6. Concurrencia de rectas.

Rectas concurrentes: es un número de rectas que tienen exactamente un punto en común.

Teorema 1: los tres bisectores de los ángulos de un triángulo son concurrentes.

Los bisectores del ángulo BAC y el ángulo ABC se intersectan en el punto E. Debido a que el bisector de ángulo del ángulo BAC es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo BAC, se sabe que EM es congruente con EN. De manera similar, se sabe que EM es congruente con EB porque E está en el bisector de ángulo del ángulo ABC.

Por la propiedad de congruencia transitiva se tiene que EP es congruente con EN. Debido a que el bisector de ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo, se sabe que E también está en el bisector del tercer ángulo, el ángulo ACB. Por lo tanto, los bisectores de ángulo son concurrentes.

Teorema 2: Los tres bisectores perpendiculares de los lados de un triángulo son concurrentes.

Circuncentro: El punto en que coinciden los bisectores perpendiculares de los lados de un triángulo.

Circunscrito: Es el centro del círculo.

Teorema 3: La tres alturas de un triángulo son concurrentes.

Sean FS los bisectores perpendiculares de los lados BC y AC, respectivamente. Usando el segundo teorema de la sección 5, el punto de concurrencia F es equidistante de los puntos extremos de BC; por tanto BF es congruente con FC. De la misma manera, AF es congruente con FC. Por la propiedad transitiva se deduce que AF es congruente con BF, F debe estar en el bisector perpendicular de AB, porque este punto equidista de los puntos extremos de AB. Por tanto, F es el punto de concurrencia.

En el ∆MNP, para comprobar que las alturas son concurrentes se requiere

1. Que se tracen líneas auxiliares a través de N paralela a MP, a través de M paralela a NP y a través de P paralela a NM.

2. Que se demuestre que las alturas del ∆MNP son bisectores perpendiculares de los lados del ∆RST recién formado; por lo tanto las alturas PX, MY y NZ son concurrentes.

Teorema 4: las tres medidas de un triángulo son concurrentes en un punto que está a dos tercios de la distancia desde cualquier vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

Centroide: es el punto de concurrencia de las tres medianas del triángulo.

Las medianas del ∆RST tienen las longitudes RM = 12, SN = 15 y TP = 18. Si el centroide del ∆RST es el punto C, encuentre la longitud de:

a) RC = 2/3(RM), entonces RC = 2/3(12) = 8.

b) CM = RM – RC, entonces CM = 12 – 8 = 4.

c) SC = 2/3(SN), entonces SC = 2/3(15) = 10.