Componentes Rectangulares de La Velocidad y de La Aceleración

5/21/2018 Componentes Rectangulares de La Velocidad y de La Aceleraci n

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COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y DE LA ACELERACINCuando la posicin de una partcula Pse define en cualquier instante mediante sus coordenadasrectangulares x, y y z, resulta conveniente descomponer la velocidad v y la aceleracin ade lapartcula en componentes rectangulares.Aal descomponer el vector de posicin r de la partcula en componentes rectangulares, se escribe:

Donde las coordenadas x, y y z son funciones de t. Al diferenciar dos veces se obtiene:

Donde coordenadas expresadas con diresis, son las primera y segunda derivada de x, y y zrespecto de t. Se tiene que las componentes escalares de la velocidad y la aceleracin son:

Un componente positivo de vxindica que el componente velocidad vx, est dirigido hacia la derecha,y un componente negativo, que se dirige hacia la izquierda. El sentido de cada uno de los otroscomponentes vectoriales puede determinarse de manera similar a partir del signo de lacomponente escalar correspondiente.Es posible considerar por separado el movimiento de la partcula en direccin x, su movimiento enla direccin y, y su movimiento en la direccin z.

Tiro parablico

En el caso del movimiento de un proyectil, se demuestra que las componentes de la aceleracin son:

Si se ignora la resistencia dela aire. Al denotar mediante x0, y0y z0las coordenadas del can ypor medio de (vx)0, (vy)0y (vz)0las componentes de la velocidad inicial vo del proyectil (una bala), seintegra dos veces en ty se obtiene:

Si el proyectil se lanza en el plano xy desde el origen O, se tiene xo = y0 = z0 = 0 y (vx)0 = 0, y lasecuaciones de movimiento se reducen a:

Estas ecuaciones muestras que el proyectil permanece en el plano xy, que su movimiento en ladireccin horizontal es uniforme, y que su movimiento en la direccin vertical es uniformementeacelerado. El movimiento de un proyectil puede entonces sustituirse por dos movimientosrectilneos independientes, los cueles se visualizan con facilidad si se supone que le proyectil se



lanza verticalmente con una velocidad inicial (vy)0 desde una plataforma que se mueve con unavelocidad horizontal constante (vx)0. Las coordenadas del proyectil es igual en cualquier instante ala distancia recorrida por la plataforma y es posible calcular su coordenada y como si el proyectilse moviera a lo largo de una lnea vertical.

Se puede observar que las ecuaciones que definen las coordenadas x y y z de un proyectil encualquier instante son las ecuaciones paramtricas de una parbola. Por lo tanto, la trayectoria deuna proyectil es parablica. Sin embargo este resultado deja de ser vlido cuando se toma encuenta la resistencia del aire o la variacin con la altura de la aceleracin de la gravedad.

Componentes Tangencial y NormalConsiderando una partcula que se mueve a lo largo de una curva contenida en un plano, siendo P laposicin de la partcula en un instante dado. Se une a P un vector unitario et tangente a latrayectoria de la partcula y que apunta en la direccin del movimiento,

Se tiene que al evaluar el lmite de los incrementos en el vector tangente con respecto al nguloformado por la posicin de la partcula en un instante posterior, se obtiene un vector unitario a lo



largo de la normal a la trayectoria de la partcula, en la direccin hacia la cual cambia et. Aldenotar este vector por en, se escribe:

El vector de aceleracin de la partcula se expresa de la siguiente manera:

De tal modo, las componentes escalares de la aceleracin son:

Las realciones obtenidas expresan que la componente tangencial de la aceleracin es igual a larazn de cambio de la velocidad de la partcula, en tanto que la componente normal es igual alcaudrado de la velocidad dividida entre el radio de curvatura de la trayectoria en P. Si aumenta lavelocidad de la partcula, at es positiva y la componente vectorial at apunta en la direccin demovimiento. Si disminuye la velocidad de la partcula, at es negativa y at apunta contra la direccindel movimiento. La componente vectorial an, por otro lado, siempre se dirige al centro decurvatura C de la trayectoria.



Componentes Radial y TransversalEn ciertos problemas de movimiento plano, la posicin de la partcula P se define mediante suscoordenadas polares ry . En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y la aceleracinde la partcula en componentes paralela y perpendicular, respectivamente, a la lnea OP. stas seconocen como componentes radial y transversal.



La velocidad y la aceleracin de la partcula en trminos de componente radial y transversal seexpresan de la siguiente manera:

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