Combinaciones y permutacionesQu diferencia hay?Normalmente usamos la palabra "combinacin" descuidadamente, sin pensar en si elordende las cosas es importante. En otras palabras:"Mi ensalada de frutas es una combinacin de manzanas, uvas y bananas": no importa en qu orden pusimos las frutas, podra ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinacin de la cerradura es 472": ahorasimporta el orden. "724" no funcionara, ni "247". Tiene que ser exactamente4-7-2.

As que en matemticas usamos un lenguaje mspreciso:Si el orden no importa, es unacombinacin.

Si el ordensimporta es unapermutacin.

As que lo de arriba se podra llamar "cerradura de permutacin"!

Con otras palabras:Una permutacin es una combinacinordenada.

Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutacin...Posicin"

PermutacionesHay dos tipos de permutaciones: Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podra ser "333". Sin repeticin: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primeroysegundo a la vez.1. Permutaciones con repeticinSon las ms fciles de calcular. Si tienesncosas para elegir y eligesrde ellas, las permutaciones posibles son:n n ... (r veces) = nr(Porque haynposibilidades para la primera eleccin, DESPUS haynposibilidades para la segunda eleccin, y as.)Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 nmeros para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:10 10 ... (3 veces) = 103= 1000 permutacionesAs que la frmula es simplemente:nr

dondenes el nmero de cosas que puedes elegir, y eligesrde ellas(Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repeticinEn este caso, sereduceel nmero de opciones en cada paso.Por ejemplo, cmo podras ordenar 16 bolas de billar?Despus de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

As que tu primera eleccin tiene 16 posibilidades, y tu siguiente eleccin tiene 15 posibilidades, despus 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sera:16 15 14 13 ... = 20,922,789,888,000Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, slo 3 de ellas, as que sera solamente:16 15 14 = 3360Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.Pero cmo lo escribimos matemticamente? Respuesta: usamos la "funcin factorial"Lafuncin factorial(smbolo:!) significa que se multiplican nmeros descendentes. Ejemplos: 4! = 4 3 2 1 = 24 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 1! = 1

Nota: en general se est de acuerdo en que0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningn nmero d 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

As que si quieres elegirtodaslas bolas de billar las permutaciones seran:16! = 20,922,789,888,000Pero si slo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar despus de 14. Cmo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...16 15 14 13 12 ...= 16 15 14 = 3360

13 12 ...

Lo ves?16! / 13! = 16 15 14La frmula se escribe:

dondenes el nmero de cosas que puedes elegir, y eligesrde ellas(No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sera:16!=16!=20,922,789,888,000= 3360

(16-3)!13!6,227,020,800

De cuntas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?10!=10!=3,628,800= 90

(10-2)!8!40,320

(que es lo mismo que:10 9 = 90)NotacinEn lugar de escribir toda la frmula, la gente usa otras notaciones como:

CombinacionesTambin hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el ordennoimporta): Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10) Sin repeticin: como nmeros de lotera (2,14,15,27,30,33)1. Combinaciones con repeticinEn realidad son las ms difciles de explicar, as que las dejamos para luego.2. Combinaciones sin repeticinAs funciona la lotera. Los nmeros se eligen de uno en uno, y si tienes los nmeros de la suerte (da igual el orden) entonces has ganado!La manera ms fcil de explicarlo es: imaginemos que el orden s importa (permutaciones), despus lo cambiamos para que el ordennoimporte.Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qu 3 bolas se eligieron, no el orden.Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:El orden importaEl orden no importa

1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 11 2 3

As que las permutaciones son 6 veces ms posibilidades.De hecho hay una manera fcil de saber de cuntas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:3!= 3 2 1 = 6(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de4!= 4 3 2 1 = 24maneras distintas, prueba t mismo!)As que slo tenemos que ajustar nuestra frmula de permutaciones parareducirpor las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta frmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes parntesis, as:

dondenes el nmero de cosas que puedes elegir, y eligesrde ellas(No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".NotacinAdems de los "grandes parntesis", la gente tambin usa estas notaciones:

EjemploEntonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:16!=16!=20,922,789,888,000= 560

3!(16-3)!3!13!66,227,020,800

O lo puedes hacer as:161514=3360= 560

3216

As que recuerda, haz las permutaciones, despus reduce entre "r!"... o mejor todava...Recuerda la frmula!Es interesante darse cuenta de que la frmula es bonita ysimtrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.16!=16!=16!= 560

3!(16-3)!13!(16-13)!3!13!

Tringulo de PascalPuedes usar eltringulo de Pascalpara calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aqu tienes un trozo de la fila 16:1 14 91 364 ...1 15 105 455 1365 ...1 16 120 560 1820 4368 ...1. Combinaciones con repeticinOK, ahora vamos con este...Digamos que tenemos cinco sabores de helado:banana, chocolate, limn, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. Cuntas variaciones hay?Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son {c, c, c} (3 de chocolate) {b, l, v} (uno de banana, uno de limn y uno de vainilla) {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)

(Y para dejarlo claro: hayn=5cosas para elegir, y eligesr=3de ellas.El orden no importa, yspuedes repetir!)Bien, no puedo decirte directamente cmo se calcula, pero te voy a ensear unatcnica especialpara que lo averiges t mismo.Imagina que el helado est en contenedores, podras decir "sltate el primero, despus 3 paladas, despus sltate los 3 contenedores siguientes" y acabars con 3 paladas de chocolate!

Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrs lo que quieres.

Ahora puedes escribirlo como(la flecha es saltar, el crculo es tomar)Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir as:{c, c, c} (3 de chocolate):

{b, l, v} (uno de banana, uno de limn y uno de vainilla):

{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):

OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problemams simplepara resolver: "de cuntas maneras puedes ordenar flechas y crculos"Fjate en que siempre hay 3 crculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1 al 5).As que (en general) hayr + (n-1)posiciones, y queremos querde ellas tengan crculos.Esto es como decir "tenemosr + (n-1)bolas de billar y queremos elegirrde ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con nmeros un poco distintos. Lo podras escribir as:

dondenes el nmero de cosas que puedes elegir, y eligesrde ellas(Se puede repetir, el orden no importa)

Es interesante pensar que podramos habernos fijado en flechas en vez de crculos, y entonces habramos dicho "tenemosr + (n-1)posiciones y queremos que(n-1)tengan flechas", y la respuesta sera la misma...

Qu pasa con nuestro ejemplo, cul es la respuesta?(5+3-1)!=7!=5040= 35

3!(5-1)!3!4!624

En conclusinUau, es un montn de cosas que absorber, quizs tendras que leerlo otra vez para entenderlo todo bien!Pero sabercmofuncionan estas frmulas es slo la mitad del trabajo. Averiguar cmo se interpreta una situacin real puede ser bastante complicado.Por lo menos ahora sabes cmo se calculan las 4 variantes de "el orden s/no importa" y "s/no se puede repetir".Calculadora de combinaciones y permutacionesEl tringulo de PascalBuscar::ndice de Temas::Sobre Nosotros::Contctanos::Cita esta Pgina::Privacidad

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