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COMPETENCIAS Y OBJETIVOS• UNIDAD II :INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

• Competencia:

• -El estudiante debe utilizar correctamente los conceptos de experimento

aleatorio ,espacio muestral, eventos, para su aplicación en el Algebra de

Eventos ;la Teoría Combinatoria en las técnicas del conteo

• Objetivos.

• -Aplicar adecuadamente los conceptos de experimentos aleatorios , la

Teoría Combinatoria y el Algebra de eventos en la descripción y

determinación de los espacios muestrales.

• Descripción general de la unidad:

• -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes conceptos

:Experimento aleatorio, espacio muestral,eventos, Algebra de eventos ; La

teoría combinatoria como la Combinación y Permutación de un conjunto de

elementos ,el muestreo con y sin reposición.

• Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para

Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.41 al 47

• Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial”

2ª ed.Perú 1996 Pags,121 al 133

• Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988) “Probabilidad e

Inferencia Estadística((2ª ed) Perú .Pags1al 51

• Referencia electrónica:

http://www.jfinternational.com/mf/probabilidades-definición.html

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CONTENIDO MÍNIMO DE TEORÍA DE LAS

PROBABILIDADES:

1.-Introducción a la probabilidad

2.-Definición ,axiomas y teoremas de probabilidad

3.-Variable aleatoria

4.-Características de una variable aleatoria

5.-Variable Aleatoria bidimensional

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Unidad II INTRODUCCIÓN A LA T. DE LAS PROBABILIDADES

- Introducción.- La T.de las Probabilidades es el fundamento de

la Estadística Matemática ó Inferencial.

Para desarrollar ésta teoría es necesario recordar algunos

conceptos básicos:

-Experimento.- Es todo acto por el cual se prueba una ó más

veces algo de la teoría de las ramas de las ciencia

Clases de experimentos.:a)Determinístico ,b)No determinístico

a)Determinístico.-cuando los resultados del experimento

pueden determinarse con exactitud.

b)No determinístico.- cuando los resultados del experimento no

pueden predecirse con exactitud

-Experimento Aleatorio.- es todo experimento no

determinístico que debe cumplir 2 requisitos:

1.cada experimento puede realizarse indefinidamente

2.-cada experimento tiene varios posibles resultados.

Espacio muestral.- =S es el conjunto de todos los posibles

resultados del experimento aleatorio.

-Elemento ó suceso .-a,b,c,....w,es todo elemento del espacio

muestral

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Tipos de experimentos por su composición.-

a)Simples εi ; i=1,2,3,.., cuando se compone de un solo experimento

Ej: Sea el ε1 :”lanzar una moneda” =S={ c , s }

b)Compuesto ε .- cuando se compone de 2 ó más experimentos simples

simultaneamente,tenemos.

1.b.)Unidos por ó excluyente.- ε = ε1 ó ε2 Significa que el experimento

principal ocurre cuando uno de los simples ocurre,pero no ambos

Ej: Sea el ε =“Lanzar una moneda ó un dado”,Describa el

Sol.- ε = ε1 ó ε2 ={ c , s }U {1,2,3,,4,5,6 } ={ c , s, ,1,2,3,4,5,6 }

2.b.)Unidos por la “y” incluyente.- ε = ε1 y ε2 significa que el experimento

principal ocurre cuando ambos simples ocurren simultaneamente ó uno tras

otro

Ej.Sea el ε=“Lanzar una moneda y un dado”,Describa el

Sol: ε = ε1 y ε2 ={ c , s }x {1,2,3,,4,5,6 }

= ={1c,2c,3c,4c,5c,6c,1,s,2s,3s,4,s,5,s,6s }

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-Eventos A,B,C,.....E....-es todo subconjunto del espacio muestral E C S.

Clases de eventos.-

-Unitario.- aquel evento que tiene un solo evento E={w}

-Imposible.- aquel evento que no tiene elementos E =

-Eventos compuestos.-cuando se componen de 2 ó más eventos,cuya

descripción necesita de algunas técnicas como tablas árbol lógico, teoría

combinatoria

Ej.Sea el ε=“Lanzar un dado 2 veces”,se definen los siguientes eventos:

A:”La suma sea 1” ,B:”la suma sea 12”,C:” La suma sea 7” ;descríbalos-

={(11)(12)(13)(14)(15)(16)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(31)(32)(33)(34)(35)(36)

.(41)(42)(43)(44)(45)(46)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(61)(62)(63)(64)(65)(66) }

A= ; B ={6,6 }; C={16, 25 ,34,43,52,61}

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-Algebra de Eventos .-dado que el “ S” se asemeja al conjunto

Universo y un evento a un subconjunto,se puede aplicar la teoría

de conjuntos a los eventos,donde se presentan algunos eventos

especiales:

1) A U B = ocurre por lo menos uno de ellos

2) A B= ocurren todos

3) AUB= AB =ninguno ocurre

4) AB U AB = exactamente uno ocurre

Ej.sean A,B,C ;3 eventos definidos en el”S”.Expresar c/u de los

siguientes eventos en términos de conjuntos

a)Ocurren exactamente 2 de los eventos:

ABCUABC UABC

b)No ocurre ninguno de ellos : A B C

c)Ocurren todos: ABC

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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.-

Sean 2 eventos A;B definidos en “S” ,tal que A B= ;

generalizando :sean n eventos Ai mutuamente

excluyentes ,tal que

Ai Aj= ; i j i,j:1,2,3,....n

EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS.-

Sean 2 eventos A,B definidos en el “S”,tal que AUB=

generalizando sean n eventos Ai colectivamente

exhaustivos tal que

A1UA2U...UAn= ; UAi =

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• TECNICAS DEL CONTEO.-

Cuando el espacio muestral o los eventos tienen una gran

cantidad de elementos ,entonces ya no es necesario

describir sino determinar cuantos son los elementos,para

ello se debe recurrir a la teoria combinatoria,la misma que

se basa en dos proncipios fundamentales:

1) De la multiplicacion.-Si un experimento aleatorio ε1 ocurre

de n1 maneras y si para cada una de estas,un experimento ε2

ocurre de n2 maneras entonces los dos experimentos juntos

ocurren de n1 * n2 maneras.

Ej. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del:

ε :” lanzar una moneda y un dado”

Sol.- ε = ε1 ^ ε2

n = n1 * n2 ; n= 2x6 = 12 elementos

2) De la Adicion.-Si un experimento aleatorio ε1 ocurre de n1

maneras y un segundo experimento ε2 ocurre de n2 maneras

entonces el experimento ε que consiste en realizarlos ε1 o

ε2 (forma excluyente) ,ocurre de n1 + n2 maneras

Ej.¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del:

ε :” lanzar una moneda o un dado”

Sol.- ε = ε1 o ε2

n = n1 + n2 ; n= 2 +6 = 8 elementos

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TEORÍA COMBINATORIA

Que se basa en los principios:el de la multiplicación y el de la adición

-Permutación.-es un arreglo de todo o parte de un conjunto,donde interesa el

orden

Definición.- nPr = n! / (n-r)! Cuando r < n ; nPr = n! ,si r = n

-Combinación.-es un arreglo de todo o parte de un conjunto donde no interesa el

orden.

Definición.- nCr = n! / r! (n-r)!

Ej,Un estudiante debe responder 8 de 10 preguntas,de cuántas maneras

a)Puede escoger ,b) si tiene q´contestar 4 de las 5 primeras.

Sol.-a) 10 C 8 = 10! / 8 ! 2! = 45 maneras

b) 5 C 4* 5 C 4 = 25 maneras

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• Permutaciones especiales.-

• A) Permutaciones circulares.- se aplican cuando el arreglo es

poligonal

Definicion.- PCn = (n-i)!

Ej. De cuantas formas diferentes pudieronen sentarse en la ultima

cena?

Sol.- n= 13 comensales ; PC13 = (13-1)! =12! = 47900160 formas

B)Permutaciones condicionales.- se aplica cuando se desea ordenar

n objetos de manera que k (k<n) de ellos no esten juntos.

Definicion.- PKn = n! – k!(n-k+1)!

Ej.-De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar todos los

elementos del conjunto={1,2,3,4,5,6,7,8,9} de manera que los

elementos 1 y 9 no aparezcan juntos.

Sol.- n=9 k=2 ; PK9 = 9! -2!(9-2+1)! = 282240

c) Permutaciones con reiteracion.- apliacmos cuando el conjunto

total de elemntos tiene elemntos que se repiten

Definicion.- Pn1 n2….nk = n!/n1! n2! n3!....nk!

Ej.De cuantas maneras pueden disponerse 12 objetos iguales en todo

excepto el color de los cuales 3 son negras,4 blancas y 5 rojas

Sol.- n=12; n1=3 ; n2= 4; n3= 5 ;

P3,4,5 = 12!/(3!4!5!) = 27720

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• Aplicaciones de la combinatoria en el muestreo.-

El muestreo se puede realizar de dos formas:

a) Muestreo con reemplazo.-se tiene este tipo de muestreo

cuando un objeto se extrae y luego se lo repone antes de

extraer el siguiente objeto.

Entonces si se extrae “r” extracciones de una muestra de

“n” elementos entonces el numero de formas sera nxnx n

xn ……….xn

B) Muestreo sin reemplazo.-se tiene este tipo de muestreo

cuando un objeto se extrae y luego no se lo repone antes

de extraer el siguiente objeto.Por lo tanto el numero de

maneras de extraer “n” elementos de una muestra con “r”

extracciones sera

n(n-1)(n-2)(n-3)……….(n-r+1) = n!/(n-r)!.

Ej. Considerando las placas de automoviles que tiene tres

letras seguidas de tres digitos.si pueden emplearse todas

las combinaciones posibles¿Cuántas placas diferentes

pueden formarse?

Sol.-

26³ . 10³= 17576(10)³