COMO CALCULAR LAS PROPIEDADES DE LA MASA.(Gua prctica del ingeniero.)porRichard Boynton, Presidente deSpace Electronics, Inc.yKurt Wiener, Ingeniero jefe deSpace Electronics, Inc.

Extracto Este documento es un tutorial de clculo de las propiedades de la masa (momento de inercia, centro de gravedad, producto de inercia). Existen numerosos libros de texto sobre dinmica que dedican unas pocas pginas a la teoria de estas propiedades. No obstante, estos libros de texto saltan rpidamente de una breve descripcin de dichas magnitudes, a algunas frmulas matemticas generales, sin dar ejemplos adecuados o explicar con el suficiente detalle cmo usar esas frmulas.El propsito de este documento es el de proporcionar un procedimiento detallado para el clculo de las propiedades de la masa, para un ingeniero sin experiencia en este tipo de clculos. Se espera tambin que este documento sea una referencia conveniente para aquellos que ya estan familiarizados con el tema. Este documento contiene varios ejemplos especficos, enfatizando en las unidades de medida. Los ejemplos utilizados, se basan en cohetes y vehculos de reentrada. El documento, describe las tcnicas para combinar las propiedades de la masa de sub-estructuras, para lograr las propiedades de la masa del vehculo en su totalidad. Los errores debidos al desalineamiento de las etapas de un cohete, se evaluan numericamente. Se describen tambin mtodos para calcular correciones de las propiedades de la masa.Masa vs Peso Muchos de los errores que ocurren en los clculos de las propiedades de la masa, son el resultado de la confunsin en las unidades utilizadas, y, en particular, de los conceptos de masa y peso. MASA es la CANTIDAD DE MATERIA presente en un objeto (su inercia), mientras que PESO es la FUERZA que empuja al objeto hacia abajo, en una escala funcin de la aceleracin de la gravedad. La masa de un objeto es una cantidad fija; su peso varia en funcin de la aceleracin de la gravedad. Las propiedades de la masa de un objeto, estan relacionadas con la masa, no con el peso. Las propiedades de la masa no cambian cuando un vehculo espacial abandona la atraccin de la tierra y entra en el espacio exterior.La masa est relacionada con el peso mediante la segunda ley de Newton:W = Mg

DondeW = el peso del objeto (fuerza de la gravedad)M = la masa del objetog = la aceleracin de la gravedad en la tierra Si se usan diferentes palabras para designar peso y masa, el problema de distinguirlos se minimiza. El nuevo Sistema Mtrico Internacional (SI), utiliza la palabra "Newton" para el peso y la palabra "Kilogram" para la masa. El Newton est definido como la fuerza requerida para acelerar 1 Kilogramo de masa, 1 metro por segundo. La industria aeroespacial, ha creado una unidad de masa llamada "Slug". Se requiere una fuerza de 1 libra para acelerar 1 Slug de masa a 1 ft/sec. Si un objeto pesa 32.174 libras en la tierra, su masa es de 1 Slug. Por desgracia, no todos los sistemas de unidades diferencian adecuadamente entre masa y peso. En los EE.UU., la palabra "libra", se utiliza comunmente para medir peso y masa, resultando esto en confusin y errores al calcular la propiedades de la masa y la respuesta dinmica. La unidad de masa "libra", es dimensionalmente incorrecta. La LIBRA es SIEMPRE FUERZA o PESO. Si el trmino "libra" es utilizado para describir una masa cuyo peso es una libra, esta cantidad DEBE ser dividida por la aceleracin de la gravedad, en las unidades apropiadas, para convertirla en dimensiones de masa apropiadas, si se va utilizar el clculos de las propiedades de la masa. Para evitar confusiones e incertezas, un anlisis de dimensiones fundamentales, confirmarn si se estn usando las unidades de medida correctas, y si los factores de conversin se estn aplicando correctamente para alcanzar los resultados deseados. Los diferentes sistemas mtricos son, fundamentalmente, sistemas de MASA, LONGITUD y TIEMPO, con la FUERZA definida o derivada a partir de ellas. Los sistemas de los EE.UU. son sistemas de FUERZA, LONGITUD y TIEMPO, con la masa definida o derivada a partir de ellas. No existe un sistema de medida, dimensionalmente correcto, que reconozca la libra de masa. La Tabla 1 muestra los tres sistemas de medida ms extendidos y utilizados. El tiempo est en segundos.SISTEMAS DE MEDIDA DIMENSIONALMENTE CORRECTOS

MASALONGITUDPESOg

SI (mtrico)KgMetro (m)Newton9.81 m/s

U.S. (pulgada)(lb-s)/386.09 inPulgada ('', in)Libra386.088 in/s

U.S. (pie)SlugPie (ft)Libra32.174 ft/s

TABLA 1El sistema U.S. de pulgadas, no tiene nombre para la masa cuyo peso es una libra. No obstante, la aplicacin de W = Mg, demuestra que el sistema es dimensionalmente correcto. La aceleracin de la gravedad, utilizada para convertir el peso en masa, es una cantidad fija que ha sido establecida como estndard internacional. No se debe usar la aceleracin local (que varia de 32.09 a 32.26 ft/s, a menos que se utilice una masa conocida para medir la confianza, o en alguna otra aplicacin especfica.Ejes de referencia Las propiedades de la masa que no son el peso, no tienen sentido a menos que los datos incluyan los ejes de referencia utilizados en los clculos de las mismas. Establecer que la coordenada de un centro de gravedad (CG) es "3.950 in", no significa nada a menos que el eje de referencia de ese valor est tambin definido. Se puede escojer cualquier eje de referencia. Los valores numricos para las propiedades de la masa, dependeran de la localizacin de los ejes de referencia. Por ejemplo, el centro de gravedad de un cilindro puede estar a 4.050 in de un extremo, a 0.050 in del centro, y a 3.950 in del otro extremo. Adems, cada extremo del cilindro puede no ser perpendicular al eje central, de manera que el "extremo" del cilindro deberia estar definido. Tres ejes de referencia mutuamente perpendiculares, son necesarios para definir la localizacin del centro de gravedad de una objeto. Estos ejes se seleccionan, habitualmente, para coincidir con los bordes del objeto, con detalles localizados, o con el centro geomtrico del objeto. El momento de inercia, es una cantidad rotacional y requiere slo un eje para su referencia. Aunque puede ser, teoricamente, un eje en las inmediaciones del objeto, este eje es, habitualmente, el centro geomtrico, el centro rotacional (si el objeto gira sobre soportes), o un eje principal (ejes que pasan por el centro de gravedad escogidos as para que los productos de inercia sean cero). El producto de inercia requiere tres ejes mutuamente perpendiculares. Uno de esos ejes debe ser un eje rotacional o una lnea geomtrica central. Para obetener la mxima precisin, es important utilizar ejes de referencia que puedan ser localizados con un alto grado de precisin. Si el objeto es un elemento aeroespacial, recomendamos que sea diseado con dos anillos de referencia por seccin que definen los ejes de referencia. Estos anillos pueden ser puntos de acoplamiento del objeto con otros elementos o secciones de la nave espacial o el cohete, o pueden ser anillos proporcionados nicamente para el alineado y / o la medida de propiedades de la masa. En el caso particular del centro de gravedad y el producto de inercia, la precisin del clculo (y la consiguiente precisin de la medida del objeto) es tan buena como la precisin de la forma de localizar los ejes de referencia. Hemos descubierto que la principal fuente simple de error en los clculos de las propiedades de la masa es la incerteza de la referencia. Los datos dimensionales proporcionados al ingeniero de las propiedades de la masa, deben ser lo suficientemente precisos para permitir que las tolerancias de las propiedades de la masa sean respetadas. Por ejemplo, si se le pide hacer clculos precisos de propiedades de la masa de un projectil, lo primero que debe hacer, es determinar el error debido a desalinemientos de referencia. Si se le pide calcular el CG con una precisin de 0.001 in el eje de referencia no esta redondeado por debajo de 0.003 in, no puede realizar el clculo. No tiene sentido realizar un anlisis detallado de los componentes de un objeto cuando el error de referencia afecta a la precisin de los clculos. La localizacin de los ejes de referencia, debe ser de la ms alta precisin. Si you trabajo consisten en calcular las propiedades de la masa de un vehculo estructurado en secciones, debe darle una gran importancia a la precisin del alineado de las secciones cuando estan montadas. A menudo, este puede ser el mayor factor nico que limite el grado de equilibrado (si el vehculo fue equilibrado por secciones porqu es demasiado grande para la equilibradora). El error de alineado se amplifica para cohetes largos: una inclinacin de 0.001 in introducida por error de alineado en un dimetro de 12 in, puede resultar en un error de 0.007 in en el CG, en un seccin larga de cohete de 15 ft. Esto se discute en detalle en las secciones de este documento que presentan las matemticas necesarias para combinar las propiedades de la masa de subestructuras. La precisin requerida para varios tipos de cculos se trata en secciones posteriores de este documento.Seleccin de la posicin de los ejes El primer paso en el clculo de las propiedades de la masa, es establecer la localizacin de los ejes X, Y y Z. La precisin de los clculos (y la posterior precisin en la medida para verificar los clculos), depender enteramente de una buena seleccin de dichos ejes. Tericamente, estos ejes pueden situarse en cualquier lugar relativo al objeto considerado, ya que los ejes son mutuamente perpendiculares. No obstante, en la vida real, a menos que los ejes sean situados en un lugar que se pueda medir e identificar con precisin, los clculos no tienen sentido. Los ejes de la figura 3 muestran el efecto de la inclinacin y no constituyen una buena referencia porqu un pequeo error en la quadratura de la parte inferior del cilindro, provoca que el objeto se incline respecto al eje vertical. Los ejes de abajo (figura 4), constituyen una mejor eleccin.Los ejes de referencia debe situarse en puntos fsicos del objeto que puedan ser medidos con precisin. Aunque la linea central de un anillo puede estar en el aire, puede ser medida con precisin y constituye, por tanto, una buena referencia. Un eje debe pasar siempre a travs de una superficie fuertemente asociada con la estructura del objeto. En la figura 5 seria mejor localizar el origen al final del objeto, para evitar la holgura dimensional relativa al final del objeto,

CALCULO DE LA POSICION DEL CG

Discusin generalEl centro de gravedad de un objeto es:

el tambien llamado "cetro de masas" de un objeto. el punto donde el objeto mantiene el equilibrio si se le pone en el filo de una navaja. el nico punto donde los momentos de equilibrio esttico respecto de tres ejes mtuamente perpendiculares son todos cero. el centroide del volumen del objeto, si el objeto es homogneo. el punto donde se concentra toda la masa del objeto al realizar clculos estticos. el punto alrededor del cual el objeto gira en el espacio. el punto a travs del cual se considera que actua la fuerza de la gravedad. el punto donde se debe aplicar una fuerza externa para producir traslacin pura de un objeto en el espacio. La localizacin del CG se expresa en unidades de longitud, a lo largo de los tres ejes (X, Y, y Z). Estas son los tres componentes del vector distancia desde el origen del sistema de coordenadas hasta la posicin del CG. El CG de masa compuestas se calcula a partir de los momentos tomados alrededor del origen. La dimensin fundamental de los momentos es, tpicamente, FUERZA por DISTANCIA; no obstante, con el momento de masa pueden usarse unidades de MASA por DISTANCIA. Se pueden usar los momentos de volumen, en caso de elementos homogneos. Se debe tener cuidado en tomar los momentos de los elementos expresados en unidades compatibles. No obstante, esto no es muy til para combinar elementos de masa. Un tcnica ms til es usar los "momentos de offset". En este caso, el momento offset X, seria MX=+3W. Este momento puede ser fcilmente sumado a los momentos offset X de otros elementos de masa, la suma total ser dividida por el peso total, y el resultado seria la componente X de la posicin del CG de la masa compuesta. Anlogamente, los momentos offset Y y Z (MY=-5W y MZ=+7W), se pueden combinar con momentos offset Y y Z de otros elementos para determinar las componentes Y y Z de la posicin del CG. Por desgracia, el trmino "momento offset X", es frecuentemente sustituido por "momento en X". Esto no tiene sentido matemtico, pero como en el caso del tmino "libra de masa", es "comprendido" por muchos ingenieros. Las componentes de distancia de la posicin del CG, pueden ser positivas o negativas, y de hecho su signo depende de la seleccin hecha de los ejes de referencia. El CG de una forma homognea, se calcula determinando su centroide de volumen. En la vida real, la mayoria de los objetos no son homogeneos, asi que el CG debe ser calculado sumando los momentos offset de cada uno de los tres ejes. Estos procesos se describen en detalle en las siguientes secciones: El centro de gravedad de un objeto puede situarse en el aire. Por ejemplo, el centro de gravedad de un segmento de tuberia est en la linea central que pasa por su centro geomtrico, incluso no habiendo metal en el centro de la tuberia (figura 6). El CG compuesto de un objeto, puede ser calculado si se conocen los CGs de cada componente.CG a lo largo de un slo eje Considerese la barra de metal redondeada con dos pesos cilndricos, tal como se muestra ms abajo. Por simetria, el CG del objato est sobre su linea central (ya que el CG de una masa homognea est en su centroide de volumen). La posicin del CG a lo largo de la longitud, se puede determinar sumando los momentos presentes alrededor del eje de referencia, como se muestra en la parte inferior de la figura (D=0).Supongamos que los pesos son: Wa = 12.250 lb, Wb = 4.613 lb, Wc = 2.553 lb.Ma=Wa D a = 12.250 lbs 6.319 in = 77.408 lb inMb=Wb D b = 4.613 lbs 2.445 in = 11.279 lb inMc=Wc D c = 2.553 lbs 8.666 in = 22.124 lb inPeso total = 19.416 lbMomento total = 110.811 lb inPosicin CG = Momento total Peso total = 110.811 19.416 = 5.707 inNtese que los elementos no tienen por qu ser del mismo dimetro para ser simtricos a los largo. De hecho, los elementos se pueden superponer (como al deslizar una tuberia dentro de otra).CG de cuerpos 3D asimtricos El centro de gravedad de un cuerpo asimtrico, se puede calcular de la misma forma que en el ejemplo anterior. Cada eje debe ser considerado por separado (Figura 8).Considrese un cilindro con rectngulos acoplados. El CG de cada componente es conocido por simetria, clculo o medicin. Se asigna un marco de referencia conveniente, es este caso uno tal que los CGs de cada componente caiga sobre los ejes, y los momentos offset se suman a lo largo de cada eje. La dimensiones mostradas, son del CG de cada componente respecto del origen.Mx = Ma + Mb + Mc = .4 1.75 + 0 + 0 = .70 lb-inCGx = .70 lb-in 4.8 lb = .146 inMy = Ma + Mb + Mc = 0 + 0 + 1.8 -1.25 = -2.25 lb-inCGy = -2.25 lb-in 4.8 lb = -.469 inMz = Ma + Mb + Mc = .4 4.25 +2.6 2.5 + 1.8 .5 = .70 lb-inCGx = 9.1 lb-in 4.8 lb = 1.896 inCG de una forma compleja, similar a una forma estndard Considrese el cono hueco mostrado ms abajo. Por simetria, el CG est sobre la linea central. La distancia del CG puede ser calculada usando herramientas de clculo. No obstante, el CG de un cono slido viene dado en cualquier manual (p. ej. el SAWE Handbook). Si se observa el hecho de que un cono hueco se puede crear al extraer un cono pequeo de uno ms grande, se puede calcular el CG restando el momento del cono pequeo, al del cono grande. Los momentos de volumen se toman alrededor del centro de la base para encontral el centroide del cono hueco. Cuando el cono se combina con otros elementos para encontrar el CG global, su peso actual y la posicin del centroide calculado, se combinan con los de los otros elementos.PI=3.141592654A1 = H1 4 = 5A2 = H2 4 = 4.55V1 = (PI1 H1) 3 = (PI 4 20) 3 = 334.9V2 = (PI2 H2) 3 = (PI 3.6 18) 3 = 244.2Vnet = V1-V2 = 90.8 inCG=(A1V1- A2V2) V netCG=((5)(335.1)-(4.5)(244.3)) 90.8CG de una forma compleja inusual Tarde o temprano, uno se encuentra una forma que no est catalogada en los manuales y que no puede crearse a partir de formas conocidas. Entonces, ser necesario recurrir al clculo para encontrar su CG. El concepto bsico del clculo, es el mismo que en los ejemplos previos, excepto que los momentos sumados son los correspondientes a porciones infinitesimales del objeto, en lugar se los momentos de objetos discretos ms pequeos. El truco para simplificar este proceso, consiste en escoger la forma infinitesimal correcta, de manera que la integracin tripe se pueda evitar. Nuestro elemento diferencial, no debe ser un pequeo cubo, a menos que no haya ningun tipo de simetria. Generalmente, se puede usar una barra rectangular que cubre la longitud completa del objeto, o un disco delgado o anillos cuyo dimetro es funcin de su posicin. Para ilustrar la clculo del CG, utilizaremos es mismo cono hueco del apartado anterior.

Posicin del centroide desde el vrtice = Mt Vt = 1240.0 90.8 =13.65 ino 20 - 13.65 = 6.35 in desde al baseCG de un vehculo de reentrada Cualquier aplicacin real, como localizar el CG de un vehculo de reentrada, combina las tcnicas descritas previamente. Hace aos, este tipo de clculos se hacian a mano. Ms tarde, se realizaron programas de computadora para manejar vehculos comunes. Ahora, la tendencia es utilizar una hoja de clculo en un ordenador personal. Este tipo de programa tan verstil, permite al ingeniero personalizar su solucin, utilizando el ordenador en su propio despacho, sin estar dependiendo de un programador o de los problemas de mantenimiento de los mainframes.Confirmando los clculos con mediciones fsicas El instrumeno utilizado para medir CGs de proporcionar dos funcionalidades importantes:1. El instrumento debe estar diseado de tal forma que se posible localizar con precisin la posicin de la objeto bajo prueba (Unit Under Test, UUT), respecto de la mquina. Esto suele significar que la mesa de prueba del instrumento, debe girar, permitiendo que la UUT se pueda mover. La precisin de la medicin del CG depende completamente de las superficies de referencia de la UUT y de su posicin relativa al instrumento (de hecho, este es el factor que limita la precisin).2. El instrumento debe tener la suficiente sensibilidad para detectar pequeos cambios en el momento esttico. Por ejemplo, si la UUT pesa 1000 lb y se desea una precisin de 0.001 in en la medida del CG, la sensibilidad del instrumento debe ser, al menos de 1 lb in. Hay varios mtodos que se pueden usar para medir el CG. Se listan a continuacin, por orden de preferencia:1. EL MEJOR METODO.Colocar la UUT en una mesa giratoria con pivote, y medir el momento de desequilibrio alrededor del pivote. Esto permite medir las coordenadas X e Y del CG a la vez. Existen en el mercado sistemas computerizados que utilizan esta tcnica (como las familias de instrumentos CG600 y KSR de Space Electronics).2. UN BUEN METODO.Colocar la UUT en una mquina equilibradora, y medir la fuerza centrfuga debida al desplazamiento del CG respecto del eje de rotacin. Este mtodo es sensible a pequeos desplazamientos del CG, pero es impracticable para objetos grandes, y tiene una precisin limitada si el producto de inercia es grande.3. UN BUEN METODO.Colocar la UUT en tres clulas de carga y calcular el CG a partir de la diferencia de fuerzas. Este mtodo no permite determiar con precisin la posicin de la UUT respecto de la mquina. La tcnica tradicional, utilizaba tres clulas de carga idnticas, equidistantes del CG y tenia una baja sensibilidad inherente, debida a que el CG se calcula a partir de pequeas diferencias entre dos nmeros grandes. Una reciente modificacin de este mtodo, utilizando transductores de fuerza de alta resolucin y nueva geometria, tiene una sensibilidad mucho ms alta, y es una buena eleccin para aplicaciones de produccin. Instalaciones dedicadas, pueden determinar la posicin de la UUT. Una de sus ventajas es que este mtodo permite medir el CG y el peso simultneamente, y es el mtodo ms rpido. Tambin es, posiblemente, el nico mtodo practicable para objetos muy grandes.Los dos ltimos mtodos no se consideran industrialmente practicables.1. METODO DE EQUILIBRADO DE LA HOJA DE LA NAVAJA.Posicionar y desplazar la UUT sobre el filo de una navaja hasta que se equilibre. Este mtodo tiene una sensibilidad razonable par objetos largos y finos, pero no permite determinar con precisin el CG relativo a la mquina la instalacin es generalmente inestable...2. METODOS TEORICOS DESCRITOS EN LIBROS DE TEXTO.Colgar el objeto de un pivote o cable flexible y medir el ngulo con que cuelga el objeto. Este mtodo es posible en laboratorios de Fsica, pero no en aplicaciones industriales.Conversin de coordenadas cartesianas a polares Cuando se calcula, los datos del CG estan expresados en coordenadas cartesianas. A menudo, es til convertirlos a coordenadas polares. Muchos ordenadors y calculadoras cientficas, hacen esto automticamente. No obstante, si no, se puede usar el siguiente mtodo:Magnitud -- Dos ejesM = SQR(X + Y) donde "SQR" significa raiz cuadradaAngulo A = arcTAN (Y/X) si X >= 0 e Y >= 0 (1 cuadrante) A = 180 - arcTAN (Y/X) si X < 0 e Y >= 0 (2 cuadrante) A = 180 + arcTAN (Y/X) si X < 0 e Y < 0 (3 cuadrante) A = 360 - arcTAN (Y/X) si X >= 0 e Y < 0 (4 cuadrante)Conversin de coordenadas polares a cartesianas Una vez los datos han sido convertidos a forma polar, a veces es necesario convertirlos de nuevo a forma cartesiana, utilizando un nuevo sistema de referencia. Esto puede ocurrir si se quiere ajustar el offset del CG de un vehculo de reentrada, que fue equilibrado en su linea central. En este caso, las posiciones de los pesos de correccin, puede no caer sobre los ejes de referencia.Si no se dispone de calculadora, se pueden usar las siguientes frmulas: X1 = M cos (A1) Y1 = M sin (A1)Donde X1 e Y1 son los nuevos ejes y A1 es el ngulo entre el momento vector de desequilibro y el eje X1.Correccin del desequilibrio estticoEl satlite mostrado, tiene un desequilibrio esttico de X = -4.65 lb in e Y = +12.32 lb in. Es necesario aadir pesos al vehculo para que este desequilibrio se reduzca a cero. Por desgracia, los nicos lugares donde estos pesos se pueden aadir, son a 33 y 255. El radio del peso de correccin a 33 es 8.25 in y a 255 es 7.60 in. Qu pesos se deben aadir a cada posicin para compensar el desequilibrio? Si los pesos se pudiesen aadir a 0 y 270, se necesitarian 4.65 lb in a 0 para compensar las -4.65 lb in de desequilibrio en el eje X, y 12.32 lb in a 270 para compensar las 12.32 lb in de desequilibrio en el eje Y. No obstante, estas posiciones no estan disponibles. Esta es la situacin general en el equilibrado aeroespacial. El siguiente ejemplo presenta el mtodo utilizado para determinar los nuevos pesos en posiciones permitidas: Primero se calcula la magnitud y el ngulo polares del momento resultante, despues se calculan las coordenadas cartesianas de los momentos de correccin. Dividimos los momentos de correccin por sus rdios para obtener lo pesos de correccin.Ecuaciones generales de correccinSum [C sin Ac = M sin (180 - A)]Sum [C cos Ac = M cos (180 - A)]donde: C = Momentos de correccin Ac = Angulos de correccin permitidos M = Momento de desequilibrio esttico A = Angulo del momento de desequilibrioNtese que estos clculos en que interviene el desequilibrio esttico, conciernen al peso ms bien al peso que a la masa. En el ejemplo anterior, la figura no mostraba a qu altura debian aadirse los pesos. En general, los pesos deben ser aadidos a una altura lo ms cercana posible a la del CG del vehculo, para que los pesos no produzcan desequilibrio por producto de inercia.Calculando los pesos de correccinM = SQR (MX+My ) = 13.17 lb in Los instrumentos de cculo del CG, disponen de rutinas software que permiten especificar las posiciones disponibles para los pesos de correccin. El ordenador indica al operario cuanto peso aadir, y en qu posicin.Efectos del offset del CG durante el vuelo Si el CG de un vehculo aeroespacial giratorio no est en su centro geomtrico (generalmente es tambin el centro de resistencia al volar a travs de la atmsfera), entonces el vehculo tiene tendencia a girar sobre su CG. El vehculo puede tambin inclinarse de manera que el eje principal se alinee con el eje de rotacin (esto se discute en detalle en la seccin dedicada al producto de inercia). Esto resulta en una alteracin de las caractersticas de friccin y arrastre del vehculo de reentrada, cuando este entra en la atmsfera.Calculando los pesos de correccinM = SQR (Mx + My) = 13.17 lb inA = arcTAN (12.32 -4.65) = 110.7 Para encontrar los momentos de correccinC1 y C2 a 33 y 255 :Cx = C1 cos 33 + C2 cos 255 = 4.65Cy = C1 sin 33 + C2 sin 255 = -12.32eq. (1): 0.84 C1 - 0.26 C2 = 4.65eq. (2): 0.54 C1 - 0.97 C2 = -12.32Multiplicar ambos lados de la eq. (2) por :- (0.84 0.54)y sumar a la eq. (1)0 C1 + 1.25 C2 = 23.81C2 = 19.05 lb inC1 = (4.65 + .262 ) 0.84C1 = 11.43 lb inPesos a aadir:W1 = 11.43 lb in 8.25 in = 1.39 lbW2 = 19.05 lb in 7.60 in = 2.52 lbCombinar los datos de CG de subestructurasConsideremos el caso de un cohete de tres etapas. Los CGs de las etapas se han calculado de forma que esten en la linea central. Despus de la construccin, se ha medido el CG de cada seccin, obteniendo:XYZW

Etapa 1+0.0004"-0.012"-27.436"167 lb.

Etapa 2-0.0007"+0.012"+32.771"96 lb.

Etapa 3-0.0012"+0.012"+12.115"43 lb.

TOTAL306 lb.

Se presentan dos vistas del cohete. La planta muestra los ejes X e Y; el alzado, el eje Z.Las coordenadas X e Y se miden desde la linea central de la seccin; la coordenada Z de las etapas 1 y 3, se mide desde su interseccin, mientras la coordenada Z de la tercera etapa se mide desde la interseccin de las etapas 2 y 3. Para calcular la coordenada Z del CG, primero debemos trasladar la coordenada de la etapa 3, a la misma referencia que las etapas 1 y 2. Como la longitud de la etapa 2 es 51.125 in, la coordenada Z es 12.115 + 51.125 = 63.240 in. Si las tres etapas estaban perfectamente alineadas en el ensamblado, entonces, el CG combinado de todo el cohete, se puede calcular sumando los momentos X, Y y Z alrededor del origen:XYZ

Etapa 1+0.668 lb in.-2.004 lb in.-4581.812 lb in.

Etapoa 2-0.672 lb in.+1.152 lb in.+3146.016 lb in.

Etapa 3-0.172 lb in.+0.516 lb in.+2719.320 lb in.

Momento total-0.176 lb in.-0.336 lb in.+1283.524 lb in.

Momento/306 lb-0.00058 in.-0.00110 in.+4.1945 in.

Si las tres etapas se ensamblan con un error de alineado, entonces:1. Se selecciona una de las etapas como referencia. Para este ejemplo, escogemos la etapa 2. Las coordenadas del CG para esta etapa permaneceran sin cambios.2. Se recalculan las coordenadas del CG para las etapas 1 y 3, para reflejar el error de alineado. Si las etapas no se ensamblan correctamente (p.ej. hay un espacio de 0.006 in entre las etapas 2 y 3), entonces la dimensin Z = 63.240, se convierte en 63.246. Si el eje X se desplaza hacia un lado en la primera etapa 0.003 in, entonces la dimensin X = -0.004 in de la primera etapa, se convierte en -0.001 in, etc. Si las etapas estan inclinadas unas respecto a las otras, el offset debido a la inclinacin, se debe determinar a la altura del CG de la etapa. Por ejemplo, si la etapa 3 est inclinada de forma que el error en el eje Y con Z = 24.5 in es 0.020, entonces, la correccin del eje Z de la etapa 3 es:0.020 x (12.115 24.500) = 0.00989 inEl nuevo valor de Y para la etapa 3 ser:Y = 0.012 + 0.00989 = 0.0219 in3. Una vez la tabla de coordenadas de los CG de las etapas 1 y 3 se ha revisado, el clculo se realiza de forma idntica a la del ejemplo con un alineado perfecto.

Centro de masasElcentro de masasde un sistemadiscretoo continuo es elpuntogeomtrico quedinmicamentese comporta como si en l estuviera aplicada la resultante de lasfuerzasexternas al sistema. De manera anloga, se puede decir que el sistema formado por toda lamasaconcentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia comoc.m..ndice[ocultar] 1Otros conceptos relacionados 2Clculo del c.m. de un sistema 2.1Distribucin discreta de materia 2.2Distribucin cuasidiscreta de materia 2.3Distribucin continua de materia 3Clculo de centro de masas 4Vase tambin 5Referencias 5.1Bibliografa 5.2Enlaces externosOtros conceptos relacionados[editar]

Dos cuerpos orbitando alrededor de sucentro de masasen rbitas elpticas.En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para anlisis fsicos en los que no es indispensable considerar la distribucin de masa. Por ejemplo, en lasrbitasde losplanetas.En laFsica, elcentroide, elcentro de gravedady elcentro de masaspueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre s. En estos casos se suele utilizar los trminos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. Elcentroidees un concepto puramente geomtrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribucin de materia, mientras que el centro de gravedad depende tambin delcampo gravitatorio. As tendremos que: el centro de masas coincide con el centroide cuando ladensidades uniforme o cuando la distribucin de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales comosimetra. el centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio uniforme (elmduloy la direccin de la fuerza degravedadsonconstantes).Clculo del c.m. de un sistema[editar]Distribucin discreta de materia[editar]Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

, masa de la partculai-sima., vector de posicin de la masai-sima respecto al sistema de referencia supuesto.Distribucin cuasidiscreta de materia[editar]En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre s mucho ms que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el clculo anterior resulta bastante aproximado.Distribucin continua de materia[editar]Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al Clculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresin anterior se escribe en la forma:

Distribucin de masa homognea:Si la masa est distribuida homogneamente, ladensidadser constante por lo que se puede sacar fuera de laintegralhaciendo uso de la relacin siguiente:

siendoVel volumen total.Para cuerpos bidimensionales (superficies) o monodimensionales (lneas) se trabajar con densidades superficiales y longitudinales respectivamente.Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el c.m. coincidir con elcentroidedel cuerpo. Distribucin de masa no homognea:Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la funcin de densidad. En este caso se calcula el centro de masas de la siguiente forma.

Para calcular la integral hay que conocer la funcin de densidad.Clculo de centro de masas[editar]Para el clculo deslidos de revolucinresulta muy til elTeorema de Pappus-Guldin.