CONICAS TEORÍA
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LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO
CIRCUNFERENCIADefinición: Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es una constante denominada radio.
Ecuación: Sea C ( ; ) centro r: radio
( ; ) :x y r
r
C CP
CP 2 2
Siendo CP = ( x y ; )
C : ( ) ( )x y r 2 2 2 (1)
En particular si COC (( 0 ; 0 ) ; r ) : x y r2 2 2 ecuación canónica
Desarrollando la ecuación (1) y ordenando se obtiene:
C : x y x y r2 2 2 2 22 2 0 ( ) (2)comparemos esta ecuación con la ecuación general de segundo grado en dos variables: x x y y x y2 2 0 C D F (3)Observaciones: 1) Carece de término rectangular ( B = 0 ) 2) Los coeficientes cuadráticos son iguales y distintos de cero ( A = C 0 )
Veamos ahora si toda ecuación como la (3) que cumpla con 1) y 2) representará una circunferencia, para esto debemos factorear la ecuación: x y x y2 2 0 0 D F
x y x y2 2 0 DA
EA
FA multip. m. a m.
1
completamos trinomios cuadrados prefectos
1
x x y y2 2
4 4 4 4
DA
DA
EA
EA
DA
EA
FA
2
2
2
2
2
2
2
2
factoreamos los trinomios
x y
D2A
E2A
D E AFA
2 2
2
2 2 44
(4)
comparándola con la ecuación (1)
D
2AE
2A
C
D
2AE
2A; y r2 = D E AF
A
2 2
2
4
4La ecuación (4) representará: Una circunferencia si: D E AF2 2 4 > 0 Un solo punto (C)( cfcia. deg.) si: D E AF2 2 4 = 0 No existe l. g. ( cfcia. imag. ) si: D E AF2 2 4 < 0
PARÁBOLADefinición: Dados en el plano un punto fijo, llamado foco, y una recta fija, llamada directriz. Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.Sea F : foco d : directriz P d: ( ; ) ( ;dist dist F ) A la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz se la llama eje focal y es el eje de simetría de la parábola. El punto de la parábolaque esta contenido en el eje focal es el vértice de la parábola: V
PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y DE EJE FOCAL EJE XEcuación:
P dist dist F )
F P
PP
d
xp
xp
y
: ( ; ) ( ;
:
2 2
2 22
elevando m. a m. al cuadrado
2
xp
xp
y
2 2
2 22
desarrollando
x p xp
x p xp
y22
22
24 4
P : y p x2 2 ecuación canónica
Nota: dist dist )( ; ) ( ; d siendo A
p
y2
;
Análisis de la ecuación: y p x 2
Si p < 0 Dom = R0-
Si p > 0 Dom = R0+
Im = R y p x
22 por lo tanto la curva es simétrica con respecto al eje x ( su eje focal )
p : se denomina parámetro de la parábola.Lado recto de la parábola: Es el segmento de perpendicular al eje focal trazada por el foco que tiene por extremos a dos puntos de la parábola: LL’Longitud del lado recto: depende de la forma de la parábola y no de su posición con respecto al sistema.
y p x 2 y p y pp p
L L'( ) ( )2 2LongLL' = 2 p
dist ( F ; d ) = p
PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y DE EJE FOCAL EJE YEs la relación inversa de la anteriorEcuación:
x p y2 2 Dom = R Si p < 0 : Im = R0-
Si p > 0 : Im = R0+
TRASLACIÓN DE UN SISTEMA
Dados los sistemas S = { O ; i ; j } y S’= { O’ ; i’ ; j’ } siendo: i = í’ j = j’
3
x
x´
S S'
S S'O' O'
OP = OO' + O' P
( ; ) ( '; ' )
( ; ) ( ; ; )
''
''
x y x y
xy
xy
x xy y
0 0 0
x xy y''
P y p xS ' : ' '2 2 y p x
22 ( )
4
P
O´
O
y´
y
x´
x
y p x y p2 22 2 2 0 ( )
P x p yS ' : ' '2 2
x p y 2
2 ( ) x x p y p2 22 2 2 0 ( )
0 0 )
0
x x y
x x y
x x y
x y
2
2
2
2
2
2 2
2
0
4 4
4
D F = 0DA
EA
FA
mult. m. a m. por 1A
DA
D EA
FA
Dcompl. trinomio cuadrado perfecto
D2 A
EA
FA
Dfactoreo del trinomio
2
2
Si E = 0 D
2 A = D A F
4 A
2
2
x2 4
Si E = 0 D2 A F > 0 4
5
r x r x14
24
: :
D
2 AD2 A F
4 A2D
2 AD2 A F
4 A2
Si E = 0 D A F = 0 dos rectas coincidentes y paralelas al eje y
D
2 A es el eje focal )
Si E = 0 D A F < 0 no existe lugar geometrico en R
Si E 0 D
2 AEA
D A FA E parabola con vertice en
V D
2 AD A F
A E y eje focal D
2 A
2
2 2
2
2
4
4
44
44
2
x
x y
x
(
;
F y F focos2 constante
dist ( P ;F dist ( P ;FC : centro de simetríaC : punto medio de F F
1 2
1 2
1 2
aE a
02 : ) )
F F siendo1 2( ; ) ( ; )c c c0 0 0 ( ; ) :x y E F F1 2 2 a
cuadrado al m. a m. elevandoy radicalun despejandoexpresión la mossimplifica
2)()( 2222 aycxycx
6
222
2222222
2222222
222222
)(4
44
2)(442
)()(44) (
)(2)(
ycxa
axc
cxcxycxaacxcx
ycxycxaaycx
ycxaycx
ca x a x c y
ca
x c x a x c x c y
ca
x y a c
c a
a c a c a c a c
b a c
ba
x y bb
22 2
2
2
22 2 2 2 2
2
22 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
22 2 2
2
2 2
1
2 2
2 2 0
( )
:
.
,
en el triangulo F F F F F P F
por desigualdad triangular : F P F F F
entonces
llamamos reemplazandolo en la ecuacion
mult. m. a .m por 1
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
xa
yb
2
2
2
2 1
yba a x
x a x a ab b
x y b y b b y by x a x a a y a
2 2
2 2
1 2
1 2
0
0 0 00 0 0
Dom = { RIm = [ es una curva cerrada con centrode simetríaSi verticesSi vertices
/ } [ ; ]; ]
( ; ) ( ; )( ; ) ( ; )
222
abc
:
:
diametro mayor: diametro menor
distancia focal
En el triangulo rectangulo FCB1 1 : a b c2 2 2
yba a c
ba
baL Long LL' =
2 2 2
2 2
eca c a e como para cualquier elipse0 1
ya
xb
2
2
2
2 1
7
xb
ya
2
2
2
2 1
Vé rtices A A
Focos F FDom = Im = [
Relación Pitagórica
Log LL' =2
1 2
1 2
2
( ; ) ( ; )( ; ) ( ; )( ; ) ( ; )
[ ; ]; ]
0 00 0
0 01 2
2 2
2
a ab b
c cb b
a a
a b c
ba
eca
Exa
ybS' :
' '2
2
2
2 1
S x
a
y
b
2
2
2
2 1
Exb
yaS' :
' '2
2
2
2 1
S x
b
y
a
2
2
2
2 1
8
b x a y b x a y b a a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 ( ) a x b y a x b y a b a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 ( )
x y x y
x x y y
2 2
24 4 4 4
C D F = 0 A .C > 0
A DA
DC
EC
EC
D EC
F22
22
2
2 2
AD
2 A CE
2 CD C + E A 4 A C F
A C
Como A.C > 0 entonces el lugar geometrico dependera de (D C + E A 4 A C F)
Si D C + E A 4 A C F > 0 elipse con centro en C D
2 A ;E
2 C
Si D C + E A 4 A C F 0 un punto C D
2 A ;E
2 C
Si D C + E A 4 A C F 0 no existe lugar geometrico en R
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
x y
2 2
4
F y F1 2
dist ( P ; F dist ( P ; F1 2) 2aF F1 2
F F siendo1 2( ; ) ( ; )c c c0 0 0 ( ; ) :x y H F F1 2 2 a
9
( ) ( )
( ) ( )
) ( ) ( )
( )
( )
( )
x c y x c y a
x c y a x c y
x c y a a x c y x c y
x c x c a a x c y x c x c
c x aa x c y
ca x a x c y
ca
x c x a x
2 2 2 2
2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
22 2
22 2
2
2
22 2
2
2
4 4
2 4 4 2
4 44
2
(
2 2 2
2
22 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
22 2 2
2
2
1
2 2
2 2 0
c x c y
ca
x y c a
c a
c a c a c a c a
b c a
ba
x y bb
en el triangulo F F F F F P P F
por desigualdad triangular : F P P F F F
F F F P P F F F F P P F
entonces
llamamos reemplazandolo en la ecuacion
mult. m. a .m por 1
1 2 1 2 2 1
2 1 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1
:
.
,
xa
yb
2
2
2
2 1
yba
x a
x x a a a
2 2
2 2 0Dom = { RIm = R posee centro de simetría
/ } ( ; ] [ ; )
Asintotas oblicuasPara
y m x kx y
m Límyx Lím
ba
x ax
ba Lím
ax
ba
mba
x x x
0 0
12 2 2
2
10
k Lím y mx Límba x a
ba x
ba Lím x a x
ba Lím
x a x x a x
x a x
x x
x x
2 2
2 22 2 2 2
2 2
ba
Límx a x
x a x
ba
Líma
x a x
ba
k
yba
x
yba
x
a y ab y b
abc
x x
2 2 2
2 2
2
2 2
1 2
1 2
0 0
0
0 00 0
222
Asintota
Asintota por simetria )
vertices realesvertices imaginarios
diametro real: diametro imaginariodistancia focal
(
( ; ) ( ; )( ; ) ( ; ):
:
c a b2 2 2
yba c a
ba
baL Long LL' =
2 2 2
2 2
eca c a e 1
ya
xb
2
2
2
2 1
xb
ya
2
2
2
2 1
( ; ] [ ; ) a a
Asintotas:
Vertices reales: AVertices imaginarios:
1
1
yab x y
ab x
a ab b
;
( ; ) ; ( ; )( ; ) ( ; )
0 00 0
2
2
Long LL'=2
Excentricidad:
Relación Pitagórica:
ba
ecac a b
2
2 2 2
11
Hxa
ybS' :
' '2
2
2
2 1
S x
a
y
b
2
2
2
2 1
Hxb
yaS' :
' '
2
2
2
2 1
S
x
b
y
a
2
2
2
2 1
b x a y b x a y b a a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 ( ) a x b y a x b y a b a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 ( )
12
x y x y
x x y y
x y
2 2
2
2 2
4 4 4 4
4
C D F = 0 A .C 0
A DA
DC
EC
EC
D EC
F
AD
2 A CE
2 CD C + E A 4 A C F
A C
Como A.C < 0 entonces el lugar geometrico dependera de (D C + E A 4 A C F)
Si D C + E A 4 A C F 0 hiperbola con centro en C D
2 A ;E
2 C
Si D C + E A
22
22
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 4 A C F 0 dos rectas concurrentes en el punto C D
2 A ;E
2 Cson las asintotas de las hiperbolas anteriores
13