Conceptos Básicos - Teoría de la Proporción. El Número de Oro

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Osman Villanueva García – [email protected] Página 1

Actividad 2. Conceptos de razón y proporción y el número de oro.

Proporcionamos a los profesores una fotocopia con la presentación de conceptos matemáticorelacionados con las razones y proporciones y el número áureo (página 2 a 5 - de este escrito).

Cada profesor se integra en un equipo de mínimo tres y máximo seis participantes. Cada equipdebe leer detenidamente toda la información y elaborar y escribir en su cuaderno de trabajo 1preguntas y sus respectivas respuestas a partir de la información que les ha proporcionado.

A continuación se organiza un concurso en el que cada equipo preguntará a todos los demás. Eequipo que contesta la pregunta no puede utilizar nada más que su memoria. Cada vez que uequipo acierte una respuesta se anotarán 5 puntos a favor. Si el equipo falla una respuesta sdescontará un punto de su marcador. Tras efectuar varias rondas de preguntas se efectuará uconteo de puntos para obtener al equipo vencedor.

El objetivo de esta actividad es conseguir que todos los profesores participantes con actitupositiva se impliquen y centren toda su atención en la comprensión y asimilación de conceptos habilidades matemáticas a estudiar en la presente actividad.

Para la realización de esta actividad utilizaremos el siguiente material fotocopiado para nuestro

profesores inscritos:




El concepto de razón y proporción es uno de los más intuitivos de la matemática y aparece ediversos contextos y situaciones, por ejemplo en la relación gasto/compra, espacio/velocidad, ....

La formalización de la teoría matemática de las razones y proporciones es debida a los griegosen concreto a la escuela pitagórica, aunque se tienen noticias de ser utilizada por civilizacioneanteriores como la egipcia y la babilónica. En la actualidad, esta teoría impregna numerosoámbitos de la vida cotidiana y científica. En la vida cotidiana, podemos encontrarla en lodescuentos, intereses bancarios, nóminas, IVA, en la misma tienda, supermercado, etc. Dentro dámbito científico, las relaciones de proporcionalidad se encuentran con gran frecuencia en mayoría de las leyes de la Naturaleza: velocidad de un objeto en movimiento uniforme, relacióentre presión, volumen y temperatura de un gas, etc.

Razón es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse de domaneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallar cuantas vece

contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que existan dos clases de razones: razóaritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.

Los antiguos griegos creían que la proporción era esencial para conseguir belleza. Por esestudiaron las proporciones geométricas y algunas especiales, como la razón áurea, comveremos a continuación.

Vamos a formalizar estos conceptos matemáticos. Denominamos razón de dos cantidades A y de igual o distinta magnitud, al número que expresa la medida de la primera cuando se toma

segunda como unidad. Se escribe B

A. El término A se llama “antecedente ” y el B “consecuente

La razón inversa de una cierta razón es la que se obtiene al trasponer sus términos:

Razón B

ARazón inversa:

A

B

Una proporción es un tipo especial de ecuación. Es un enunciado de igualdad entre dos razoneLas proporciones se escriben en tres formas diferentes:

15

12

5

4

4 : 5 = 12 : 15 4 : 5 : : 12 : 15

Y se leen así: “4 es 5 como 12 es a 15 ”.

El primer término y el último se llaman extremos . Los dos de en medio se llaman medios.

En la proporción: a : b = c : d, a y c son los antecedentes; b y d son los consecuentes; a y d loextremos; b y c los medios. Cada uno de los cuatro términos se llama cuarta proporcional .




Hay dos clases de proporciones geométricas:

Proporción discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales; 4 : 5 = 12 : 15 Proporción continua, que es aquella en que los medios son iguales; 20 : 10 = 10 : 5

Cuando en una proporción los medios son iguales reciben el nombre de media proporcional , eel ejemplo anterior 10 es la media proporcional.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos; es decir,

Sid

c

b

a , entonces cbd a

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Dos magnitudes son proporcionales cuando multiplicando o dividiendo una de ellas por unúmero, la otra queda multiplicada o dividida (o viceversa) por el mismo número. Los dos tipos dmagnitudes proporcionales son: Directas e Inversas.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES son dos magnitudes tales qumultiplicando una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número dividiendo una de ellas por el mismo número, la otra queda dividida por el mismo número.

Son magnitudes directamente proporcionales:

El tiempo y las unidades de trabajo realizado El número de cosas y el precio cuando se paga a razón del número El peso y el precio de una mercancía, cuando se paga a razón del peso El tiempo de trabajo y el salario de un obrero El espacio con la velocidad, si el tiempo no varia El número de obreros empleados y el trabajo realizado

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES son dos magnitudes tales qumultiplicando una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número dividiendo una de ellas por el mismo número, la otra queda multiplicada por el mismo número.

Son magnitudes inversamente proporcionales:

El número de obreros empleado y el tiempo necesario para hacer una obra Los días de trabajo y las horas diarias que se trabaja La base con la altura en los problemas de geometría (si el resultado permanece fijo, ya se

la superficie, el perímetro o el volumen) La velocidad y el tiempo empleado en recorrer una distancia.




Divina proporción – razón aurea

La divina proporción o proporción áurea, expresada mediante el número de oro (Ф), se encuentrescondida en numerosos elementos de la naturaleza como las conchas de los moluscos, ramificación de los árboles, la configuración de las hojas en los tallos de las plantas, las pipas dlos girasoles o en la conformación del nautilus e incluso en la configuración de las galaxiaespirales. Ya desde la antigüedad este fenómeno no pasó inadvertido y fue estudiado por lomatemáticos, científicos y artistas más importantes de todas las épocas. Su pretensión no sólo e

descubrir los secretos de esta proporción sino también aplicarla a sus propias creaciones paalcanzar así la belleza ideal, las obras más armónicas y perfectas que pudieran concebirse.

Los egipcios descubrieron la proporción áurea por análisis y observación del entorno, sin embargsu hallazgo escrito data de la Grecia clásica y el primer libro en donde aparece mencionado es e“Los elementos de Euclides ” (S. IV - III a.c.), libro fundamental para la geometría y lamatemáticas en general ya que constituye una enciclopedia de los axiomas, principios y saberede las matemáticas. Euclides habló de un punto que dividía un segmento de recta en dosegmentos desiguales, de tal forma que este punto estuviese situado donde crease una mismproporción entre el segmento mayor y el menor y entre el total del segmento y el mayor, es decque “el todo es a la parte como la parte es al resto ”. Euclides en su obra le llama “extrema

media razón ”, Luca Pacioli en el S. XV es quien lo nombra “divina proporción ”, mientras quLeonardo da Vinci lo denomina “número de oro ” y, ya en el S. XX, Mark Barr propone llamarlo p(Ф) en honor al arquitecto griego Fidias (Phidias), constructor del Partenón de Atenas. Ahora bieun rectángulo áureo se dice es armónico si sus lados están en proporción áurea, es decir, a razó(1 : Ф). Este rectángulo aparece en muchos fenómenos naturales, diversas creaciones artísticasantiguas construcciones.

Para encontrar el número de oro (Ф), comenzaremos por dividir un segmento de recta cualquieen dos partes desiguales de la forma más general y directa posible. Dado el segmento AB

a b

A C Bc

podemos formar seis razones con las medidas a , b , c . Después de estudiar los quince casoposibles de proporción que se pueden formar igualando dos razones cualesquiera de ellas, sllega a la conclusión de que dicha división, llamada extrema y media razón por Euclides, consisen hacer que el segmento mayor “a ” sea a al menor “b ” como el total del segmento de recta “c ” eal mayor “a ”.




Es decir, la proporción divina está dada por:

a

ba

b

a

.

Si denotamos a la razón aurea xb

a , entonces:

a

b

a

a

b

a es equivalente a:

x x

11

12

x x (multiplicando por “x ”)

012

x x (ecuación cuadrática de la forma 02

C Bx Ax )

Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son (compruébalo):

= ...6180339,12

51

´= ...6180339,0

2

51

Debido a que los griegos sólo conocían los números racionales (cociente de dos número

enteros), les dejó perplejos encontrarse con los números 2 (es la medida de la diagonal de u

cuadrado de lado 1) y2

51 que no podían escribirse como cociente de números enteros. A esto

extraños números para ellos les llamaron irracionales .

El número de oro posee curiosas e importantes propiedades matemáticas . Como muestseñalaremos que:

. ´= -1

+ ´= 1 (compruébalo)

De tal forma que si a este número se le disminuye en 1 se convierte en su recíproco, es decir:

-1 =1/ siendo este el único número que verifica esta propiedad.

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