6 0

COMPARACIN TERICA Y PRCTICA DEL DISEO FACTORIAL 33CON EL DISEO DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

COMPUESTO CENTRAL ROTABLE

RAL HERRERA Y WILMER FERMN

Coordinacin Programa de Estadstica. Universidad de Oriente. Ncleo de Nueva Espatarta.

RESUMEN: Se realiz una comparacin terica y prctica del Diseo Factorial 33 con el Diseo de Superficie de RespuestaCompuesto Central Rotable, mediante los criterios de comparacin de Diseos Experimentales: Eficiencia Relativa, D-ptimo, A-ptimo y G-ptimo. Para efectuar la comparacin prctica se utiliz dos bases de datos obtenidas mediante experimentos diseados bajola estructura de los diseos en estudio, referente al pelado qumico del durazno; se consider como variable respuesta el porcentaje derea pelada de durazno y, como variables independientes el tiempo sumergido (X1) en una solucin de hidrxido de sodio, la temperatura(X2) de la solucin y la concentracin (X3) de la misma. De acuerdo a los resultados se concluy que los efectos lineales, cuadrticospuros y las interacciones se estiman con mayor precisin con el Diseo Compuesto Central Rotable y que adems ste es D-ptimo y A-ptimo

PALABRAS CLAVES: Diseo, Comparacin, Rotable, Precisin.

ABSTRACT: In this work, we carried out a theoretical and practical comparison between Factorial 33 design and compound centralrotatable design of response surface, by means of comparison criteria for experimental designs: relative efficiency, D-optimal, A-optimaland G-optimal. The practical comparison was made by means of two data bases obtained through experiments designed under thestructure of the designs in study, referent to the chemical peeling of a peach; the percentage of peeled area of the peach was considered asthe response variable, while the time (X1) of submersion into a solution of sodium hydroxide, the temperature (X2) of this solution andits concentration (X3) were considered as independent variables. According to the results, we conclude that the lineal, pure quadraticeffects and the interactions are estimated with higher accuracy with compound central rotatable design, and also that it is D-optimal andG-optimal.

KEY WORDS: Design, Comparison, Rotation, Accuracy.

INTRODUCCIN

En el rea de tecnologa de alimentos se realizan,con mucha frecuencia, experimentos bien sea para esta-blecer una relacin funcional entre una respuesta y losfactores que influyen en sta, o para determinar las con-diciones ptimas de un proceso o sistema. Un aspectofundamental para lograr el xito de lo planteado es usarun diseo experimental apropiado, sensible a la detec-cin de posibles curvaturas en la relacin funcional.Existen varios diseos experimentales que se puedenutilizar para tales fines, siendo el diseo factorial y eldiseo compuesto central rotable (DCCR) los de ma-yor uso (Box y Wilson, 1951; Martnez 1988). Dadoque las estimaciones de los efectos lineales, cuadrticospuros y de interaccin no son siempre igualmente pre-cisas en los diferentes diseos se hace necesario esta-blecer una comparacin terica y prctica entre estospara determinar su aplicabilidad. La comparacin de losdiseos se puede efectuar mediante los criterios: Efi-ciencia Relativa, D-ptimo, A-ptimo y G-ptimo(Folks, 1968; John y Draper, 1975).

Los objetivos de este trabajo fueron el estimar losparmetros del modelo de segundo orden proveniente delDiseo Factorial 33 y del Diseo de Superficie de Res-puesta Compuesto Central Rotable, Comparndolos te-rica y experimentalmente por medio de los criterios de Efi-ciencia Relativa, D-ptimo, A-ptimo y G-ptimo.

MATERIALES Y MTODOS

En la elaboracin de este trabajo se utilizaron dos ba-ses de datos obtenidas de experimentos diseados bajo laestructura del diseo factorial 33 y el diseo compuestocentra rotable respectivamente, correspondientes al pela-do qumico del durazno en soluciones de hidrxido de sodioa diferentes concentraciones (X3), temperaturas (X2) y tiem-po de inmersin (X1). La variable respuesta consideradafue el porcentaje de rea pelada (Y). Las corridas experi-mentales se realizaron en la Escuela de Ciencias Aplicadasal Mar de la Universidad de Oriente Ncleo de NuevaEsparta.

El anlisis estadstico desde un punto de vista terico yprctico (con los datos) se llev a cabo mediante: (1) laestimacin de los parmetros de los modelos de segundoorden provenientes del diseo factorial 33 y diseo com-Recibido: Julio 1999. Aprobado: Mayo 2000.

Saber, Universidad de Oriente, Venezuela.Vol. 12. N 1 (2000) 60-65

6 1

puesto central rotable, (2) la obtencin de las matrices devarianza-covarianza de los estimadores de los parmetrosde los modelos provenientes del diseo factorial 33 y dise-o compuesto central rotable, (3) el anlisis de varianzade los modelos provenientes del diseo factorial 33 y dise-o compuesto central rotable y (4) la estimacin de lavarianza comn para cada diseo a travs del programade regresin para superficie de respuesta del paquete esta-dstico SAS (PROC RSREG). Seguidamente se procedia comparar los diseos en estudio con los cuatro criteriosde comparacin mencionados. Con el criterio de Eficien-cia Relativa se estableci la eficiencia del DCCR para i,

ii, y ij, con respecto a los estimadores i, ii, y ij deldiseo factorial 33. Con el criterio D-ptimo se procedi acalcular el determinante de la matriz para cada diseo.Con el criterio A-ptimo se requiri calcular la traza de lamatriz (XX)-1 para cada diseo y finalmente para usar elcriterio G-ptimo en la comparacin se procedi a calcu-lar la varianza para cada punto experimental de cada dise-o.

RESULTADOS Y DISCUSIN

Cuando se quiere modelar un proceso o sistemamediante una ecuacin polinmica de segundo orden, cuyaforma es:

Se debe seleccionar un diseo experimental que pro-porcione una distribucin razonable de puntos de datos entoda la regin de inters, y permita investigar la idoneidadde la ecuacin de regresin estimada, as como la cons-truccin secuencial de diseos de orden superior, asegu-rando simplicidad en los clculos de las estimaciones delos parmetros del modelo. A tales efectos el diseofactorial 33 y el diseo compuesto central rotable se usancon frecuencia.

Diseo Factorial 33: Consta de 3 factores o variablesindependientes con tres niveles cada uno. Los niveles co-dificados de cada factor se representan mediante los dgitos1 (nivel inferior), 0 (nivel intermedio) y 1 (nivel supe-rior). En este diseo se requieren 27 corridas experimen-tales. Los estimadores de los parmetros del modelo, uti-lizando el mtodo de mnimos cuadrados ordinarios vienedado por: =(X' X)1 X'Y, donde X es la matriz de dise-o expandida de orden 27x10 e Y representa el vector derespuestas de orden 27x1.

La matriz de varianza-covarianza de permite cono-cer las varianzas y las covarianzas de las estimaciones delos coeficientes del modelo polinmico de segundo orden,

donde los elementos de la diagonal principal son lasvarianzas y los que estn fuera de esta corresponde a lacovarianza. Esta matriz viene dada por: =E[( )( ]= (XX)12. En la tabla 1 se resumen las varianzas ycovarianzas para ste diseo.

TABLA 1. Varianzas y Covarianzas de los Estimadorescorrespondientes a los Parmetros de Regresin del Mo-delo Cuadrtico en el Diseo factorial 3k y DCCR de Pre-cisin Uniforme, con k = 3, y nc = 6.

k

33

N

2720

V( )

0.259 20.1662

V( )

0.05620.0732

V( ii )

0.16720.0692

V( ij )

0.018320.1252

Cov( 0, ii )

-0.1112-0.0572

Cov( ii, ij)

00.0072

(1)

Y= 0 + =

k

iii X

1 +

=

k

iiii X

1

2 + = =

1

1 1

k

i

k

jjiij XX + ,

3=2

La estimacin de la varianza 2 viene dada por =CME=pN

SCE , donde p es el nmero de parmetros a estimar.

Diseo Compuesto Central Rotable: Es un caso parti-cular del Diseo Compuesto Central (DCC) Bajo la con-dicin de rotabilidad. Si en un DCC la varianza predicha,V(Yh), de un punto dado es funcin slo de la distancia dedicho punto al centro del diseo y no de la direccin, sedice que el diseo es Rotable. El DCC est constituidopor: (1) Un conjunto de puntos factoriales, F=2k, siendoen este caso k=3; (2) Un conjunto de puntos estrellas oaxiales que estn a una distancia del centro del diseo;cuya cantidad es 2k; y (3) Un nmero nc de puntos centra-les. Los estimadores mnimos cuadrados ordinarios delmodelo polinmico de segundo orden para ste diseo si-gue siendo =(X' X)1; donde X es la matriz de diseoampliada que corresponde a la estructura del diseo com-puesto central.

El valor de se selecciona para lograr Ortogonalidado Rotabilidad. Para lograr la rotabilidad en el DCC se debesatisfacer, segn Box y Hunter (1957), que los momentospuros de cuarto orden sean el triple de los momentos mix-

tos de cuarto orden; esto es: =N

h ihX

N 141 =

=

N

hjhX

N 123 ,

i,j=1,...,k. Los momentos puros y mixtos se obtienen de la

matriz de momentos, la cual viene dada porN

1X'X; de su

estructura se establece que 420

1jh

hX

==F+24 y 2

20

1

2jh

hih XX= =F,

consecuentemente =F1/4. Para k=3, que es el caso en es-tudio, F=23=8 por tanto =1.682 y el DCC es Rotable.

Comparacin terica y prctica del diseo factorial 33 ...

6 2

En un Diseo Compuesto Central Rotable (DCCR) laeleccin apropiada de nc lo convertira en RotableOrtogonal Rotable de Precisin uniforme. Montgomery(1991), seala que un diseo de precisin uniforme permi-te mayor proteccin que un diseo ortogonal contra el ses-go de los coeficientes de regresin, puesto que mantienehomognea la varianza al alejarse hasta una unidad delcentro del diseo. Para lograr precisin uniforme se debe

determinar 4 = N1 22

jhih XX para distintos nc y seleccio-nar aquel valor que mantenga homognea la variacin enel radio de rango [0,1]. Por otro lado, Box y Hunter (1957)sostienen que la seleccin de 4 se debe hacer de modo talque la varianza de Y en el centro del diseo sea igual a lavarianza de Y en un punto cualquiera situado a una dis-

tancia unitaria del centro del diseo, 12 == ihX ,donde la varianza de Y viene dada por:

(2)

Considerando la matriz de momentos N1(X'X)1 con nc=opresentada por Box y Hunter (1957), Myers (1971) yVillasmil (1978) se establece que las expresiones genera-les para las varianzas y covarianzas de los estimadores delos parmetros del modelo de regresin polinmicocuadrtico son:

=)( 02 VarN

[ ]kk k + + 4424

)2(2)2(2

(3) YXXX |1)'( =

[ ] )5()2(2 )1()1()( 444

2 kkkkVarN ++=

)6(10)(

42 yVar

N

[ ]kkCovN ii += 444

02 )2(22),( (7)

[ ]kkCovN jjii += 444

2 )2(21),,(

(8)

Sustituyendo las expresiones anteriores en (2) se tiene que:

(9)dode =

=

k

iiX

1

22 y [ ].)2(2 44 kkA += As que se pue-de decir que la varianza en la respuesta estimada de un

diseo rotable de segundo orden es funcin de , k y 4 .Variando en [0,1], k=3, y 4 = 0.86 ocurre que )YVar(

N 2

CRITERIOS DE COMPARACIN DE LOSDISEOS

Eficiencia Relativa: Este criterio considera la precisincon que se estiman los efectos lineales, cuadrticos, deinteraccin y el nmero de observaciones o corridas que re-quiere el experimento. La eficiencia relativa de un diseo 1

con respecto a un diseo 2, para estimar cierto parmetro de

regresin viene dado por:,

donde N1 es el nmero de corridas necesarias para el dise-o 1 y N2 es el nmero de corridas necesarias para el dise-o 2. Para comparar los dos diseos con este criterio, am-bos deben abarcar la misma regin de exploracin; de noser as Myers [8] recomienda estandarizar los diseos demodo que la dispersin de los puntos experimentales seala misma para los dos diseos. Al medir la dispersin, en

trminos de los momentos de segundo orden, se debe cum-

plir que 21 ih

N

hX

= = N; i=1,...,k; ; i=1,...,k; para cada diseo;

por tal razn los niveles de los factores del diseo factorial

33 deben multiplicarse por 1827 en tanto que los del DCCR

deben multiplicarse por 22++

FTF De la tabla 1 se tienen las

varianzas de las estimaciones i , ii y ij y para los diseosobjeto de estudio; las varianzas de stos despus de laestandarizacin de las dispersiones se presentan en la tabla 3.

(Variamnza de con el diseo2)*N2 (Variamnza de con el diseo1)*N1

Tabla 2. Varianza de las Estimaciones Correspondientes alos Parmetros de Regresin del Modelo Cuadrtico delDiseo Factorial 33 y del DCCR, despus de laestandarizacin

Factorial 33DCCR

k

33

V( i )

0.037 20.0498 2

V( ii )

0.074 20.032 2

V( j )

0.037 20.058 2

+++=

= =

= +=

k

i

k

i

k

i

k

ijijjiiiiii VarXXVarXVarXVar

NVarN1 1

1

1 1

2242022 )()()()()(

] =

= +=++

k

i

k

i

k

ijjjiijiiii CovXXCovX

1

1

1 1

220

2 ),(2),(2

[ ] [ ]{ })1()1()2)(1(2)2(21)( 44442242 ++++= kkkkAYVarN

se estabiliza, es decir se tiene un diseo de precisin uni-forme; as que con la estructura del DCC con =1.682 ync= 6 se tiene un DCCR de precisin uniforme. La matrizde Va-rianza-covarianza del DCCR viene dada por:=(X'X)1 2. Las varianzas y covarianzas, para ste di-seo, se presentan en la tabla 2.

La estimacin de la varianza viene dada por: 2 =

PN

YXYY

'

, donde p es el nmero de coeficientes a esti-

mar.

Ral Herrera y Wilmer Fermn

6 3

Se puede decir que el diseo factorial 33 tiene mayorprecisin en las estimaciones de los Yh de los vrtices,mientras que el DCCR tiene mayor precisin en el puntocentral.

ECUACION DE PREDICCIN YCOMPARACCIN PRCTICA DE LOS DISEOS

Las bases de datos para los diseos factorial 33 y DCCRse presentan en la tabla 5, bajo las niveles codificados ysus equivalentes valores reales. Realizados los anlisis devarianzas correspondientes se obtuvo la siguiente ecua-cin de prediccin de segundo orden para el diseo factorial33:

Y=61.2667+10.4328X1+22.5061X2+6.7989X313.4067 23X +11.5767X1X3 (11)

TABLA 4. Valores de Var(Yh ) correspondientes a cadauna de las combinaciones de los diseos comparados enfuncin de 2.

X1

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-1,6821,682

0000

X2

-1-1-1000111-1-1-1000111-1-1-100011100

-1,682-1,682

00

X3

-1-1-1-1-1-1-1-1-10000000001111111110000

-1,6821,682

DiseoFactorial 33

0,50820,34120,50820,34120,25720,34120,50820,34120,50820,34120,25720,34120,25720,25620,25720,34120,25720,34120,50820,34120,50820,34120,25720,34120,50820,34120,5082

----------------------------------------------------------------------------------------

DCCR

0,66972------------

0,66972------------------------------------0,66972------------0,66972-----------------------------------------------0,1662

------------------------------------------------0,66972-----------0,66972------------------------------------0,66972------------0,669720,603120,603120,603120,603120,603120,60312

COMBINACIONES

Se puede observar que: (1) ambos diseos son igual-mente eficientes para estimar efectos lineales, (2) el DCCRes ms eficiente para estimar los efectos Cuadrticos pu-ros; y (3) el Factorial es ms eficiente para estimar losefectos de interaccin.

D-pimo: Un diseo es D-ptimo con relacin a otrocundo |(X'X)1| de este es el que tiene menor valor (Kiefer1959). Los valores de los determinantes para el diseoFactorial 33 y DCCR son 1.70x10-11 y 1.24x10-11 respecti-vamente. Pudindose decir que el DCCR es D-pimo.

A-ptimo: Un diseo es A-ptimo con relacin a otrocuando la traza de la matriz (X'X)1de este es mnima(Kiefer, 1959). El valor de la traza de la matriz (X'X)1para diseo Factorial 33 es 0.969 y para el DCCR es 1.177;lo que permite decir que el DCCR es A-ptimo.

G-ptimo: Un Diseo es G-ptimo cuando la varianzade las respuestas estimada Yh en un mismo punto para losdiseos comparados es mnima (Kiefer, 1959)

La varianza de la respuesta estimada viene dada por:

=

= +=

= =

= +=

++

+++=k

1i

1k

1i

k

1ijjjii

2j

2iii0

2i

k

1i

k

1i

1k

1i

k

1ijij

2j

2iii

4ii

2i0

),Cov(XX2),Cov(X2

)Var(XX)Var(X)Var(X)Var()YVar(

Sustituyendo los valores de las varianzas y covarianzasdados en la tabla 1 correspondiente a cada diseo, se ob-tienen los valores de las varianzas estimadas en cada pun-to experimental. La tabla 5 presenta estos resultados.

TABLA 3. Eficiencia Relativa del DCCR con nc = 6 y k =3 con respecto al Diseo Factorial 33 suponiendo igualdaden la varianza 2.

k

3

nc

123456

N

151617181920

i

1.0001.0001.0001.0001.0001.000

ii

0.9741.5922.0522.4482.7973.105

ij

0.6430.6840.7260.7690.8120.857

TABLA 4. Valores de )( hVar correspondientes a cada unade las combinaciones de los diseos conmparados en fun-cin de 2 .

Comparacin terica y prctica del diseo factorial 33 ...

6 4

Tabla 6. Eficiencia relativa respecto a la estimacin de losparmetros del modelo utilizando el valor estimado de 2de cada diseo.

EficienciaRelativa

Diseo Factorial 33/ DCCR

i

1.718

ii

5.324

ij

1.470

Tabla 7. Valores de )( hYVar correspondientes a cada unade las combinaciones de los diseos comparados.

X1

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-1,6821,682

0000

X2

-1-1-1000111

-1-1-1000111

-1-1-100011100

-1,682-1,682

00

X3

-1-1-1-1-1-1-1-1-10000000001111111110000

-1,6821,682

DiseoFactorial 33

81.64654.80681.64654.80641.30554.80681.64654.80681.64654.80641.30554.80641.30541.14441.30554.80641.30554.80681.64654.80681.64654.80641.30554.80681.64654.80681.646

--------------------------------------------------------------------------

DCCR

62.771------------

62.771------------------------------------

62.771------------

62.771-----------------------------------------------15.559

------------------------------------------------

62.771-----------62.771

------------------------------------

62.771------------

62.77156.52956.52956.52956.52956.52956.529

COMBINACIONES

X1-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-1.6821.682

000000000

X2-1-1-1000111

-1-1-1000111

-1-1-100011100

-1.6821.682

0000000

X3-1-1-1-1-1-1-1-1-10000000001111111110000

-1.6821.682

00000

1(min.)246246246246246246246246246

0.67.4444444444

2(C)4040405050506060604040405050506060604040405050506060604040

33.266.8505050505050

3(%)1111111112222222223333333332222

0.33.722222

DF 335.04

30.1931.9840.1560.4566.5825.4370.9538.7617.4543.2550.5

54.1768.9575.5970.9585.1485.45.24

20.6539.8540.2555.5

57.83100

72.61100

-----------

DCCR5.05

-31.98

---

25.45-

38.76----

68.95----

5.24-

39.85---

100-

10035.981.47100

12.9246.1768.95

6965.1

57.8563.3354.93

Variables codificadas Variables originales Respuesta

Tabla 5. Niveles Codificados y Reales de los Factores y laRespuesta en cada punto experimental del Diseo Factorial33 y el DCCR.

Esta ecuacin presenta un coeficiente de determina-cin de 81.22%; la estadstica de Durbin-Watson dio 2.45lo cual indica independencia entre los residuos; la pruebade Kolmogorov-Smirnov indica no rechazar la hiptesisde normalidad de los residuos. La estimacin de la varianza2 result 2 =CME=160,72007.

La ecuacin de prediccin obtenida a travs de losdatos del DCCR fue la siguiente:

+++=21

4665.255313.9132.57 XXY (12)

Esta ecuacin presenta un coeficiente de determina-cin de 92,78%; la estadstica de Durbin-Watson dio 1,799lo cual indica independencia entre los residuos y, adems

la estadstica de Kolmogorov-Smirnov indica que los resi-duos tienen un comportamiento normal. La estimacin dela varianza result2 =CME=93,7305.

La comparacin prctica de los diseos, (vase ta-blas 6 y 7) indica que el DCCR estima con mayor preci-sin los efectos lineales, cuadrticos y de interaccin, ade-ms de ser D-ptimo y A-ptimo.

.965.151167.116265.14 32233 XXXX +

Ral Herrera y Wilmer Fermn

6 5

CONCLUSIONES

1. Tericamente el DCCR es igual de eficiente que eldiseo factorial 33 para estimar los efectos lineales,

i, pero

ms eficiente para estimar los efectos cuadrticos puros,

ii; sin embargo, el diseo factorial es ms eficiente paraestimar los efectos de interaccin.

2. De acuerdo con los resultados prcticos obtenidos,se puede establecer que con el DCCR se estima con mayorprecisin los efectos lineales, cuadrticos y de interaccin;adems se presenta mayor precisin en la estimacin delporcentaje de rea pelada del durazno.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

BOX, G.E.P. y WILSON, K.B. 1951.On the ExperimentalAttainment of Optimun Conditions Surfaces. Journalof the Royal Statistical Society. 13 (1):1-45.

BOX, G.E.P. y HUNTER, J.S. 1957. Multifactor Experimen-tal Designs for Exploring Response Surfaces. Annalsof Matematical Statistics. 28:195-241.

FOLKS, J.S. 1958. Comparison of Designs of Explorationof Relation Ships. Disertacin Doctoral no publica-da. Iowa State University.

JOHN, R.C. AND DRAPER, N.R. 1975. D-optimality forRegression Designs: A Review. Technometrics. 17(1):15-23.

KIEFER, J. 1959. Optimun Experimental Designs. Journalof the Royal Statistical Society.B21 (2):272-319.

MARTNEZ GARZA, Angel. 1988. Diseos Experimentales. M-todos y Elementos de Teora. Editorial Trillas Mxi-co.

MONTGOMERY, C.D. 1991. Diseo y Anlisis de Experimen-tos. Editorial Iberoamrica, S.A. Mxico.

MYERS, R.H. 1971 Response Surface Methodology. Allynand Bacon, Boston.

VILLASMIL, J.J. 1978. Estructura, Eficiencia Relativa y An-lisis Estadstico del Diseo San CristbalOrtogonalizado. Universidad del Zulia, Facultad deAgronoma. Maracaibo.

Comparacin terica y prctica del diseo factorial 33 ...