Combinatoria – Matemáticas B - 4º E.S.O. 1

COMBINATORIA

EJERCICIO 1 : ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con los nueve primeros números, sin que se repitan las cifras?

EJERCICIO 2 : ¿Cuántas pesadas diferentes podrán hacerse con ocho pesas distintas, tomándolas de tres en tres?

EJERCICIO 3 : ¿De cuántas formas pueden colocarse los cinco delanteros de un equipo de fútbol, si los extremos permanecen invariables?

EJERCICIO 4 : Con 1, 2, 3, 4, 6, ¿cuántos números de cinco cifras, no repetidas, pueden formarse que sean múltiplos de 2?

EJERCICIO 5 : Una línea de autobuses consta de 15 puntos de parada, ¿cuántos billetes tendrán que imprimir, si cada uno lleva las estaciones de origen y llegada y sirviendo el billete para un sentido o para el otro?

EJERCICIO 6 : Para jugar al dominó siete fichas hacen un juego. Sabiendo que son 28 fichas, hallar cuántos juegos diferentes podrán obtenerse.

EJERCICIO 7 : ¿De cuántas maneras podrán distribuirse ocho premios iguales entre 12 aspirantes? ¿Y si los premios fueran diferentes?

EJERCICIO 8 : En un plano tenemos nueve puntos, que no están tres en línea recta, ¿cuántas rectas distintas podemos trazar?

EJERCICIO 9 : ¿De cuántas maneras puede ser perseguidos cinco ratones por cinco gatos, teniendo en cuenta que al gato más pequeño le dejan el menor ratón?

EJERCICIO 10 : Una persona tiene dos sortijas diferentes. ¿De cuántas maneras puede ponérselas, ya en la mano derecha, ya en la izquierda, colocando una sola sortija en cada dedo y exceptuando el pulgar de cada mano?

EJERCICIO 11 : ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 5 alumnos en un banco? ¿Y alrededor de una mesa circular?

EJERCICIO 12 : Con tres vocales y tres consonantes, ¿cuántas palabras de seis letras pueden formarse con la condición de que no figuren dos consonantes seguidas ni tres vocales seguidas?

EJERCICIO 13 : Calcular el número de ordenaciones que pueden hacerse, conteniendo sin repetición, todas las letras de la palabra NOVELA, en las que no hay dos vocales ni dos consonantes juntas.

EJERCICIO 14 : ¿Cuántos números de seis cifras sin repetir, pueden formarse con las seis primeras cifras significativas (1, 2, 3, 4, 5, 6) y que sean menores que 650.000?

EJERCICIO 15 : ¿Cuántos números de cuatro cifras, no repetidas, pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿En cuántos entrará la cifra 5?

EJERCICIO 16 : ¿Cuántos números podríamos formar con las nueve cifras significativas (1...9), de manera que en cada número entren todas y no se repita ninguna? ¿Cuántos empiezan por 123?

EJERCICIO 17 : Un destacamento de 26 hombres debe guarnecer una posición con 4 hombres, ¿Cuántas guardias diferentes, pueden formar? ¿Cuántas veces entra en servicio cada hombre?

EJERCICIO 18 : En un cuartel hay cinco capitanes y 200 soldados. Cada día hacen guardia 1 capitán y 10 soldados. ¿Cuántas guardias diferentes se pueden formar?

EJERCICIO 19 : Hallar cuántos números hay mayores que 1.000 y menores que 4.000 que estén formados por cuatro cifras, sin repetir entre la ocho primeras cifras significativas.

Combinatoria – Matemáticas B - 4º E.S.O. 2

EJERCICIO 20 : ¿Cuántas banderas tricolores se pueden formar con los siete colores del espectro, con la condición de que en todas ellas entre el color amarillo y en ninguna figure el violeta?

EJERCICIO 21 : Un restaurante tiene tres clases de sopa, 4 clases de carne y 5 clases de postre. ¿De cuántas maneras diferentes puede elegir una persona un menú formado por sopa, carne y dos postres?

EJERCICIO 22 : ¿De cuántos modos diferentes pueden alinearse los 11 jugadores de un equipo de fútbol, admitiendo que un defensa, el portero y el extremo izquierda juegan siempre en la misma posición?

EJERCICIO 23 : ¿Cuántos números diferentes entre 1.000 y 10.000 pueden formarse con las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 si las cifras pueden ser iguales o distintas? ¿Y si ninguna de las cifras se puede repetir?

EJERCICIO 24 : ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse con las letras, A, B, C, q, r de manera que: a) Comiencen por mayúscula b) Comiencen y terminen por mayúscula.

EJERCICIO 25 : Hallar los distintos grupos que se pueden formar con cuatro cifras y cuatro letras, con la condición de que en todos, aparezcan dos cifras y tres letras.

EJERCICIO 26 : ¿Cuántos números capicúas hay de cinco cifras?

EJERCICIO 27 : ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 que sean mayores de 20.000 y menores que 50.000?

EJERCICIO 28 : ¿Cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse con las letras de la palabra MATEMATICAS?

EJERCICIO 29 : Se tienen 7 libros grandes distintos, 5 medianos y 3 pequeños. ¿De cuántas formas diferentes se pueden alinear en un estante si han de colocarse juntos los del mismo tamaño?

EJERCICIO 30 : A una reunión asisten veinte personas. a) ¿Cuántos grupos distintos de seis personas puedan formarse?. b) ¿En cuántos de esos grupos entre la persona A?. c) En cuántos entran las personas A, B y C?. d) ¿En cuántos de estos grupos no está la persona A?

EJERCICIO 31 : Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de cinco cifras distintas se pueden hacer que sean múltiplos de 5?

EJERCICIO 32 : En una carrera participan 5 coches, con las mismas posibilidades iniciales de ganar. ¿Cuántas clasificaciones distintas se pueden producir al final, si cada uno de los cinco emplea distinto tiempo?

EJERCICIO 33 : Se tiene seis libros encuadernados en negro, cuatro en rojo y tres en azul. ¿De cuántas maneras pueden colocarse alineados en un estante, con tal de que estén juntos los del mismo color? ¿Y si los del mismo color fuesen iguales entre si? Contesta a las dos preguntas anteriores si no es necesario que estén juntos los del mismo color.

EJERCICIO 34 : De las cuarenta preguntas de que consta un test, una persona debe de contestar a treinta. A) ¿De cuántos modos puede elegir? B) ¿De cuántas maneras, si las diez primeras son obligatorias?.

EJERCICIO 35 : Se tienen dos conjuntos A = {2, 4, 6, 8} y B = {1, 3, 5}. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes pueden formarse, tomando dos elementos de A y dos de B?

EJERCICIO 36 : ¿Cuántos números distintos se pueden formar con las cifras del número 3.232.121?

EJERCICIO 37 : Una fábrica de helados tiene dieciocho extractos diferentes para dar sabor. ¿Cuántos helados “al corte”, del tipo “tres gustos” puede preparar?

EJERCICIO 38 : En una reunión hay tres chicas y siete chicos. ¿Cuántos grupos distintos de cuatro personas pueden formarse? Si se quiere que en cada grupo formado haya una chica, ¿cuántos grupos hay en este caso?

Matemáticas B – 4º E.S.O. Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 1

ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

EJERCICIO 1 : Resuelve las siguientes ecuaciones

a) –2(3x-3) = 4x –12 + x –5 b) 5

3x5x2

15

x6

10

)x4.(3 +−=+−c) 2x.(x+1) –3x = x2 –3

d) x4 – 5x2 + 4 = 0 e) 02x4x =+−+ f) 32x1x =++−

g) 9

10x

3

2

3

1x

2

=+

− h) x4 – 48x2 – 49 = 0 i) 4x4 – 25x2 = 0

j) 2(2x + 1)2 – 3(2x –1)2 + 5(2x – 1)(2x + 1) = 0 k) 12x91x4 −=−−+

l) 12

5

x

1

x3

12

=+ m) 4

15

1x

x2

1x

x =−

++

n) 012x69x4 =+−+

n ) (x2 − 3) (x + 1) x = 0 ñ) x4 − 2x2 − 8 = 0 o) (x2 − 1) (2x + 3) = 0

EJERCICIO 2 : Escribe una ecuación cuyas soluciones sean –1, 5, 3 y - 3

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIO 3 :Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

−=−−=−11y5x2

22y4x6b)

−=−−−

=+

1x)yx(2

yx2

2y4

1x

3

1

c)

==+

3xy

10yx 22

d)

−=

=−+

6x2y

12

13

1x

1x5

2

2 e)

=+−−

=+

0y32x

5yxf)

=−=+

5xy

12y2x322

PROBLEMAS

EJERCICIO 4 : La diferencia de dos números naturales es 3 y su producto es 154. Halla esos dos números.

EJERCICIO 5 : En un rectángulo de 495 cm2 de área, la altura excede al doble de la base en 3 unidades. Halla las dimensiones del rectángulo.

EJERCICIO 6 : Se quieren repartir 4550 euros entre dos personas de modo que una de ellas reciba los 2/5 de la segunda. ¿Qué cantidad recibirá cada una?

EJERCICIO 7 : Un bodeguero mezcla 250 l de vino superior a 3,6 €/l con cierta cantidad de otro vino más corriente de 1,6 €/l, resultando la mezcla a 2,1 €/l. ¿Cuántos litros del vino más corriente se necesitan?

EJERCICIO 8 : Una maleta de viaje y un neceser costaban juntos un total de 110 €. El precio de la maleta es 5 € más que el doble del precio del neceser. Halla el precio de ambos artículos.

EJERCICIO 9 : El lado desigual de un triángulo isósceles mide 8 cm y la altura doble dicho lado mide 1 cm menos que otro de los lados del triangulo. Calcula la longitud de dicho lado.

Matemáticas B – 4º E.S.O. – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 2

EJERCICIO 10 : Un gato, desde su escondite, observa una presa en lo alto de un árbol. Para cazarla corre por el suelo 13 s y trepa por el tronco del árbol durante 15 s, con una velocidad que es la mitad de la que tenía en el suelo. El recorrido total es de 82 m. Averigua a qué distancia se encuentra el pie del árbol del escondite del gato.

EJERCICIO 11 : La edad de una madre hace dos años era seis veces la edad de su hijo, pero dentro de dos años será solo cuatro veces mayor. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?.

EJERCICIO 12 : En un triángulo de 15 cm2 de área, la altura excede al triple de la base en 1 unidad. Halla la base y la altura del triángulo.

EJERCICIO 13 : Un campo de baloncesto, de forma rectangular, tiene 40 m más de largo que de ancho. Calcula las dimensiones de dicho campo sabiendo que el área es de 2 680,25 m2.

EJERCICIO 14 : Carlos y Elvira tienen, entre los dos, 108 €. Si Elvira le diera a Carlos 7 €, entonces Carlos tendrá la mitad del dinero que tendría Elvira. Averigua cuánto dinero tiene cada uno.

EJERCICIO 15 : La edad de Alicia es el cuádruple de la de Pablo, pero dentro de 16 años será solamente el doble. Halla la edad actual de Alicia y de Pablo.

EJERCICIO 16 : Entre Rosa y Beatriz tienen 124 discos compactos. Si Rosa le diera a Beatriz 3 discos, entonces Rosa tendría el triple de discos que Beatriz. ¿Cuántos discos tiene cada una?

EJERCICIO 17 : Dos amigos deciden reunir su dinero para poder comprar un vídeo juego que vale 120 euros. Al final, uno de ellos pide 10 euros a su padre para poder poner la mitad que el otro. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

EJERCICIO 18 : Halla dos números consecutivos que multiplicados den 1806

EJERCICIO 19 : Hemos comprado un terreno rectangular que mide el doble de largo que de ancho. Si nos dicen que su área es 231 m2 ¿ Qué longitudes tienen sus lados?

EJERCICIO 20 : Calcula el valor de m para que la siguiente ecuación tenga una solución doble: 2x2 + 3x + m=0

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

EJERCICIO 21 : Resuelve las siguientes inecuaciones

a) 6

5x7)8x2(

3

1 +≤− b) 8

1x36x4x

2

5 +<−+ c) x32

)2x(3 >+

d) x2 – 25 ≥ 0 e) 5x2 – 6x + 9 > 0 f) 0x

1x2 >−

g) (5 + x)(x - 1) > 0 h) 2x

1x2 + ≥ 0 i) x2 + 3x < 0

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE INECUACIONES

EJERCICIO 22 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones

a)

−≥−+≥−2x7x2x6

)4x3.(24x5b)

−≤−

−<−

)1x15(2

14x7

x6

18x

4

1

c)

>+

−≥+−

01x

4x

06x5x

2

2

3 Matemáticas B – 4º E.S.O. – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas.

PROBLEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

EJERCICIO 23 : Si el triple de la edad de Roberto menos cinco años es menor que su edad más trece años, ¿qué se puede decir de la edad de Roberto?

EJERCICIO 24 : Si tuviera el triple de lo que tengo en un bolsillo, me faltaría menos de 2 euros para tener 20 euros., pero si tuviera el cuádruple no llegaría a los 27 euros. ¿Qué podemos decir de la cantidad que tengo?

EJERCICIO 25 : Desde mi mesa hasta la estantería, doy 5 palmos y aún me falta algo para llegar. Si desde el suelo subo 9 palmos sobrepaso la estantería. La mesa tiene 70 cm. de alta; la estantería 180 cm. ¿Qué puedo decir de la longitud de mi palmo? (Nota: La mesa y la estantería están apoyadas en el suelo)

EJERCICIO 26 : Ramón y Nuria han medido la pizarra a palmos. Ramón ha contado entre 16 y 17 palmos. Nuria cuenta más de 17 pero no llega a 18. Si el palmo de Ramón mide 19’5 y el de Nuria 18 cm. ¿Cuánto mide la pizarra?

EJERCICIO 27 : Le pregunté a mi padre: ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina? -No sé, nunca me he fijado. -Pero hombre... lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos hermanos, tú y yo. ¿Cuánto has pagado? -Algo más de 7 euros.. -El domingo pasado además de nosotros seis invitaste a dos amigos míos. ¿Cuánto pagaste? -Era poco menos de 10 euros, pues puse un billete y dejé la vuelta. ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina?

EJERCICIO 28 : Para comprar un regalo, Emilia ha ido reuniendo monedas de 50 céntimos y de 1 euro, juntando en total 20 monedas. Si el precio del regalo es mayor que 16 euros y menor que 18 euros., ¿qué número de monedas podía tener de 1 euro?

EJERCICIO 29 :.En un rectángulo, la altura mide 12 cm y la base es desconocida. Si se sabe que su área está comprendida entre 300 y 600 cm2, pudiendo ser incluso alguno de estos dos valores, ¿qué puede decirse de la medida de la base?

EJERCICIO 30 : Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la ecuación 8x2-(m-1)x+m-7=0 para que tenga raíces reales.

Estadística –Matemáticas B – 4º E.S.O. 1

ESTADÍSTICA

Ejercicio1 : En un grupo de 20 personas, hemos preguntado por el número de individuos que viven en su

hogar. Las respuestas has sido las siguientes: 4 5 3 4 1 4 2 3 5 4

3 4 4 5 3 3 5 3 2 4a) Elabora una tabla de frecuencias.b) Representa gráficamente la distribución.

Ejercicio2 : En un grupo de 30 personas, hemos medido la estatura, en centímetros, de cada una de ellas, obteniendo los siguientes resultados: 160 163 165 164 162 168 175 167 159 160

161 164 167 168 154 163 164 167 164 165

166 168 165 167 169 164 150 166 147 170a) Agrupa los datos en intervalos y elabora una tabla de frecuencias.b) Representa gráficamente la distribución.

Ejercicio3 : En la siguiente tabla se resumen las notas obtenidas por los/as alumnos/as de un grupo en un examen de matemáticas:

NOTAS [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10] Nº ALUMNOS/AS 2 3 11 16 8

a) Elabora una tabla de frecuenciasb) Representa gráficamente la distribución

Ejercicio4 : La siguiente tabla resume las estaturas, en centímetros, obtenidos al medir a las personas de un determinado grupo, A:

ESTATURA (cm) [140,150) [150,155) [155,170) [170,180) [180,190] Nº PERSONAS 8 19 28 32 13

a) Elabora una tabla de frecuencias.b) Representa gráficamente la distribución.

Ejercicio5 : Se han realizado 50 lanzamientos con un dado, obteniendo los siguientes resultados:

RESULTADO 1 2 3 4 5 6 Nº DE VECES 6 10 5 7 10 12

Calcula la media y la desviación típica.

Ejercicio 6 : Hemos preguntado las edades a un grupo de 50 personas. Los resultados obtenidos se reflejan en la tabla siguiente:

EDAD [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) Nº DE PERSONAS 4 8 10 9 17 2

Halla la media y la desviación típica.

Ejercicio7 : En un grupo, A, de personas, la media de edad es 16,4 años con una desviación típica de 2,1. En otro grupo, B, la media de edad es 4,3 años, y la desviación típica, 1,8. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión de ambos grupos.

Estadística –Matemáticas B – 4º E.S.O. 2

Ejercicio8 : A los estudiantes de un grupo de 4º ESO se les ha preguntado sobre el número de teléfonos móviles que tienen en su casa. Las respuestas vienen reflejadas en esta tabla:

Nº DE MÓVILES 1 2 3 4 5 Nº DE PERSONAS 1 6 12 9 2

a) Calcula la media y la desviación típica de esta distribución.b) Haciendo el mismo estudio con todos los alumnos del instituto, hemos obtenido una media de 2,8 conuna desviación típica de 0,89. Halla el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos.

Ejercicio9 : Las edades de los jóvenes que han asistido a un campamento de verano vienen reflejadas en la siguiente tabla:

EDAD [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) [18,20] Nº DE PERSONAS 10 23 31 19 7

a) Calcula la media y la desviación típica de esta distribución.b) En otra actividad programada también para ese verano, la edad media de los participantes fue de 13

años, con una desviación típica de 3,2 años. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos ycompara la dispersión en ambos grupos.

Ejercicio10 : La edad de los asistentes a una determinada charla viene dada en la siguiente tabla:

EDAD [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] Nº DE PERSONAS 30 25 12 8 6 4 a) Calcula la media de edad de los asistentes y la desviación típica. b) ¿Es un grupo homogéneo o disperso en cuanto a la edad?

¿Qué tipo de charla crees que era?: para niños, para adolescentes, para mayores, ...

Ejercicio11 : En un grupo formado por dos clases de 4º ESO, se pregunta a los estudiantes por el número de libros que han leído durante el último mes. Las respuestas se recogen en esta tabla:

Nº DE LIBROS 0 1 2 3 4 5 Nº ALUMNOS/AS 1 9 23 10 4 3 a) Halla la media y la desviación típica. b) ¿Cuántos libros suelen leer por término medio? En cuanto a la lectura ¿es un grupo homogéneo o es disperso?

Ejercicio12 : En la siguiente tabla hemos resumido los resultados obtenidos al lanzar un dado 120 veces:

Nº OBTENIDO 1 2 3 4 5 6 Nº DE VECES 18 30 21 25 17 9 Calcula Me, Q1, Q3 , C46 y P20.

Ejercicio13 : Al medir la estatura, en centímetros, en un grupo de 50 personas, hemos obtenido la siguiente información:

INTERVALO [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175] Nº DE PERSONAS 6 9 12 15 8

Calcula Me , Q1, Q3, P7 y C35.

Ejercicio14 : Se ha hecho un estudio para saber la antigüedad, en años, de las viviendas de una determinada zona, obteniendo los siguientes resultados:

ANTIGÜEDAD [0,5) [5,10) [10,17) [17,20) [20,25] Nº VIVIENDAS 80 35 23 15 17

Calcula gráfica y numéricamente Me , P4 y Q3.

Estadística –Matemáticas B – 4º E.S.O. 3

EJERCICIO 15 : Se quieren realizar los siguientes estudios: I Eficacia de un medicamento en 120 pacientes. II Resistencia que presentan a la rotura los vasos de cristal que hay en una fábrica. III Tipo de lácteo que toman los niños de tu comunidad autónoma con edades comprendidas entre 3 y 11

años. a) En cada uno de los casos, ¿cuál es la población? b) ¿En cuáles de ellos es necesario recurrir a una muestra? Explica el motivo.

EJERCICIO 16 : Estudia si las siguientes preguntas son adecuadas para formar parte de una encuesta. Corrige los errores que observes. I ¿Cuántas películas has alquilado este último año? II ¿Cuánto tiempo tardas en ir desde tu casa al instituto?

Mucho Poco

III ¿Te gusta la lectura?

Si No

¿De qué tipo?____________________ IV ¿En qué grado consideras que las nuevas tecnologías afectarán al empleo y a la falta de comunicación

en las familias?

EJERCICIO 17 : Para convocar el nivel de estudios de las familias que tienen hijos en Educación Secundaria en una ciudad, se eligen los 100 institutos más antiguos y dentro de ellos, a los padres de aquellos alumnos cuyo primer apellido empieza por A. El procedimiento usado para obtener la muestra, ¿es adecuado?

EJERCICIO 18 : Se quiere conocer el grado de satisfacción que tienen los clientes de una entidad bancaria respecto a su personal. Para ello, se va a elegir una muestra de 1000 individuos. Indica si cada uno de los siguientes modos de selección te parece válido y explica por qué: a) Los directores de cada una de las 200 sucursales que hay, eligen a 5 de sus clientes más

representativos. b) Se eligen 1 000 personas al azar entre las que tienen contratada una hipoteca. c) Se acude al listado de clientes y se seleccionan al azar 1 000 de ellos. d) Se eligen 1 000 personas al azar entre las que tienen unos ingresos mensuales superiores a 3 000 €.

EJERCICIO 19 : Se quiere saber el grado de satisfacción que los vecinos de una ciudad tienen con la gestión del Ayuntamiento. Para ello, un encuestador se pone en la entrada de un gran centro comercial un día laborable de 13 h a 14 h y pregunta a 400 personas. ¿Es adecuado el procedimiento de selección para obtener la muestra aleatoria?

EJERCICIO 20 : a) En una población se quiere estimar el peso medio de 1 138 jóvenes de entre 12 y 14 años. Para ello se extrae una muestra de 85 de ellos. La media de la muestra es de 47,2 kg. Expresa este resultado sabiendo que en la ficha técnica se dice que el error máximo es de ±2,7 kg con una probabilidad de 0,90. b) Si con el mismo estudio anterior admitimos que se comete un error de ±1,8 kg, el nivel de confianza

será ¿inferior o superior al 90%? c) Si mantenemos la cota de error en ±2,7 kg, ¿cómo podríamos aumentar el nivel de confianza?

Funciones elementales I - Matemáticas B – 4º E.S.O. 1

FUNCIONES ELEMENTALES I

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Ejercicio 1: Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función. Razona tu respuesta: a) b) c) d)

DOMINIO

Ejercicio 2: Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) y =6x

12

b) y = x21 c) y =4x

x2

d) y = x2

e) y =4x

12

f) y =2x

1

g) y =x2x

12

h) y = x36

i) y = 2)5x(3

j) y = 3 4x2 k) y =x1x l) y = 1x 2

m) y =3x2x

n) y = log2 (x2 – 4) ñ) y = tag x

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DADAS GRÁFICAMENTE

Ejercicio 3 : Observando la gráfica de estas funciones, estudia sus propiedades a) b) c) d)

Ejercicio 4 : La siguiente gráfica muestra la altura que alcanza una pelota en función del tiempo, desde que se lanza verticalmente hasta que cae por primera vez al suelo.

a ¿Cuál es el dominio?

b Indica la altura máxima que alcanza y en qué momento.

c ¿Durante cuánto tiempo la altura es superior a 300 m?

d Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función y explica su significado dentro del contexto del problema.

Funciones elementales I - Matemáticas B – 4º E.S.O. 2 Ejercicio 5 : La siguiente gráfica muestra el recorrido que hizo Cristina durante un día de excursión desde

que salío del albergue hasta que regresó.

a Indica cuál es el dominio.

b ¿Qué distancia máxima se aleja del albergue?

c ¿Cuánto tiempo dedica a descansar?

d Describe el crecimiento y el decrecimiento de la gráfica y explica su significado dentro del contexto del problema.

Ejercicio 6 : La siguiente gráfica muestra el volumen de reservas de una cadena hotelera a lo largo de un año:

a ¿Cuál es el dominio? b ¿En qué mes se produce mayor número de reservas? ¿Cuántas hay? c ¿En qué periodo del año las reservas están por encima de las 15.000? d ¿En qué mes el número de reservas es de 5.000? e Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función.

Construcción de una gráfica a través de sus propiedades

Ejercicio 7 : La gráfica de una función tiene las siguientes características: a Dominio de definición: 0, ). b Crece en 0, 3 y 5, ; decrece en 3, 5. c El único punto de corte con los ejes es el 0, 0. d Tiene un máximo relativo en 3, 5 y un mínimo relativo en 5, 1. e No hay ninguna discontinuidad. Representa dicha función.

Construcción de gráficas de funciones partiendo de un enunciado

Ejercicio 8 : Marta sale de su lugar de trabajo a las 8 de la tarde en bicicleta y se dirige a un supermercado situado a 600 m de su trabajo, tardando en llegar 10 minutos. Después de permanecer allí un cuarto de hora, se va a un restaurante que hay a 1 km del supermercado, tardando 20 minutos en el recorrido. Tras estar 2 horas cenando con unos amigos, se va a su casa situada a 2 400 m del restaurante. Llega a su casa a las 11 y media de la noche. Representa la gráfica tiempodistancia.

Ejercicio 9 : Pablo y Victor deciden hacer una marcha de 24 km en un día. Salen a las 7 de la mañana del campamento base y durante 3 h y cuarto andan un trayecto de 12 km a un ritmo constante; deciden descansar durante media hora para reponer fuerzas. Hasta la una de la tarde continúan andando recorriendo, hasta ese momento, tres cuartas partes del trayecto total. Dos horas más tarde inician el último tramo del recorrido que realizan en hora y media, momento en el que descansan 15 minutos. Regresan al campamento base haciendo una parada de un cuarto de hora a 10 km del final; llegan al campamento a las 8 y media de la tarde. Representa la gráfica tiempodistancia.

Ejercicio 10 : Un coche tiene que realizar un trayecto de 900 km. Sale del lugar de origen con el depósito lleno, 44 l. Cuando lleva recorridas dos terceras partes, observa que le queda por consumir la cuarta parte del depósito y decide repostar, echando 19 l. Nuevamente, a 100 km del final, con la mitad del depósito sin consumir, vuelve a repostar para tener el depósito lleno. Continúa su trayecto hasta el final, quedándole 3/4 partes de gasolina sin consumir. Representa la gráfica distanciagasolina consumida.

FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO. 1

FUNCIONES ELEMENTALES

RECTAS:

Ejercicio 1 : Representa gráficamente y estudia sus propiedades.

a) y = - 3x21

b) 2x + y – 1 = 0 c) y = 2x23

d) y = -0,5x + 3,5 e) y = 1x53

f) y=

43x2

Ejercicio 2 : Halla la ecuación de la recta que pasa por (-1,2) y cuya pendiente es - 31

Ejercicio 3 : Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, –4) y (–2, 3).

Ejercicio 4 : Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas: I 2x y 0 II x 2y 1 0 III y 2

Ejercicio 5 : Escribe la ecuación de la recta cuya gráfica es la siguiente: a) b) c)

Ejercicio 6 : Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos 2, 1 y 1, 3, y represéntala.

Ejercicio 7 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto 1, 3 y tiene pendiente 1.

Ejercicio 8 : Escribe la ecuación de la recta paralela a la recta de ecuación x + 2y = 3 y pasa por el punto P(2,-3)

PARÁBOLAS:

Ejercicio 9 : Halla el vértice de las siguientes parábolas: a) y = 2x2 – 10x + 8 b) y = 2x2 – 8x + 2

Ejercicio 10 : Halla los puntos de corte con los ejes de la parábola y = -x2 + 4x

Ejercicio 11 : Representa gráficamente y estudia sus propiedades a) y = x2 – 3x b) y = -x2 + 4 c) y = -x2 + 4x – 1

d) f(x) = 1x22

x 2

e) y = (x + 1)2 – 3 f) f(x) = -2x2 + 4x

ESTUDIO CONJUNTO DE RECTAS Y PARÁBOLAS

Ejercicio 12 : Asocia a cada gráfica su ecuación:

a) y = -3x + 5 b) y = (x+2)2 c) y = - x35 d) y = -4x2

I) II) III) IV)

2 FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO. Ejercicio 13 :

Asocia cada una de estas gráficas con su correspondiente ecuación:

a) y = x32 b) y = 2x2 – 3 c) y = 3,5x – 0,75 d) y = -x2 + 4

I) II) III) IV)

Ejercicio 14 : Resolver analítica y gráficamente a)

9yx85yx4x 2

b)

1x2x

6y3x22

FUNCIONES A TROZOS

Ejercicio 15 : Halla f 1, f 0 y f 2, siendo: f(x)=

2 x si x

2 x 1- si 1x-1 x si 1x3

2

2

Ejercicio 16 : Representa gráficamente y estudia sus propiedades

a) y =

1 x si 2x

1 x si 1x22 b) y =

1 x si 21 x -

1 x si 2x

c) y =

1- x si 42x1- x si x2 2

d) y =

2 x si 32 x si 1x 2

e) y =

1- x si x-

1- x si 2

1x

2

PROBLEMAS CON FUNCIONES

Ejercicio 17 : Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función que nos da el peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene.

Ejercicio 18 : En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los grados centígrados que son los grados Fahrenheit. Sabiendo que 10 C 50 F y que 60 C 140 F, obtén la ecuación que nos permita traducir temperaturas de C a F.

Ejercicio 19 : Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared:

a) Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados?b) Construye la función que nos da el área del recinto.

Ejercicio 20 : El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando.

Ejercicio 21 : El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en función de la longitud de la base.

3 FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO. FUNCIONES

RADICALES Y DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Ejercicio 22 : Representa y estudia las propiedades de las siguientes funciones:a) y = 1x b) y = - 2x c) y = x2

Ejercicio 23 : Representa y estudia las propiedades de las siguientes funciones:

a) y =1x

1

b) 24x

3y

c) y =3x3x2

Ejercicio 24 : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:

a) y =4x

1

b) y = 2x c) y = 4x1 d) y = x2

I) II) III) IV)

Ejercicio 25 : Asocia a cada una de estas gráficas su ecuación:

a) y =4x

1

b) y = x2 c) y = 2x1 d) y = - 1x

I) II) III) IV)

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Ejercicio 26 : Representa gráficamente la siguiente función y estudia sus propiedades

a) y = 3x+1 b) y = 2x

41

c) y = 1 – log2 x d) xlogy

41 e) y = 21–x

Ejercicio 27 : Observa la siguiente gráfica: a) b) c) d)

a) Halla la expresión analítica de la función correspondiente.b) Estudia sus propiedades

4 FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO. ECUACIONES

EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Ejercicio 28 : Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas: a) 2x = 32 b) 3x = 1/9 c) 3x = -1/3 d) (1/3)x = 9e) log2 16 = x f) log x 4 = 2 g) log3 1/9 = x h) log3 x = -2i) log2 3 = x j) logx 3 = 2 k) 2x = 5 l) 3x = -2

Ejercicio 29 : Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas: a) log(x2 + 1) – log(3x-8) = 1 b) log(20x) + log(2x) = 3c) log(x + 2) + log(10x +20) = 3 d) log x = log 2 + 2log(x-3)e) log(3x + 1) – log(2x – 3) = 1 – log 5 f) 4x – 4.2x + 4 = 0g) 3x + 31-x = 4 h) 52x –30.5x + 125 = 0i) 52x-1 = 25 41x 2 j) 52x-1 = 25

Matemáticas B – 4º E.S.O. – Polinomios y fracciones algebraicas 1

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIO 1 : Dados los polinomios P(x) = 4x3 – 7x2 – 6x + 14 , Q(x) = 2x3 + 3x + 5. Calcular: a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x) c) 2P(x) – 3Q(x) d) P(x).Q(x) e) P(x) : Q(x)

EJERCICIO 2 : Realiza los siguientes productos: a) (x3 – 4x2 + 4).(2x – 3) b) (x3 + 2x2 – 6x + 2).(x2 + 3x – 2)c) (2x + 3)2 d) (3x-7).(3x+7)

EJERCICIO 3 : Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones y expresa el resultado en la forma :

)x(d)x(R)x(C

)x(d)x(D

a) (2x2 – 6x + 8) : (x + 4) b) (3x3 + 15x2 – 14x + 6) : (x2 – 3x +2)c) (4x3 – 6x + x4 + 12) : (x2 + 2x – 3) d) (x4 – 5x3 + 6x2 – 7) : (2x + 3)e) (x3 – 4x2 + 5x – 6) : (x2 – 7)

EJERCICIO 4 : Mediante la regla de Ruffini, calcula el cociente y el resto de: a) (2x3 – 6x2 + 5x – 8) : (x + 1) b) (2x3 + 5x2 – 6) : (x + 2)c) (3x3 + 15x – 10) : (x – 3) d) (5x3 + 2x4 + 5x) : (x + 3)

EJERCICIO 5 : Hallar m para que 5x3 – 12x2 + 4x + m sea divisible por x – 2

EJERCICIO 6 : Calcular a para que el polinomio x3 + ax + 10 sea divisible por x + 5

EJERCICIO 7 : Dado el polinomio x4 + 6x3 – 3x2 + 5x + m, determinar m para que al dividirlo por x + 3 se obtenga 100 como resto.

EJERCICIO 8 : Calcular las raíces de a) x3 + 6x2 – x – 6 b) x3 + 3x2 – 4x – 12 c) x4 – 5x2 + 4 d) x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24

EJERCICIO 9 : Descomponer en factores los polinomios: a) x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 b) x4 + 4x3 + 4x2 c) x4 – 5x2 + 4d) x3 + 2x2 + 4x e) 2x3 + 11x2 + 2x – 15 f) 3x4 – 3x3 – 18x2

g) 4x2 + 12x + 9 h) 25x2- 4

EJERCICIO 10 : Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios:P(x) = x4 + 7x3 + 12x Q(x) = x5 + 2x4 – 3x3

EJERCICIO 11 : Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

a) 2x1x.

1x

3x2

b) 1x2x:

1x

4x4x2

2

c) x2xx

2x3x23

3

d) 2xx2x

3x2x23

2

e) 4x8x5x

4x3x23

23

f) 9x3x5x

9x15x7x23

23

g) 3x1x.

1x

9x6x2

2

h) 5x2x.

4x

25x10x2

2

i) 36x

6x5x:6x4x

2

22

j)

x3

x

2x:1x

2x1

2

2

EJERCICIO 12 : Calcula y simplifica:

a) 6x5x

3

3x4x

x22

b) 1x2x

x11x

x2

c)

3x4x

2x

6x5x

1x22

d) 1x

x3

1xx

3x3

2

2

e) 1x

1x

1x2x

222

f)

30x11x

11

20x9x

122

g) 9x

1x

9x6x

x21

3x4x

x1222

h) 3x4x

x1

6x5x

x1

2x3x

x21222

Probabilidad – Matemáticas B – 4º E.S.O. 1

CALCULO DE PROBABILIDADES

EJERCICIO 1 : Calcula los siguientes sucesos y sus probabilidades al lanzar un dado: a) A = { par } d) D = { número primo }b) B = { múltiplo de tres } e) E = { impar }c) C = {mayor que cuatro } f) F = { menor que cuatro}g) A C h) B E i) D F j) C B

EJERCICIO 2 : Halla la probabilidad de que, al lanzar al aire dos monedas, salga: a) Dos caras b) Dos crucesc) Primero una cara y luego una cruz d) Una cara y una cruz

EJERCICIO 3 : Busca la probabilidad de que, al arrojar al aire tres monedas, salga: a) Tres caras b) dos caras y una cruz

EJERCICIO 4 : Averigua la probabilidad que existe de que, al arrojar dos dados al aire, salga: a) En el primero, un múltiplo de 3, y en el segundo, un número parb) En el primero, un número mayor que 2, y en el segundo, un número impar.

EJERCICIO 5 : Se lanzan tres dados: uno blanco, otro azul y el tercero verde. ¿ Cuál es la probabilidad de que salga un número para en el blanco, un número múltiplo de 3 en el azul y un número menor que 4 en el verde?

EJERCICIO 6 : ¿ Cuál es la probabilidad de que, al extraer sucesivamente dos cartas de una baraja española, las dos sean figuras? a) Con devolución b) Sin devolución

EJERCICIO 7 : Halla la probabilidad de que, al tirar dos dados al aire, salgan: a) Dos números cuya suma sea parb) Dos números cuya suma sea mayor que 7c) Dos números cuya suma sea múltiplo de 3

EJERCICIO 8 : En un dado se pintan de blanco las caras 1, 2, 4 y 5 y de azul las caras 3 y 6. Halla la probabilidad de que, al lanzarlo dos veces al aire, salga: a) Las dos veces cara azul b) la primera vez cara azul y la segunda cara blancac) Las dos veces cara blanca d) la primera vez cara blanca y la segunda cara azule) Una cara blanca y la otra azul

EJERCICIO 9 : Se arrojan al aire cinco dados. ¿ Cuál es la probabilidad de que el número, cuyas cinco cifras son los número que se han obtenido en los dados, sea 13625?

EJERCICIO 10 : En una bolsa hay 12 bolas blancas y 20 verdes. Si se hacen cuatro extracciones seguidas, halla la probabilidad de que las cuatro bolas sean blancas: a) Devolviendo cada vez a la bolsa la bola extraídab) No devolviendo a la bolsa las bolas extraídasc) Una bola blanca y tres verdesd) Dos bolas sean blancas y dos verdes

Probabilidad – Matemáticas B – 4º E.S.O. 2

EJERCICIO 11 : Sacando cuatro cartas de una baraja española de 40 cartas, halla la probabilidad de que salgan dos reyes y dos sotas, en este orden (con y sin devolución).

EJERCICIO 12 : En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿ Cuál es la probabilidad de que, al sacar dos de ellas, la suma de sus números sea 10?

EJERCICIO 13 : En una bolsa hay 4 bolas azules y 3 amarillas. Al sacar dos bolas: a) ¿ cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo color?b) ¿ Y de que la primera sea amarilla y la segunda azul?c) ¿ Y de que salga una de cada color?

EJERCICIO 14 : En una baraja española se realizan cuatro extracciones sin devolución. ¿ Cuál es la probabilidad de que salga una carta de espadas, una de oros, otra de espadas y una de bastos? a) En ese ordenb) En cualquier orden

EJERCICIO 15 : En una bolsa hay 7 bolas numeradas del 1 al 7. ¿ Cuál es la probabilidad de que al extraer dos bolas los números de ambas sean impares? ¿Y de que ambos números sean pares? ¿Y de que sean los dos pares o los dos impares?

EJERCICIO 16 : Se escriben los números 1, 2, 3, 4 y 5, cada uno en una papeleta distinta. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno, con los ojos cerrados, ordene las papeletas según el orden creciente de los números?

EJERCICIO 17 : Al tomar una ficha del juego del dominó, ¿qué probabilidad existe de que la suma de sus puntos sea múltiplo de 3?

EJERCICIO 18 : Entre los componentes de una plantilla de fútbol hay 3 porteros, 7 defensas, 5 medios y 5 delanteros. Entre ellos se reparten tres premios, ¿cuál es la probabilidad de que el primero toque a un portero, el segundo a un defensa y el tercero a un delantero?

Matemáticas B – 4º E.S.O. – Los números reales – Ejercicios voluntarios 1

EL NÚMERO REAL

Clasificación y representación gráfica de números reales EJERCICIO 1 : Representa sobre la recta real los siguientes números y clasifícalos a) –2 b) 5 c) 0 d) –19/6 e) 1/2 f) 8/3 g) –2/3

EJERCICIO 2 : Ordena de mayor a menor los siguientes números, asócialos a los conjuntos de números que corresponda (N, Z, Q, R) y represéntalos: ; 10; -1; 0,2; -0,3; 4 ; 6; -11/6; 3 27 ; -2,3; 1,010010001....; 5,3131.... ; 9 ; 7

Operaciones con números decimales. Paso a fracción generatriz EJERCICIO 3 : Obtén el siguiente valor en términos de fracción: a) 3.(1 – 2,321 – 1,22.... + 0,5 x 3) – 0,1333.... =

EJERCICIO 4 : Calcula:

a) 52,0

25,0.25,0 b) 0,1 3̂ – 0,16 + 3,2

Intervalos y semirrectas EJERCICIO 5 : Describe, en todas las formas posibles: a) Intervalo abierto de extremos 3 y 5 b) [-2,0) c) {x R / -3 < x 1}

d) Números mayores que 2 e) (-, 4] f)

Potencias y raíces EJERCICIO 6 : Escribe en forma de una sola potencia: a) [( 3 )7 : ( 3 )3]0.( 3 )2 b) [(-5)3]2.[(-5)2]3 c) [(x-2)-3]2 : [(x-2)-1]6

d) (5.4)2 : (4.7) e) (a9.a7.a3) : (a5.a2.a6) f) [(3+)5 : (3+)-2]4

EJERCICIO 7 : Expresa, en términos de raíces, las siguientes expresiones: a) 43/5 b) 7-2/3 c) (3/4)3/7 d) (2/3)-1/3

EJERCICIO 8 : Agrupa bajo un radical único: a) 43 7.5 b) 4:123 c) 11.33 d) 13:3 e) 3 3/2.3/2 f) 3 a/x.x/a

EJERCICIO 9 : Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:

a) 32. 423 b.a.5 b) 65 b.a.7 c) –12. 77.a2 d) 225.

516

EJERCICIO 10 : Introducir en los radicales los factores que están fuera de ellos:

a) a.3

16b) 33 b.3.b.

41 c) –7.113. a2 d) a2.b. 3 b3

EJERCICIO 11 : Calcula: a) 5. 5 - 3. 3 - 5. 27 + 11. 11 - 5. 33 b) 8 + 18 - 98 c) 45 + 180 - 20d) 3. 81 + 3. 375 e) 175 - 5. 63 + 2. 112 f) 3 250 - 3 16 - 6 3 2

EJERCICIO 12 : Calcula:

a) 3. 2 + 21 . 2 -

43 . 2 b) 3. 8 + 4. 50 - 6. 18 c) 2. 27 - 2. 12 + 9. 75

2

Matemáticas B – 4º E.S.O. – Los números reales – Ejercicios voluntarios 2

d) 52 . 50 - 8 +3. 18 e) 5. 12/1 +2. 3/1 + 27/1 f) 64 125.38025

EJERCICIO 13 : Simplifica: a) 4 23.3 b) 4 3/4.4/3 c) 4 33 2 a.a d) 4 a/x.a

e) 2.8

44

3f) 43 2/3.3/2.3/2 g)

a.a

a4 3

3 2

EJERCICIO 14 : Racionaliza:

a) 3.5

6 b) 232

1

c) 117 d)

231

e) 7

7 f) 3.5

3 g) 113455

h)

3.22.33.22.3

i) 3 3

53 j) 4 5.25 k)

336

l) yx

1

Errores y cotas EJERCICIO 15 : Halla las cotas del error absoluto y del error relativo al sustituir 5 por 2,236

EJERCICIO 16 : Se aproxima el número 20,1236 mediante redondeo, en las milésimas. Calcula el error relativo de esta aproximación.

EJERCICIO 17 : Si el resultado de una medida es 23,1 con un error de 0,01, ¿entre qué valores se encuentra la medida exacta?

EJERCICIO 18 : El presupuesto de una reparación es de 500 euros con error posible del 15 %. ¿Entre qué valores puede oscilar esta reparación?

EJERCICIO 19 : Al indicar el número de alumnos de un instituto se comete un error de 115 alumnos. Si realmente hay 650 alumnos. ¿Qué número se dio? ¿Cuál es el error relativo cometido?.

Notación científica EJERCICIO 20 : Escribe en notación científica los siguientes números: a) 300.000.000 b) 18.400.000.000 c) 456 d) 0,00000001e) –78986,34 f) 0,00000000000065 g) 0,5 h) 0,00000000000000000093

EJERCICIO 21 : Opera:

a) (7,25.10-7).(6,02.1023) b) 5

6

10.02,310.01,1

c) (6,02.1010).(12.109)

d) 6.102 + 4.103 e) 0,00532 + 25,1.10-3 f) 3,24.10-5 + 3,78.10-6 + 8,04.10-4

EJERCICIO 22 : Efectúa en notación científica las siguientes operaciones, dando el resultado en notación científica con tres cifras significativas:

a) 11

645

10.843,5)10.4,3.(10.84,310.16,4

b) 6

761314

10.38,910.5,710.2.10.6,37510.4,42

c) 53

233

10.45610.5,810.2,2310.3,410.433,5

d) 32

644

10.2,610.510.40010.654,310.63,4

EJERCICIOS – SEMEJANZAS – MATEMÁTICAS 4º E.S.O. 1

EJERCICIOS DE SEMEJANZAS

EJERCICIO 1 : ¿Qué altura alcanza sobre una pared una escalera de 4,5 m de larga que se apoya en el suelo a una distancia de 230 cm de la pared?

EJERCICIO 2 : Un globo cautivo se sujeta al suelo con un cable de 100 m de largo. Si el viento lo ha alejado 60 m de la vertical sobre el amarre, ¿A qué altura se encuentra el globo?

EJERCICIO 3 : Dos centímetros de un mapa equivalen a medio kilómetro sobre el terreno. a) ¿Cuál es la escala del mapa?b) Dos puntos del mapa distan en la realidad 35 Km. ¿Qué distancia los separará en el mapa?

EJERCICIO 4 : En un triángulo rectángulo las medidas de los lados son 3, 4 y 5 cm respectivamente. ¿Cuál debe ser el perímetro de un triángulo mayor semejante al anterior cuya razón de semejanza es 3?

EJERCICIO 5 : Si quieres dibujar a escala el mecanismo de un reloj de pulsera, ¿qué escala debes utilizar 20:1 o 1:100? Razona la respuesta.

EJERCICIO 6 : Si tienes dos mapas de carreteras a las escalas 1:25.000 y 1:10.000 ¿en cuál de los dos se apreciarán más detalles? Razona la respuesta.

EJERCICIO 7 : Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 35 m cuando el ángulo de inclinación de los rayos del Sol es de 45º.

EJERCICIO 8 : Una maqueta de un vagón de tren está hecha a escala 1:180. Si mide 7 cm de largo, 2 cm de ancho y 2,5 cm de alto. ¿Cuál es el volumen del vagón en la realidad?

EJERCICIO 9 : Halla la altura de la torreta eléctrica en la figura:

EJERCICIO 10 : Dos pentágonos semejantes tienen áreas de 7 y 49 cm2 respectivamente. ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus lados?

EJERCICIO 11 : El volumen de dos cubos es de 1 y 1.000 cm3 respectivamente. Calcula la razón de semejanza y la arista de cada uno de ellos.

EJERCICIO 12 : El perímetro de una figura es de 43 cm. Si dibujamos otra semejante 5 veces mayor. ¿Cuál es su perímetro?.

EJERCICIO 13 : En un plano a escala 1:500 dos puntos están separados 7 cm. Calcula la distancia que los separa en la realidad.

20 m 3 m

1,5 m

EJERCICIOS - SEMEJANZAS – MATEMÁTICAS 4º E.S.O. 2

EJERCICIO 14 : En un mapa de carreteras de la provincia de Toledo, la distancia entre Toledo capital y Torrijos es de 12 cm. Teniendo en cuenta que la carretera es casi una línea recta y que se puede circular a 100 Km/h, ¿Cuánto se tardaría en ir de una ciudad a la otra? La escala es 1:200.000

EJERCICIO 15 : Eva quiere hacer un plano de su vivienda, que tiene una planta rectangular de 10 m de ancha por 15 m de larga. Para ello dispone de una cartulina de 30 cm por 20 cm. ¿Cuál sería la escala más adecuada para dibujar su plano?

EJERCICIO 16 : Los alumnos de 4º de ESO se han ido de viaje de fin de estudios a Egipto. En una de las excursiones les surge el problema de calcular la altura de un obelisco. Miguel que mide 1,7 m proyecta una sombra de 3 m y el obelisco, en ese mismo instante proyecta una sombra de 18 m. ¿Cuál es su altura?

EJERCICIO 17 : Un rectángulo mide 4 cm de largo y 3 cm de ancho. ¿Cuál es el perímetro y el área de otro semejante cuyos lados miden el triple?

EJERCICIO 18 : En el álbum de fotografías hay una en la que estás tú con tu amigo de primaria. En ese tiempo tu altura era de 1 m y en la fotografía, tu altura es de 7 cm y la de tu amigo de 6 cm. ¿Cuál era su altura en aquel tiempo?

EJERCICIO 19 : Dos botellas de agua son semejantes y una es el doble que la otra. Si el volumen de la pequeña es de 0,5 dm3, ¿Cuál es el volumen de la grande?

EJERCICIO 20 : Las medidas de un edificio en un dibujo a escala 1:50 son 20 cm de ancho por 15 cm de largo por 12 cm de altura. Queremos hacer una maqueta a una escala de 1:200. ¿Qué medidas tendrá el edificio en la realidad? ¿Y en la maqueta?

EJERCICIO 21 : Un cubo tiene de área 25 cm2. Calcula su área si la arista aumenta el doble.

EJERCICIO 22 : Un cubo de arista 1 dm tiene de volumen 1 litro. ¿Qué volumen tendrá un cubo de 2 dm de arista?

EJERCICIO 23 :Verdadero o falso: a) Los dos triángulos isósceles son semejantes b) Los dos triángulos rectángulos son

Semejantes.

c) El ángulo  mide 50º d) El valor de x es 92,5 cm

2 Â 3 5 cm 3 cm

10 x

12

50º

80º

50º

40º

50º

3 EJERCICIOS – SEMEJANZAS – MATEMÁTICAS 4º E.S.O.

EJERCICIO 24 : Verdadero o falso a) Dos triángulos equiláteros no son semejantesb) Dos triángulos rectángulos cualesquiera son semejantesc) Un triángulo T con ángulos 80º y 90º es semejante a un triángulo T’ con ángulos 100º y 70ºd) Dos rectángulos cualesquiera son semejantes.e) Un triángulo rectángulo con un ángulo de 30º es semejante a otro triángulo rectángulo con un

ángulo de 60º.

EJERCICIO 25 : Calcula el valor de x, en el caso que puedas 20 m

x 10 m 8 m 15 m

6 m

19 m x

EJERCICIO 26 : Explica por qué no hay un triángulo de lados enteros, y más pequeño, semejante a otro de lados 25, 10 y 8.

EJERCICIO 27 : Di, con los datos que se indican, en qué casos son semejantes los triángulos ABC y MNP a) A = 53º B= 72º M = 72º N = 55º b) a = 10 b = 12 c = 14 m = 25 n = 35 p = 20 c) A = 51º C= 37º P = 62º N = 26º d) a = 24 b= 18 c = 12 m = 28 n = 14 p = 21

EJERCICIO 28 : La base de un triángulo isósceles mide 10 cm y los lados iguales miden 13 cm. Halla los lados de un triángulo semejante cuya base mida 14 cm.

EJERCICIO 29 : Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes y la razón de semejanza entre el segundo y el primero es de 4/3. Sabiendo que a = 18, b = 21 y c = 15, calcula los lados de A’B’C’.

EJERCICIO 30 : Dados los triángulos A’

A 14,7 cm 7 cm

6,3 cm 3 cm

C H B C’ H’ B’ 9 cm 21 cm

a) Comprueba que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantesb) ¿Son semejantes los dos triángulos rectángulos AHB y A’H’B’?c) Comprueba que la razón de los perímetros es igual a la razón de semejanza

EJERCICIO 31 : Los lados de un triángulo T miden 10 cm, 14 cm y 12 cm. Otro triángulo T’ es semejante a éste y la razón de semejanza entre T’ y T es 7/2, ¿Cuánto mide el perímetro de T’? ¿Puedes calcularlo sin hallar sus lados?

EJERCICIO 32 : Un hoja de papel tiene unas dimensiones de 420 x 297 milímetros. Si la doblas por la mitas obtienes dos rectángulos. Comprueba que no son semejantes al folio inicial, pero por muy poco.

EJERCICIOS – TEMA 6 – SEMEJANZAS – MATEMÁTICAS 4º E.S.O. 4

EJERCICIO 33 : Las dimensiones de los negativos de una máquina fotográfica son 17 x 13 mm. a) Si una foto de esa máquina tiene 15 cm de ancho, ¿Cuánto mide de largo?b) ¿Puede obtenerse de esa máquina una foto de 30 x 16 cm?

EJERCICIO 34 : Comprueba que los dos rectángulos son semejantes. ¿Cuánto mide AB

D C

15 21

18 A B

EJERCICIO 35 : La base y la altura de un triángulo miden, 6 y 12 cm respectivamente. Un triángulo semejante a éste tiene un área 16 veces mayor. Calcula la base y la altura homólogas.

EJERCICIO 36 : En los muelles del Sena, en París, venden reproducciones de la Torre Eiffel que pesan 1,5 Kg y están elaboradas con el mismo material que la auténtica. Un folleto turístico indica que la Torre tiene 321 m de altura y pesa 7 millones de kilos. ¿Cuánto medirá la altura de la reproducción?

EJERCICIO 37 : Indica, en cada caso, si tienen la misma forma las cajas de cartón cuyas medidas son: a) 10 x 12 x 14 y 25 x 30 x 35 b) 26 x 18 x 12 y 10 x 22 x 15

EJERCICIO 38 : Una lata cilíndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tiene un radio de 5 cm y una altura de 15 cm. Otra lata de tamaño familiar, semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qué volumen y qué dimensiones deberá tener? ¿Qué relación existe entre las superficies de hojalata de una y otra lata?

EJERCICIO 39 : Un tetraedro regular tiene una arista de 3 cm. ¿Qué arista y que superficie tiene otro tetraedro que tenga un volumen 8 veces mayor?

1 Ejercicios – Matemáticas B – 4º E.S.O. – Trigonometría

TEMA 7 - EJERCICIOS TRIGONOMETRÍA

CAMBIOS DE UNIDADES

EJERCICIO 1 : Expresa en radianes las medidas de los siguientes ángulos:

a) 45º b) - 210º c) 1470º d) 2520º

EJERCICIO 2 : Expresa en grados los siguientes ángulos:

a) 3 rad b) 2,5 rad c) -7

2

π rad d)

π5

rad

EJERCICIO 3 : Calcular 3π/4 rad + 0,5 rectos + 50º 40’ 3’’ expresándolo en radianes.

DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIO 4 : Dados los siguientes triángulos, hallar las razones trigonométricas del ángulo α

5 α 1

α

4 2

EJERCICIOS CON CALCULADORA

EJERCICIO 5 : Halla, utilizando la calculadora: a) cos -25º 12’ 15’’ b) sec 28º 42’ 36’’

EJERCICIO 6 : Calcula el ángulo A conociendo una razón trigonométrica a) tag A = 7,11 b) cosec A = 3,57

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

EJERCICIO 7 : Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, sabiendo: a) La hipotenusa a = 8 cm y el ángulo C = 47º 16’ 34’’b) Los catetos b = 9,3 cm y c = 4,1 cmc) La hipotenusa a = 6,4 cm y el cateto c = 3,8 cmd) Un cateto b = 10,5 cm y el ángulo B = 60º

EJERCICIO 8 : Halla las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del ángulo α:

PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS

EJERCICIO 9 : El ángulo de elevación de una cometa sujeta con una cuerda de longitud L1 = 80 m es α = 30º. El viento tensa la cuerda y la hace chocar con otra cometa cuyo ángulo de elevación es B = 60º. ¿Cuál es la altura de las cometas en ese instante? ¿Y la longitud L2 de la cuerda que sujeta la segunda cometa?

EJERCICIO 10 : Desde el lugar donde me encuentro, la visual a la torre de una Iglesia forma un ángulo de 52º con la horizontal. Si me alejo 25 m más de la torre, el ángulo es de 34º. ¿ Cuál es la altura de la torre?

EJERCICIO 11 : Desde el lugar donde me encuentro la visual de una torre forma un ángulo de 32º con la horizontal. Si me acerco 15 m, el ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura de la torre?

EJERCICIO 12 : Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60°. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área?

Ejercicios – Matemáticas B – 4º E.S.O. – Trigonometría 2

EJERCICIO 13 : Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40°. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

EJERCICIO 14 : Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:

a) Calcula la altura del árbol. b) ¿A qué distancia está Pablo del árbol?

EJERCICIO 15 : Dado un trapecio isósceles de base mayor 27 cm, base menor 18 cm y altura 18 cm. Calcular el ángulo que forma el lado oblicuo con la base mayor.

CAMBIOS DE CUADRANTES , Nº DE VUELTAS Y ÁNGULOS NEGA TIVOS

EJERCICIO 16 : Expresa el número de vueltas, con un ángulo positivo menor de 360º, de los ángulos: a) 769º c) -1020º e) 3245ºb) 987º d) -2456º f) 5742º

OPERAR CON ÁNGULOS CONOCIDOS

EJERCICIO 17 : Halla, sin utilizar la calculadora, el cuadrante y las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 135º b) 450º c) 210º d) –60º

EJERCICIO 18 : Calcula los valores de las siguientes expresiones, sin calculadora: a) 2.tag 30º + 5.tag 240º - cos 270º b) cos 60º + sen 150º + sen 210º + cos 240º

EJERCICIO 19 : Sabiendo que sen 25° = 0,42, cos 25° = 0,91 y tag 25° = 0,47, halla (sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora) las razones trigonométricas de 155° y de 205°.

EJERCICIO 20 : Calcula las razones trigonométricas de 140° y de 220°, sabiendo que:

08440tg;77,040cos;64,040sen === ooo

EJERCICIO 21 : Calcular razonadamente, apoyándote en un dibujo, las siguientes razones trigonométricas a) cos (225º) b) tag (120º) c) sen (1050º)

CAMBIO DE CUADRANTES

EJERCICIO 22 : Sabiendo que sec α = -4 y 0 < α < π, calcular: a) cosec (3π/2 + α) b) sen (π/2 - α) c) tag(630º - α)

EJERCICIO 23 : Sabiendo que sen α = 2/3 y π/2 < α < 3π/2. Calcular: a) cos (3π/2 + α) b) tag (π - α)

EJERCICIO 24 : Sabiendo que cos α = -2/3 y π < α < 2π. Calcular, sin calculadora: a) cos (3π/2 - α) b) tag (π + α)

EJERCICIO 25 : Sabiendo que tag α = ½ y que π < α < 3π/2, calcular: a) sen (π/2 + α) b) cos (π + α) c) tag (π/2 - α)d) cotag (π - α) e) sec (360º - α)

EJERCICIO 26 : Hallar el valor de la expresión )xsen()xcos(

)xsen()xcos()x2/sen(

−+−−π+−π++π

sabiendo que

x = 30º

Ejercicios – Matemáticas B – 4º E.S.O. – Trigonometría 3

EJERCICIO 27 : Calcular el valor de la expresión: )x(tag.2

)x2/sen().x2/(agcot

−π+π−π

si x = 180º

EJERCICIO 28 : Hallar el valor de : )x2/cos().x(agcot

)xcos().x(tag

−π+π−−π

si x = 45º

CONOCIDA UNA RAZON TRIGONOMÉTRICA HALLAR EL RESTO

EJERCICIO 29 : Si el sen α = -2/3 y α es un ángulo del tercer cuadrante hallar el resto de razones trigonométricas.

EJERCICIO 30 : Calcular sen α, sabiendo que tag α = 3/2 y que α es un ángulo del tercer cuadrante.

EJERCICIO 31 : Calcular α sabiendo que sen α = 1/2 y 90º < α < 270º

EJERCICIO 32 : Si cos x = 1/3 y π < x < 2π. Halla el resto de sus razones trigonométricas

EJERCICIO 33 :Si sec α = 2 y 3π/2 < α < 2π, calcular las restantes razones trigonométricas.

EJERCICIO 34 : Sabiendo que cotg α = -1/2 y que 0< α < π, calcular las razones trigonométricas de α.

EJERCICIO 35 : Sabiendo que cosec α = -5 y que π < α < 3π/2, calcular las razones trigonométricas de α.

EJERCICIO 36 : Sabiendo que cos (π/2 + α) = 2/3 y que π < α < 3π/2, calcular las razones trigonométricas de α.

EJERCICIO 37 : Sabiendo que sen (π + α) = ¾ y que 3π/2 < α < 2π, calcular las razones trigonométricas de α.

SIMPLIFICAR

EJERCICIO 38 : Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas

a) ( )( )tagx.xsenxcos

xsec.xsen.xtag122

22

−−

b)

( )

( )

+π−−

+π

+π+πx

2cos

xcos.xcos1.x2

sec

x2

tag.xsen2

22

c) 2xsen1

1

xsen1

1 −+

+−

d) ( ) ( )[ ]22

2xcosxsenxcosxsen:

xtag1

xsec −−+

+

e) ( ) ( )

ααα+α+α−α

tag.eccos

cossencossen 22

f) ( ) αα

α+−α+α tag.sec

tag1 :

1cossen

1 2

2

g) ( ) ( ) ααα−α−α+α

ααcos.cosec

1 :

cossencossen

agcot.sec222

22

h) cos3 α + cos2 α.sen α + cos α. sen2 α + sen3 α

i) tagx.ecxcos

xsen.agxcot2)xcosx(sen 22 +− j) ( )[ ]

xagcot1

xcos.xsec:)xcosx(senxcosxsen

222

+−−+

EJERCICIO 39 : Simplifica:

a)

)2

cos().cos(

)sen(.xsen

α−πα+π

α+πb)

αα+π

α−πα

cos).(tag

)2

sen(.tag

c) α−α

α−αseneccos

cossecd)

αα+

sec

tag1

e) )x2/(cosxcos).xcos1).(x2/(sec

)x2/(tag).xsen( 222

+π−−+π−

+π+π

4 Ejercicios – Matemáticas B – 4º E.S.O. – Trigonometría

DEMOSTRAR IDENTIDADES

EJERCICIO 40 : Comprobar si son ciertas las siguientes identidades trigonométricas:

a) α=α

α−cos

cos

sen1 2

b) xcos1

1.tagx

tagx

1tagx

2−=+

c) cos2x + sen2x + tag2x =xcos

12

d) 1 + tag2 x =xcos

12

e) xsen

1

xtag

11

22=+ f)

α+α=

αα+

sen1

cos

cos

tag1 2

g) 1tag

tag

cossen

cos.sen222 −α

α=α−α

αα

EJERCICIO 41 : De las siguientes igualdades, indica cuales son ciertas. Justifícalo a) sen (x + π/2) = cos x b) cos2 x = [sen (π/2 – x)]2

c) tag (π + x) = - tag x d) tag x. sen x = cos x

ECUACIONES

EJERCICIO 42 : Resolver, las siguientes ecuaciones a) cos x = ½ b) sen x = - ½ c)tag (x) = 1

EJERCICIO 43 : Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) sen2α + cos α = 1 b) 2senx = 3c) 2cos2x – sen2x + 1 = 0 d) 2cos2x + sen x = 1e) tag2 x – tag x = 0 f) 2senx.cos2x – 6sen3x = 0

EJERCICIO 44 : Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas

a) cos (2x + 20º) = -2

3b) sen (2x + 40º) = 1/2 c)tag (5x – 40º) = 1

EJERCICIO 45 : Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) 4

5

sec

1sen2 =

α+α b) cos α - tag α = sec α

c) 2.cos α = 3. tag α d) 3.sec α - 3.sen α. tag α = -3 e) 3. cosec α - 2. cos α. cotag x + 3 = 0 f) 3.cotag x + 4.sen x = 2.cos x . tag x