Competencias docentes asociadas a los procesos de aprendizaje de las matemáticas II

Coordinador: Sergio Raúl García Martínez

Abril 2015

Instituto Pedagógico de Formación ProfesionalInstituto Pedagógico de Formación Profesional

Temario

Unidad III. Ejes matemáticos y su didácticaTema 1. Perspectivas de la Enseñanza de la Geometría para el siglo XXITema 2. Estimación Tema 3. Orientaciones didácticas sobre la enseñanza de la medida en el segundo ciclo de primaria.Tema 4. Enseñanza de las fraccionesTema 5. Enseñanza del razonamiento proporcional y alternativas para el manejo de la regla de tres.Tema 6 . Las TICS para el logro de un aprendizaje significativo de la MatemáticaUnidad IV. Neuromatemáticas y Evaluación.Tema 7. Neurociencias y Enseñanza de la Matemática. Prólogo de algunos retos educativos. Tema 8. Los conocimientos básicos de matemáticas, numeracy y el cerebroTema 9. Dimensión psicosocial de la evaluación.

PERSPECTIVAS EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA PARA EL SIGLO XXI

Vinicio Vellani

Por qué el estudio de la geometría

La Geometría considerada como una herramienta para el entendimiento, la tal vez la parte de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad.

Por otra parte, la geometría como una disciplina, se apoya en un proceso extenso de formalización, el cual se ha venido desarrollando por más de 2000 años en niveles crecientes de rigor, abstracción y generalidad.

En años recientes la investigación en geometría ha sido estimulada gratamente por nuevas ideas tanto desde el interior de las matemáticas como desde otras disciplinas, incluyendo la ciencia de la computación.

Entre matemáticos y educadores de matemáticas hay un acuerdo muy difundido que, debido a la diversidad de aspectos de geometría, su enseñanza puede empezar en una edad temprana y continuar en formas apropiadas a través de todo el currículo matemático

En el pasado han habido (y aún ahora persisten) fuertes desacuerdos acerca de los propósitos, contenidos y métodos para la enseñanza de la geometría en los diversos niveles, desde la escuela primaria hasta la universidad

Posibles dificultadesTal vez una de las

razones principales de esta situación es que la geometría tiene muchos aspectos, y en consecuencia no ha sido encontrada - y tal vez ni siquiera exista - una vía simple, limpia, lineal, "jerárquica" desde los primeros comienzos hasta las realizaciones más avanzadas de la geometría

Las demostraciones en

geometría: relaciones entre

intuición, demostraciones

inductivas y deductivas, edad a

la que las demostraciones

pueden ser presentadas a los estudiantes y los diferentes niveles

de rigor y abstracción

Las prácticas escolares

actuales en muchos países simplemente omiten estos obstáculos

excluyendo las partes más

demandantes, y con frecuencia

sin nada que las reemplace.

Discutir las metas de la enseñanza de la geometría para los diferentes niveles escolares y de acuerdo a los diferentes ambientes y tradiciones culturales.

Identificar retos importantes y tendencias emergentes para el futuro y analizar sus impactos didácticos potenciales.

Aprovechar y aplicar nuevos métodos de enseñanza.

Necesidad de un estudio internacional cuyos propósitos principales son:

La estimación

Silvia García

LA ESTIMACIÓNLa estimación juega un papel primordial en el desarrollo del sentido numérico porque, aunque se pida el resultado exacto, una práctica deseable y muy útil es hacer antes una estimación de éste, lo que permite comprobar si el resultado que se obtuvo por cálculo mental, escrito o con la calculadora es o no lógico.

Durante los Juegos Olímpicos de Londres 2012 un comentarista de televisión mencionó lo siguiente:

Hubo 4 000 millones de televidentes durante la carrera de los 100 metros, cuyo ganador fue el jamaiquino Usain Bolt, con un tiempo de 9.63 segundos.En el párrafo anterior aparecen tres cantidades, ¿Cuáles son exactas?, ¿Cuáles son estimaciones?

Estimar es obtener de manera mental y rápida un resultado aproximado cuando sea más apropiado que realizar un cálculo exacto (Flores, Reys y Reys, 1990).

La estimación de resultados es otro aspecto importante que se debe desarrollar; con este fin, antes de resolver los problemas el maestro puede hacer preguntas para que los alumnos busquen una primera aproximación al resultado.

Con el tiempo la estimación de resultados permite al alumno valorar si el que él obtuvo mediante procedimientos informales o convencionales es razonable, posible o imposible (SEP, 1995).

Qué es estimar?

?

De acuerdo con Segovia et al. (1989), las características de la estimación son:

Valorar una cantidad o el resultado de una operación.

El sujeto que debe hacer la valoración tiene alguna información, referencia o experiencia sobre la situación que debe enjuiciar.

La valoración se realiza, por lo general, de forma mental.

Se hace con rapidez y empleando números lo más sencillos posibles.

El valor asignado no tiene que ser exacto,pero sí adecuado para tomar decisiones.

Entre las razones para trabajar la estimación en la clase de matemáticas se encuentran las siguientes:

Se usa en aquellas situaciones reales para las que no se requiere un resultado exacto sino aproximado para tomar decisiones.

Enriquece la visión de las matemáticas al comprobar que no siempre se requiere exactitud y precisión para dar un resultado, además de que rompe con la idea de que sólo hay una manera de resolver las operaciones y los problemas.

Mejora y desarrolla el sentido numérico al usar de manera flexible los números.

Permite la construcción de estrategias propias y con ello desarrolla un conocimiento más profundo de los números, las relaciones entre ellos y las operaciones.

Es un apoyo invaluable en la resolución de problemas. Al estimar primero el resultado, los alumnos atienden la relación entre los datos del problema antes de enfrascarse en las operaciones. Asimismo, permite valorar si el resultado obtenido en una operación o problema es o no razonable.

Uso socialLa estimación tiene un amplio uso social. Al estimar

no se espera que se den resultados exactos, sino aproximados.

Veamos algunos ejemplos.Imagine que va al supermercado y compra 5

productos iguales que tienen un precio de $19 cada uno; usted lleva $100. Sin hacer la operación de 5 x 19 usted puede saber si le alcanza con el dinero que lleva, ¿cómo lo puede hacer?

El problema anterior es un ejemplo en el que se usa la estimación, basta con saber si este resultado es menor o mayor que 100. Una posible estrategia es lasiguiente:Hay varios conocimientos implicados en este razonamiento ¿Cuáles son?

Ahora considere el siguiente problema: En un periódico deportivo se reporta que la asistencia a los últimos cinco partidos de cierto equipo de futbol fue:

Sin hacer operaciones escritas, ¿podría usted decir cuál fue, aproximadamente, la asistencia total de estos cinco partidos?

Veamos otro ejemplo.Considere que tiene

que estimar rápidamente la suma de los números 3258, 2146 y 1601. Una manera de hacerlo es:

En los ejemplos anteriores se puede ver que la estimación implica conocimientos de las propiedades de los números y las operaciones; involucra comprender los datos que se manejan y la relación entre ellos, poner en juego conocimientos aritméticos y estrategias de solución. Hacer estimaciones del resultado de problemas, de operaciones o de medidas forma parte del desarrollo del sentido numérico.

Si bien las estimaciones no exigen resultados exactos, esto no significa que sea sencillo hacerlas, la capacidad de hacerlas no siempre surge de manera espontánea en las personas, su desarrollo requiere de instrucción escolar.

Para Reys (1995) existen diferentes maneras de hacer estimaciones; algunas de ellas son:

Redondeo de cantidades. Las cantidades involucradas se redondean a números que sean más sencillos de manejar. Esto se hizo en el ejemplo de la multiplicación 5 x 19: el 19 se redondeó a 20 y se calculó 5 x 20. En el caso de las fracciones se puede redondear a fracciones más sencillas de manejar; por ejemplo, si se desea resolver 23/12 – 3/5 el resultado es aproximado a 2- 1/2 esto da 1 ½ aproximadamente.

Sacar promedios aproximados. Se busca una cantidad que represente a los datos, un promedio aproximado. Esto se hizo en el ejemplo de los asistentes a los partidos de futbol: las cantidades se promediaron a 30,000. En el caso de las fracciones, un ejemplo es la suma 8/17 + 4/9 + 5/11 + 3/7 donde todas las fracciones son próximas a por lo que un resultado aproximado de esta operación es 2.

Considerar extremos. Se manejan los extremos de las cantidades y luego se hacen ajustes Esto se hizo en el ejemplo de la suma que dio un resultado aproximado de 7,000.

En la práctica estas estrategias se pueden emplear simultáneamente (a veces incluso se confunden una con otra). Muchas veces los niños intentan dar el resultado exacto; para llevarlos a estimar puede ser útil:

1. Darles poco tiempo para contestar (por ejemplo, que apunten el resultado y suban las manos para cerciorarse de que no siguen escribiendo);

2. Realizar ejercicios en los que deben decir, a partir de varios rangos, en cuál caería el resultado; o bien, a partir de varios resultados, cuál es el que creen que más se acerca. Puede ser práctico usar la calculadora después para ver quién se acercó más.

Sugerencias didácticas

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS SOBRE

LA ENSEÑANZA DE LA MEDIDA EN EL

SEGUNDO CICLO DE PRIMARIA

Ma. Chamorro

El trabajo con la medida en el segundo ciclo

Profundizar el estudio de la longitud, la capacidad y el peso

Se avanza en el estudio de la medición de ángulos y del tiempo proponiendo una exploración del sistema sexagesimal

Se incorpora el perímetro y el área como nuevas magnitudes

Su estudio pone en juego relaciones entre conocimientos aritméticos sobre los números y las operaciones, y conocimientos geométricos sobre las figuras y sus propiedades

¿Qué tipo de problemas implica la profundización del estudio de las medidas de longitud, peso y capacidad?-Un primer tipo de problemas permite

poner a los niños en contacto con la realización efectiva de mediciones.

- Medir es elegir una unidad y determinar cuántas veces entra en el objeto a medir, por lo tanto el resultado de la medición depende de la unidad elegida.- Es imposible medir exactamente, la medición siempre es aproximada. - La medición, en la mayoría de las oportunidades, demanda la partición de la unidad de medida elegida. De allí que las fracciones y las expresiones decimales resulten una herramienta imprescindible en el tratamiento de este eje.- Los instrumentos de medida han sido construidos para cada atributo. Se necesita aprender cuándo y cómo usarlos.

Otro tipo de problemas que se proponen para 4° y 5° años son aquellos que permiten conocer el Sistema Métrico Decimal (unidades convencionales de medida de longitud, capacidad y peso, así como sus múltiplos y submúltiplos).

Se promueve que los alumnos identifiquen estas unidades de medida convencionales, pero a su vez se enfrenten a establecer relaciones entre diferentes unidades de medida.

El trabajo en torno al cálculo y a las equivalencias exige poner en juego algunas características del sistema de numeración (en tanto multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros, que permiten dar cuenta de relaciones entre, por ejemplo, metros y kilómetros, litros y mililitros, etc.) y las relaciones de proporcionalidad directa (por ejemplo, si 1000 gramos equivalen a un kilo, 2000 gramos equivalen a 2 kilos).

Las fracciones y las expresiones decimales serán un recurso óptimo. Algunas relaciones que se propone establecer, en particular en 5° año, se apoyarán en las particiones de la unidad de medida (por ejemplo: 1/100 del metro equivale a 1 centímetro) y otras se basarán en las relaciones entre unidades de diferente orden, expresadas con decimales (2.50 metros equivalen a 2 metros y medio pues 0.50 m representa medio metro).

Se propone busca que los alumnos puedan estimar diferentes medidas “a ojo”, mediante cálculos aproximados, mediante el uso de relaciones de proporcionalidad directa, a partir de una representación mental de las unidades de medida con las que se trabaje. De esta manera, estimar la altura de un árbol, establecer de manera aproximada cuánto líquido entra en un cierto envase, etc, forman parte de los diferentes problemas que los alumnos deberán enfrentar.

LAS TIC,s PARA EL LOGRO DE UN APRENDIZAJE

SIGNIFICATIVO DE LA MATEMÁTICA

Antonio Otero

Resulta trascendente que se analicen en las múltiples facetas las acciones del binomio que interviene en la educación con el empleo de las Tecnologías de la Información y las Comunicación (TIC), y los cambios que esta incursión trae, en especial aquéllas que involucran el proceso enseñanza aprendizaje.

Las tendencias educativas identifican como un recurso valioso a las TIC, capaces de acompañar a la instrucción de materias diferentes.

Como potenciador del control del aprendizaje y la simulación de procesos.

Permiten con un uso correcto tener en las TIC un compañero en el proceso de enseñanza-aprendizaje, que convierte el binomio en un trinomio.

Las tics y el aprendizaje significativo de las matemáticas

Entre los objetivos de la educación se encuentran:

Qué es el aprendizaje significativo

Preparar al

alumno para la

vidaEnseñar

lo a pensar

Estimular cada vez más la creatividad y autorregulación en la obtención de nuevos conocimientos.

Que valore el significado del conocimiento y el proceso mismo de aprendizaje

Se aprende significativamente con el uso de las Tic ?

David Ausubel conceptualiza el aprendizaje significativo, el cual se logra cuando el estudiante puede relacionar los nuevos conocimientos con su experiencia individual (con lo que ya sabe), no de modo arbitrario sino organizados en estructuras cognitivas.

Por lo que cuanto más lejanos vean los alumnos los conocimientos que les tratan de enseñar, más difícil será para ellos aprenderlos. D. Ausubel (1987) se refiere a la clasificación de los tipos de aprendizaje, por repetición, por recepción, por descubrimiento guiado y por descubrimiento autónomo.

Concepto

Ausubel destaca la motivación como absolutamente necesaria para un aprendizaje sostenido y aquella motivación intrínseca es vital para el aprendizaje significativo, que proporciona automáticamente su propia recompensa.

Cesar Coll considera que el concepto de aprendizaje significativo posee un grande valor heurístico y encierra una enorme potencialidad como instrumento de análisis, de ponderación y de intervención psicopedagógica.

J.Bruner enfatiza en el valor del aprendizaje por descubrimiento adentro de su modelo cognoscitivo-computacional, para producir el fin último de la instrucción: la transferencia del conocimiento.

Como el objetivo final del aprendizaje es el descubrimiento, la única vía para lograrlo es a través de la ejercitación en la solución de tareas y el esfuerzo por descubrir (carácter activo), cuanto más se practica, más se generaliza.

La información debe ser organizada en determinados conceptos y categorías, para evitar un aprendizaje pasivo y de memoria, por eso es necesario aprender a aprender.

Otros teóricos……..

Enseñanza de fracciones

Liza Fazio y Robert Siegler

Qué es una fracción?

Qué especificaciones debe tener?Estudiantes de todo el mundo tienen

dificultades en el aprendizaje de fracciones. En muchos países el estudiante promedio jamás obtiene un conocimiento conceptual de fracciones. Por ejemplo, en una prueba a nivel nacional solamente 50% de estudiantes americanos del 8vo. grado ordenaron correctamente tres fracciones de menor a mayor. 3/4, 4/5, 2/3

Aún en países donde la mayoría de los estudiantes obtienen una comprensión conceptual razonablemente buena, como Japón o China, las fracciones son consideradas un tema difícil

Qué significado tiene esta información?

Dónde radica la dificultad para comprender las fraccionesLas fracciones enfrentan a los estudiantes

ante una premisa que señala que muchas propiedades son ciertas para números enteros pero no son verdaderas para todos los números.

Ejemplo: las multiplicaciones no siempre conducen a una respuesta mayor que los multiplicandos; la división no siempre lleva a una respuesta menor al dividendo.

2/4 x 1/3 = 2/12

2/4 : 1/3 = 4/6Superar la creencia de que las propiedades son verdaderas para números enteros pero que no lo son para todos los números, es un gran reto. Incluso en secundaria.

Las dificultades de los estudiantes con fracciones usualmente se derivan de una falta de comprensión conceptual. Muchos estudiantes ven a las fracciones como símbolos sin sentido o miran el numerador y denominador como números separados, en lugar de comprenderlos como un todo unificado

Introducción temprana de las fracciones

Los niños pequeños comprenden el concepto de reparto equitativo.

Niños de cuatro años pueden distribuir un conjunto de objetos en partes iguales, entre un número pequeño de destinatarios (por ejemplo, doce galletas compartidas entre tres personas). A la edad de cinco años, los niños pueden compartir un único objeto entre varios destinatarios (por ejemplo, una barra de chocolate).

Adicionalmente, los niños pequeños tienen un conocimiento temprano de relaciones proporcionales. Por ejemplo, a la edad de seis, los niños pueden hacer coincidir proporciones equivalentes representadas por diferentes figuras geométricas o formas cotidianas (por ejemplo, ½ de pizza es igual que ½ de una caja de chocolates).

Participación equitativa en las actividadesLos docentes deben comenzar la introducción con simples actividades de intercambio que involucren la división de un conjunto de objetos en partes iguales, entre un grupo reducido de personas.

Los estudiantes deben ser alentados a utilizar objetos concretos, dibujos u otras representaciones que los ayuden a resolver los problemas.

Los estudiantes pueden intentar resolver problemas que implican dividir objetos en partes más pequeñas. Por ejemplo, si dos personas comparten una galleta, cada persona recibe 1/2 galleta. En lugar de preguntar cuántos objetos recibirá cada persona, la pregunta será cuánto de un objeto debe tener cada persona.

Una pregunta temprana podría implicar cuatro personas compartiendo una manzana, mientras que una pregunta más avanzada podría involucrar cuatro personas compartiendo dos manzanas.

Se recomienda que los docentes inicien con actividades de intercambio que permitan a los niños utilizar una estrategia de reducción a la mitad (dividiendo un objeto por la mitad, dividir las nuevas piezas por la mitad, etc.),Empezar a introducir los nombres formales de fracciones (por ejemplo, una mitad, un tercio, un cuarto) y permitir que los niños marquen sus dibujos con dichos nombresAl compartir un objeto entre

dos, tres, cuatro o cinco personas, los estudiantes pueden ver cómo se incrementa el número de las personas que comparten y cómo disminuye el tamaño de la pieza que recibe cada persona

La introducción a las fracciones a temprana edad en los niños se hace mediante la construcción de la comprensión informal sobre nociones de compartir y de proporcionalidad.

Conclusión

Comprensión docentePara enseñar fracciones, los mismos docentes deben tener un conocimiento profundo de los conceptos de fracciones y operaciones. Investigadores hallaron que el rendimiento matemático de los estudiantes está positivamente correlacionado con el conocimiento matemático del docente.Los docentes deben ser capaces de utilizar diferentes representaciones y a la vez estar aptos para elegir una representación adecuada para cada situación.

Por qué?Conocer los diferentes tipos de errores y conceptos erróneos en los que los estudiantes pueden incurrir durante la instrucción de fracciones.

Qué significa una comprensión más profunda de los conceptos de las fracciones.Los docentes deben estar preparados

para explicar no solo cómo resolver un problema, sino también para argumentar por qué el procedimiento es apropiado y por qué los enfoques erróneos son Inapropiados.

Casi todos los docentes saben que los problemas de división de fracciones pueden resolverse con el procedimiento ‘invertir y multiplicar’. Sin embargo, muchos docentes carecen de una comprensión profunda de por qué este procedimiento es eficaz.

Es importante que los docentes no sólo conozcan los conceptos de fracciones que se enseñan en su nivel de grado, sino también conceptos que vienen antes y después.

Una comprensión profunda de los conceptos de fracciones también es necesaria para el uso efectivo de representaciones visuales en el aula.

Por ejemplo, los diagramas pueden ser útiles al explicar escenarios de compartición (como el ejemplo de dividir tres galletas en cinco partes iguales) y al comprender la división de fracciones.

Las oportunidades de desarrollo personal deben centrarse en el cultivo de este nivel más profundo de conocimiento de los docentes

Casi todos los docentes saben que los problemas de división de fracciones pueden resolverse con el procedimiento ‘invertir y multiplicar’. Sin embargo, muchos docentes carecen de una comprensión profunda de por qué este procedimiento es eficaz.

2/5 +1/6

=17/30

2/5

Suma

RestaMultiplicac

iónDivisión

2/5 - 1/6

=7/30

2/5 x 1/6

=2/30

2/5 : 1/6

=12/5

1. Lucas consumió dos quintas partes de ¼ de kilo de palomitas. ¿Qué fracción de kilo consumió ?

2. Ricardo pasa 1/3 del día en el colegio, de esa parte, 7/8 está en la sala de clases, y el resto está en recreo. ¿Qué fracción del día pasa Ricardo en la sala de clases?

3. Javier quiere ser concertista, él permanece despierto ¾ partes del día y dedica 2/9 del tiempo que está despierto a practicar piano. ¿Qué fracción del día practica piano Javier?

4. Margarita debe repartir 5 kilos de arroz en bolsas de ¼ de kilo. ¿Cuántas bolsas de ¼ de kilo logrará llenar?

5. Mariana quiere vaciar ¾ de litro de leche en vasitos de 1/8 de litro cada uno. ¿Cuántos vasitos podrá llenar?

6. Tengo ¾ kilo de gomitas y lo quiero repartir entre varias personas dándole 1/20 de kilo a cada una, ¿para cuántas personas me alcanza?

Cómo harías para explicar didácticamente la resolución de estos problemas?

Las rectas numéricas también pueden ayudar a los estudiantes a enfocarse en la magnitud de las fracciones.

Los modelos de área (rectángulos o círculos que están parcialmente sombreados) pueden ilustrar parcial/totalmente la representación de fracciones

El área de la figura entera debajo mide 1El rectángulo morado con rayas mide 4/7 de ancho y 2/3 de alto.

¿Cuál es el área del rectángulo morado con rayas?

Formas de representación gráfica

La capacidad de acceder al conocimiento de fraccionesA través de actividades de desarrollo profesional, los docentes deben aprender cómo los estudiantes desarrollan una comprensión de los conceptos de fracciones y las dificultades que enfrentan en el proceso de entender las fracciones adecuadamente

Una forma en la que los docentes pueden obtener una mayor comprensión de cómo los estudiantes aprenden a representar fracciones es examinar el trabajo escrito y las grabaciones de los estudiantes cuando trabajan en la solución de problemas de fracciones.

Discutir entre ellos la razón por la que los estudiantes tienen dificultades al resolver distintos tipos de problemas específicos, en diferentes puntos del conocimiento de fracciones que los estudiantes han desarrollado; además de discutir sobre los distintos tipos de errores cometidos por los estudiantes y qué conceptos erróneos subyacen en cada uno de estos errores.

Permite a los docentes aprender más sobre los tipos de problemas relacionados a fracciones y qué deben preguntar a sus estudiantes, con el fin de detectar las fuentes de malentendidos.

Representación pictórica y manipulativa de una división de fracciones por agrupamiento

ENSEÑANZA DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL Y ALTERNATIVAS PARA

EL MANEJO DE LA REGLA DE TRES

Simón Mochón

ENSEÑANZA DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL Y ALTERNATIVAS PARA EL MANEJO DE LA REGLA DE TRES

El razonamiento proporcional juega un papel primordial en el desarrollo de las ideas matemáticas del estudiante. De acuerdo con Inhelder y Piaget (1958), este razonamiento revela un progreso al nivel de las operaciones formales del individuo.Karplus et al. (1983) concluyeron que

los estudiantes deciden o no utilizar el razonamiento proporcional de acuerdo con la facilidad o dificultad que encuentran en relacionar los números involucrados.

Hart (1984), por otro lado, mostró estrategias y errores comunes de los estudiantes entre los que se encuentra la “estrategia aditiva”, esto es, los estudiantes utilizan un razonamiento aditivo erróneo dentro de una situación de proporcionalidad.

El papel del profesor en el tema de razonamiento proporcional, es enseñar las diferentes formas de razonamiento que se pueden aplicar en situaciones de este tipo y diferenciarlo de contextos no proporcionales.

Tomar en cuenta que la enseñanza de la regla de tres como única estrategia para resolver problemas de proporcionalidad resultaría insuficiente para que el alumno pueda desarrollar de manera completa una concepción sobre las ideas fundamentales de la proporcionalidad y sus diferentes enfoques

Papel del docente

Dos nociones esenciales

Qué es una proporción?Es una igualdad de razones. Esta igualdad

puede aparecer como una relación entre números relacionados entre sí o dentro de una variación entre dos cantidades.Primera situación: Relación entre 2 o más números

Si en un salón de clase hay 15 niñas y 20 niños y en otro hay 18 niñas y 24 niños, podemos afirmar que hay la misma proporción de niñas a niños en ambos salones (3 a 4).15 niñas y 20 niños 18 niñas y 24 niños,Por cada 3 niñas existen 4 niños

Segunda situación: Variación entre dos cantidades

Si 12 naranjas cuestan $20 pesos, 24 naranjas costarán $40 pesos y 6 costarán $10 pesosDe esta relación proporcional se pueden deducir propiedades que la caracterizan.

El precio de 18 naranjas debe ser el precio de 12 naranjas más el precio de 6 naranjas y, por consecuencia también, el precio de 18 naranjas debe ser el triple del precio de 6 naranjas.

Noción de comparación Hay dos tipos de comparaciones. La aditiva, por medio de una diferencia y la multiplicativa, por medio de un cociente (al cual llamamos razón).

Cuando oímos que una población aumentó en 100,000 habitantes en un año, esta información es valiosa para proyectar nuevas viviendas, empleo, etc. Sin embargo, no nos dice nada en relación a la población total.

Por qué?En cambio, cuando decimos que una población creció en un 30% en un año, esta razón nos indica su rapidez de crecimiento, lo cual tiene también su significado y utilidad.

La proporcionalidad tiene como fundamento al concepto de razón que es uno de los subconstructos de la fracción.

Noción de variación directaVariación. De acuerdo con Lesh, Post y

Behr (1988), el razonamiento proporcional involucra un sentido de variación entre dos cantidades para comparar múltiples valores.

La variación proporcional directa es solo una, de infinidad de posibles variaciones (llamadas funciones) y por tanto, debemos saber diferenciarla de otras.

Veamos algunos ejemplos.

En 30 días una ensambladora produce 600 coches. La tabla siguiente muestra varios datos relacionando los días observados y el número de coches producido.

Aquí se muestra la característica de proporcionalidad más básica que sirve para analizar si dos cantidades están relacionadas de una manera proporcionaldirecta.

Si una se triplica, la otra también. Si una se reduce a la mitad, la otra también.

Con

sid

era

cio

nes

teóri

cas Etapas de desarrollo:) se han dado múltiples

listas de las etapas de desarrollo de la proporcionalidad, dependiendo de las ideas matemáticas involucradas y su complejidad. Aquí daremos una categorización que apareció originalmente en el artículo de Karplus, basada en problemas básicos de proporcionalidad. Esta nos servirá para formular más adelante una secuencia didáctica introductoria de este tema.

A. Incompleta. Ignora parte de los datos o da una respuesta ilógica.

B. Cualitativa. Toma en cuenta todos los datos pero solo con consideracionescualitativas (“necesita más”, “necesita menos”, etcétera).

C. Aditiva. Estrategia incorrecta que hace uso de diferencias en parte o todoel razonamiento en vez de una relación multiplicativa.

D. Pre-proporcional. Uso de factores multiplicativos para relacionar cantidades.

E. Proporcional. Uso directo de razones y su equivalencia o no equivalencia

Un pequeño estudio en una escuela secundaria

Comenzaremos con el análisis de las respuestas a dos preguntas relacionadas con proporcionalidad en una escuela secundaria de la Ciudad de México, y que a continuación transcribimos.

Los resultados de este análisis nos mostrarán de una manera más evidente la problemática asociada con el aprendizaje y la enseñanza de la proporcionalidad.

1) Si 2 lápices cuestan $16, ¿cuál será el costo de 50

lápices?

2) Un triángulo tiene las siguientes medidas : Se quiere ampliarlo de tal manera que el lado que mide 2 cm. vaya a medir 18 cm. ¿Cuánto deben medir los otros dos lados?

La primera involucra una proporción que contiene dos razones enteras: un factor de 25 en el número de lápices (de 2 a 50) y una razón de $8 por lápiz. Debido a esto, se esperaba que una gran mayoría de los estudiantes no tuviera dificultad en resolverla (además, el contexto es muy familiar).

La segunda pregunta tiene un contexto geométrico que resulta siempre más complejo para los estudiantes, pero la amplificación es entera (9 veces; de 2 cm a 18 cm). Las razones internas del triángulo son del doble (2 cm. a 4 cm.) y de “una vez y media” (2 cm a 3 cm). Esta última era la única razón que creíamos podría causar alguna dificultad por ser no entera.

Estas preguntas se aplicaron a los nueve grupos de una escuela secundaria, tres de primero, tres de segundo y tres de tercero (cada grupo de entre 20 y 25 alumnos). Globalmente, la pregunta 1 obtuvo 70% de respuestas correctas y la pregunta 2 solo 46%.

Características de las preguntas del estudio

La tabla siguiente muestra la lista de estrategias utilizadas (tres correctas y cuatro incorrectas) en estas dos preguntas (#1 y #2) junto con sus porcentajes de cada grupo y cada pregunta

Uso de alguna razón: En la pregunta 1 se utilizó la razón unitaria 8 pesos por lápiz en casi todos los casos. Solo uno o dos estudiantes de cada grupo utilizó la razón sin dimensiones 25 (50 lápices entre 2 lápices).

En la pregunta 2, se utilizó la razón entre los lados correspondientes dados 18 cm / 2 cm = 9. Esta estrategia indica cierta comprensión del problema (es interesante mencionar, sin embargo, que en un caso, el estudiante da las medidas correctas colocándolas en un triángulo que no es para nada semejante al proporcionado en el problema).

Interpretación de la información

Correcto sin procedimiento: en ambas preguntas, los estudiantes escriben los resultados sin mostrar algún procedimiento.

Muestran que hay una comprensión del problema, pero además sugieren que ambos problemas eran lo suficientemente simples para poder resolverlos mentalmente (si se entendían y se aplicaba una estrategia apropiada).

Regla de tres correcta: Dos ejemplos de planteamientos de este procedimiento en la pregunta 1 se muestran a continuación:Las soluciones de este tipo son aplicaciones automáticas de una regla y por lo cual no se puede afirmar algo sobre si el alumno identifica de manera correcta el tipo de problema o si comprende su resultado.Regla de tres incorrecta: Por lo general los estudiantes plantean correctamente esta regla pero, o no llegan a las operaciones de manera correcta o tienen un error al hacer las operaciones.

En general, la regla de tres se utilizó muy poco en la solución de ambos problemas (solo en el 10% de las respuestas). Esto indica que los estudiantes no sintieron la necesidad de utilizarla. Hay dos razones posibles:

No la necesitaron porque los problemas tenían números sencillos o no identificaron que era un problema en el cual podía ser de utilidad. Es interesante notar que su utilización fue exitosa sólo en el 38% de los casos

NEUROCIENCIAS Y ENSEÑANZADE LA MATEMÁTICA

José Antonio Fernández Bravo

Según la teoría del localizacionismo cerebral, la actividad matemática se presenta, en mayor medida, en el lóbulo frontal y parietal del cerebro.

Dentro del lóbulo parietal, se registra mayor consumo de energía con la actividad matemática en la región denominada surco intraparietal y en la región inferior.

Matemática y área cerebral

La región inferior parietal controla el pensamiento matemático y la capacidad cognitiva visual-espacial. Actualmente, se cree que las tareas complejas del procesamiento matemático se deben a la interacción simultánea de varios lóbulos del cerebro.

La simple resolución de un problema en el que intervenga una operación aritmética requiere de habilidades verbales, espaciales, conceptuales, aritméticas, razonamiento.

Interacción de lóbulos

Para enseñar hay que saber cómo se aprendeEjercicios numéricos y operaciones de cálculo

activan la parte horizontal del surco intraparietal del cerebro. Niños de 3 o 4 meses activan las neuronas de este surco distinguiendo cantidades.

Martínez y Argibay (2007), nos cuentan de en un estudio realizado con bebés de 5 meses de edad.En el Laboratorio de Estudios del Desarrollo de la Universidad de Harvard, se observó que los niños de 6 meses de edad pueden discriminar visualmente entre cantidades presentadas como cocientes de ‘2’ tales como entre 16 y 8.

¿Cuándo una respuesta determinada del cerebro se debe a condicionantes de métodos de enseñanza?

¿Cómo formas de enseñar diferentes pueden producir mayor o menor desarrollo de la actividad neuronal?

Investigadores suecos acaban de demostrar recientemente que un entrenamiento de la memoria provoca cambios químicos en el cerebro humano. Esto prueba la relación interactiva que existe entre la cognición y la estructura del cerebro. (Mcnab, y otros:2009)

¿Cuándo una respuesta determinada del cerebro se debe a la genética y configuración de los niveles de organización del Sistema Nervioso gracias a una combinación de elementos químicos?

Queda mucho por investigar

¿Independientemente a la forma de interactuar con el medio la respuesta del cerebro es siempre la misma?

¿Cuándo se debe a ambas y en qué proporción?

“Parece imposible que nuestros genes determinen la estructura exacta de nuestros cerebros; mucho más verosímil resulta que éstos determinen modelos de crecimiento más o menos expuestos a los efectos modificantes de la experiencia” (Arbid, 1982)

Educación y neurocienciaEl cerebro humano recibe unos

400.000 millones de bits de información por segundo, pero solo somos conscientes de dos mil.

De esa información registrada conscientemente, la memoria guarda aproximadamente un 10%.

La exposición informativa de un tema exige habitualmente que el alumno se limite tan solo a escuchar, lo que se provoca es una pasiva actividad cerebral y, dado que los estímulos del cerebro son bajos, suele inhibirse la motivación y variables afectivo-sociales, inhibiéndose también las respuestas de acción y reacción mental.

Ed

ucació

n r

ecib

ida y

re

gis

trad

aM

od

elo

tra

dic

ion

al

Diferente fijación cerebral se observa cuando presentamos propuestas desafiantes de obligado esfuerzo intelectual, o generamos diálogos abiertos a la búsqueda de conocimiento mediante intervenciones que permiten al aprendizaje el protagonismo que necesita.

En estas situaciones no es la información, sino la formulación de preguntas la que reina de modo supremo.

La actividad cerebral aumenta, y aumenta la cantidad de respuestas que se despliegan ante los estímulos percibidos.

Cuando se activan las atribuciones, la motivación, la reflexión, la autoestima; el cerebro consciente registra mucha más información, se mejora la memoria de trabajo y se retiene durante más tiempo.

Ed

ucació

n r

ecib

ida y

re

gis

trad

aM

od

elo

neu

rocie

ntí

fico

Las terminaciones nerviosas que tenemos en las yemas de los dedos estimulan nuestro cerebro. La manipulación de materiales genera una actividad cerebral que facilita la comprensión.

Utilización de materiales

Cuando se entiende y comprende lo que se está aprendiendo se activan varias áreas cerebrales, mientras que cuando se memoriza sin sentido, la actividad neuronal es mucho más pobre.Butterworth (1999) y Dehaene (1997),

Aconsejan a la enseñanza de la Matemática el desarrollo del razonamiento intuitivo, la manipulación de materiales y el carácter lúdico de las actividades, para interactuar con la mente del sujeto.

Los conocimientos básicos de matemáticas

[numeracy] y el cerebro

OCDE / Universidad Católica

La neurociencia

puede dar respuestas a

preguntas relevantes

para laeducación

matemática

Puede dirigirse a la cuestión de si aprender matemáticas de alto nivel impacta el cerebro de manera tal que valide enseñar matemáticas no pragmáticas a la mayoría de la población.

Incluir matemáticas de alto nivel en el currículo estándar es la norma en los países del OCDE

En la actualidad, la mayoría de las investigaciones de la neurociencia se enfocan en las matemáticas básicas.

En contraste con las matemáticas avanzadas, las matemáticas básicas son sin duda vitales para todos los estudiantes.

Creando los conocimientos básicos de matemáticasTal como la alfabetización, los conocimientos básicos de matemáticas se crean en el cerebro mediante la sinergia de la biología y la experiencia.

Al igual que existen estructuras cerebrales diseñadas para el lenguaje, hay estructuras análogas para el sentido cuantitativo.

Como en el caso de la alfabetización, las estructuras genéticamente destinadas no pueden por sí solas dar apoyo a las matemáticas. Las actividades de estas estructuras están coordinadas con aquellas de los circuitos neuronales suplementarios que no estaban destinados en específico para los conocimientos básicos de matemáticas.

Dehaene (1997) denomina“reciclamiento neuronal”.

Las redes no pueden ser extraídas de cualquier área del cerebro: ciertas estructuras neuronales pueden ser reunidas para las matemáticas porque son suficientemente plásticas y tienen propiedades que son conducentes para el procesamiento de números.

Por lo tanto, las matemáticas involucran el funcionamiento cooperativo de un conjunto de redes neuronales que incluye las estructuras cuantitativas genéticamente específicas y las estructuras biológicamente compatibles, dependientes de la experiencia

Los circuitos neuronales que sustentan las matemáticas son moldeados por los factores ambientales y biológicos, la neurociencia puede prestar información a la construcción de la didáctica matemática en al menos dos formas relevantes:

Segundo, los investigadores

pueden rastrear los efectos

neurobiológicos de varias formas de instrucción y

delinear las rutas

subyacentes del aprendizaje al conocimiento matemáticoAsí los educadores pueden mejorar estratégicamente la

instrucción y desarrollar rutas alternativas que acomoden las diferencias individuales. De esta manera, la neurociencia puede permitir el diseño de una instrucción matemática más eficaz e inclusiva.

En primer lugar, una

comprensión de los factores

biológicos puede

contribuir al diseño de

instrucción matemática

coherente con los factores y

las predisposiciones biológicas

Los conocimientos básicos de matemáticas en el cerebroLas matemáticas se construyen

“encima” de estructuras cuantitativas genéticamente especificadas, de una manera similar a como se construye la alfabetización al emplear estructuras del lenguaje

Aunque las habilidades matemáticas se tornan mucho más sofisticadas con la educación, el mecanismo de procesamiento de números básico subyacente se mantiene, ya que hay similitudes fundamentales en la cognición numérica a lo largo del ciclo vital

La corteza parietal, de hecho, juega un rol fundamental en una variedad de operaciones matemáticas (Dehaene, 1997). El daño a esta área tiene efectos devastadores sobre las habilidades matemáticas. Por ejemplo, los pacientes con daño parietal no pueden contestar una pregunta tan simple como qué número cae entre el 3 y el 5.

Este patrón de resultados ejemplifica dos principios acerca de las matemáticas en el cerebro. En primer lugar, la matemática es disociable de otros dominios cognitivos. Segundo, las habilidades dentro del dominio de las matemáticas se pueden disociar unas de otras.

Es importante que los profesores proporcionen rutas flexibles para el conocimiento matemático, que incluyan medios y métodos de representación y evaluación múltiples.

Sin esa flexibilidad las dificultades en otros dominios pueden interferir innecesariamente con el aprendizaje matemático.

Si a los estudiantes se les da la opción de medios alternativos de representación y evaluación, como un texto electrónico con un software de texto hablado, los niños con dislexia no se atrasarían en matemáticas mientras su habilidad lectora está en desarrollo

Dimensión Psicosocial de la evaluación

Carlos Rosales

Consideraciones generalesDesde una perspectiva psicosocial de la evaluación, se pone de relieve el carácter único de cada proceso de aprendizaje, y por tanto, la imposibilidad de evaluarlo mediante la utilización de instrumentos de aplicación general.

Psicológicamente, cada persona utiliza determinadas estrategias para el tratamiento de información y posee un nivel específico de motivación, lo que origina procesos diferentes de aprendizaje

Dentro de los factores que pueden influir de manera considerable en los rendimientos se encuentran:

Clima sociocultu

ral

Nivel de expectativas

que se ha formado

La naturaleza del clima familiar

Tipo de lenguaje

que utiliza

Las relaciones entre el profesor y el alumno

Relaciones que se producen en

el grupo de alumnos

La evaluación del aprendizaje no será válida en la medida en que se limite a constatar un determinado nivel de aprendizaje sin realizar una explicación individualizada de las características psicosociales que lo han determinado en cada caso.

Se asume, por lo tanto, la necesidad de una personalización de la evaluación.

¿En qué medida es válida la forma actual de evaluar el aprendizaje del alumnado?

Estrategias cognitivasA partir de una teoría cognitiva, sería preciso profundizar en el conocimiento de las características del pensamiento de cada alumno y, en relación con el mismo, proponer medidas adaptadas de recuperación y aprendizaje.

La teoría psicogenética ha puesto de relieve la importancia de las estrategias de aprendizaje en materias como las matemáticas y el lenguaje. J. Bruner (1975) ha demostrado que existe una considerable diferencia entre una evaluación que se conforme con resultados y una evaluación que intente conocer y describir procesos:

En el primer caso, podría ocurrir que un resultado procediese de la previa memorización de una fórmula o procedimiento y su aplicación a un determinado problema, sin que a través de la evaluación podamos llegar a conocerlo.

En el segundo caso se intentaría reconstruir el proceso mental seguido por el alumno en la resolución del problema para detectar posibles dificultades. La reconstrucción de dicho proceso se puede hacer a través del estudio de aciertos y fallos del alumno en el proceso de realización y a través de las explicaciones que aporta sobre el mismo.

Es necesario llegar a la identificación de las estrategias que subyacen a dicho uso. Así, en los primeros años de aprendizaje lector se han identificado como básicas las estrategias rígida y flexible, y dentro de esta última, las de muestreo, inferencia, predicción y extrapolación (C. Rosales, 1987).

ESTRATEGIAS RÍGIDASNo son capaces de diferenciar pasajes difíciles y fáciles y adaptar en función de ellos su esfuerzo. Tampoco combinan adecuada-mente la nueva información con los conocimientos que ya poseen, ni son capaces, a veces, de ir enriqueciendo los primeros datos del texto que leen con los siguientes.

ESTRATEGIAS FLEXIBLESPresentan una notable capacidad para la comprensión, para la combinación de lo leído con sus conocimientos anteriores, para realizar procesos de análisis y síntesis (palabras a letras y de éstas a las primeras), para utilizar muestras de índices semánticos, léxicos y sintácticos a fin de inferir significados y estructuras mayores, etcétera.

LECTORES

Desde la perspectiva de la evaluación del aprendizaje, la naturaleza de las representaciones que los alumnos se hacen sobre el nivel de dificultad, puede ejercer una importante influencia en la cantidad de esfuerzo que dedican a tales tareas y, finalmente, en los resultados que obtienen y las calificaciones que reciben.

A través de diversas investigaciones se ha podido comprobar que tareas que han sido percibidas como difíciles, son objeto de mayor dedicación, y los resultados, consiguientemente, son mayores, mientras que tiene lugar un proceso totalmente contrario con tareas que se perciben como fáciles.

Así, en la utilización de medios didácticos, el alumno percibe como más fáciles los de carácter audiovisual y más difíciles los documentos escritos, dedicando consiguientemente menos esfuerzo al aprendizaje con los primeros.

Representaciones mentales

Consecuencias negativas Alumnos con capacidad intelectual

notable, eligen a veces medios muy estructurados, pensando que les van a exigir menos esfuerzo. Esto en principio es así, y da lugar a una infrautilización de sus capacidades, con el consiguiente descenso en sus rendimientos académicos y desarrollo de habilidades (Clark, 1986).

Asimismo, en relación con los resultados obtenidos, los alumnos realizarán una determinada representación del esfuerzo necesario.

Ante “buenas calificaciones”, su rendimiento tiende a descender, mientras que ocurre lo contrario cuando las calificaciones son bajas. Tiene lugar un proceso de ajuste entre niveles de exigencia del profesor y niveles de dedicación del alumno, que resulta familiar a cuantos conocen la naturaleza de la dinámica de interacción profesor-alumno en las aulas (Chevallard, 1986).

PROCESO COGNITIVO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

MATEMÁTICOS: “De la representación

manifiesta hasta los modelos organizadores”

Sergio Raúl García

“Toda idea o cuerpo de conocimientos se puede presentar de una forma lo suficientemente sencilla como para que cualquier estudiante lo pueda comprender de forma adecuada” Bruner.

En la presente lectura se abordan algunos de los enfoques sobre el proceso de la representación cognitiva de los procesos matemáticos, muy en particular los relacionados con la resolución de problemas, para lo cual analizaremos autores reconocidos entre los que se destacan Millaret, Bruner, Vigotsky, Moreno entre otros.

Distintos investigadores en el campo de las matemáticas identifican etapas o fases que recorre un individuo para dar solución a un problema, algunas de éstas son plenamente identificables a través de la observación de la acción que realiza el sujeto.

Interesa lo que se encuentra detrás de las acciones explícitas del sujeto, queremos saber cómo operan sus mecanismos de pensamiento, cómo se modelan y organizan estos procesos de manera interna; se busca explicar el proceso de representación interna en la resolución de problemas matemáticos.

Millaret: El paso de la acción a la traducción simbólica

Millaret (1977), afirma que independientemente del problema en cuestión se pueden señalar unas etapas por las que el niño debe pasar para asegurar una construcción sólida de las bases matemáticas. Para ello distingue seis aspectos que caracterizan las distintas etapas del proceso.Aspecto 1. La acción misma. Es necesario que el niño manipule, ya que esta acción que se efectúa sobre el material concreto permite al alumno reflexionar y representarse ciertas acciones indicadas en un problema.

Aspecto 2. El lenguaje debe acompañar a la acción, de esta forma el niño pequeño aprende el vocabulario fundamental de la lengua matemática.

Aspecto 3. Conducta de relato; cuando el niño es capaz de asociar una acción real y una expresión verbal simultáneas. En este momento el niño puede contar sin hacer las diferentes acciones que ha ejecutado, es decir, el relato sustituye las acciones que figuran dentro de su experiencia y que se encuentran ya interiorizadas

Aspecto 4. El comportamiento de relato es enriquecido y llevado a un plano más elevado en relación con la representación y pensamientos matemáticos; las acciones concretas van a perder su referente real, para ser sustituidas por objetos que los representan, lo que nos muestra ya un cierto nivel de abstracción.

Aspecto 5. Continúa sobre el camino de la esquematización progresiva, por medio de la abstracción creciente se traducen todas las acciones vividas por el niño a otro lenguaje: el del grafismo. Que posee doble movimiento dialéctico del pensamiento que es fundamental en la formación matemática y es necesario provocarlo a partir de cierta edad.

Aspecto 6. Una vez consolidados los momentos anteriores es posible pasar a la traducción simbólica de las operaciones: 3 + 2 = 5. El niño se encuentra ante un resumen sorprendente, Este momento es el punto de llegada del proceso en la resolución de problemas, pero también constituye el punto de partida para el empleo de un lenguaje matemático cada vez más abstracto y complejo

Esquema I. El paso de la acción a la traducción simbólica

(Millaret 1977)  

6. Traducción simbólica

 5. Traducción gráfica

 4. Acción con objetos simples

  Con retroalimentación

3. Conducta de relato

 2. Acción acompañada de lenguaje

 1. Acción real con recuperación.

Bruner y la representación cognitiva del proceso aprendizaje de la resolución de problemas. 

Bruner (1990), comenzó a examinar los procesos cognoscitivos de los niños y se preocupó especialmente por averiguar cómo representan los niños los conceptos e ideas que van aprendiendo. Define la representación mental no como un acto de memoria pura y simple, porque lo más importante de la memoria no es su almacenamiento de la experiencia pasada, sino su recuperación de lo que es relevante. Esto depende de cómo se codifica y se procesa la experiencia anterior, para que pueda ser significativa y aprovechable cuando se necesite. de esta forma ...“al producto final de tal sistema de codificación y procesamiento es lo que podemos llamar representación”.

Enactiva. Es un modo de representar eventos pasados mediante una respuesta motriz adecuada. Se cree que esta forma es la única manera por la que los niños pequeños pueden recordar las cosas.

Modos de representación

Icónico. Es el segundo modo de representación, separa un paso de la fase concreta o física para entrar al campo de las imágenes mentales. De acuerdo con Bruner, la representación icónica es lo que sucede cuando el niño se imagina una operación o una manipulación.Simbólico. Constituye el tercer modo de capturar las experiencias en la memoria, se posibilita por la aparición de competencia lingüística. Un símbolo es una palabra, un signo, una marca, un número que representa un concepto o un objeto, pero no tiene porque parecerse a dicho referente.

Enactivo

Icónico

Simbólico

Una perspectiva vigotskyana: De la representación externa a la interna

Desde una perspectiva vigotskyana no se contempla una separación entre la representación externa e interna, pero se reconoce que la interiorización es una actividad individual.

El conocimiento se construye en la interacción social dentro de la zona de desarrollo próximo. Cuando el conocimiento es compartido entre los interlocutores y expresado socialmente existe un proceso de vaivén entre lo interno y lo externo.

La representación interna del niño es expresada externamente, en tanto que estas acciones realizadas externamente permiten al alumno reflexionar sobre las mismas para reelaborar una nueva representación interna, producto también de la interacción social.

. Las tiras de paleta traen 7, si compras 4 tiras ¿Cuántas paletas serán por todas?

Primer nivel. Las representaciones del profesor y el niño son tan distintas que no es posible establecer una comunicación adecuada.

Resulta difícil establecer los elementos comunes entre la representación adulta, que es en los términos que planteó el problema y lo que parece comprender el niño.

Niveles de la representación: interna y externa

Faviola pesa 26 kilos, es decir 3 kilos menos que Michel.

¿Cuántas kilos pesa Michel?

Segundo nivel. El niño comienza a compartir con el profesor los elemento básicos del problema, por ejemplo, las cantidades, las relaciones que se establecen entre ellas, vocabulario del contexto etc; pero difiere en la representación de las acciones del problema, lo que lleva a no entender la actuación del profesor en este sentido

Representación del profesor

Representación del alumno

Representación del profesor

Representación del alumno

Tercer nivel. Podemos decir que es un nivel transitorio donde comienza a darse una coincidencia entre las representaciones de ambos, de manera que el alumno resuelve el problema tomando en cuenta el referente del maestro, o cuando menos así lo representa externamente.

Representación

del profesor

Representación del alumno

Cuarto nivel. El último nivel de intersubjetividad se caracteriza por el hecho de que el niño toma el control completo sobre el problema planteado, asumiendo la responsabilidad independiente de resolverlo a través del uso de los procedimientos que no alcanzó a representarse cabalmente en el nivel anterior.

Representación

del profesor y del alumno