Ixx

C.G

UBICACIÓN DEL TEMA

Integral definida

b

a

dxf(x)

Teoremas F.del CIntegral (R.Barrow)

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

SteinnerSteinner

Varignón

GEOMÉTRICAS FÍSICAS

integral indefinida

f(x).dx

y = f (x)

derivada de una funciónf’(x)

APLICACIONES

lim f (x)x0

continuidad

T.GuldinT.Guldin

Se desea cubrir el contrafrente

del galpón cuya sección y

medidas se indican. Determine

el costo de hacerlo, si se

utilizarán chapas que cuestan

$35. el m2.

2m

SITUACION PROBLEMÁTICA

SITUACION PROBLEMÁTICA

Se desea colocar una mampara vidriada en los accesos a la pérgola que se indica. La forma, sección y medidas se indican el croquis que se adjunta. Determine la cantidad de vidrio necesario (m2)

En el terreno libre de la FAU, adyacente a los talleres, se va a construir un

galpón que servirá de depósito de los elementos empleados en el Proyecto

Bambú. Se desea cubrir con chapas el contrafrente del galpón, cuya

estructura de cubierta está formada por arcos de filigrana con arco superior

de forma parabólica. De acuerdo al análisis de necesidades, las medidas

adecuadas son las indicadas en el gráfico.

Se pide que calcule, en m2 , la superficie a cubrir.

8m

3m4m

cg2

AREA DE UNA REGIÓN PLANA

y= f(x)

x=bx0

c1 xici cn

c2x1 xnxi-1

x=a

f(c1)f(c2)

f(cn)

R

x1 x2 xi xn

f(ci)f(xi-1) f(xi)

2

Sea una función f continua y positiva en

el intervalo cerrado [a,b], la medida del

área de la región R del plano, acotada por

la grafica de la función y = f(x), el eje x y

las rectas x = a y x = b está dada por

b

adxxfA ).(

a b

y=f(x)

PDiapositiva 5

ÁREA ENTRE CURVAS

El área de la región encerrada por las

funciones y= f(x) y y= g(x) en el

intervalo cerrado [a,b] está dada por

b

a

dxxgxfA .)()(

y=f(x)

y=g (x)

a b x

f(x)-g(x)

x

y

A .M

CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANAMasa de la sección plana

V .MMasa de la sección plana Densidad

Medida del áreade la región plana R

Momento de masa

yMM x . xMM y .

CENTROIDE DE LA REGIÓN PLANA

M

My x

M

Mx y

x

y

M

ii x . f(ci) . A . iM

x . f(ci) .n

1i M

dx )( .b

a xfM

xi

f(ci)

a b

y=f(x)

M

Masa de la región plana

f(ci) 2

1.. i iii MyMMx

x . f(ci) .2

1 n

1i

2 xM dx )( .2

1b

a

2 xfM x

xi

f(ci)

Momento de masa

iii xcifxcifMx .)(.2

1f(ci)

2

1.).(. 2

dx )(. .b

a xfxM y

CENTROIDE DE LA REGIÓN PLANA

yi

a b

y=f(x)

x

y

b

a

b

ay

dxxf

dxxfx

M

Mx

)(.

)( .

b

a

dxxfxA

x )(.1

b

a

b

ax

dxxf

dxxf

M

My

)(.

)(.2

1 2

b

a

dxxfA

y 2)(2

1

Determine, aplicando

integrales, el centro de

gravedad de una viga de

sección triangular de base

b y altura h. Verifique con

geogebra.

Determine, aplicando

integrales, el centro de

gravedad de una viga de

sección triangular de base

b y altura h. Verifique con

geogebra.

•Ecuación de la recta que determina la sección plana:

•Medida del área de la sección plana:

hxb

hy

2

.hbA

)(.1b

a

dxxfxA

x )(2

1 2b

a

dxxfA

y

INTEGRALES

GEOMETRÍA

. b.h

2

b

0

dxxb

hhxx

b.h

1

b

0

2

dxxb

hhy

b

hh

bh

b

3

.3

x

2

.2

x

2

0

b 3

1 x

h 3

1 y

23

2.

3x

2.

2h2

1

0b

h

b

xxh

bh

b

TEOREMA DE VARIGNÓN

El momento estático de la resultante de dos o mas fuerzas

concurrentes respecto a un punto contenido en el plano de las

mismas, es igual a la suma algebraica de los momentos estáticos de

las fuerzas componentes con respecto al mismo punto.

221.1 .F F . xxxR

Si consideramos que F = A ya que la densidad es constante y trabajamos con secciones planas de área A podremos emplear la expresión de Varignón para encontrar el CENTRO DE GRAVEDAD de figuras planas:

n

n

iA

ixiA

gx

1

1

.

n

n

iA

iyiA

gy

1

1

.

F1

F2

R=F1+ F2x1

x2

x

x1

x2

cmgx 86,31612

6).2.8(1.6.2

cmgy 86,11612

1).2.8(3.6.2

TEOREMA DE STEINER

El momento de inercia de un sólido rígido

respecto a cualquier eje paralelo a un eje

que pasa por el centro de masa, es igual

al momento de inercia con respecto al

eje que pasa por el centro de masa más

el producto de la masa por el cuadrado

de la distancia entre los dos ejes:

2m.d gI xxI

En el caso de secciones rectangulares:

d

x

x

bh

d

x

x2A.d gI xxI

2b.h.d 12

3b.h xxI

Al momento de inercia es un concepto de gran importancia en toda

consideración analítica-estructural. Es un valor dependiente de su

sección en función de su posición, tamaño y forma de la misma y

determina su capacidad de resistencia a la deformación elástica.

Si consideramos dos secciones de igual área pero apoyadas de distinta forma:

10

40

20

20

La sección colocada de canto será capaz de soportar mayor carga porque su

forma es mas apta para el trabajo de flexión.

INTEGRAL DEFINIDA

ix).

n

1i if(c

nlim

b

adxxf )(

Sea una función f definida en el intervalo

cerrado [a,b], la INTEGRAL DEFINIDA de f

en [a, b] simbolizada por

está dada por:

Si el límite existe

b

a

dxxf )(

y

y=f(x)

0 a b x

SEG

UN

DO

TEO

REM

A

FUN

DA

MEN

TA

L D

EL

CÁ

LCU

LO

Si f es una función continua en el intervalo [a,b]

y F(x) es una primitiva particular de f(x) en [a , b]

entonces

F(a) F(b)f(x)dxb

a