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Confl ictos semióticos asociados con la noción de integral defi nida

ARJÉ Revista de Postgrado FACE-UC. Vol. 7 Nº 13. Julio-Diciembre 2013 / 481-492

CONFLICTOS SEMIÓTICOS ASOCIADOS CON LA NOCIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA

Recibido: 18/07/2013 Aceptado: 17/09/2013

Carolina Vanegas Rodríguez

RESUMEN

Esta investigación tiene como propósito producir una refl exión sobre los confl ictos semióticos asociados con la integral defi nida detectados en los estudiantes de Matemática II (FaCES-UC). Teóricamente el estudio se basó en el enfoque ontosemiótico de la instrucción matemática. Metodológicamente, se combinó el estudio documental y cualitativo en la faceta epistemológica con el análisis ontológico-semiótico. El contenido de las prácticas revelan que los agentes interpretantes tienen como signifi cado de la integral el área bajo una curva, que responde exclusivamente a la interpretación geométrica. Se concluyó que la interferencia entre la faceta extensiva (problemas en los que la integral está implicada) y la faceta intensiva (la noción de integral como el límite de una suma infi nita) favorece la aparición de confl ictos semióticos.

Palabras clave: confl icto semiótico - integral defi nida - signifi cado

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ARJÉ Revista de Postgrado FACE-UC. Vol. 7 Nº 13. Junio-Diciembre 2009 200481-492

SEMIOTICS CONFLICTS ASSOCIATED TO THE NOTION OF DEFINED INTEGRAL

ABSTRACT

This research is intended to produce a reflection on semiotic conflicts associated with the defined integral, detected in students of Mathematics II (FaCES-UC). Theoretically, the study was based on the onto semiotic approach of Math instruction. Methodologically, it was combined the qualitative study together with the epistemological analysis. Results show that interpreters have as comprehensive meaning of the area under a curve, which responds only to a geometric interpretation. It was concluded that interference between both aspects, the extensive (problems in which the integral is involved) and intensive (the notion of integral as the limit of an infinite sum) facets, favors the emergence of semiotic conflicts.

Key words: semiotic conflict - definite integral - meaning.

Introducción

El objetivo de esta investigación es el de reflexionar sobre los conflictos semióticos puestos en juego por los estudiantes de la asignatura Matemática II de las carreras de Administración Comercial y Contaduría Pública de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo, al aprender el concepto de integral definida. Este objeto matemático es de especial importancia porque interviene en muchos problemas que implican movimiento, velocidad, crecimiento de poblaciones, áreas de regiones planas, excedente de la demanda y de la oferta entre otros. De allí la necesidad de proporcionar a los alumnos la mayor solidez en el conocimiento y manejo de este constructo matemático. Si un tipo de malentendido se manifiesta en un número considerable de estudiantes de manera persistente durante los procesos de negociación de significados, parece razonable pensar que su origen se debe buscar en los propios saberes que se pretenden impartir y no tanto en los alumnos. Un malentendido sistemático es señal inequívoca de la comprensión incorrecta

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Conflictos semióticos asociados con la noción de integral definida


de un objeto matemático, por lo que el análisis de los conflictos semióticos puede dar información sobre los puntos críticos o los factores condicionantes de los actos de semiosis en los que se debe incidir para mejorar el proceso socio-instruccional.

¿Por qué se escogió la integral definida para realizar esta investigación?

a) Es un constructo matemático con un alto grado de complejidad ontológica y semiótica, dada su naturaleza dual objeto-proceso, evidenciada en más de una ocasión por la investigación internacional (Contreras (2005), González (2005) y Aldana (2011)). La expresión integral tiene dos acepciones semánticas en el cálculo. El significado fundamental indica la totalidad de algo, el acumulado o la suma de partes. La segunda significación que tiene en matemática es la de encontrar una función llamada primitiva conociendo su derivada. En el primer caso la integral es considerada como un objeto, mientras que en el segundo caso es un proceso.

b) Porque permite evaluar la transición del pensamiento matemático elemental al pensamiento matemático avanzado (Tall, 1992), lo cual implica la ejecución de distintos niveles de abstracción y generalización.

c) Es fundamental para la modelización matemática de la función de densidad de probabilidad, clave en el curso de estadística inferencial que forma parte del currículo de las dos carreras antes mencionadas.

Objetivo General

El objetivo del estudio es producir una reflexión sobre la disparidad de significados personales e institucionales asociados con la integral definida.

Objetivos Específicos

Para lograr el objetivo general se plantearon los siguientes objetivos específicos:

1) Explicar el fundamento teórico de los conflictos semióticos implicados en la comprensión de los objetos matemáticos.

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2) Determinar el significado institucional de referencia de la integral definida a partir de algunos textos universitarios comúnmente empleados en los cursos de cálculo para estudiantes de ciencias administrativas y contables.

3) Caracterizar los significados personales de la integral definida en los alumnos cursantes de Matemática II, en función de las praxeologías discursivas y operativas puestas en juego en el proceso de estudio de la integral definida y su aplicación en el cálculo de áreas de regiones planas no acotadas limitadas por curvas en coordenadas cartesianas.

4) Contrastar el significado institucional con el manifestado por los agentes interpretantes para identificar los conflictos semióticos asociados con la integral definida.

Justificación de la investigación

La importancia de esta investigación radica en los siguientes aspectos fundamentales que se señalan a continuación:

1) Epistemológico: porque se pretende contribuir al avance teórico y fundamentación del enfoque ontosemiótico describiendo y explicando los conflictos semióticos asociados a la integral definida.

2) Educativo: con la explicación de las dificultades potenciales de los estudiantes durante el proceso de estudio, así como identificar las limitaciones en la competencia y comprensión matemática para evitar discontinuidades en el proceso instruccional.

3) Metodológico: con la articulación de las redes semánticas (Álvarez y Jurgenson, 2003) con el análisis ontológico-semiótico y así determinar los significados personales e institucionales y su compleja dinámica de interrelaciones.

Antecedentes de la investigación

Para la realización de esta investigación se seleccionaron algunos expertos que, en diferentes momentos y empleando distintos enfoques y aproximaciones epistemológicas, han estudiado las dificultades que tienen los estudiantes en el aprendizaje de la

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integral definida. Turégano (1997) presentó una propuesta didáctica de la integral definida a través de unas secuencias de aprendizaje que ayudan al estudiante a captar las ideas fundamentales del cálculo integral. Por su parte, Cabañas y Cantoral (2005) realizaron una aproximación socioepistemológica de la integral definida con el análisis de la noción de área en la cotidianidad empleando la comparación, medición y conservación.

En relación con la teoría escogida, el primer contacto que tuvo la investigadora con el enfoque ontológico y semiótico de la cognición e instrucción matemática (EOS) fue a través de Ramos (2005). Su estudio se basó en los objetos personales, matemáticos y didácticos de los profesores de la cátedra de Introducción a la matemática de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo para generar cambios institucionales de tal manera de incluir la contextualización de las funciones en dicha asignatura. Otra investigación relevante, empleando el EOS en el ámbito nacional, fue la de Arrieche (2002) quien creó en Venezuela, específicamente en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador, una línea de investigación denominada “Perspectivas del enfoque semiótico-antropológico para la didáctica de la matemática” en donde se han generado importantes estudios empíricos que han ido sustentando teóricamente el EOS y simultáneamente han permitido poner a prueba su utilidad y pertinencia.

El aporte pretendido en esta investigación con respecto a los trabajos citados (además de referirse a un tema diferente, que es la integral definida) es que se dirige al estudio de la disparidad entre las prácticas discursivas y operativas empleando las redes semánticas.

Fundamento teórico

La investigación se basó en el EOS de Godino (2002), un sistema de nociones teóricas elaborado sobre la naturaleza, origen y significado de los objetos matemáticos que desde una perspectiva educativa trata de articular de manera coherente las dimensiones epistémica y cognitiva. Uno de los constructos formulados por Godino es el conflicto semiótico el cual se interpreta como cualquier disparidad, discordancia o desajuste entre los

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significados o contenidos atribuidos a una misma expresión por dos sujetos en interacción comunicativa que provocan dificultades y limitaciones en el proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación de la matemática. Uno de los supuestos de esta investigación es que los significados personales de los objetos matemáticos se van construyendo de forma progresiva, dinámica y no lineal, partiendo de unos significados iniciales al comienzo del proceso y alcanzando unos determinados significados finales. Es decir, el significado personal evoluciona hacia un significado más cercano al significado institucional producto de ciertas autoorganizaciones (Vanegas, 2010).

Metodología

Para investigar los significados personales de los estudiantes respecto a la integral definida se utilizaron las redes semánticas (Álvarez y Jurgenson, 2003), para lo cual los participantes realizaron fundamentalmente dos actividades: (a) Definieron el objeto matemático investigado con diez palabras o frases sueltas y (b) Jerarquizaron dichas palabras considerando la importancia que cada palabra tiene en función del objeto matemático indagado. Una vez organizada la información por frecuencia, se construye un gráfico radial donde se ubican las diez expresiones más utilizadas por los agentes interpretantes. Esa red semántica permite determinar los diversos elementos de significado escogidos para el constructo investigado.

Agentes interpretantes

El subgrupo de agentes interpretantes estuvo conformado por treinta estudiantes de ambos géneros, con edades comprendidas entre los 17 y 35 años, cursantes de la sección 61 de Matemática II, asignatura donde se tratan los contenidos propios de las técnicas de integración y, en particular, los relacionados con la integral definida. La información fue recolectada en el segundo semestre del 2012.

Significado institucional de la integral definida

Para describir el significado institucional de referencia se seleccionaron varios textos de cálculo diferencial e integral

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frecuentemente utilizados en la facultad (Edwards y Penney (1994), Budnick (1990) y Larson et al. (1995)). En todos los libros se indica que desde el punto de vista histórico, la construcción del concepto riguroso de integral está asociado al cálculo de áreas.

En los textos analizados hay un sesgo importante al presentar la integral definida a partir de la suma de Riemann, donde se trata el área de regiones planas, particularmente aquellas delimitadas por el eje horizontal, las rectas verticales que pasan por (a,0) y (b,0) y por la gráfica de la función positiva f(x). Es decir, no se indica que la integral definida es el resultado acumulado de procesos de cambio de distintos fenómenos. Esta situación impide asociar de forma natural la integral definida con la derivada, que estudia el cambio instantáneo. En otras palabras, los autores al darle predominio a la faceta extensiva (la integral definida como el área bajo una curva) sobre la faceta intensiva (la integral definida como el límite de una suma infinita) impiden que el lector establezca en forma intuitiva y no algebraica la relación entre la derivada y la integral, que es lo que en esencia constituye el teorema fundamental del cálculo.

Adicionalmente no se proponen elementos extensivos (ejemplos/problemas/actividades) cuyo objetivo sea la conversión entre los diversos registros de representación semiótica. Por ejemplo: la representación gráfica: usando figuras geométricas; la representación algebraica: aplicando fórmulas de áreas de figuras planas; y la representación analítica: planteando particiones del intervalo, sumas de Riemman y el límite de las sumas.

Significados personales puestos en juego por los estudiantes

En la figura 1 se presenta la red semántica de los descriptores de la integral definida. Para la construcción de este gráfico se les solicitó a los agentes interpretantes que escribieran jerárquicamente diez palabras o frases definidoras de la integral definida. Una vez tabulada toda esa información se escogió la expresión de mayor frecuencia “área” y se le asignó una ponderación del 100%. Le siguió en frecuencia “sumatoria”, que por una simple regla de tres le corresponde una ponderación del 63%, “matemática” 58% y así sucesivamente como se presenta a continuación:

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Figura 1. Representación gráfica de los descriptores de la integral definida

Fuente: elaboración propia a partir de las expresiones jerarquizadas, 2010.

El análisis del gráfico radial indica que los estudiantes:

a) Asocian la noción de integral definida con la interpretación geométrica atribuida a este objeto matemático: medición del área bajo una curva.

b) Evocan procedimientos específicos tales como el cálculo de la primitiva o antiderivada.

c) Relacionan la integral definida con objetos tales como sumatoria, símbolo y cantidad.

d) No tienen claramente delineado el significado de este objeto. Se demuestra ambigüedad al utilizar expresiones como matemática, abstracto, función y secuencia.

Adicionalmente se observó que:

a) La definición de la integral definida la presentaron operacionalmente como la suma de Riemann. El cálculo de la integral definida se realizó mediante una operación algorítmica aplicando la regla de Barrow.

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b) No promovieron la construcción de significados a través de actividades cognitivas fundamentales vinculadas a la semiótica (representación, tratamiento y conversión).

c) No presentaron elementos validativos (demostración formal del teorema fundamental del cálculo)

Conclusiones

Tomando en consideración los resultados obtenidos se establecen como conclusiones esenciales de la investigación:

1) Las redes semánticas articuladas con el análisis ontológico-semiótico fueron una herramienta conveniente para determinar los significados que los estudiantes atribuyen a la integral definida y averiguar las relaciones establecidas con otras expresiones matemáticas. Su análisis indica que el elemento intensivo de la integral definida responde a la interpretación geométrica (una visión bastante restringida de este constructo matemático).

2) La interferencia entre la faceta extensiva (problemas en los que la integral definida está implicada) y la faceta intensiva (la noción de integral definida como el límite de una suma infinita) favorece la aparición de conflictos semióticos.

3) El estudio revela la complejidad de la integral definida y pone en evidencia la importante brecha existente entre el objeto matemático personal manejado por los agentes interpretantes y el objeto matemático institucional introducido. La complejidad se refleja en la variedad y heterogeneidad de significados que en las redes semánticas los estudiantes desarrollaron para esta noción. Esta heterogeneidad tiene que ver con los diversos elementos de significado que se pueden proponer:

n Extensivos: por la variedad de interpretaciones de la integral definida;

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n Ostensivos: por la heterogeneidad de representaciones semióticas;

n Actuativos: por la multiplicidad de procedimientos, algoritmos o estrategias para resolver una integral definida;

n Intensivos: por la pluralidad de relaciones con otros objetos matemáticos;

n Validativos: por la variedad de argumentos para justificar el uso de la integral definida.

Recomendaciones

El conocimiento es inacabado e imperfecto, lo que conduce a la necesaria ampliación del tema objeto de estudio y a la completación de los resultados de esta investigación. Dentro de los elementos considerados en el significado institucional de la integral definida, se realizó una categorización de las formas en que se concibe este objeto y que muestra la complejidad sistémica de esta entidad. Sin embargo, puesto que el significado institucional puede variar de acuerdo al tratamiento que se le da al tema, una extensión de la presente investigación podría ir encaminada a analizar el significado de la integral definida en otras carreras como por ejemplo la licenciatura en matemática o la licenciatura en educación mención matemática.

Referencias

Aldana, E. (2011). Comprensión del concepto de integral definida en el marco de la teoría “APOE”. Tesis doctoral no publicada. Universidad de Salamanca. España.

Álvarez, J. y Jurgenson, G. (2003). Cómo hacer investigación cualitativa. Fundamentos y metodología. México: Paidós Educador.

Arrieche, M. (2002). La teoría de conjuntos en la formación de maestros. Facetas y factores condicionantes en el estudio de una teoría matemática. Tesis doctoral no publicada. Universidad de Granada. España.

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Budnick, F. (1990). Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. México: McGraw-Hill.

Cabañas, M. y Cantoral, R. (2005). La conservación en el estudio del área. Acta latinoamericana de matemática educativa. Vol 19. Pp 727-732.

Contreras, A. (2005). Análisis de significados personales de los estudiantes acerca de la integral definida. Comunicación presentada en el IX Simposio Seiem Córdova. España.

Edwards, C. y Penney, D. (1994). Cálculo con geometría analítica. México: Prentice Hall Hispanoamericana.

Godino, J. (2002). Teoría de las funciones semióticas. Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática. Departamento de la didáctica de la matemática. Universidad de Granada. Disponible: http://www.ugr.es/local/jgodino/indice_eos.ht

González, A. (2005). La generalización de la integral definida desde las perspectivas numérica, gráfica y simbólica utilizando entornos informáticos. Tesis doctoral no publicada. Universidad de La Laguna. Tenerife, España.

Larson, R. et al. (1995). Cálculo y geometría analítica. Vol I. Madrid: McGraw-Hill

Ramos, A. (2005). Objetos personales, matemáticos y didácticos, del profesorado y cambios institucionales. El caso de la contextualización de las funciones en una facultad de ciencias económicas y sociales. Tesis doctoral no publicada. Universidad de Barcelona. España.

Tall, D. (1992). The transition to advanced mathematical thinking: functions, limits, infinity and proof. Handbook of research on mathematics teaching and learning. pp. 495-511

Turégano, P. (1997). El aprendizaje del concepto de integral. Revista Suma. Nov 1997 pp 39-52.

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Vanegas, C. (2010). El conflicto semiótico: Elemento crucial en el sistema de prácticas discursivas y operativas en las que interviene el infinito matemático. Tesis doctoral no publicada. Universidad de Carabobo. Venezuela.

CAROLINA VANEGAS RODRÍGUEZ: Profesora e Investigadora adscrita a la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales. Universidad de Carabobo. Doctora en Educación. Magíster en Ingeniería Industrial. Especialista en Docencia

para la Educación Superior. Ingeniero Químico. Profesora Titular de Matemática II en la Escuela de Administración

y Contaduría. Acreditada como investigadora nivel A en el PEII. [email protected]

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