Conjunto ortonormal
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
JONATHAN NARANJOGR4
GRUPO 5
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Vectores Ortogonales
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DEFINICIÓN
• Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno( / ).
• Sean son ortogonales ssi: .
• Si , entonces S se dice ortogonal si todo par de elementos distintos de S son ortogonales
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OBSERVACIONES• El Ov es ortogonal a cualquier vector pues .
• S debe tener por lo menos dos vectores para verificar si es un conjunto ortogonal
• Al comprobar si todos los productos internos son cero entre los vectores de S, para tener un conjunto S de vectores ortogonales.
• Si un conjunto es ortogonal entonces es LI
• Si es ortogonal, si a cada vector le multiplicamos por cualquier escalar, siempre en nuevo conjunto va a ser ortogonal.
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EJEMPLO:• Dados los vectores que son
ortogonales obtener un tercer vector “w” ortogonal a “u” y “v”.
Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector
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Conjunto Ortogonal
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DEFINICION• Un conjunto de vectores es llamado ortogonal,
si cada uno de sus elementos son vectores ortogonales, es decir, que son perpendiculares entre si o que su producto interno es igual a cero.
• Sea (V, K, +, . ) un espacio vectorial, definido con producto interno, T es un subconjunto de V.
T es un conjunto ortogonal si y solamente si:
Para todo vector que pertenezca a T y sean distintos tienen que cumplir que su producto interno sea 0.
• )=0
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Propiedades Conjunto Ortogonal
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PROPIEDADES:
• S es Ortogonal es L.I• S={ß1U1, ß2U2, …, ßnUn} => Es Ortogonal
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Base Ortogonal
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DEFINICIÓN
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno ( / ) y S un sub espacio vectorial de V.Es una base ortogonal si:
• Sea S base de V
• Sean los productos internos de dos a dos ortogonales, es decir todos sus vectores ortogonales entre si.
• Sea LI
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Norma de un Vector
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DEFINICIÓN
• La longitud, norma o modulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto interno del mismo vector.
Es decir:
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OBSERVACIONES• Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se
ha definido el producto interno( / ).
• llamamos desigualdad triangular
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EJEMPLOS :• Calcular la Norma de los siguientes
vectores:– u
•
•
• •
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Conjunto Ortonormal
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DEFINICION:
• Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la vez un conjunto ORTOGONAL y la NORMA de cada uno de sus vectores es igual a 1. Esta definición sólo tiene sentido si los vectores pertenecen a un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interno.
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EJEMPLOS CONJUNTOS ORTONORMALES
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¿CÓMO LOGRAR ORTONORMALIZACIÓN ?
• Usar el proceso de GRAM-SCHMIDT.
• Dada una base ortogonal de un espacio es trivial hallar una base ortonormal a partir de la primera dividiendo cada vector de la base ortogonal original por el valor de su norma.
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Propiedades Conjunto Ortonormal
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PROPIEDADES:
• S es OrtogonalS={w1, w2, …, wn}
• = 1
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Proceso de GRAM-SCHMIDT
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DEFINICIÓN• Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial en un
campo k con producto interno y externo, W es subespacio vectorial de V. DimV =n, entonces W tiene una base ORTONORMAL.
• Todo subespacio V con producto interno tiene al menos una base ortogonal y una base ortonormal.
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• Si S={u1;u2;…;un} es una base de V , entonces W={w1;w2;…;wn} es una base ortogonal donde:
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• Para calcular la base S2 ortonormal partimos de la base S1 ortogonal.
• Sea, S2={r1;r2;…;rn} la base ortonormal buscada, entonces procedemos así:
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Ejemplo: Encontrar una base B1 ortogonal del sub
espacio vectorial W.
Primero encontramos una base de W
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Tenemos S de la forma: B={u1;u2;…un}Ahora aplicamos el proceso de Gram-Schmidt, para en contra una base B1={w1;w2;…wn}
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![Page 29: Conjunto ortonormal](https://reader038.fdocuments.co/reader038/viewer/2022110203/55d181a4bb61eb07328b4726/html5/thumbnails/29.jpg)
Bases Canónicas
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PROPIEDADES
•Todas las bases canonícas son: a) Ortogonales b) orto normales• Esta base tiene siempre que cumplir: a)LI b)Genera a e.v. c)Dim(B) = Dim(e.v.)
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ESPACIO VECTORIAL
BASE CANONÍCA