Conferencia 3. Teoría Electromagnética Parte B: Ondas Sinusoidales en medios con y sin pérdidas...
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Conferencia 3. Teoría Electromagnética
Parte B: Ondas Sinusoidales en medios con y sin pérdidas
Tomado del material preparado por el Dr. Ricardo Mediavilla para el curso TEEL 4051
y adaptado por el
Prof. Jaime José Laracuente-Díaz para el curso TEEL 2013
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ONDA SINUSOIDAL EN UN MEDIO SIN PÉRDIDAS
Tema:
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Medio sin pérdidas• Un medio es lossless o sin pérdidas si la amplitud de la
onda no es atenuada cuando ésta se propaga a través del medio.
• En la realidad, un medio sin pérdidas no existe.
• Sin embargo, si las pérdidas por unidad de propagación son pequeñas, es posible, como aproximación razonable, descartar dichas pérdidas en nuestro análisis.
• Además, el caso real con pérdidas es aún más complejo de analizar que el caso sin pérdidas.
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Ejemplo de descripción matemática de onda sinusoidal en medio sin pérdidas:
y(x,t) = A cos( 2πt/T – 2 π x/λ + φ0 ) = A cos φ(x,t)
A es la amplitud de la onda.T es el período de la onda.λ es el largo de onda de la onda. es la fase de referencia = constante. (x,t) es la fase de la onda0
Nota: Este curso es de grado asociado, así que no trabajamos la matemática de este tipo de función que depende de dos variables.
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Onda sinusoidal en medio sin pérdidas
• La siguientes figuras muestran la gráfica de y(x,t) para el caso en que φ0 = 0.
• Figura (a) muestra el caso en que t = 0, x variable
• Figura (b) muestra el caso en que x = 0, t variable
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Onda sinusoidal en medio sin pérdidas
• De las 2 anteriores gráficas podemos observar que a lo largo del eje de x la onda se repite cada λ metros, y que a lo largo del eje de t la onda se repite cada T segundos.
λ es el largo de onda.T es el período de la onda.
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Onda sinusoidal en medio sin pérdidas
• Aquí la onda está en su posición y tiempo inicial.
• Aquí la onda ya se desplazo y han transcurrido T/4 segundos.
• Aquí la onda se ha desplazado mas y han transcurrido T/2 segundos.
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Velocidad de propagación de la onda sinusoidal en medio sin perdida
• Note que el punto P se desplazo desde λ hasta 3λ/2 en T/2 segundos.
• Por lo tanto recordando que velocidad es distancia entre tiempo (v=d/t) y luego de utilizar calculo diferencial en la expresión de y(x,t) tendremos la velocidad de propagacion de la onda definida como:
]/[ smT
u p
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Velocidad de propagación de la onda sinusoidal en medio sin perdida
• Recuerde su curso de electricidad que:
• Por lo tanto la velocidad de fase también se define como:
][1
][1
sf
TyHzT
f
]/[ smfu p
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Ejemplo
• Para una velocidad de fase constante, si λ aumenta (como en el caso del instrumento bajo) entonces f disminuye.
• Si λ disminuye (como en el caso del violín), entonces f aumenta.
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Ecuación de una onda sinusoidal
• La ecuación de una onda sinusoidal también es comúnmente expresada de la siguiente forma:
y(x,t) = A cos( 2πt/T – 2πx/λ+ φ0 ) = A cos(ωt – βx + φ0 )
donde• ω = 2πf = 2π/T = velocidad angular en rad/seg• β = 2π/λ = constante de fase o wavenumber en rad/m
(Nota: los rad de las unidades es arbitrario.) • φ0 es la referencia de fase.
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Referencia de Fase
• ¿Qué papel juega φ0?– φ0 positivo indica que la onda se adelanta con
respecto al caso de φ0 = 0.
– φ0 negativo indica que la onda se atrasa con respecto al caso de φ0 = 0.
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Ejemplo: Ilustración de Ondas Sinusoidales con distintos valores de Referencia de Fase
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ONDA SINUSOIDAL EN UN MEDIO CON PÉRDIDAS
Tema:
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Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas
• Este es un caso mucho más real en donde la onda se atenúa según se propaga.
• Una onda viajando a través de un medio con pérdidas observará que su amplitud se atenúa conforme a e-αx.
• Este factor de e-αx se conoce como el factor de atenuación.
• α es la constante de atenuación y sus unidades son nepers/metro (i.e. N/m). (Nota: en realidad las unidades deberían ser 1/m. La unidad de nepers es arbitraria.)
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Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas
• Ecuación de onda de 1 dimensión:
y(x,t) = A e-αx cos(ωt - βx)
• La amplitud de la onda ya no es A. Ahora es A e-αx .
• Según x -> infinito, la amplitud -> 0.
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Ejemplo de onda propagándose en un medio con pérdidas:
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Referencias
• http://en.wikipedia.org• http://www.prtc.net/~rmediavi/TEEL%204051.htm