Comparación de técnicas de medición estadísticas aplicadas a la

estimación del RTT

Juan Andrés Negreira

22 de febrero de 2007

Tratamiento Estadístico de Señales

• El RTT (Round Trip Time) constituye un parámetro fundamental en las mediciones de parámetros de redes.

• Algunos parámetros que pueden ser estimados a partir del RTT:– Retardos de propagación– Retardos de encolamiento– Ancho de banda disponible

Introducción

Introducción

• El RTT puede ser utilizado también para ayudar al control de congestión que realiza el protocolo TCP, a nivel de capa de transporte.

• Para adaptar dinámicamente las tasas de transmisión interesa medir el RTT y detectar con rapidez un cambio en su valor.

• Se basa en un modelo en variables de estado– Requiere menos memoria– Procesamiento de datos más rápido

• Obtiene las muestras recursivamente en el tiempo, a partir del estado anterior y de la muestra obtenida.– Bases para la familia de algoritmos recursivos

de mínimos cuadrados.

Filtro de Kalman

Filtro de Kalman

• Modelo del sistema:

• Donde– x es el estado del sistema

– u es la entrada de control al sistema

– A y B son matrices que definen el espacio de estados

– w representa el ruido del proceso

111 kkkk wBuAxx

Filtro de Kalman

• Modelo de medición:

• Siendo– z las medidas realizadas– H una matriz que vincula el estado del sistema

con las medidas realizadas– v representa el ruido de medición

kkk vHxz

Filtro de Kalman

• Las ecuaciones del filtro de Kalman pueden agruparse en dos grandes grupos, de acuerdo a cada una de las etapas que se realizan.– Estimación del valor siguiente – Corrección a partir del valor medido

Estas etapas funcionan en forma de ciclo, a medida que se obtienen más medidas

Filtro de Kalman

Filtro de Kalman

• Estimación del valor siguiente– Se realiza una estimación a priori del valor que

tomará el estado en el instante siguiente– La estimación se realiza a partir del modelo de

estados y el valor del estado en el instante previo

– Para el instante siguiente se estima tanto el valor del estado como la covarianza del error

Filtro de Kalman

• Estimación del valor siguiente

• Siendo Q la covarianza de w y P se define como la covarianza del error de estimación:

QAAPP

BuxAxT

kk

kkk

1

11ˆˆ

Tkkk eeEP

Filtro de Kalman

• Corrección a partir del valor medido:– Se realiza una estimación a posteriori, a partir

del valor estimado a priori y del valor medido.– La diferencia entre el valor medido y la

estimación a priori se denomina innovación– Dicha diferencia es ponderada por la ganancia,

la cual es elegida de modo tal que minimice el error de estimación a posteriori.

Filtro de Kalman

• Corrección a partir del valor medido

• En donde R es la covarianza de v y K es la ganancia de Kalman

kkk

kkkk

Tk

Tk

PHKIP

xHzKxx

RHHP

HPK

ˆˆˆ

CUSUM (Cumulative Sum):

Algoritmo de detección de cambios, que dispara una alarma cuando la media de la señal de entrada (que se supone de media nula) es sensiblemente distinta de cero.

Filtro de Kalman adaptivo

Acumulador+e(t)

h

z

+-

reset

+

-

+

Diagrama de bloques del algoritmo CUSUM

Filtro de Kalman adaptivo

Filtro de Kalman adaptivo

• Se combinan los filtros de Kalman y CUSUM:– La entrada al bloque CUSUM será la diferencia

entre la estimación a posteriori y el valor medido

– Se toma como hipótesis que el ruido que afecta la señal es de media nula

– Se disparará una alarma en el bloque CUSUM cuando haya un salto en la señal considerada

Estimación del RTT

Estimación del RTT

• Las implementaciones actuales de TCP utilizan un filtro pasabajos para filtrar ruidos de alta frecuencia

• Dicha solución tiene el inconveniente de que no le permite reaccionar con velocidad ante cambios bruscos del RTT

• Se propone implementar la medición del RTT con el filtro de Kalman adaptivo

Estimación del RTT

• Sea (t) el RTT medido al llegar el paquete ACK al servidor

• Cada nodo impone un retardo formado por – El retardo de procesamiento en el nodo– El retardo de encolamiento– El retardo de propagación

Estimación del RTT

• El RTT queda expresado como

• En donde se puede suponer que los retardos de procesamiento y propagación contribuyen con una constante

m

iiqipil tdtdtdt

1,,, )()()()(

Estimación del RTT

• Modelo de un nodo de la red:

Estimación del RTT

• Si se toma ci como la capacidad del enlace y ti como el instante en el cual el paquete llega al nodo i, se puede expresar el RTT como

• Donde representa los retardos de procesamiento y propagación

m

i i

i

c

tqt

1

)()(

Estimación del RTT

• Modelo en variables de estado

• El ruido de alta frecuencia es modelado como ruido de medición.

• Los saltos en el valor del RTT son modelados como una variable aleatoria v multiplicada por una secuencia de deltas de tiempo discreto

kkk

kkkkk

exy

vxx

1,0 donde ,1

Estimación del RTT

• A partir de las hipótesis realizadas, se estimó el RTT mediante el algoritmo de Kalman adaptivo, utilizando el algoritmo CUSUM

0,max

ˆ

1

ˆˆˆ

1

11

1

1

11

ttt

ttt

etttt

et

tt

tttt

gg

xy

RPKP

RP

PK

xyKxx

if gt < h then

t = 1 % alarma

gt = 0

elset = 0

end

El algoritmo propuesto es el siguiente:

Simulaciones realizadas

Kalman – CUSUM

• Se modificó la forma de hallar g(t) en cada iteración

• El algoritmo tiene dos parámetros: – La constante – El umbral h

0,absmax 1 ttt gg

Kalman – CUSUM

Kalman – CUSUM

Kalman - CUSUM

Kalman - CUSUM

• Para determinar en forma “inteligente” los parámetros se buscó hallarlos en función de la covarianza del ruido

Kalman - CUSUM

= 0.1√Re = √Re = 2 √ Re

Kalman - CUSUM

• Hipótesis y limitaciones– Se supone que la señal estudiada está afectada

con ruido de distribución normal y de media nula.

– Se comprobó que los saltos, para poder ser detectados con seguridad, deben tener un módulo que sea mayor o igual al doble de la covarianza del ruido

Kalman “clásico”

Filtro de Wiener

• Predictor lineal

• Acumula M cantidad de muestras

M

kkfn knuwUnu

1,1 )(ˆ

f

HM

ff

H

wrrP

rRwrRwnunuEr

nunuER

0

)(1

1)1( 1

*

Wiener

Wiener

Wiener

Comparación de filtros

• Para comparar las distintas implementaciones se estudiará:– La precisión para alertar acerca de un salto en

la señal– El error cometido al reconstruir la señal original

Comparación de filtros

Comparación de filtros

Comparación de filtros

Pruebas sobre Internet

Pruebas sobre Internet

• Se realizó un programa en JAVA que envía paquetes “ping” a determinada página (en este caso www.google.com), almacena los tiempos de ida y vuelta y los guarda en un documento de texto.

• Dicho documento de texto fue cargado en MatLab, en donde ya estaban implementados los algoritmos

Pruebas sobre Internet

0 100 200 300 400 500 6000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600Estimacion de Kalman

señalestimacion de Kalman

Pruebas sobre Internet

0 100 200 300 400 500 6000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600reconstruccion por Kalman - CUSUM

Pruebas sobre Internet

0 100 200 300 400 500 6000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600reconstruccion por Kalman

Pruebas sobre Internet

0 100 200 300 400 500 6000

500

1000

1500Error de Kalman

100 200 300 400 500 6000

500

1000

1500

2000Señal de decision

Conclusiones

• En este trabajo se presentó un filtro de Kalman adaptivo, enfocado en medir el RTT sobre un enlace. Para ello se modeló el RTT como una variable de estado de la red, estudiando las ecuaciones de dicho modelo y observando los diversos parámetros que lo afectan.

• Para estudiar el funcionamiento del filtro, se estudiaron los efectos de cada uno de los parámetros del mismo, analizando su comportamiento con ciertas señales de prueba simuladas.

Conclusiones

• Además se comparó su performance con otros dos algoritmos, a modo de referencia. Por un lado se implementó otra variante con el filtro de Kalman y por otro lado se propuso la utilización de un filtro de Wiener.

• Se pudo observar que el filtro de Kalman adaptivo fue el más performante, seguido por la otra implementación del filtro de Kalman.

Bibliografía

K. Jacobsson, H. Hjalmarsson, N. Möller y K. Johansson, “Round trip time estimation in communication networks using adaptive Kalman filtering”.

M. Lagunas, “Sistemas adaptativos”.E. Lundin, F. Gunnarsson y F. Gustaffson, “Adaptive filtering

applied to an uplink load estimate in WCDMA”.A. Bifet y R. Gavaldà, “Kalman filters and adaptive windows

for learning in data streams”.G. Welch y G. Bishop, “An introduction to the Kalman

filter”.S. Haykin, “Adaptive filter theory”, third ed, Prentice Hall.