Fonaments Matematics 1

Propietats basiques conegudes (Batxillerat)

1. Trigonometria

(a) Per a qualsevol angle x, es compleix que −1 ≤ sin(x) ≤ 1 i que −1 ≤ cos(x) ≤ 1.

(b) tan(x) = sin(x)cos(x) , cotan(x) = cos(x)

sin(x) , sec(x) = 1cos(x) , cosec(x) = 1

sin(x) .

(c) sin2(x) + cos2(x) = 1 per a qualsevol angle x.

(d) Els angles s’expressen en radians: 180o = π radians. Per tant, 30o = π/6, 45o = π/4,60o = π/3, 90o = π/2, 360o = 2π, etc.

(e) sin(0) = 0, sin(π/6) = 1/2, sin(π/4) =√

2/2, sin(π/3) =√

3/2, sin(π/2) = 1. Elscosinus es poden deduir del valor dels sinus i de la formula (c). Per exemple, cos(π/4) =√

2/2, cos(π/6) =√

3/2, etc.

(f) Els valors dels sinus i els cosinus dels angles del segon, tercer i quart quadrant es podendeduir visualment si es coneixen els valors dels angles del primer quadrant, i teninten compte els signes. Per exemple: amb un dibuix es veu clarament que sin(240o) =− sin(60o), i per tant sin(240o) = − sin(π/3) = −√3/2.

(g) Les funcions inverses del sinus, cosinus i tangent son, respectivament, arcsin, arccos iarctan. Aquı l’expressio invers del sinus no vol dir 1/ sin, sino que te el seguent significat:com que sin(π/2) = 1, llavors arcsin(1) = π/2. Mes exemples: com que cos(π/3) = 1/2,llavors arccos(1/2) = π/3; com que tan(π/4) = 1, llavors arctan(1) = π/4. Dit d’unaaltra manera, π/2 es l’angle que te 1 com a sinus, π/3 es l’angle que te 1/2 com a cosinus,i π/4 es l’angle que te 1 com a tangent.

2. Potencies

(a) b0 = 1 per a qualsevol nombre real b.

(b) Si b > 0, llavors bp > 0 per a qualsevol nombre real p.

(c) bp+q = bp · bq

(d) bp−q = bp

bq

(e) b−p = 1bp

(f) bp/q = q√

bp

3. Logaritmes

(a) El logaritme en base b de x, logb(x), es l’exponent al qual cal elevar b perque el resultatsigui x. Per exemple, log2(8) = 3.

(b) ln(x) es llegeix logaritme neperia i es equivalent a posar loge(x), on e es el nombree = 2.718281828 . . .

(c) logb(x) nomes te sentit si x > 0.

(d) logb(1) = 0 per a qualsevol base b.

(e) logb(x · y) = logb(x) + logb(y)

(f) logb(x/y) = logb(x)− logb(y)

(g) logb(xy) = y · logb(x).

1

(h) (util per a la calculadora) logb(x) = logc(x)/ logc(b). Exemple: la calculadora no te captecla per calcular logaritmes en base 4, pero sı una tecla per calcular logaritmes en base10. Llavors, log4(9) = log10(9)/ log10(4) = 1.584962501.

4. Derivades

(a) Si k es una constant, llavors (k · f(x))′ = k · f ′(x)

(b) (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)

(c) Si f(x) = xp llavors f ′(x) = p · xp−1. Exemple: (3x7)′ = 21x6.

(d) Si f(x) = sin(x) llavors f ′(x) = cos(x)

(e) Si f(x) = cos(x) llavors f ′(x) = − sin(x)

(f) Si f(x) = ex llavors f ′(x) = ex

(g) Si f(x) = ln(x) llavors f ′(x) = 1/x

(h) Si f(x) = arcsin(x) llavors f ′(x) = 1/√

1− x2

(i) Si f(x) = arccos(x) llavors f ′(x) = −1/√

1− x2

(j) Si f(x) = arctan(x) llavors f ′(x) = 1/(1 + x2)

(k) Si a qualsevol de les anteriors formules es reemplaca x per una funcio g(x), llavors ala formula resultant hi apareix multiplicant la derivada g′(x). Exemple: (3 sin7(x))′ =21 sin6(x) · cos(x); un altre exemple: (ln(x3))′ = 1

x3 · 3x2.

(l) (f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

(m) (f(x)g(x) )

′ = f ′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2

. Exemple:

(tan(x))′ =(

sin(x)cos(x)

)′=

cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)cos2(x)

=cos2(x) + sin2(x)

cos2(x)=

1cos2(x)

(n) Consulteu qualsevol taula de derivades (bibliografia de Batxillerat, Internet) per saberles derivades d’altres funcions mes complexes.

2