Como Trabajar El Area de Matematica

Doce

ntes

San

tilla

na

El curso Cmo trabajar el rea de Matemtica? es una obra colectiva creada y diseada por el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana S. A., bajo la Direccin Editorial de Ana Luca de Escobar.

Debido a la naturaleza dinmica del Internet, las direcciones y los contenidos de los sitios web a los cuales se hace referencia en este libro pueden sufrir modificaciones o desaparecer.

Quedan rigurosamente prohibidas, sin autorizacin escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin en ejemplares de ella mediante alquiler y prstamo pblicos.

Equipo editorial

AutorEquipo Editorial Santillana

RevisinLuis Hernndez

Correccin de estilo Alejo Romano

Diagramacin William Ortega M.

Ilustracin Pablo Lara, Tito Martnez, Paola Karolys y Diego Jcome

Concepto general y diseo de cubiertaVernica Tamayo

Fotografa de portadaSantiago Calero

ISBN: 978-9978-29-725-4Impreso en C. A. El Universo

REALIZADO EN ECUADOR 2010, Grupo Santillana S.A.

Av. Eloy Alfaro N33-347 y Av. 6 de DiciembreTelfonos: 244 6656 - 244 5258. Fax: 244 8791Quito, Ecuador

Av. Miguel H. Alcvar y Jos Alavedra Tama, manzana 201, solar 14, Kennedy Norte. Telfono: 228 8012Guayaquil, Ecuador

Lnea sin costo: 1800 212000Correo electrnico: [email protected]

Equipo tcnico

Administradora de operacionesAdelaida Aruz

Jefe de correccin de estiloMauricio Montenegro

Jefe de arte Gabriel Karolys

Coordinadora grficaVernica Tamayo

Jefa de produccin Isabel Prez

Coordinador de sistemas Jorge Camacho

Digitalizadora de imgenesDiana Novillo

Documentalista Cecilia Flores

Doce

ntes

San

tilla

na

La Actualizacin y Fortalecimiento Curricular de la Educacin Bsica, propuesta por el Ministerio de Educacin del Ecuador, se sustenta en diversas concepciones tericas y metodolgicas, orientadas al desarrollo del pensamiento lgico, crtico y creativo de las nias, los nios, y los jvenes ecuatorianos.

Esta propuesta se basa en un sistema de desarrollo de destrezas y aprendizajes, a travs de situaciones en contexto y de mtodos participativos, puntualizados por el nuevo referente curricular 2010, que posibiliten la construccin del conocimiento esperado en el perfil de salida propuesto para los estudiantes de 10o ao.

La puesta en marcha de la propuesta ministerial supone una capacitacin que con-temple no solo el desarrollo de destrezas con criterios de desempeo, sino tambin el apoyo a los docentes en la interpretacin de los nuevos lineamientos curriculares, para ayudarlos a reflexionar sobre sus propias prcticas pedaggicas.

En ese contexto, esta coleccin pretende poner al alcance de los docentes varias metodologas, estrategias y problemas, para que alcancen interpretaciones ms acertadas y trabajen juntos por una mejor calidad en su formacin permanente.

Presentacin

Doce

ntes

San

tilla

na

4 NUEVA EDUCACIN GENERAL BSICA Aplicacin prctica de la Actualizacin y Fortalecimiento Curricular

ndice

Presentacin 3Introduccin 5Pensar en Matemtica para ensear Matemtica 6Los docentes y sus opiniones acerca de la Matemtica 6El razonamiento lgico 8Qu se entiende por pensamiento lgico? 8Se puede formar este tipo de pensamiento? 8Los problemas de deduccin en el aula 9Planteo y resolucin de problemas 11La evolucin de la resolucin de problemas 11Comprender el problema 14Concebir un plan 14Ejecucin del plan 14Examinar la solucin obtenida 14Ejercicios y problemas 16Escribiendo nmeros 17Representaciones de nmeros 18Sistemas de numeracin 19El aprendizaje de los nmeros 20Numeracin romana 22El cero: un nmero especial 23Contar, ordenar, hacer cuentas 24Operar con nmeros 24Problemas numricos: un desafo 27Los errores, son todos iguales? 28Acerca de la evaluacin 31Haciendo cuentas 32El uso de la calculadora 32Clculo mental y estimacin 34Algo ms sobre el clculo mental 35Los nmeros gobiernan el universo 36Distintos significados de las fracciones 37Las fracciones y los escolares 39Tras el concepto de nmero racional 40Comunicacin y razonamiento en la clase de Matemtica 41El lenguaje simblico 42El paso de la Aritmtica al lgebra 44Nocin de variable 44El lgebra y la Geometra con un lenguaje comn 46Acerca de las funciones 48Las funciones en la Matemtica 48Funciones: representaciones y conclusiones 49Una funcin escondida dentro de un problema 51Funciones y problemas 52Concepcin matemtica de la proporcionalidad 54Una funcin conocida: la funcin de proporcionalidad 56Los porcentajes y las escalas: la proporcionalidad en todos lados 57Una funcin lineal no proporcional 58Porcentajes, lluvias y dems... 59Los orgenes del pensamiento relacionado con probabilidad y Estadstica 61Pero qu es una probabilidad? 62Bibliografa 64

Doce

ntes

San

tilla

na

5Propuesta de Actualizacin y Fortalecimiento Curricular de la Educacin Bsica del rea de MatemticaLa propuesta de Actualizacin y Fortalecimiento Curricular de la Educacin Bsica est enfocada en el desarrollo de las destrezas necesarias, para la re-solucin de problemas, comprensin de reglas, teoremas y/o frmulas, con el propsito de desarrollar un pensamiento lgico-crtico en los estudiantes.

El eje integrador del rea de Matemtica es desarrollar el pensamiento lgico y crtico, para interpretar y resolver los problemas de la vida, es decir, cada ao de la Educacin General Bsica debe promover en los estudiantes la habilidad de plantear y resolver problemas con una variedad de estrategias, metodologas activas y recursos, que constituyen la base del enfoque general a trabajar. Lo importante es evitar que la resolucin de problemas se convierta en un simple proceso a seguir, sin un anlisis que genere otros conocimientos y que permita aplicar lo aprendido en otros contextos.

El eje integrador se apoya en los siguientes ejes del aprendizaje: razonamien-to, demostracin, comunicacin, conexiones y representacin. Se puede usar uno de estos ejes o la combinacin de varios de ellos en la resolucin de problemas.

En este sentido, la importancia de ensear y aprender Matemtica busca formar ciudadanos que sean capaces de utilizar el conocimiento matemtico en la resolucin de problemas de los ms variados mbitos y, sobre todo, aquellos que tengan una relacin con su vida cotidiana y que, cuando sea necesario, argumenten y expliquen los procesos utilizados. Teniendo como base el pensamiento lgico y crtico, se espera que el estudiantado conozca y entienda de forma cabal las reglas y los modelos matemticos, los comuni-que claramente y los aplique de manera flexible para entender mejor a una sociedad en constante cambio.

Despus de los diez aos de Educacin General Bsica, los educandos sern capaces de: Resolver, argumentar y aplicar la solucin de problemas a partir de la

sistematizacin de los campos numricos, las operaciones aritmticas, los modelos algebraicos, geomtricos y de medidas, sobre la base de un pensamiento crtico, creativo, reflexivo y lgico, en vnculo con la vida cotidiana, con las otras disciplinas cientficas y con los bloques especficos del campo matemtico.

Aplicar las tecnologas de la informacin y la comunicacin en la solucin de problemas matemticos, en relacin con la vida cotidiana, con las otras disciplinas cientficas y con los bloques especficos del campo matemtico.*

* Ministerio de Educacin del Ecuador, Actualizacin y Fortalecimiento Curricular de la Educacin Bsica 2010, rea de Matemtica, noviembre, 2009, p. 28, 29, 31, Quito.

Doce

ntes

San

tilla

na


Pensar en Matemtica para ensear MatemticaSi se le pregunta a cualquier persona acerca de la importancia de aprender Mate-mtica en la escuela, entre las respuestas posibles y ms corrientes se escucharn argumentos que se refieren a la utilidad de esta ciencia: sirve para desarrollar el pensamiento, para calcular, sacar conclusiones, encontrar soluciones y respues-tas a un problema dado, etc. Algunas de estas expresiones, aunque no lo hagan explcitamente, aluden a la utilizacin del mtodo deductivo como herramienta para adquirir nuevos conceptos matemticos.

Sin embargo, en muchas ocasiones, tambin se oir que la utilizacin de mtodos mecnicos y algortmicos reemplaza a la deduccin matemtica en el aula. Calcu-lar las races de un polinomio aplicando frmulas, aplicar casos de factoreo a ex-presiones algebraicas, realizar largos clculos algebraicos, aplicar la regla de tres a una extensa lista de problemas, son algunas de las actividades repetitivas presen-tadas como parte de la clase de Matemtica en los distintos niveles de la enseanza. Es importante, por lo tanto, encontrar el balance adecuado entre la repeticin, a travs de ejercicios de prctica, y el razonamiento, a travs del entendimiento de los procesos, ya que juntos constituyen las bases para un mejor aprendizaje.

Los docentes y sus opiniones acerca de la Matemtica

El diseo y la implementacin de las actividades de aprendizaje son fundamenta-les para identificar y analizar la propuesta que realiza el docente. La concepcin que tenga el docente acerca de qu es la Matemtica se reflejar directamente en el tipo de problemas y situaciones que plantear a sus estudiantes.

En principio, es importante conocer el contexto en el que se plantea el problema; en este caso, el contexto es la enseanza de la Matemtica. Tambin influye la concepcin que se tiene de la Matemtica y de qu es importante saber, qu es importante entender y cul es el proceso de aprendizaje. Aunque parezca trivial en una primera lectura, los siguientes no son sinnimos. Qu es Matemtica? Qu es saber Matemtica? Qu es aprender Matemtica?

Cmo saber cundo se est avanzando hacia un teorema y cmo asegurarse de no estar disparando con cartuchos vacos?.

Douglas Hofstadter.

Piense unos minutos las diferencias entre sus ideas acerca de la Matemtica, saber Matemtica y aprender

Matemtica.

Doce

ntes

San

tilla

na

7Cmo trabajar el rea de Matemtica?

Concepcin matemtica Saber matemtico Aprender matemtico

1

Es una teora estructurada con rigor lgico.

Es un producto cultural.

No es aplicar la memoria.

Implica mostrar esquemas de pensamiento.

Es aprender lo que tiene sentido para uno mismo.

La construye uno mismo.

Es formarse esquemas de pensamiento.

2

Es un conocimiento abstracto.

Es algo complejo pero organizado.

Es comprender por qu se hacen las cosas de determinada forma.

Hay que ayudar a que se formen las propias nociones.

Es algo que se desarrolla de manera personal.

3

Es una ciencia en completo desarrollo.

Son teoras compactas y rigurosas.

Se requiere mostrar un buen nivel de construccin.

Es mostrar nuevas formas de enfrentar las situaciones.

Es estructurar un pensamiento lgico que ayude a encontrar una cosa partiendo de otra.

4

A la Matemtica se la maneja de muchas formas.

No es simplemente memorizar.

Se debe poder razonar para resolver problemas.

Se va aprendiendo conforme uno va dndole sentido.

5

La Matemtica est en constante crecimiento.

Es una ciencia formal.

Es mostrar que se ha desarrollado el razonamiento.

Es construir nociones.

6

La Matemtica se va desarrollando.

Es un conocimiento abstracto que puede ser aplicable.

Antes de repetir hay que comprender.

Debe mostrarse habilidad en el razonamiento.

Cada quien va conformando sus conceptos.

Los investigadores mexicanos Santos Trigo y Mancera Martnez han realizado una investigacin acerca de las concepciones de los docentes respecto de las tres ideas mencionadas. Los resultados que obtuvieron al entrevistarlos fueron los siguientes.

Como se ve en el cuadro anterior, ninguna de las posturas de los docentes que intervinieron en la investigacin es incorrecta, pero denotan distintos matices acerca de las concepciones que se traducirn en su aula. Adems, es posible ver cmo se relacionan las diferentes concepciones con la forma de ensear. Por ejemplo, si la Matemtica est en desarrollo, el aprendizaje tambin se har en forma paulatina para adquirir los conceptos.

Doce

ntes

San

tilla

na


El razonamiento lgicoEs indudable la relacin que existe entre la Matemtica y el razonamiento lgico. La Matemtica es una ms de las herramientas que ayuda al desarrollo del pensamiento lgico, ya que permite formular y resolver problemas matemticos, que se basan en la recoleccin de datos, en la realizacin de conjeturas y en la determinacin de si estas son vlidas o no.

En la escuela, los estudiantes no siempre llegan a las distintas formas del pensa-miento lgico. Diferentes investigaciones realizadas muestran que, aunque estas formas aparecen desde la escuela elemental dentro de los contenidos a ensear, a veces ni los estudiantes de las universidades tienen dominio de dichos proce-dimientos lgicos.

En la escuela, el mtodo deductivo, en los casos en los que aparece de manera consciente, est vinculado ms con la Geometra que con los dems sistemas, y se hace presente, sobretodo, en las demostraciones de algunos teoremas de geo-metra del plano. Esta aproximacin se hace a travs de la memorizacin de las demostraciones de ciertos teoremas y con ello se desperdicia en el aula la posibilidad de aprendizaje de una de las caractersticas centrales de la Matemtica: el pensamiento deductivo.

Qu se entiende por pensamiento lgico?

Puede decirse que el pensamiento lgico es el que garantiza que el conocimiento que se proporciona sea correcto, que se ajuste a la realidad que refleja, y es el que aplica la correccin lgica como nico criterio para juzgar la validez de un pensa-miento. El docente es quien debe controlar cul es el nivel de precisin y rigor que se exige a los estudiantes en cada momento del proceso de enseanza-aprendizaje.

El pensamiento lgico no es inherente a la Matemtica. En cualquier ciencia, e incluso en cualquier actividad humana, aparecen procedimientos deductivos vlidos, que son los que garantizan la correccin de los razonamientos.

Al estudiar la validez del pensamiento se distingue el contenido de la forma. El pensamiento se manifiesta en ideas y cada idea tiene una estructura determinada, llamada forma de la idea o del pensamiento; as pues, la estructura del pensamien-to, desde el punto de vista de su correccin, es lo que se denomina formas lgicas del pensamiento.

Se puede formar este tipo de pensamiento?

En relacin con esta segunda pregunta, es importante precisar que la escuela en general y la Matemtica en particular deben contribuir a su desarrollo. En ciertas ocasiones se observa que, en el mejor de los casos, los docentes aplican los pro-cedimientos lgicos de forma inconsciente, sin un objetivo determinado y sin tener en cuenta las particularidades esenciales que los caracterizan.

Los procedimientos lgicos ms elementales son los que se relacionan con las propiedades de los conceptos; en primer lugar, se aslan propiedades e intervienen

Probar una generalizacin requiere de la deduccin que la independiza de la experiencia y la torna universal. El razonamiento deductivo no est necesariamente unido a una presentacin formal del mismo y, en este nivel, no es condicin indispensable tal presentacin, pero s es interesante que los estudiantes usen y establezcan las diferencias entre las distintas formas de verificacin. La negacin, los cuantificadores, las conectivas, los contraejemplos, las demostraciones por el absurdo o por mtodos directos son herramientas del razonamiento lgico que los estudiantes deben conocer.

Doce

ntes

San

tilla

na

9Cmo trabajar el rea de Matemtica?

las operaciones racionales del pensamiento: anlisis, sntesis, comparacin, abs-traccin, concrecin, generalizacin y particularizacin. En segundo lugar, otro procedimiento lgico elemental consiste en asociar propiedades a un objeto. A medida que aumenta la complejidad de los objetos y el grado de abstraccin de las propiedades, se hace necesario recurrir a otros procedimientos tales como reconocer propiedades, distinguir propiedades esenciales, suficientes, necesarias, suficientes y necesarias, identificar conceptos, definir, clasificar, ejemplificar y deducir propiedades.

Los problemas de deduccin en el aula

No es un secreto que en nuestras aulas se estudian muchos problemas y, dentro de estos, los problemas de demostracin han despertado desde siempre interrogantes a estudiantes y docentes en la bsqueda de su solucin. De dnde parto para encontrar lo que me piden? Cmo lo puedo hacer? Qu me falta por obtenerlo? De dnde lo obtengo? Cmo obtengo lo que me falta? Para qu sirve el trazado de la figura auxiliar? Cmo se le ocurri a alguien esta construccin auxiliar?

Al enfrentarse a un problema de demostracin, es comn que los estudiantes: Enuncien los teoremas, propiedades y relaciones conocidos; incluso,

escriban propiedades y relaciones que no utilizarn. Marquen elementos en la figura de anlisis que no siempre se vinculan

con la hiptesis del problema a demostrar. No sepan cmo comenzar la demostracin. Comiencen, en algunos casos, obviando pasos de inferencia iniciales

y, en otros, obviando pasos intermedios. No siempre fundamenten (ni implcita ni explcitamente) los pasos

en la cadena de inferencia de la solucin del problema a demostrar.

En cuanto a las fundamentaciones que los estudiantes realizan en la resolucin de diferentes problemas matemticos, es posible constatar las siguientes regularidades. Se fundamentan propiedades y relaciones que no coinciden con las que,

finalmente, son utilizadas en la demostracin. Se fundamenta sobre la base de la intuicin, provocada por la sugerencia

que brinda la figura o el esquema de anlisis, lo que contribuye al error. Las fundamentaciones son imprecisas e incoherentes.

A partir de las ideas enumeradas, se observa que los estudiantes no presentan a veces un nivel correcto en el proceso de razonamiento lgico. Es posible descri-bir de la siguiente manera cada una de las etapas en el anlisis de los diferentes problemas de demostracin. Anlisis de los conceptos que figuran en la hiptesis y la tesis. Establecimiento de una suposicin, la cual puede estar determinada

explcitamente en la conclusin del problema (fijacin del objetivo). Determinacin del rea de bsqueda sobre la base de los conceptos

que intervienen en la suposicin a demostrar (orientacin del objetivo).

Doce

ntes

San

tilla

na


Seleccin del o de los posibles caminos establecidos en el rea de bsqueda, de donde se obtiene la solucin del problema, mediante un anlisis reflexivo que incluya figuras de anlisis e hiptesis del problema.

Ejecucin reflexiva de la seleccin orientada a la aceptacin o rechazo de la seleccin: se razona a partir de la seleccin si es posible obtener la solucin segn la hiptesis del problema, con la aplicacin de un trabajo hacia adelante o hacia atrs.

Representacin de la solucin del problema por medio de la fundamentacin de los pasos de inferencia de forma implcita (mediante diferentes smbolos que el estudiante coloca en la figura de anlisis), explcita (mediante la representacin escrita de las fundamentaciones) o de ambas formas.

El siguiente problema fue planteado por Paul Curry (1917-1986), mago amateur de Nueva York, creador del juego Out of this world, considerado como uno de los mejores trucos de cartas inventados, y llamado habitualmente tringulos de Curry. Puede presentarse a estudiantes de 2o ao de Bachillerato.

Mira las siguientes figuras. Se han reagrupado en forma diferente las partes de la primera para obtener la segunda, pero hemos tenido que agregar dos pequeos cuadrados. Qu explicacin das a este fenmeno?

a Resuelva la actividad anterior.

b Proponga dos posibles respuestas.

c Realice una lista de las dificultades que plantea la resolucin de este problema desde el punto de vista de las consideraciones dadas vinculadas con la demostracin. Cmo subsanara cada una de ellas? Qu metodologa utilizara para poner en prctica esta actividad?

d Reformule el planteamiento del problema utilizando material concreto. As formulado, podra ser utilizado en 9o ao? Justifique su respuesta.

La explicacin para este fenmeno es que ninguna de las dos figuras anteriores son tringulos, pero, a causa de una ilusin ptica, lo parecen. Una forma de demostrar que no son tringulos es calcular la pendiente de las hipotenusas

Doce

ntes

San

tilla

na

11

Cmo trabajar el rea de Matemtica?

de los tringulos rectngulos que se encuentran en el vrtice superior y en las bases. Claramente se ve que estas pendientes son diferentes y que, en la primera figura, la pendiente se abre hacia los extremos ensanchando la base, mientras que, en la segunda figura, la base se encoge, razn por la cual se requiere de los dos cuadraditos adicionales.

Los problemas vinculados con el razonamiento lgico deben favorecer las construcciones propias y la apertura de caminos para el autoconvencimiento, a travs de la adquisi-cin de la estructura de los conceptos que intervienen en la resolucin de problemas y del rigor en las deducciones matemticas. Adems, deben permitir la adquisicin de una visin de la Matemtica como una ciencia en constante desarrollo y crecimiento. Los problemas planteados en el aula no corresponden, en general, a problemas de la Matemtica pura, pero utilizan conceptos y esquemas de esta.

Planteo y resolucin de problemas

La evolucin de la resolucin de problemas

La resolucin de problemas ha cobrado una importancia fundamental en la ense-anza de la Matemtica a partir de la dcada de los 80. Desde entonces, los problemas en el aula han sido objeto de innumerables publicaciones didcticas, no solo correspondientes al rea de la Matemtica, sino tambin a la didctica de las distintas asignaturas de los diversos niveles de la enseanza.

En la historia de la enseanza de la resolucin de problemas en Matemtica, se identifican tres perodos, separados por dos grandes hitos. En 1945, el profesor y matemtico hngaro George Polya public su libro

How to solve it? (Cmo plantear y resolver problemas?). En 1980, la resolucin de problemas dej de ser un asunto propio de psiclogos

y pedagogos, y se constituy en un objetivo primordial de la enseanza de la Matemtica.

Antes de Polya, no se haban desarrollado programas de Matemtica que incluyeran la instruccin heurstica de la enseanza de esta ciencia si bien muchos matem-ticos, lgicos y filsofos haban sido los precursores de estas ideas, ya que la reso-lucin de problemas se encuentra en la base del pensamiento cientfico. La enseanza de Matemtica se centraba casi exclusivamente en memorizar procesos, reglas y relaciones, y en replicarlas en situaciones similares a las estudiadas en el aula.

Polya expone en su obra las cuatro fases que se dan en la resolucin de un problema. Comprender el problema. Concebir un plan de solucin. Ejecutar el plan. Examinar la solucin obtenida.

A partir de entonces, y hasta la dcada de los 80, la resolucin de problemas se constituy en tema de investigacin y debate de psiclogos y pedagogos.

Reglas infalibles que permitiesen resolver todo problema de Matemtica seran con toda seguridad preferibles a la piedra filosofal, tan buscada en vano por los alquimistas. Tales reglas procederan de la magia, y no hay tal magia. Encontrar reglas infalibles aplicables a todo tipo de problemas no es ms que un viejo sueo filosfico sin ninguna posibilidad de realizarse.

George Polya.

Doce

ntes

San

tilla

na


Es notorio que en el 4o Congreso Internacional de Educacin Matemtica (ICME-4), llevado a cabo en Berkeley en 1980, hubo nicamente una sesin dedicada a la reso-lucin de problemas bajo la categora Aspectos poco comunes de los planes de estudios. En ese mismo ao, el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) de los EE. UU. declar que la resolucin de problemas deba ser el centro de la atencin de la Matemtica escolar. Desde ese momento, tanto investigadores como docentes de todo el mundo tomaron conciencia de la necesidad de introducir la resolucin de problemas en el aula, en todas la materias y en especial en Matemtica. A continuacin, presentamos un ejercicio de reflexin sobre la resolucin de problemas.

Un docente ha dictado a sus estudiantes los siguientes pasos para que tengan en cuenta en la resolucin de problemas.

1. Observa las imgenes y lee bien el texto.

2. Reflexiona y haz preguntas.

3. Lee las preguntas y busca en el problema lo que es til.

4. Responde las preguntas, si es posible; realiza los clculos y escribe las respuestas.

Compare estos pasos con los propuestos por Polya. Qu similitudes y diferencias encuentra? A qu puede deberse?

En la bsqueda de la incorporacin de la resolucin de problemas en el aula, surgen de inmediato algunas preguntas como: Qu es un problema? Cmo se aprende a resolver problemas? Como toda buena pregunta, estas no tienen una respuesta sencilla.

La mejor manera de aprender a resolver problemas es el tener cerca a alguien que acte como gua, que oriente en la resolucin sin dar todas las respuestas. Por lo tanto, si se quiere que los estudiantes resuelvan problemas, el docente debe con-vertirse en ese gua. Para esto, hay que conocer ciertas estrategias o tcnicas que sean garanta de xito frente al problema y tener paciencia, pues la enseanza a travs de la resolucin de problemas es un proceso largo. La situacin problema debe estar elaborada tomando en cuenta los siguientes aspectos. El nivel de conocimiento del pblico objetivo. No debe ser ni muy obvio ni muy difcil. Debe estar alineada con el tema tratado en el aula.

La resolucin de un problema

es una actividad mental compleja, requiere ciertos conocimientos y pone en escena una buena

dosis de talento y creatividad.

Doce

ntes

San

tilla

na

13


De esta forma, la persona que la enfrenta tendr las estrategias necesarias para abordarla y resolverla.

La resolucin de problemas se debe trabajar teniendo en cuenta los siguientes puntos. Consolidacin y refuerzo de aprendizajes Mtodo de enseanza de conceptos y destrezas Actividades centradas en estrategias generales de pensamiento, que

complementan las estrategias lgicas del pensamiento matemtico (estrategias heursticas, modos de razonamiento, procesos de pensamiento)

El docente debe adoptar, a lo largo del proceso de enseanza, un papel fundamental desde dos aspectos: resolver problemas y ensear a resolverlos. Se destaca, entonces, la necesidad de: La reflexin en la fase de planificacin, tanto del proceso de resolucin

de problemas como de su intervencin. La regulacin y el control de la accin en la resolucin de problemas durante

su tarea docente. La reflexin de los estudiantes tras la accin de resolver un problema,

abordando distintos niveles: individual y grupal, revisin global de la accin, posibilidad de mejorarla y de generalizarla a otras situaciones.

Un ejemplo de problema geomtrico

Despus de haber reflexionado sobre el concepto de resolucin de problemas, se le propone analizar y resolver lo siguiente.

A partir de un segmento AB, se construye una serie de tringulos issceles con un lado en AB. Si C es uno de los vrtices, cul es el lugar geomtrico de C?*

El problema de encontrar el lugar geomtrico del punto C requiere: Saber qu es un tringulo issceles. Analizar una figura bidimensional considerando sucesivamente todos

los posibles tringulos que se pueden construir bajo la condicin pedida. Conocer el concepto de lugar geomtrico. Interpretar cules son los puntos que surgen como resultado de la construccin. Poder realizar representaciones grficas en el plano.

En su libro, Polya presenta una serie de preguntas que conducen al abordaje de cada una de las fases de la resolucin de un problema. De entre ellas, es impor-tante identificar aquellas que se aplican al problema a resolverse, ya que no hay que usar siempre todas ni tampoco se pueden usar siempre las mismas. A conti-nuacin, y a modo de prctica, complete las respuestas, segn su experiencia, a las preguntas pertinentes ante la resolucin del problema anterior.

* Tomado de www.Platea.pntic.mec.es/~jescuder/prob_int.htm

Doce

ntes

San

tilla

na


Comprender el problema Cul es la incgnita? Cules son los datos? Cul es la condicin? Es la condicin suficiente, insuficiente, redundante o contradictoria?

Concebir un plan Se ha encontrado con un problema semejante o ha visto el mismo problema

planteado en forma ligeramente diferente? Conoce un problema relacionado con este? Conoce algn teorema que le sea til? Mire atentamente la incgnita y trate de recordar un problema que le

sea familiar y que tenga la misma incgnita o una incgnita similar; sera un problema relacionado con el suyo y que ya se ha resuelto.

Puede utilizar el mismo mtodo o su resultado? Le hara falta introducir algn elemento auxiliar?

Puede enunciar el problema en otra forma? Refirase a las definiciones. Si tiene dificultades en resolver el problema dado, podra imaginarse

un problema anlogo un poco ms accesible, ms general, ms particular? Puede resolver una parte del problema? Considere solo una parte de la condicin. En qu medida la incgnita

queda ahora determinada? En qu forma vara? Puede usted deducir algn elemento til de los datos? Puede pensar en otros datos apropiados para determinar la incgnita? Puede cambiar la incgnita o los datos de tal forma que la nueva incgnita

o los nuevos datos estn ms cercanos entre s? Ha empleado todos los datos? Ha empleado todas las condiciones? Ha considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Ejecucin del plan Al ejecutar su plan de la solucin, compruebe la rigurosidad de cada uno

de los pasos. Puede ver claramente que el paso es correcto? Puede demostrarlo?

Examinar la solucin obtenida Puede verificar el resultado? Puede verificar el razonamiento? Puede obtener el resultado en forma diferente?

Doce

ntes

San

tilla

na

15


Puede verlo de manera instantnea? Puede emplear el resultado o el mtodo en algn otro problema?

Luego de tener en cuenta los pasos anteriores y para resolver el problema, se considera lo siguiente.

Los puntos C que cumplen con AC = AB estn ubicados en la circunferencia de centro A y radio AB, mientras que los puntos C que corresponden a la condicin AB = BC se encuentran sobre la circunferencia de centro B y radio AB. Con estos dos trazos auxiliares, se han identificado dos puntos (las intersecciones de los dos crculos) que cumplen con las condiciones solicitadas.

A

B

C

Un posible error que se comete en la resolucin de este problema es considerar nicamente estas posibles soluciones y restringir el lugar geomtrico a esta con-sideracin, por lo cual, es importante verificar si no existen ms puntos que cumplan con lo solicitado. Al realizar esta verificacin, se concluye que los tringulos issceles en los que AC = BC dan origen a la recta mediatriz de AB como en el ejemplo.

Cundo consideramos que el problema est resuelto? Nos contentaremos con la representacin grfica de la solucin o con la identificacin de las figuras que lo componen, o ser necesaria una representacin rigurosa? Estas preguntas no tie-nen una respuesta nica, pues ser posible adaptar el problema a distintos niveles y situaciones en el aula. La afirmacin se vincula con lo normativo, con lo que se espera como respuesta correcta. Es decir, con el criterio establecido por el docen-te para decidir si una respuesta es aceptable o no. Es importante asumir que hay distintos tipos de problemas: problemas con solucin numrica nica, problemas cuya respuesta es un grfico, problemas cuya respuesta es un prrafo en el que se justifican las afirmaciones hechas, problemas sin solucin, problemas con varias soluciones aceptables, problemas abiertos que generan una investigacin poste-rior, etc. El docente de cada nivel de enseanza deber presentar distintos tipos de problemas a lo largo de su curso, para que los estudiantes los conozcan y se fami-liaricen con ellos y con las diferentes estrategias que se usan para resolverlos.

Tanto las fases planteadas por Polya como el cuadro de las preguntas que conducen al abordaje de cada una de las fases de la resolucin de problemas, son susceptibles de ser utilizados para analizar cualquier situacin problemtica.

Doce

ntes

San

tilla

na


Ejercicios y problemas

La resolucin de problemas se ha convertido, en los ltimos tiempos, en una constante en todas las reformas curriculares y textos de orientacin a los docen-tes. Sin embargo, es comn que ellos se pregunten acerca de cmo organizar sus clases de manera que todo el conocimiento fluya alrededor del planteo y resolu-cin de problemas, y qu tipo de actividades deben planificarse para formar a los estudiantes en el hbito de la resolucin de problemas.

Es comn preguntarse cul es la diferencia entre un ejercicio y un problema. Al-gunas de las caractersticas que diferencian a los ejercicios de los problemas son muy conocidas, pero no son tampoco definitivas, ya que, segn la necesidad del docente y de su intervencin en el aula, los ejercicios pueden convertirse en problemas y viceversa.

Normalmente, frente a un ejercicio, se ve a primera vista qu es lo que pide y cul es la forma de obtener la respuesta. El docente espera que los estudiantes utilicen y ejerciten contenidos ya aprendidos, fcilmente reconocibles, y que exi-gen poco tiempo para su resolucin. La finalidad de los ejercicios suele ser la fija-cin de conceptos; el tiempo que requerir su resolucin se estima de antemano. Generalmente, los ejercicios suelen presentar soluciones cerradas, no ponen en juego contenidos actitudinales y aparecen con frecuencia en los libros de texto.

Por otra parte, en un problema no es evidente qu es lo que pide ni cul es la forma de obtener la respuesta; es necesario leerlo varias veces para identificar los datos y las incgnitas que aparecen. La resolucin de un problema puede ser in-mediata o requerir de mucho tiempo; es difcil estimar a priori cunto tardar

La utilidad de los ejercicios en el aula se restringe al aprendizaje de algoritmos y a la memorizacin de mtodos. No es posible eliminar de la clase los ejercicios, pero lo importante es que estos no sean el eje de la enseanza. Los problemas pueden constituirse en el eje de la enseanza, ya que, mediante ellos, se articula el tratamiento de los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales.

Las ideas de Polya acerca de la resolucin de

problemas son aplicables no solo a la Matemtica de cualquier nivel en general, sino tambin al planteo y resolucin de problemas en cualquier

rea del conocimiento humano.

Doce

ntes

San

tilla

na

17


cada estudiante en resolverlo, pues se espera que este haga uso de la intuicin, revea sus conocimientos previos y construya una estrategia para resolverlo. Desde el punto de vista actitudinal, se espera que la resolucin de problemas promueva el uso de energa y afectividad, y que el estudiante experimente y maneje diferen-tes sentimientos y sensaciones a lo largo del proceso de resolucin, tales como confianza, preocupacin, frustracin, entusiasmo, concentracin, ansiedad, etc.

No todos los problemas son cerrados; pueden obtenerse soluciones abiertas, parciales o no, nicas Una gran cantidad de ellos es generalizable y deriva en otros problemas. Una situacin problemtica constituye un desafo para un estudiante y no para otro; depender de los conocimientos que posea y de las estrategias que maneje.

A travs de la resolucin de problemas, la comprensin de conceptos matemticos se torna genuina, es decir, trasciende el campo del conocimiento con el desarrollo de capacidades que favorecen la edificacin de estructuras cognitivas, para resolver nuevos problemas y hallar estrategias de solucin, que enfaticen los procesos reflexivos para la comprensin.El aprendizaje logrado de esta manera se basa en la actividad creativa del estudiante, en sus motivaciones intrnsecas. El docente asume el rol de mediador y no de informador. Los conocimientos as construidos son realmente operativos, permanentes y generalizables a contextos diferentes.

Escribiendo nmeros

Relatar lo que me dijo Tata Chungara: Ves esta pila de piedrecitas largas y color caf: son mis llamas, y estas otras ms pequeas color crema: son mis ovejas. Luego prosigui: Cada da, cuando las llamas u ovejas salen del corral donde pasan la noche, yo guardo una piedrecita en esta bolsita por cada llama u oveja que sale, y en la tarde, cuando regresan despus de haber pastado en el campo, saco una piedrecita y la pongo en esta otra bolsita. Cuando todas las llamas y ovejas han entrado al corral y me sobran una, dos o tres piedreci-tas, quiere decir que se han quedado en el campo, el lobo se ha llevado un animal o alguien me lo ha robado sin que mi nieto de cuatro aos se diera cuenta. Pero otras veces me faltan piedrecitas, eso quiere decir que el rebao ha aumentado, entonces tengo que aumentar ms piedrecitas.

scar Pacheco Ros.*

En el hombre primitivo surge el concepto de cantidad a travs de situaciones como la que describe el recuadro que encabeza este texto. Luego, con el desa-rrollo del pensamiento abstracto, expande el concepto de cantidad al concepto de nmero y su capacidad de contar y de agrupar todo tipo de elementos. Tambin aprende a valorar, evaluar y medir diversas magnitudes, a concebir y a alcanzar nmeros cada vez mayores.

* Pacheco Ros, O., La etnomatemtica y la semiologa del lenguaje etnomatemtico, en Actas Latinoamericanas de Matemtica Educativa, Buenos Aires, Iberoamrica, 2002.

Doce

ntes

San

tilla

na


Para llegar a este concepto, fue necesaria una larga evolucin. A principios del siglo XX, existan pueblos de frica, Brasil y Oceana, que an no haban tenido contacto con otras civilizaciones. A partir de ellos, fue posible comprender cmo se acercaban al concepto abstracto de nmero los pueblos sin conocimiento de l. Los nmeros, tal como nosotros los entendemos, son un instrumento desco-nocido e innecesario para estos pueblos.

Por ejemplo, los miembros de la tribu australiana de los aranda conocan solo dos nombres de nmero: ninta (uno) y tara (dos). El nmero tres era tara-mi-ninta (dos y uno); el cuatro, tara-mi-tara (dos y dos). Desde esta cantidad, conside-raban que se trataba de muchos.

El hecho de la presencia de una correspondencia uno a uno, como en el caso del pastor cuya explicacin se cit, y que otorga la posibilidad de comparar fcilmen-te dos conjuntos de objetos, constituye uno de los procedimientos aritmticos ms antiguos de la historia.

Con respecto a la idea de emplear un enfoque histrico en el aula, este surge de la observacin del modo en que se estudia a veces la historia de la Matemtica en el profesorado. La historia de la ciencia no se estudia aisladamente de la socie-dad en que se desarrolla. Cada avance cientfico es consecuencia de la madurez que se ha logrado en determinado momento en la comunidad cientfica; no se puede dar antes ni despus. La ciencia, en este caso la Matemtica, es el reflejo de una situacin social, pero, por encima de todo, es reflejo de una filosofa de vida. El hombre no encontrar la clave de un problema hasta que no madure determinadas ideas, hasta que no aprenda cmo descubrir esa clave, y este pro-ceso requiere de una manera particular de pensar y de ver el mundo. Cada teora, cada propiedad, no aparece porque s: aparece en una poca y en un lugar deter-minados, a veces, incluso, en varios simultneamente. No se estudia la historia de la ciencia sin analizar los hechos histricos y las ideas filosficas de la sociedad en la que vive el cientfico, pues es un ser humano que pertenece a una comuni-dad y recibe sus influencias, tiene sus vivencias y sus ideas. El matemtico no es una mquina de demostrar teoremas ni la Matemtica es una ciencia desco-nectada de la realidad. Este aspecto se aprecia si se estudia la evolucin del pensamiento matemtico a travs de los tiempos y de las distintas culturas.

La historia de la Matemtica demuestra cmo la experiencia y la intuicin con-tribuyen a su formacin como ciencia. El pensamiento matemtico de la huma-nidad ha ido evolucionando desde los pueblos orientales hasta nuestro siglo; en esta evolucin, es posible encontrar distintos matices del conocimiento. Las ciencias colaboran unas con otras, unas veces como instrumento y otras como motivacin, pero siempre como acompaamiento y apoyo mutuo.

Representaciones de nmeros

No es posible precisar cundo los seres humanos comenzaron a desarrollar el actual proceso de contar. Para llegar al mismo, las diferentes civilizaciones, a travs de la historia, crearon sistemas eficaces de numeracin fundados en bases numricas que permitan disponer a los nmeros en grupos convenientes segn sus necesidades y conocimientos. A raz de esto, la creacin de un sistema

Doce

ntes

San

tilla

na

19


de smbolos para representar los diferentes nmeros se torna natural. Hay muchos datos histricos y antropolgicos que indican que, a lo largo de los tiempos, se han usado en el mundo diversas bases y sistemas de numeracin. Esta progresin conti-na con la aparicin de medios cada vez ms complejos de registros de informacin.

Distintas culturas utilizaron diversos smbolos para representar cifras iguales y, al menos para los nmeros pequeos, eran fundamentalmente estilizaciones de muescas o rayas. Representar nmeros mayores fue algo ms complicado y ms difcil an, result la instrumentacin de mecanismos para la realizacin de ope-raciones aritmticas, de clculos. La evolucin necesaria para tener el actual sistema de numeracin llev casi 3 500 aos desde la aparicin de las cifras. A lo largo de este tiempo, el ser humano tuvo que enfrentar una enorme cantidad de dificultades conceptuales.

De la misma manera, para los educandos, el aprendizaje de estos conceptos pre-senta inconvenientes. En el aula, es importante hacer hincapi en las distintas maneras de representar un nmero. Los escolares van adquiriendo el concepto de nmero y de su representacin casi simultneamente; por eso, a veces, con-funden ambas ideas. Una manera de desarrollar en ellos esta conceptualizacin es trabajar con distintas representaciones (grafismos, agrupaciones de elementos, caras de dados, etc.).

Al igual que en la adquisicin de conceptos geomtricos, es fundamental no con-fundir la motricidad con la conceptualizacin si bien ambas son importantes en el proceso de aprendizaje. Por ejemplo, reproducir el grafismo de los nmeros en un cuaderno requiere de habilidades motrices; pero la adquisicin del grafismo no asegura la captacin del concepto. Este es importante para la comunicacin de las ideas, por lo cual es necesario trabajar los dos aspectos simultneamente, el motriz y el conceptual.

Sistemas de numeracin

El ser humano descubri que, para representar grandes cantidades, la utilizacin de piedritas no era prctica. En consecuencia, surgieron signos que representaban siempre la misma cantidad para facilitar el conteo o determinada operacin.

A continuacin, se representa un ejemplo histrico de la eleccin de estos signos, diferente a la nuestra.

En el antiguo Egipto, se comenz a utilizar la escritura de nmeros hacia el ao 3000 a. C. Los smbolos jeroglficos representaban las potencias de 10, desde la unidad hasta el milln. La seleccin de cada uno de los smbolos sigue siendo tema de discusin entre los egiptlogos.

Se puede considerar

la aparicin de un sistema de numeracin

escrito como la culminacin de desarrollos anteriores: primero surgi el reconocimiento de la distincin entre ms y menos; luego se

desarroll un conteo sencillo; despus, diferentes mtodos de registro de cuentas

(como marcas de rayas).

Doce

ntes

San

tilla

na


Para representar un nmero deseado, los egipcios se limitaban a repetir la cifra de cada clase tantas veces como hiciera falta y, para ello, procedan en el orden de los valores decrecientes a partir de la cifra de mayor potencia de 10 contenida en el nmero. Es decir, comenzaban por reproducir las unidades del orden decimal mayor, despus las del orden inmediatamente inferior, y as sucesivamente hasta las unidades ms simples. Para evitar la aglomeracin sobre una misma lnea de muchas cifras de una misma clase de unidades, y a fin de facilitar al ojo del lector la suma de los valores correspondientes, a menudo se formaron pequeos grupos de dos, tres o cuatro signos idnticos, sobre dos o tres lneas superpuestas. Esta forma de ordenacin no se dio desde un principio: a travs de inscripciones de pocas diferentes, se analiz su evolucin, y se observ que, en las ltimas, se lograba una mejor visualizacin de los nmeros representados.

El aprendizaje de los nmerosLa adquisicin

de este concepto debe basarse en la apropiacin de dos aspectos del nmero natural: la cardinalidad y la ordinalidad. Estos dos aspectos no son opuestos sino complementarios, y se requiere

de los dos para llegar a la idea de nmero natural.

En qu se basa la complejidad de la

adquisicin del concepto de nmero?

Antes de ingresar en los primeros aos de la escuela, los estudiantes tienen muchos conocimientos bsicos relacionados con cantidad y con conceptos de compara-cin, muy necesarios para desarrollar el concepto de nmero y la habilidad de

Los sistemas de numeracin surgieron de problemas concretos

y, en cierto modo, autnomos, y dieron distintas respuestas

a lo largo de la historia hasta llegar a

las caractersticas del sistema que actualmente utilizamos.

Doce

ntes

San

tilla

na

21


contar y de operar con los nmeros. Muchos tienen tambin algunos conocimientos numricos: recitado de memoria de la sucesin de los nmeros, identificacin de ciertos grafismos de nmeros, resolucin de problemas numricos sencillos, etc. Es importante rescatar la existencia de estos conocimientos, aunque sean muy diferentes de un escolar a otro. Cada docente debe analizar el punto de partida de los conocimientos de sus estudiantes y precisar los dominios numricos en los cuales puede proponer actividades: un escolar se frena sistemticamente en el 6; otro no puede superar el 10; otro, el 19; etc. Es comn la utilizacin del recitado de nmeros para contar objetos de una coleccin. Como esta es una actividad compleja, es necesario tener en cuenta que el conteo de los objetos con los dedos no vaya ms lentamente que el recitado de la sucesin, es decir, que el estudiante haya desarrollado el concepto de correspondencia uno a uno. Por qu?

En el aula deben trabajarse actividades que apunten a estos dos aspectos, teniendo en cuenta que el aspecto cardinal se refiere a especificar el tamao de una colec-cin de objetos, mientras que el aspecto ordinal corresponde al proceso de conteo, o sea, la sucesiva asignacin de un nmero a los objetos particulares que consti-tuyen una serie. Es decir, es importante que el nio entienda que, cada vez que nombra un nmero, su dedo debe indicar un objeto diferente en la serie y cada objeto puede ser indicado solamente una vez. Luego, el estudiante debe recorrer una etapa ms: comprender que el nmero con el que se termina de contar una coleccin representa el tamao de la coleccin entera. Este conocimiento liga entre s los aspectos cardinal y ordinal.

En el 2o ao de la Educacin General Bsica, es posible trabajar distintas actividades vinculadas con estos conceptos.

Marca con X las tarjetas que tienen tres dibujos y con O las que tienen dos.

Cuntas tarjetas hay con un solo dibujo?

En la primera de las actividades, se trabaja la asociacin del conjunto con su grafismo: 1, 2 y 3; en la segunda, el aspecto cardinal.

Estos conocimientos no son an slidos ni

estables. Es la funcin de la escuela lograr

la solidez y estabilidad de los conceptos relacionados con

el nmero a partir de la experiencia cotidiana

y extraescolar del educando.

Doce

ntes

San

tilla

na


Observa y contina.

1 2 3

En este caso, se desarrolla la idea de continuar agregando franjas para obtener lo siguiente; el orden es la idea central: cada nmero natural resulta de agregar la unidad al anterior.

A partir del manejo de la cardinalidad de los nmeros de 0 a 9 (esto significa asociar un conjunto de cuatro elementos al grafismo 4, unir conjuntos con igual cantidad de elementos, al decir nueve poder construir un conjunto de esa cantidad de elementos, etc.) y de conocer el orden de 1 a 9 (asociar uno y solo un elemento), el estudiante adquirir, entonces, la nocin de nmero diez. Debe poseer mucha experiencia en la agrupacin de objetos de 10 en 10, para construir la nocin de decena. Nuestro sistema numrico es un sistema decimal posicional, lo cual significa que necesitamos nicamente 10 smbolos para re-presentar cualquier cantidad, que las cifras de un nmero crecen en potencias de 10 y que la posicin de la cifra dentro determina el valor de la misma en el nmero.

La comprensin del sistema de numeracin decimal posicional ofrece muchas facetas. La experiencia docente muestra que algunas de las ideas implcitas en l no son fciles de aprender, lo que no tiene nada de sorprendente teniendo en cuenta el tiempo que tuvo que transcurrir hasta que la humanidad desarrollara un sistema de estas caractersticas.

Numeracin romana

Ahora se incluye en los contenidos correspondientes a 7o ao el sistema de nu-meracin romano. La excusa para la inclusin de este tema siempre fue la adqui-sicin de herramientas que permitieran a los estudiantes el acceso a informacin en trminos de cultura general, o sea, la lectura de nmeros en monumentos y documentos antiguos. Pero, es una causa suficiente para incluir estos conteni-dos en la escuela? Indudablemente, no. La idea es poder tener acceso a un siste-ma de numeracin no posicional, para, de esta manera, valorar todas las ventajas que ofrecen los sistemas de numeracin posicionales.

Los sistemas no posicionales

de numeracin, como el romano, tienen un carcter puramente

cardinal. En los sistemas de numeracin posicionales, como el que utilizamos, se pone de manifiesto el carcter ordinal de los nmeros.

Doce

ntes

San

tilla

na

23


El cero: un nmero especial

A partir del contacto con sistemas de numeracin de diversas caractersticas, el estudiante comprende e interioriza la importancia de los sistemas posiciona-les. As, la cifra 3 tiene significados distintos en los nmeros 243, 537 y 376. En el primer caso vale 3; en el segundo, 30; y en el tercero, 300. La aparicin del cero se hace necesaria para rellenar lugares y para indicar el vaco de una posicin. Por ejemplo, cuando se escribe 34, 304 y 3 004, el cero aparece para evitar ambigedades.

Mundos 3 Matemtica, pgina 85.

El cero fue inventado por los hindes e introducido en Occidente por los rabes. La invencin del cero se encuentra unida a la aparicin del concepto de nada. El hecho de que la aparicin histrica del cero se llevara a cabo despus de mu-chos siglos de que el ser humano utilizara los nmeros se halla fuertemente unido a razones filosficas y al desarrollo del pensamiento abstracto. En la mente del ser humano, el concepto de nada es difcil de asumir, y ms difcil an el de la necesidad de crear un smbolo para representar nada.

Identifique qu errores son comunes en los estudiantes en relacin con el cero.

En la actualidad, la numeracin posicional se ha transformado en una parte de nuestra cultura. Su utilizacin se encuentra fuertemente unida a la posibilidad de simplificar la realizacin de clculos. A continuacin, se le propone una reflexin ms acerca del cero. Algunos textos identifican al cero como nmero natural;

En los sistemas posicionales, el cero cobra una importancia fundamental, tanto en la representacin de los nmeros como en la operatoria. El principio de posicin consiste en dar a cada cifra un valor que depende no solamente de la cifra que se escribe, sino de la posicin que ocupa con respecto a las otras cifras del nmero.

Doce

ntes

San

tilla

na


otros, no. Cules estn equivocados? Ninguno! Se trata simplemente de una convencin. Las convenciones son comunes en la Matemtica; lo importante es conocer cul es la convencin elegida y obrar en coherencia con ella.

Quienes defienden la posicin de que el cero no es un nmero natural se basan en las dificultades que ocasiona la comprensin del concepto de cero, unido, como se ha visto, al concepto de nada. Los escolares comienzan a contar as: 1, 2, 3, 4... Ellos estn contando objetos. El aprendizaje de la idea de nada les resulta dificultoso. Esta idea est relacionada con la funcin cardinal del nmero.

Por otra parte, quienes adhieren a la consideracin del cero como natural estn pensando en los sistemas de numeracin posicionales. Los smbolos que se utili-zan en un sistema de numeracin de cierta base son los dgitos del cero hasta el valor de la base menos uno (por ejemplo, en base cinco se utilizan los smbolos de 0 a 4). Si comenzamos desde el cero y vamos sumando uno sucesivamente, obtendremos todos los nmeros naturales.

De esta manera, ninguna de las dos respuestas acerca de si el cero es o no natural es incorrecta. Se trata de una convencin. Cada respuesta tiene una fundamen-tacin vlida, pero recuerde que la convencin universalmente aceptada en el estudio de la Matemtica es que el cero no es un nmero natural, sino que se lo clasifica entre los nmeros enteros.

El abordaje en los primeros aos de los contenidos relacionados con el concepto de nmero natural proporciona experiencias acerca de los significados que los nmeros adquieren en diversos contextos, teniendo en cuenta las diferentes relaciones que se establecen entre ellos. O sea, a partir de los conocimientos con los que llegan los estudiantes, se les permite comprender el significado de los nmeros y de los smbolos que los representan, y hacer que los utilicen como herramientas para resolver situaciones problemticas y para adquirir nuevos conocimientos.

Contar, ordenar, hacer cuentasReflexionar durante la accin de ensear, con vistas a aumentar el saber didc-tico, no da al profesor ninguna ventaja para esa accin. Reflexionar con vistas a mejorar la accin en curso conducir a las mismas reflexiones si estas son tiles y, si no, evitar perder tiempo y energa en proyectos secundarios.

Guy Brousseau.*

Operar con nmeros

Como se vio anteriormente, el concepto de cantidad numrica naci histrica-mente de las operaciones simples destinadas a establecer correspondencias entre cantidades equivalentes, como en el caso del pastor con sus ovejas y las piedritas.

* Brousseau, G., Qu pueden aportar a los enseantes los diferentes enfoques de la didctica de las matemticas?, en Enseanza de las ciencias, No 9, 1991.

Doce

ntes

San

tilla

na

25


Trabajando con un grupo de

estudiantes de 8 aos, se les plante la siguiente situacin problemtica:

Fui a una granja en la cual no poda ver a las gallinas; lo nico que poda ver eran sus patas. Si eran 42 patas, cuntas gallinas haba?

Nacen a partir de all operaciones diversas. En algunas, se utilizan directamente los objetos; en otras, sus representaciones.

El extenso y rico uso de los nmeros naturales a lo largo de la historia y su pre-sencia en casi todo hecho cultural facilitan aprendizajes no escolarizados muy variados. Las representaciones simblicas de los nmeros se cargan de sentido a medida que los estudiantes se familiarizan con sus operaciones y sus propiedades. Una vez en la escuela, el escolar debe desarrollar ciertas habilidades instrumen-tales que favorezcan el pensamiento abstracto y que lo orienten a adquirir una actitud reflexiva y crtica frente a la realidad.

Se sabe que dos de los principales objetivos de la enseanza de la Matemtica son desarrollar el pensamiento deductivo de los nios y proporcionarles herra-mientas intelectuales para encarar la resolucin de problemas.

Los contenidos vinculados con las operaciones de nmeros naturales deben ser encarados desde este punto de vista, y favorecer as la construccin de estos conocimientos sin caer en la memorizacin de frmulas y tcnicas. Para lograr estos objetivos, es necesario conocer de qu manera se relacionan los estu-diantes con la idea de contar. Para ello, se analiza a modo de ejemplo el siguiente estudio de caso, presentado en el bocado de la derecha.

Los nios an no haban abordado en clase este tipo de problemas. Las estrategias encaradas por los estudiantes fueron diversas: en algunos casos llegaron al resultado; en otros, no. Las respuestas que registraron se presentan a continuacin.

La siguiente es la resolucin de Pedro.

La respuesta de algunos nios como Pedro est relacionada con tratar de dar un significado aritmtico a la formulacin. En este caso, tanto la sintaxis como la solucin presentada por Pedro son incorrectas, pero el clculo realizado busca una estrategia adecuada para la resolucin del problema.

Los datos que escribi Pedro son totalmente ajenos al planteamiento inicial. La actitud de los nios de intentar plantear algn clculo entre los datos del problema es usual. Esto tambin se pone de manifiesto en la respuesta de Mara.

En este caso, el nmero 42 es dato del problema; con respecto al 2, posiblemente se deba a que las gallinas tienen dos patas, ya que, cuando Mara pidi a la maestra ayuda para la resolucin del problema, ella le contest que considerara la cantidad de patas que tiene cada gallina.

Doce

ntes

San

tilla

na


Mara no present la respuesta al problema; se deduce que para ella es 40, pero no es seguro.

Por lo anterior, antes de pasar a la representacin aritmtica del problema, es importante que tengan primero conciencia del proceso que siguen para buscar la solucin del mismo.

Otros nios consideraron algunos elementos en la informacin del problema aritmtico, al obtener una respuesta errnea para el problema. Es el caso de Diana, que present la siguiente resolucin.

Diana dibuj un par de rayas sobre cada nmero de la escala numrica desde 1 hasta 42, con algunos errores. Al igual que en la resolucin anterior, esta nia relacion parcialmente la informacin del problema, es decir, que cada gallina tiene 2 patas, pero no consider que su respuesta deba ser un nmero menor que el dato inicial. Esta consideracin le hubiera servido para intentar validar el resultado y, de esta manera, darse cuenta de su error. De todas maneras, la respuesta se deduce, pero no aparece explcitamente en la solucin presentada.

Nora dio una respuesta matemticamente correcta al problema planteado.

Esta nia se apoy en el dibujo de las gallinas y de la escritura de la serie numrica, lo que le permiti obtener la respuesta correcta. Obsrvese que no realiz ninguna operacin aritmtica, pero s cont.

Ricardo aplic un procedimiento ms sofisticado.

La resolucin de Ricardo se plantea a travs de un doble conteo: primero escribe la sucesin numrica de 2 en 2 con la cual representa el nmero de patas de cada gallina, y debajo de cada nmero de la primera serie escribe

Desde el punto de vista social, se une naturalmente

a la Matemtica con los nmeros, de tal manera que los estudiantes muchas veces asocian resolver un problema con realizar una o varias operaciones numricas. Ms aun, si dan la respuesta

a un problema sin haber realizado un clculo,

intuyen que se han equivocado.

Doce

ntes

San

tilla

na

27


As, es posible hacer uso de procedimientos

o estrategias que, aunque no constituyen una garanta para su resolucin, permiten una estructuracin frente a la situacin desordenada

que implica intentar resolver un problema.

la sucesin de 1 en 1, para indicar el nmero de gallinas, y as obtiene 21 gallinas. Escribe tambin una operacin de suma en su presentacin por columnas, con la descomposicin del 42, con dificultad para acomodar los nmeros, lo cual es comn para muchos nios, ya que conlleva la nocin de valor posicional. En la resolucin de Ricardo, volvemos a encontrar la necesidad de presentar cuentas, aun cuando el resultado podra haber sido presentado sin la necesidad del clculo.

El anlisis de las distintas resoluciones planteadas por los estudiantes permite ver cmo se construye la idea de operacin sin tener en cuenta el algoritmo correspondiente. Adems, se ve que, para un mismo grupo de nios, hay grandes diferencias entre sus conocimientos, sus destrezas y sus comprensiones del nmero y de sus operaciones.

Problemas numricos: un desafo

Se ha explicado la importancia de la resolucin de problemas en la enseanza de la Matemtica. Sin embargo, dado que resolver problemas es una actividad mental compleja, son comunes las quejas reiteradas de los estudiantes: No s qu hacer ni por dnde empezar, Tengo que sumar o restar?, Es de multiplicar o de dividir?, etc.

Es cierto que un estudiante que se enfrenta a un problema en un primer momento no sabe qu hacer, pero, si ha tenido experiencias previas en la resolucin de problemas, es posible que tenga xito ms rpidamente y de manera ms efectiva que alguien que no se haya enfrentado a ellos. Leer detenidamente el enunciado, entender las preguntas, pensar y apropiarse de los cuestionamientos son proce-dimientos para tener en cuenta a la hora de resolver un problema.

Sin agotar todas las ideas posibles, se mencionan algunos procedimientos o estrategias. Codificacin de informacin: Qu informacin me ha sido proporcionada?

Qu es lo que el problema me pide que calcule? Experimentacin y formulacin de pautas: Inducir a partir de la informacin. Anlisis de un problema desde el final: Trabajar de atrs para adelante. Resolucin de problemas equivalentes. Utilizacin de tablas, esquemas y/o dibujos. Resolucin de problemas ms simples. Elaboracin de conjeturas: Qu pasa si intento esto o aquello? Organizacin de la informacin. Descomposicin del problema en pequeos problemas. Deduccin de resultados. Mtodo del absurdo: Qu pasa si supongo algo totalmente opuesto

o descabellado? Utilizacin de simetras: Es muy til en Geometra. Anlisis de situaciones lmite: Buscar cules son los extremos posibles

de la respuesta para enmarcarla.

Doce

ntes

San

tilla

na


Problemas lgicos. Ensayo y error: Probar varias opciones para ir acercndose a la respuesta

correcta. Reformulacin de la situacin problemtica: Simplificar el lenguaje utilizado

para que sea fcilmente decodificado por los estudiantes.

Tomado de www.Platea.pntic.mec.es/~jescuder/prob_int.htm

Para reflexionar sobre las estrategias en la resolucin de problemas, se le propone analizar el siguiente problema vinculado con los nmeros naturales.

Se camina por el siguiente laberinto sin pasar dos veces por la misma casilla y sumando los nmeros que aparecen en cada casilla por la que se pasa.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

Indica el camino que permita obtener el mnimo de puntos.

Indica un camino que permita obtener 49 puntos.

Indica el camino que permita obtener el mximo de puntos.

Existe un camino que permita pasar por todas las casillas? Justifica tu respuesta.

Luego de leer el problema anterior: Resulvalo. Del listado propuesto para las estrategias de resolucin de problemas,

seleccione las que haya utilizado para resolverlo. Conteste: Qu contenidos correspondientes al primero y segundo ciclos

de la EGB se trabajan en la resolucin de este problema? De acuerdo con su experiencia docente, en qu ao lo propondra? Responda: Qu errores podran cometer los estudiantes en su resolucin?

Los errores, son todos iguales?

Cuando un nio no ha aprendido algunos algoritmos correspondientes a estas operaciones, los padres sufren una sensacin de insatisfaccin porque sus hijos no alcanzaron las metas esperadas de la escuela.

Dentro de los contenidos correspondientes a la Educacin General Bsica, se encuentran los vinculados con las operaciones de nmeros naturales: suma y resta, multiplicacin y divisin, algoritmos de cada operacin.

En la manera de encararlos, se plantean dos posturas antagnicas: el objetivo de la Matemtica escolar es saber aplicar estos algoritmos (con los cuales las largas listas de ejercicios resuelven el problema, pues practicando se aprende) o desechar

Sumar, restar, dividir y multiplicar

son bsicamente los contenidos de la Matemtica de la Escuela Bsica ms reconocidos socialmente. Do

cent

es S

antil

lana

29


La importancia de la identificacin del patrn de error de un estudiante es fundamental en

el proceso de enseanza, ya que permite acceder a la comprensin de lo que est ocurriendo en el proceso de enseanza aprendizaje y poder, de esta manera, elegir las acciones apropiadas para corregir el error.

el clculo algortmico como inters dentro del aprendizaje de la Matemtica, para recurrir a mtodos intuitivos para la resolucin de operaciones.

Es evidente que ninguna de estas dos posturas es conveniente. El manejo de algo-ritmos de clculo tiene utilidades prcticas (saber calcular independientemente de los nmeros involucrados) y una riqueza terica al permitir desarrollar el concep-to. Pero la Matemtica escolar, claramente, no se reduce a esta adquisicin; inter-viene en ella el pensamiento deductivo, como un ingrediente fundamental en el desarrollo de habilidades. Desde esta ptica, se propone un anlisis de los errores ms frecuentes que aparecen en los clculos con nmeros naturales para, a partir de ellos, planear estrategias para corregirlos en la adquisicin de algoritmos. En una primera mirada, es posible clasificar los errores en conceptuales y fortuitos.

Los primeros se producen cuando el estudiante no aplic bien el algoritmo; este tipo de error se debe generalmente a que el estudiante sabe hacer la operacin, pero no entiende por qu funciona lo que hace, ya que no comprende el proceso sino que solamente lo replica. Los segundos son producto de la distraccin. Sin embargo, se puede realizar un anlisis ms detallado teniendo en cuenta los errores cometidos al operar. Es posible que las dificultades radiquen en el manejo de las tablas bsicas de clculo o que provengan del dominio del algoritmo. Por esto, es necesario seleccio-nar con sumo cuidado los clculos que se darn a los estudiantes.

A travs de un ejemplo, es posible identificar un patrn de error en un estudiante.

Los clculos en los cuales la suma de las cifras de las unidades es menor que 10 no presentan dificultad para este estudiante. En el caso de las sumas que superan al nmero 9, el algoritmo se aplica mal, pues se realiza la suma de todas las cifras. De esta manera, es posible encontrar un patrn de errores y remediarlos.

Teniendo en cuenta el nivel en el que se desempea, elabore una lista de errores en los algoritmos de las cuatro operaciones bsicas que encuentra recurrentes en sus estudiantes. Disee una situacin didctica que le permita remediar alguno de ellos. Comntela con un colega que ejerza en ese ao.

Esto demuestra la necesidad de un anlisis ms sistemtico del trabajo de los estudiantes, a fin de obtener indicadores ms precisos de sus avances y dificultades.

Para realizar esta tarea, es conveniente tener en cuenta algunas estrategias. Graduar el tiempo destinado al clculo en el aula de acuerdo con las dificultades

de la operatoria y las caractersticas del grupo. Proponer a los nios que no borren sus procesos, para analizar todos

sus intentos. Observar a los estudiantes para detectar quines cuentan con los dedos

o tienen dificultad en recordar las etapas del algoritmo.

Doce

ntes

San

tilla

na


Pedir a los estudiantes que busquen otras estrategias de clculo diferentes al algoritmo.

El trabajo de evaluacin no se reducir entonces a colocar bien o mal, sino que consistir en realizar un verdadero diagnstico que detecte las dificultades de los estudiantes, para disear, luego, experiencias de aprendizaje que sirvan para eliminarlas.

Los estudiantes responden de distintas maneras a la propuesta de resolucin de clculos. Algunas de las posibles caracterizaciones son: Utilizando el algoritmo estndar, obtener una respuesta correcta. Utilizando un algoritmo propio, obtener una respuesta correcta. No responder (por falta de tiempo, creer que no puede, creer que pierde

el tiempo al hacerlo). Cometer errores relacionados con propiedades de los nmeros

(por ejemplo: 3 0 = 3). Cometer errores relacionados con las propiedades del sistema de numeracin

(en el algoritmo de la suma, por ejemplo, no alinear correctamente los resultados de los productos parciales).

Ordenar incorrectamente los pasos (por ejemplo, restar siempre a la menor de las cifras la mayor).

Realizar un procedimiento incompleto. Emplear el algoritmo correcto pero aplicar una operacin diferente

en los clculos bsicos. Confundir el signo de operacin.

Seguramente, esta lista no incluye todas las variantes que pueden presentarse. Qu hacer una vez que se haya detectado el tipo de resolucin presentada por el estudiante? Cada situacin generar una respuesta diferente por parte del docente. Si el estudiante no responde nada, habr que proponerle clculos con menor complejidad para ver qu ocurre. Si aplica mtodos propios y se detecta que son limitados, habr que evaluar si el algoritmo es aplicable a todos los casos.

Si existen errores de descuido, habr que acostumbrarlo a estimar el valor del resultado para que realice algn control sobre sus clculos. Si el problema es la mala alineacin, habr que recurrir al papel cuadriculado, que le permitir distinguir el orden de las cifras.

Es indispensable, para evaluar conscientemente la resolucin de un problema brindada por un estudiante, entrar en su pensamiento, ponerse en su lugar, tratar de interpretar de qu manera lo pens, cules han sido los sucesivos pasos que lo condujeron a dar la solucin tal como la presenta. Solo as accederemos o bien a interpretar cules han sido los errores cometidos si los hubo, o bien a de-terminar la correccin de la respuesta presentada. Finalmente, otra estrategia que ayuda a detectar errores de razonamiento o de proceso es pedir a los estu-diantes que socialicen y expliquen oralmente los pasos seguidos en su proceso de resolucin del problema. Con ello, a la vez que se buscan errores, se presentan a los dems estudiantes otras estrategias que les resulten tiles y comprensibles.

Doce

ntes

San

tilla

na

31


Acerca de la evaluacin

Una pregunta que muchas veces se plantean los docentes es cmo evaluar? En este punto, es importante no confundir evaluacin con calificacin.

Resulta curioso el hecho de que los exmenes no surgieron en el mbito educa-tivo. El antecedente ms antiguo de una evaluacin data del 2375 a. C., en China, como instrumento de seleccin para decidir quines ocuparan ciertos cargos pblicos. En la Antigedad, en Occidente, no hay antecedentes de eva-luaciones educativas ni de listas de aprobados. En las universidades medievales, surgen las evaluaciones como instrumento para determinar la admisin de nuevos profesores. Es interesante analizar que el surgimiento de las evaluaciones no res-ponde a necesidades pedaggicas dentro del proceso de enseanza-aprendizaje.

Recin en el siglo XII se comienzan a plantear y llevar a la prctica exmenes en la universidad, con caractersticas similares a los actuales, para determinar la aprobacin y promocin de los estudiantes. A la escuela jesuita se le adjudica la iniciacin de los mtodos modernos de hacer exmenes. Posteriormente, el de-sarrollo de los distintos planes de estudios y la delimitacin de la enseanza en todos sus niveles han estado asociados a la realizacin de exmenes finales. Las escalas de calificaciones difieren de una sociedad a otra, e incluso, a veces, de una institucin a otra. Pero en esencia, se debe tener ms en cuenta la evaluacin que la calificacin.

Considere la escala de calificaciones que utiliza usualmente. Pone realmente de manifiesto el proceso de evaluacin? Qu es ms fcil, evaluar o calificar? Por qu? Se necesita, entonces, que los roles desempeados por el maestro y los estudiantes dejen de ser los tradicionales: el maestro es el evaluador y los edu-candos, los evaluados. Los trabajos o proyectos, tanto escritos como orales que realizan los estudiantes, deben ser sometidos a un proceso de autoevaluacin en el cual los estudiantes comprueben si se ajustan a los objetivos y a las directrices del proyecto, teniendo en mente la posibilidad de mejorarlo o modificarlo para ajustarlo a la rbrica proporcionada. Por otra parte, al docente, la misma rbrica proporcionada a los estudiantes le permitir extraer informacin vlida al mo-mento de evaluar procesos y resultados.

Cada uno de los temas de la Matemtica a ser tratado en la escuela bsica plantea un desafo. A pesar de ser un tema clsico, las operaciones de nmeros naturales enfrentan an a los docentes a interrogantes didcticos: Cmo ensear el concepto de operacin? Cmo enfrentar las dificultades del aprendizaje de los algoritmos? Cmo trabajar la resolucin de problemas? Qu papel juega la evaluacin en la prctica docente?, etc. Las operaciones de nmeros naturales permiten repensar la prctica desde la propia experiencia, para lograr en los estudiantes un aprendizaje significativo. Si en la escuela se asume, tanto al ensear como al evaluar, que hacer Matemtica es mucho ms que resolver cuentas, se logra que los escolares construyan conocimientos ms slidos, y se les ofrece tambin la oportunidad de apasionarse por esta invencin humana que es la Matemtica.

El trmino evaluacin es ms amplio que el de calificacin, y en el proceso de educacin es una de las etapas fundamentales, ya que permite determinar si se han alcanzado o no los objetivos propuestos. Toda actividad humana supone evaluacin, es una parte consustancial de aquella, porque interviene en una funcin esencial: la regulacin de la actividad.

La evaluacin, entonces, no debe vincularse nicamente con la calificacin que se da a un estudiante en un trabajo. Cumple la tarea de reorientar el proceso de enseanza aprendizaje. La evaluacin constituye el medio bsico para la organizacin de la tarea siguiente, y es el punto de partida para la creacin de situaciones de aprendizaje que permitan profundizar los conocimientos de los educandos.Do

cent

es S

antil

lana


Haciendo cuentasMucha gente une a la Matemtica con el clculo. La Matemtica busca formas razonadas de procedimientos mediante los cuales se cuenta, mide y obtiene los re-sultados de operaciones. Por lo tanto, en la actividad matemtica son fundamentales la reflexin, el razonamiento y la lgica. La palabra latina calculus significa piedrecita; es la raz de clculo y calcular. Un clculo es un procedimiento para obtener el resul-tado buscado, constituido por reglas que parten de operaciones sencillas sobre datos conocidos. Durante siglos, la actividad matemtica estuvo unida al comercio, y los bacos eran utilizados para realizar cualquier tipo de clculo.

baco.

Aparecieron en la Edad Media calculistas famosos que realizaban operaciones mentales con gran velocidad y precisin.

Leonardo de Pisa, ms conocido como Fibonacci, es el autor del Liber Abaci. Con este libro introduce en Europa las nueve cifras hindes y el signo del cero. Pero, adems, brinda a los calculistas de la poca reglas claras para realizar ope-raciones con estas cifras, tanto con nmeros enteros como con fracciones.

Histricamente, la calculadora tuvo sus antecesores en el baco, el quipu (como se ve en la grfica), la yupana, la regla de clculo y las tablas numricas. Su in-corporacin en la enseanza en todos los niveles abri nuevas perspectivas para el abordaje de los contenidos, y debe ligarse a la exploracin de ideas. Si la Ma-temtica solo fuera saber calcular, habra perdido su sentido con la aparicin de las calculadoras; pero es mucho ms. Por ejemplo, para saber manejar correcta-mente las calculadoras y aprovechar los resultados que estas suministran, es imprescindible saber reglas bsicas de Matemtica.

El uso de la calculadora

Hace unos aos, los docentes se resistieron a la utilizacin de las calculadoras en el aula. El argumento que sostenan en ese momento los especialistas fue que, Quipu.

TaptanaEs una herramienta para realizar clculos aritmticos usada por los pueblos originarios de los Andes ecuatorianos. Est compuesta por 4 columnas paralelas, de 9 hoyos cada una, y un hoyo superior, de mayor tamao, que representa el cero (0); este hoyo mayor sirve para transformar las unidades en decenas; las decenas, en centenas; y las centenas, en unidades de mil.La primera columna, de color verde, servir para contar las unidades; la segunda, de color azul, las decenas; la tercera, de color verde, las centenas; y la ltima, de color amarillo, sirve para contar las unidades de mil.El trabajo con la taptana se realiza con mullos de los mismos colores que los hoyos o con semillas, que debern ser de diversos tamaos y formas para facilitar la identificacin por parte de los nios y nias.

http://yuyaypakari.blogcindario.com

caf

amarillo rojo

azul

verde

Doce

ntes

San

tilla

na

33


El componente ldico tambin tiene gran importancia en el uso de la calculadora, pero como en todo juego, este no debe quedarse como tal. Es necesario su aprovechamiento desde la Matemtica para que sea realmente til en la formacin de conceptos.

mediante el uso de calculadoras, los estudiantes no pensaran. La calculadora era vista en aquel entonces como una enemiga del razonamiento: atentaba contra la enseanza de la Matemtica.

En la actualidad, este argumento ha ido perdiendo validez. Cada vez son ms los docentes que admiten que sus estudiantes usen las calculadoras. Por una parte, un factor que ha influido en esta aceptacin es, adems de la existencia de calcu-ladoras de muy bajo costo, la comprensin de que hacer Matemtica va mucho ms all de solo hacer cuentas. El docente es el responsable de crear en la socie-dad la conciencia de la necesidad de pensar la Matemtica. Es justamente, a travs de esta toma de conciencia, que la Matemtica debe dejar de verse como algo mecnico y que se puede hacer Matemtica sin hacer cuentas... o dejando que la calculadora las haga por uno.

En numerosos congresos nacionales e internacionales se debate acerca del uso de las calculadoras en el aula de Matemtica. Las opiniones son cada vez ms unnimes y convergen hacia la necesidad de que aprender a utilizar la calculadora debe ser parte de la clase de Matemtica.

La calculadora puede, adems, colaborar para mejorar la actitud de los estudian-tes frente a la Aritmtica, ya que da la facilidad de realizar clculos de manera ms rpida, con valores relacionados con la vida cotidiana, permite operar con nmeros grandes y pequeos, explorar las propiedades de los nmeros, formular conjeturas y probar hiptesis. El tiempo que se ahorra con el uso de la calculado-ra puede ser aprovechado para razonar sobre lo que nos dice el resultado obte-nido del clculo y para realizar conjeturas sobre las propiedades de los nmeros y de las operaciones utilizadas. Existe una toma de conciencia de la importancia de aceptar y aprovechar el uso de calculadoras, computadoras y otras tecnolo-gas, como herramientas que propicien la mejor adquisicin de conocimientos mediante la visualizacin de representaciones y mayores posibilidades de clculo.

Cuntas veces se ve a los estudiantes jugar con las teclas de la calculadora y descubrir, sin querer, la existencia de puntos fijos para una funcin? Cmo explotar este descubrimiento en el aula?

La utilizacin de calculadoras y computadoras en la clase de Matemtica para la resolucin de problemas, como prctica y como evaluacin, crea una nueva di-nmica en el aula: estudiantes y docentes las utilizan como una herramienta ms, destinadas a hallar la solucin de situaciones problemticas. Existen investigacio-nes que demuestran que el uso de la calculadora no inhibe el aprendizaje de los conceptos y operaciones bsicas.

El resultado dado por una calculadora debe ser interpretado por el estudiante antes de dar una respuesta. A travs de esta interpretacin, se reconoce si un problema ha sido realmente comprendido. Una respuesta en la que se presenta un tiempo negativo, una cantidad no entera de personas, un volumen negativo, una probabilidad mayor que uno o la suma de dos nmeros positivos menor que alguno de ellos, por ejemplo, merece un anlisis a fondo de la forma de resolucin: o bien existe una inconsistencia entre los datos del enunciado o bien la resolucin ha sido incorrecta.

El uso provechoso y

consciente de las calculadoras no solo

permite ahorrar tiempo, sino que permite realizar interesantes trabajos

con contenidos matemticos.

Doce

ntes

San

tilla

na


Es fundamental crear en los estudiantes el hbito de analizar crticamente los resultados obtenidos en la resolucin de un problema antes de dar la respuesta. La utilizacin de la calculadora permite a los estudiantes: Concentrarse en el proceso de planteo y resolucin de un problema y no en

la realizacin de algoritmos para las operaciones aritmticas. Escoger adecuadamente las estrategias para hallar la solucin de un problema. Acceder a conceptos matemticos que trascienden los clculos aritmticos. Explorar, desarrollar y reforzar contenidos matemticos en los que se incluyen

la estimacin y la aproximacin de resultados. Experimentar con ideas y patrones matemticos. Realizar clculos con datos de la vida real en la resolucin de un problema.

Por todo lo anterior, los ejercicios propuestos por los docentes ya no deben limi-tarse solamente a operaciones, sino que los resultados de ellas deben ser usados en aplicaciones diversas y, de este modo, tender cada vez ms hacia la resolucin de problemas.

Clculo mental y estimacin

El clculo mental y la estimacin fueron, durante mucho tiempo, descuidados en la enseanza de la Matemtica.

Para ejercitar este tipo de contenido procedimental, es necesario que en el aula se realice un aprendizaje activo, en el que los problemas planteados ejerciten estrategias como el redondeo, la descomposicin y la asociacin.

En el clculo mental, los datos del problema son descompuestos mentalmente o bien reemplazados por otros para la realizacin de clculos ms sencillos. El cl-culo estimativo es muy utilizado en la vida cotidiana para aproximar un resultado.

A continuacin, se plantea una situacin problemtica tpica en la que se aplica la estimacin.

Mara va al supermercado y lleva seis artculos, cuyos precios son:

$ 2,50 $ 4,50 $ 0,40 $ 8,60 $ 13,70 $ 1,30

Aproximadamente, cunto va a pagar Mara?

Algunas respuestas posibles, logradas mediante la aplicacin de distintas estrategias, son las siguientes.

Mauro respondi: Seran 2 + 4 + 8 + 13 + 1 = 28. Pero 0,50 y 0,50 hacen 1; 0,40 y 0,60 hacen 1. Por otra parte, 0,70 y 0,30 hacen 1. Entonces 28 + 3 son $ 31.

Nancy dijo: Si los considero como 3 + 5 + 1 + 9 + 14 + 1, obtengo $ 33.

El clculo estimativo se utiliza para resolver problemas aritmticos cotidianos en los que no se necesita una respuesta exacta. Su valor radica en que permite tener una idea aproximada del resultado, por lo que puede ser utilizado por los estudiantes

El clculo mental es una serie de procedimientos

mentales que se realiza sin ayuda del lpiz ni

del papel (o instrumentos equivalentes) y que permite obtener la respuesta exacta de problemas aritmticos

sencillos.

El clculo estimativo o estimacin no busca dar una respuesta exacta a un problema, sino que su propsito es dar una respuesta cercana al resultado correcto del problema.

Doce

ntes

San

tilla

na

35


en la etapa de validacin del mismo y para analizar si el resultado obtenido en la calculadora tiene sentido. Muchos estudiantes cometen errores involuntarios al ingresar las cantidades en las calculadoras y, si no han desarrollado estrategias de estimacin, aceptan los resultados obtenidos como incuestionables, aunque los mismos resulten en muchos casos absurdos.

Para captar el inters de los estudiantes hacia las estimaciones, desde un principio las situaciones problemticas planteadas deben tener sentido para ellos. No tendr valor la estimacin de un resultado simplemente por hacerlo; tendr sentido cuando de esa estimacin dependa una respuesta, como en el caso del problema anterior: tener idea de cunto dinero debe disponer Mara aproximadamente, o bien validar un resultado para determinar si puede o no ser respuesta de un problema.

Es importante tambin que los educandos comprendan que hay estimaciones distintas y no por ello son incorrectas.

Entre las caractersticas que presentan los buenos estimadores, es posible mencionar las siguientes. Entendimiento de las operaciones bsicas y sus significados Manejo de las operaciones aritmticas Comprensin del valor posicional de los nmeros Buenas destrezas de computacin mental Confianza en s mismos Tolerancia hacia los errores Flexibilidad en el uso de estrategias

Es fundamental, al ensear este tema, recordar a los educandos las diferentes aplicaciones en la vida diaria en donde a menudo nos vemos obligados a estimar; por ejemplo, la imposibilidad de obtener un valor exacto ante la realizacin de mediciones empricas, la impos

Como Trabajar El Area de Matematica

Documents

Transcript of Como Trabajar El Area de Matematica