Comportamiento colectivo no trivial en automatas celulares...
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Comportamiento colectivo no trivial en
aut omatas celulares y el fen omeno de Small
World .
Jose Manuel Gomez Soto
Asesores:Dr. Sergio V. Chapa Vergara y
Dr. Harold V. McIntosh
Centro de Investigacion y de Estudios Avanzados del IPN. Seccion de Computacion.
Contenido1. Antecedentes
Inicios
Definicion
2. Motivacion
Marco de aplicaciones
problema fundamental
Motivacion
3. Planteamiento del problema
El automaton celular de Chate y Manne-ville
Comportamiento colectivo no trivial
objetivo
4. Soluciones o enfoques propuestos por otrosautores
Hallazgo
propuestas
revision
5. Soluciones o enfoques propuestos
Antecedentes
Metaestabilidad
Parametrizacion
6. Resultados, publicaciones y trabajo futuro
7. Conclusiones
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Antecedentes
John von Neumann
1. ¿Como construir sistemas fiables a partir decomponentes no fiables?
2. ¿Que tipo de organizacion logica es suficien-te para que los automatas se reproduzcan ası mismo?
J.V.N. “Theory of self-reproducing automata,”(Editado por A. W. Burks), University of Illinois Press, (1966).
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Aut omata celularDefinici on Un automata celular es un sistemadinamico donde el espacio, los valores y el tiemposon discretos.
El espacio Zd es una retıcula uniforme compues-ta de celdas (celulas) xi1,i2,i3,...,id y que puedeestar en d dimensiones.
Los valores que pueden tomar xi1,i2,i3,...,id perte-necen a un conjunto Σ finito y discreto. Σ =1,2,3, . . . , k − 1 entonces Σ ∈ N . La asig-nacion de valores en el espacio C : Zd 7→ Σ
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Aut omata celulardeterminan un punto (estado global) en el espa-cio del sistema dinamico.
El tiempo t en que evoluciona Φ : ΣZ 7→ ΣZ
es discreto. Y la funcion Φ que permite cambiarde un punto (estado global) a otro en la dinamicadel automaton celular es conocida como funcionglobal.
• funci on local φ
Para llevar a cabo las transformaniones la fun-cion Φ se auxilia de una funcion local que rea-liza transformaciones φ : Σ|V| 7→ Σ.
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Aut omata celular
φ determina el valor que tendra la celda xi enel tiempo t + 1 :
xt+1i = φ(xt
i−r, . . . , xti . . . , x
ti+r)
donde r es el radio de la vecindad V .
Vecindad von Neumann
Vn = y = y1, y2, y3 :
|x1 − y1|+ |x2 − y2|+ |x3 − y3| ≤ r
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Aut omata celular
Estructura
Valores
xi ∈ Σ
Σ = 0,1,2,3, . . . , k − 1
Dinamica
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Motivaci onMarco de aplicaciones En la actualidad son utiliza-dos para hacer estudios en:
Percolacion
Encriptacion de informacion
Computacion cuantica
Programacion de FPGA
...
Sistemas Complejos
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φ 7→ Φ
Sin embargo determinar la dinamica de un auto-maton celular a partir de la funcion local es un pro-blema no bien entendido.
φ
xt+1ij =
1 Si Σ(V) = 2 o Σ(V) = 3 y xt
ij = 11 Si Σ(V) = 3 y xt
ij = 00 otro caso
Φ
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φ 7→ Φ
φ
xt+1ij =
1 Si Σ(V) ≤ 2 y xt
ij = 00 otro caso
Φ
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Sistemas complejos
Problemas de inter es
Computacion universal
Auto-organizacion
optimizacion
Sincronizacion
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Motivaci on
La motivacion de esta tesis es generar conocimien-to de la relacion entre φ y Φ, en particular para elfenomeno conocido como comportamiento colectivono trivial.
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Planteamiento del problema
El automat on celular de Chat e y Manneville
3D
Σ = 0,1
xt+1ijk =
1 Si Σ|V|
i xtijk ∈ 0,5
0 otro caso
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Planteamiento del problema
Comportamiento colectivo no trivial
C =1
N
n∑i
n∑j
n∑k
xijk
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Planteamiento del problema
. . .
(C0, C1), (C1, C2), (C2, C3), . . . , (Ct, Ct+1)
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Planteamiento del problema
Entropıa
Entropıa espacial
S(X) = − 1X
∑|Σ|Xj=1 pjLog|Σ|pj
Donde: X: tamano de la vecindad
pj: La frecuencia de la j-esima vecindad.
|Σ|X : posibles vecindades de tamano X
S(X) : 0, . . . ,1
S(X) = 0,823 para el automata celular anterior
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Planteamiento del problema
Objetivo Explicar porque se sincronizan las densi-dades en 3 puntos en los automatas celulares quesiguen la regla de Chate y Manneville.
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Sol. o enfoques propuestos
Hallazgo Hugues Chate y Paul Manneville
Hugues Chate and Paul Manneville, “Evidence of collec-
tive behaviour in cellular automata,” Europhysics Letters,
14, 409-413, (1991).
Hugues Chate and Paul Manneville, “Collective behaviors
in spatially extended systems with local interactions and
synchronous updating,” Progress in Theoretical Physics,
87, 1-60, (1991).
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Sol. o enfoques propuestos
Microcelulas y membranasJ. Hemmingsson, A. Sørensen, H. Flyvbjerg and H. J. Herrmann, “What synchronization?,” Europhy-sics Letters, 23, 629-634, (1993).
Ecuacion de Perron-FrobeniousPikovsky Arkady S. and Jurgen Kurts, “Do globally coupled maps really violate the law of large num-bers,” Physical Review Letters, 72, 1644-1646, (1994).
RevisionHugues Chate, Anael Lemaıtre, Ph. Marcq and Paul Manneville, “Non-Trivial collective behaviour inextensively-chaotic dynamical systems: an update,” Physica A, 224, 447-457, (1996).
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Sol. o enfoques propuestosAntecedentes
Se analizo aproximacion de la teorıa del campo promedio.
Uso de la iteracion de polinomios de Bernstein para de-terminar puntos fijos y su espectro: diagramas de bifurca-cion.
resultado: La teorıa del campo medio puede ser arbitraria-mente precisa si se utiliza la vecindad de von Neumann ygrandes dimensiones. En el caso de la vecindad de Moorela dependencia sera una cte no importa cuantas dimen-siones se involucre. (Observacion: las iteraciones de lospolinomios acumulan puntos fijos.)
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Sol. o enfoques propuestos
Metaestabilidad
Un problema con la experimentacion en AC es elefecto del tamano finito del espacio.
“ no es inusual observar un fenomeno en un AC en una si-
mulacion por computadora y encontrar mas tarde que es-
te comportamiento desaparece en otra computadora con
mas recursos (tiempo espacio o ambos)... ”, Lawrence
Gray, A Mathematician Looks at Wolfram’s A New Kind of
Science
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Metaestabilidad
Ejemplo: Percolaci on
Bootstrap percolation
2D
1000× 1000Σ = 0,1
Regla de evolucion
xt+1ij =
1 Si xt
ij = 0 Σni Σ
nj x
tij = 4
1 Si xtij = 1 Σn
i Σnj x
tij = 2
0 otro caso
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Metaestabilidad
Ejemplo: Percolaci on
p = 0,03 Clase II p = 0,05 Clase I
Finalmente se demostro que cuando L 7→ ∞ p 7→ 0
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Metaestabilidad
Informaci on experimental
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MetaestabilidadMETAESTABILIDAD
Espacio total 3x3x3
Regla Hemmingsson
0 10 20 30 40 50 60
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Espacio total 5x5x5 t=300
Espacio total 100x100x100 t=400
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Subespacio 5x5x5 t=400
0 20 40 60 80 100 120
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 20 40 60 80 100 120
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
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Metaestabilidad
Evolucion de subespacio de 10x10x10 dentro un espacio de
100x100x100
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Metaestabilidad
Evolucion de subespacio de 20x20x20 dentro un espacio de
100x100x100
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Metaestabilidad
Evolucion de subespacio de 30x30x30 dentro un espacio de
100x100x100
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Metaestabilidad
Evolucion de subespacio de 40x40x40 dentro un espacio de
100x100x100
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Metaestabilidad
Evolucion de subespacio de 50x50x50 dentro un espacio de
100x100x100
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Metaestabilidad
Evolucion de subespacio de 100x100x100 dentro de un
espacio de 100x100x100
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Polinomios de Bernstein
Espacio ancestro
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Polinomios de Bernstein
Definici on
Los polinomios de Bernstein de grado n estan defi-nidos por:
Bi,n =(ni
)pi(1− p)n−i
para i = 0,1, . . . , n, donde(ni
)= n!
i!((n−i)!)Existen n + 1 Polinomios de Bernstein de grado n.Por conveniencia, usualmente asignamos Bi,n = 0,si i < 0 o i > n.
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Polinomios de Bernstein y RT
Regla totalıstica
xt+1i = φ(xt
i−r + · · ·+ xti + · · ·+ xt
i+r)
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Polinomios de Bernstein
Automatas celulares en 3D Para un automata celu-lar con vecindad de von Neumann el calculo de pro-babilidades para su regla totalıstica esta dado por lacombinacion lineal de polinomios de Bernstein
Regla totalıstica en 3D
P t+11 =
(ms
)psqm−s
f(p) = q7 +7pq6 +21p2q5 +35p3q4 +35p4q3 +21p5q2 + 7p6q + p7
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Polinomios de Bernstein
Reglas totalısticas de AC = Combinaci on linealPolinomios de Bernsteinp2 + 2pq + q2
p3 + 3p2q + 3pq2 + 3q3
p4 + 3p3q + 6p2q2 + 4pq3 + q4
p5 + 5p4q + 10p3q2 + 10p2q3 + 5pq4 + q5
p6+6p5q+15p4q2+20p3q3+15p2q4+6pq5+q6
q7+7pq6+21p2q5+35p3q4+35p4q3+21p5q2+7p6q + p7
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Polinomios de Bernstein
Propiedades de polinomios de Bernstein
Los polinomios de Bernstein de grado n puedendefinirse mediante la suma de dos polinomios deBernstein de grado n− 1
Bk,n(t) = (1− t)Bk,n−1(t) + tBk−1,n−1(t)
(1− t)Bk,n−1(t) + tBk−1,n−1(t) = (1− t)(
n−1k
)tk(1− t)n−1−k + t
(n−1k−1
)tk−1(1− t)n−1−(k−1)
=(
n−1k
)tk(1− t)n−k +
(n−1k−1
)tk(1− t)n−k
= [(
n−1k
)+(
n−1k−1
)]tk(1− t)n−k
= Bk,n(t)
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Polinomios de BernsteinPropiedades de polinomios de Bernstein
La suma de los k +1 polinomios de Bernstein degrado k es igual a la suma de los k polinomios deBernstein de grado k − 1.
∑k
i=0Bi,k(t) =
∑k−1
i=0Bi,k−1(t)∑k
i=0Bi,k(t) =
∑k
i=0[(1− t)Bi,k−1(t) + tBi−1,k−1(t)]
= (1− t)[∑k−1
i=0Bi,k−1(t) + Bk,k−1(t)] + t[
∑k
i=1Bi−1,k−1(t) + B−1,k−1(t)]
= (1− t)∑k−1
i=0Bi,k−1(t) + t
∑k
i=1Bi−1,k−1(t)
= (1− t)∑k−1
i=0Bi,k−1(t) + t
∑k−1
i=0Bi,k−1(t)
=∑k−1
i=0Bi,k−1(t)
n∑i=0
Bi,n(t) =
n−1∑i=0
Bi,n−1(t) =
n−2∑i=0
Bi,n−2(t) = · · · =1∑
i=0
Bi,1(t) = (1− t) + t = 1.
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Polinomios de Bernstein
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Trabajo en curso
Demostracion de convergencia en la familia depolinomios de Bernstein en 1D
Calculo composicion de Polinomios de Bernsteinen 3D
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Parametro de caracterizaci on
Las cuatro clases de Wolfram
Clasificacion de Wolfram
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Parametro de caracterizaci on
Parametro lambda de Langton
λ =|V| − |Vq|
|V|(1)
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Parametro de caracterizaci onClase I 7→ λ = 0,2282
Clase II 7→ λ = 0,4394
Clase III 7→ λ = 0,8164
Clase IV 7→ λ = 50,18
Representacion esquematica del parametro λ de Langton
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Parametro
Parametro Chat e y Manneville
ω =|Cφ(V) 7→0||Cφ(V) 7→(0,1)|
(2)
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Desarrollo de Sistema
Sistema de an alisis de aut omatas celulares engrandes dimensiones
Paquete desarrollado en Mathematica
Evolucion visual de un automata celular en 3D
Evolucion de un AC en 4D,5D y 6D
Calculo de entropıa espacial
Calculo de polinomios de Bernstein en AC en 3D
Mapas de retorno
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Desarrollo de SistemaCalculo del parametro Ω
Frecuencia de vecindades
Calculo de grafica espacial de celulas con estado0 contiguas.
Definicion y calculo de densidad de un subespa-cio
Evolucion en automatas de dimension fractal en-tre 2D y 3D
Proyecciones entre automatas de 2D a 3D
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Resultados, publicaciones
Resultados
publicaciones
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Trabajo a futuro
Dimension fractal.
Calculo de polinomios de Bernstein en 4D
Demostracion de convergencia en familia de poli-nomios de Bernstein en 3D y 4D
Calculo del subespacio mınimo
Estudiar reglas totalısticas, independencia y com-portamiento colectivo no trivial.
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Conclusiones
Basicamente estamos tratando de estudiar la reglade los automatas celulares de Chate Manneville des-de 2 perspectivas distintas.
Estudiando su convergencia en terminos de den-sidades con respecto al tiempo. (Metaestabilidad)
Tratando de caracterizar el comportamiento co-lectivo con la definicion de la regla.
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