayanegui Santiago

José María Vega RamosJosé María Vega Ramos

Enrique Ayala FrancoEnrique Ayala Franco

Avance del proyecto de medio término

15 de marzo de 2001

Coloración de grafosColoración de grafos

Consiste en asignar colores a los vértices de un grafo no dirigido con la condición que para todo par de vértices adyacentes estos no sean coloreados del mismo color.

AplicacionesAplicaciones

Grafos PlanosGrafos PlanosDefinición:

Un grafo finito no dirigido se denomina plano, si puede ser dibujado sobre una superficie plana de forma que sus aristas se intersecten únicamente en los vértices.

Grafos PlanosGrafos Planos

Ejemplos:

Teorema de los 4 coloresTeorema de los 4 coloresCualquier grafo plano puede ser coloreado con no más de cuatro colores, de modo que ningún par de vértices adyacentes tengan el mismo color.

Francis Guthrie (1850)

El teorema fue comprobado por Appel  y Haken (1976)

Teorema de los 4 coloresTeorema de los 4 colores

Solución propuestaSolución propuesta

Grafo plano

Matriz de adyacencias

Reducción a FNC´s

Davis &Putnam

Solución

Interpretación

4

1

5

32

MATRIZ DE ADYACENCIASMATRIZ DE ADYACENCIAS

X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5

X1X1 11 11 11 11

X2X2 11 11

X3X3 11 11

X4X4 11 11 11

X5X5 11 11 11

Reducción del Grafo a CláusulasReducción del Grafo a Cláusulas

Para el Grafo mostrado tenemos 5 vértices y 4 colores posibles para colorearlo

Definiremos una proposición de la forma:

Xi,j

donde:

i = # de vertice j = # de color

El primer paso es garantizar que cada vértice tenga al menos un color.

Entonces proponemos cláusulas de esta forma:Entonces proponemos cláusulas de esta forma:

XX1111 v X v X1212 v X v X1313 v X v X1414

XX2121 v X v X2222 v X v X2323 v X v X2424

XX3131 v X v X3232 v X v X3333 v X v X3434

XX4141 v X v X4242 v X v X4343 v X v X4444

XX5151 v X v X5252 v X v X5353 v X v X5454

El segundo paso es garantizar que cada vértice tenga un solo color.Y las cláusulas tienen esta forma:Y las cláusulas tienen esta forma:

~X~X1111 v ~X v ~X1212 v ~X v ~X1313 v ~X v ~X1414

~X~X2121 v ~X v ~X2222 v ~X v ~X2323 v ~X v ~X2424

~X~X3131 v ~X v ~X3232 v ~X v ~X3333 v ~X v ~X3434

~X~X4141 v ~X v ~X4242 v ~X v ~X4343 v ~X v ~X4444

~X~X5151 v ~X v ~X5252 v ~X v ~X5353 v ~X v ~X5454

El Tercer Paso es garantizar que para cada dos vértices adyacentes no tengan el mismo color.

~X~X1111 v ~X v ~X2121

~X~X1212 v ~X v ~X2222

~X~X1313 v ~X v ~X2323

~X~X1414 v ~X v ~X2424

En la primera cláusula se indica que el vértice 1 adyacente al 2, no pueden tener el mismo color 1, y así susesivamente para cada par de vértices adyacentes

Al convertir a la Matriz FNC

• 0 = ~X0 = ~X• 1 = X1 = X• -1 = no hay asignación de verdad-1 = no hay asignación de verdad• -2 = proposición que fue eliminada -2 = proposición que fue eliminada

Consideraremos:

FNC en MatrizXX1111 XX1212 XX1313 XX1414 ............ XX3131 .......... XX5353 XX5454

CC11 11 11 11 11 -1-1 -1-1 -1-1

CC22 11 11 11 11 -1-1 -1-1 -1-1

CC33 11 11 11 11 -1-1 -1-1 -1-1

CC44 11 11 11 11 -1-1 -1-1 -1-1

CC55 11 11 11 11 -1-1 -1-1 -1-1

CC66 00 00 00 00 -1-1 -1-1 -1-1

........

CC2929 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 00 -1-1

CC3030 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 00

Solución SATSolución SATfunction davis-putnam(in FORMULA : lista de cláusulas) reduce(FORMULA, VREDUCE) if FORMULA esta vacia then return VREDUCE; else if FORMULA contiene una clausula vacía then return "FAIL“ else begin escoge una variable V de FORMULA; VALUACION := davis-putnam(substituye(TRUE, V, FORMULA)) if VALUACION != FAIL then return agrega(V->TRUE, VREDUCE, VALUACION); VALUACION := davis-putnam(substituye(FALSE, V, FORMULA)) if VALUACION != FAIL then return agrega(V->FALSE, VREDUCE, VALUACION); return FAIL end endif end davis-putnam

Solución SATSolución SAT

function substituye(TF, V, FORMULA) For cada clausula C en FORMULA do if [C contiene a V y TF = TRUE] o [C contiene a ~V y TF = FALSE] then borrar C de FORMULA else if [C contiene a V y TF = FALSE] o [C contiene a ~V y TF = TRUE] then borrar V de C endif endFor return FORMULAend_substituye

Solución SATSolución SAT

Procedure Reduce(in out FORMULA, VREDUCE) VREDUCE := vacío;While exista una clausula C en FORMULA con solo una literal L IF L es una variable positiva V then FORMULA := sustitucion(VERDADERO, V, FORMULA) VREDUCE := cons(V-> TRUE, VREDUCE); Else IF L es la negacion de la variable V then FORMULA := sustitucion(FALSE,V,FORMULA) VREDUCE := cons(V-> FALSE, VREDUCE); EndIF EndWhile return(FORMULA)end_Reduce

4

1

5

32