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A).CURSOSESPECÍFICOSOCOMPLEMENTARIOS
1. LíneaAnálisisNoLinealyEcuacionesDiferencialesParcialesNombredelcurso
ECUACIONESDIFERENCIALESPARCIALES
Descripcióndelcurso
Este es un curso formal de Ecuaciones Diferenciales Parciales, fundamental en unprogramadeestudioparainiciarunDoctoradoenCienciasMatemáticas.Eldesarrollodelostemaslepermitealestudiantecomprenderlarelaciónquehayentrelasmatemáticasy lasciencias físicasode la ingeniería,abordarproblemassemilineales principalmenteelípticosyparabólicosconvaloresenlafronterayresolverlos.
Elprogramasedesarrollaen64horaspresencialesycomprendeunaampliavariedaddetemas de la teoría elemental de Ecuaciones Diferenciales Parciales: orígenes, algunosproblemas aplicados a la física e ingeniería, relación entre los conceptos básicos quedefinen las ecuaciones. Además, se estudian los espacios de Sobolev, la teoría de laecuacioneselípticasde segundoorden y algunasextensiones a la teoríadeecuacionesparabólicas.
Objetivos Objetivogeneral:Alaprobarlaasignaturaelalumnodeberásercapazdecomprenderlosfundamentosdelateoríadeecuacionesdiferencialesparciales.Objetivosespecíficos:1. Comprenderlosfundamentosdelateoríadeecuacionesdiferencialesparciales;2. Aplicar la teoría a problemas concretos provenientes del ámbito de la Física eIngeniería.3. Manejaralgunastécnicasparasolucionarecuacionesdiferenciales.4. Establecerresultadosdeexistenciayunicidaddesoluciones,yotraspropiedadescualitativasdelassoluciones.
Contenidos 1. Algunasecuaciones importantes:Ecuacióndel transporte,EcuacióndeLaplace,Ecuacióndelcalor,Ecuacióndeonda.2. EspaciosdeSobolev:Derivadasdébiles,propiedadeselementales, extensiones,trazas,desigualdadesdeSobolev,Compacidad,Otrosespaciosdefunciones,aplicaciones.3. Ecuaciones elípticas de segundo orden: Soluciones débiles, existencia,regularidad,principiosdelmáximo,valorespropiosyfuncionespropias.4. Ecuaciones Parabólicas de segundo orden: soluciones débiles, existencia yunicidad,regularidad,principiosdelmáximo.
Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos
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contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientode losestudiantes,alcomienzodelcurso, lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldelcursocorrespondeaunpromedioponderadodelasnotasobtenidasenlasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El resto de las actividades definidas por el profesor para la evaluación del estudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Unexamenfinal,elcualdebeserunapruebaescritaacumulativa,elcualincluya
preguntasdeniveldeexamendecalificación.Antiguo:Metodología:Clasesexpositivas,combinadascontécnicasdetrabajogrupal.Evaluación:2Certámenes,6tareasyunaexposicióndelosestudiantes.
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Bibliografía
Básica:1. Evans,L.C.,PartialDifferentialEquations.AmericanMathematicalSociety.1998.2. GilbargT., "Ellipticpartialdifferentialequationsofsecondorder".Springer,Berlin,
Heidelberg,NY,Tokyo1983.Recomendada:1. John,F.,"Partialdifferentialequations".Springer,1982.2. Folland,B.,"Lecturesonpartialdifferentialequations”.Springer.1983.3. Ikeda,W."Stochasticdifferentialequationanddiffusionprocesses".North-Holland,
1983.4. Krylov, V."Nonlinearellipticandparabolicequationsofthesecondorder”.Reidel
1987
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Nombredelcurso
MÉTODOSENANÁLISISNOLINEALPARAECUACIONESDIFERENCIALESPARCIALES
Descripcióndelcurso
Este es un curso formal de Ecuaciones Diferenciales Parciales, que es una continuaciónnatural de un curso básico de esta teoría en un programa de estudio de Doctorado enCienciasMatemáticas. El desarrollo de los temas le permite al estudiante comprender laimportanciadelinealizarecuacionesdiferencialesparcialesno-lineales,abordarproblemasyresolverlos.Elprogramasedesarrollaen64horaspresencialesy comprendeunaampliavariedaddetemas de la teoría elemental de Ecuaciones Diferenciales Parciales No-lineales:Linealización, Técnicas no-variacionales y análisis no-lineal se incorporan para resolverEcuacionesDiferencialesNo-lineales.
Objetivos Objetivogeneral:AlaprobarlaasignaturaelalumnodeberásercapazdecomprenderlosfundamentosdelateoríadeEcuacionesDiferencialesParcialesNo-lineales.Objetivosespecíficos:
1. ComprenderlosfundamentosdelateoríadeEcuacionesDiferencialesParcialesNo-
lineales;2. Aplicar la teoría a problemas concretos provenientes del ámbito de la Física e
Ingeniería.3. ManejaralgunastécnicaspararesolverecuacionesdiferencialesNo-lineales.4. Establecer resultados de existencia y unicidad de soluciones, y otras propiedades
cualitativasdelassoluciones.Contenidos 1. Linealización: Cálculo Diferencial en Espacios Banach, Teorema de la función
implícitaymétodosdecontinuidad,ReduccióndeLyapunov-Schmidtybifurcación2. Teoremas de Punto Fijo: Métodos de orden, Funciones convexas, Convexidad y
Compacidad,Aplicacionesmonótonas.3. Otrastécnicasno-variacionales:Métododesub-ysuper-soluciones,No-existencia:
Blow-up, Identidad de Derrick-Pohozaev, Flujos gradientes, propiedadesgeométricasdelassoluciones
4. Gradotopológicoyaplicaciones:PropiedadesfundamentalesdelgradodeBrouwer
y aplicaciones, El grado de Leray-Schauder, Bifurcación Global, Aplicaciones yextensiones.
Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadeloscontenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Estetrabajosecombinaconotrasmetodologíasmásparticipativas,dondeelactorprincipal
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eselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudioindependienteyexposicionesdeestudiantesacercadetemasespecíficos.
• Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
Encualquiercaso,lasmetodologíascentradasenlaparticipacióndelestudiantenopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:El profesor define y pon en conocimiento de los estudiantes, al comienzo del curso, lasactividadesquedebendesarrollarpara suevaluación, y sus respectivaponderaciónen lanota finaldel curso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7y lanota finaldelcursocorrespondeaunpromedioponderadodelasnotasobtenidasenlasactividades.Dentrodelasactividadesparalaevaluaciónseincluyedosotrespruebasparcialesescritas,cuya ponderación corresponde por lo menos al 70% de la evaluación del curso. Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.Elrestodelasactividadesdefinidasporelprofesorparalaevaluacióndelestudiante,tieneunaponderaciónde, a lomás, el 30%de lanota finaldel curso. Entre estas actividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Unexamenfinal,elcualdebeserunapruebaescritaacumulativa,elcual incluya
preguntasdeniveldeexamendecalificación.ANTIGUO:Metodología:Clasesexpositivas,combinadascontécnicasdetrabajogrupal.Evaluación:2Certámenes,6tareasyunaexposicióndelosestudiantes.
Bibliografía
Básica:1. Chang,K-CH.,MethodsinNonlinearAnalysis.Springer,2005.2. Evans,L.C.,PartialDifferentialEquations.AmericanMathematicalSociety.1998.
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Recomendada:1. S. Kesavan, Nonlinear Functional Analysis, A First Course, Texts and Readings in
Mathematics,2004.
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2. LíneadeOptimización
Nombredelcurso
AnálisisConvexo
Descripcióndelcurso
En este curso se presentan los conceptos básicos del análisis convexo, así como lastécnicasmásutilizadasenelestudiodeproblemasdeoptimizaciónenespaciosdeBanachysusaplicaciones.
Objetivos Objetivogeneral:
Entregarlasherramientasbásicasdeanálisisconvexoysusaplicacionesalaoptimizaciónyelanálisisnolineal.
Objetivosespecíficos:
Elestudiantealfinaldelcursodeberá:
• Aplicar las herramientas del análisis convexo y dualidad a problemas deoptimizaciónyanálisisfuncional(linealynolineal).
• Analizar problemas en cálculo de variaciones y ecuaciones en derivadasparcialesprovenientesdelafísicaatravésdelanálisisconvexo.
Contenidos 1. Propiedadesdeconjuntosconvexos:Convexidadytopología;Interiorrelativo;
TeoremasdeHahn-BanachGeométricos;TeoremadeMazur;Conoderecesión;TeoremadeKrein-Milman.
2. Funcionesconvexas:ContinuidadySemi-continuidadinferior;TeoremadeWeierstrass-Hilbert-Tonelli;ConjugadadeFenchel;Subdiferencial;Cálculosubdiferencial;Condicionesdeoptimalidad;Funciónderecesión;AproximacióndeMoreau-Yosida;Inclusionesdiferenciales.
3. Dualidadenoptimizaciónconvexa:Funcionesdeperturbación;Teoremadedualidad
Fuerte;TeoremadeFenchel-Rockafellar;DualidadLagrangiana;TeoremadeFritz-John;TeoremaMinimax.
4. Algunodelossiguientestópicos:
a. Controlóptimoconvexo;b. Métodositerativos;c. Subdiferencialesdefuncionesnoconvexas;d. Optimizaciónestocástica.
Metodología Los cursos tienen una programación de dos sesiones de cátedra y una ayudantía por
semana.Almenosun70%delasclaseslectivasestáncentradasenlaexposiciónsistemáticadeloscontenidosteóricosdelcursoporpartedelprofesordecátedra(clasespresenciales)yenlaparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actor
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principaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Estudioindependienteyexposicionesdeestudiantesacercadetemasespecíficos.
• Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacionalenelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
Encualquiercaso,lasmetodologíascentradasenlaparticipacióndelestudiantenopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestre.
Evaluación Elprofesordefineyponeenconocimientode losestudiantes,alcomienzodelcurso, lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade0a100(UTFSM)ylanotafinal del curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluyen dos o tres pruebas parcialesescritas, cuyaponderacióncorrespondepor lomenosal70%de laevaluacióndel curso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.Elrestodelasactividadesdefinidasporelprofesorparalaevaluacióndelestudiante,tieneunaponderaciónde,a lomás,el30%de lanota finaldelcurso.Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Unexamenfinal,elcualdebeserunapruebaescritaacumulativa,elcualincluya
preguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:
1. J.Peypouquet,Convexoptimizationinnormedspaces:theory,methodsandexamples.Springer,2015.
2. HBauschke,PCombettes, Convexanalysisandmonotoneoperator theory inHilbertspaces.Springer,NewYork,2011.
3. J.M.Borwein,A. S. Lewis,ConvexAnalysis andNonlinearOptimization. Theory andExamples,CMSBooksinMathematics,Springer-Verlag,NewYork,2000.
4. J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms,Springer-Verlag,Berlin,1993.
Recomendada:
5. H Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations.
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Universitext.Springer,NewYork,2011.
6. R.T. Rockafellar, Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton, NewJersey,1970.
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Nombredelcurso
InclusionesDiferencialesyAplicacionesenOptimización
Descripcióndelcurso
Enestaasignaturaelestudianteconocerálasprincipalespropiedadesdeinclusionesdiferenciales.Entenderáunainclusióndiferencialcomounaextensiónnaturaldeunaecuacióndiferencialordinaria.Aprenderálastécnicasquepermitendeterminarlaexistenciadesolucionesypropiedadesglobalesdelconjuntodesoluciones,ylasaplicaráparaanalizarproblemasdeOptimizaciónConvexayControlÓptimo.
Objetivos Objetivogeneral:
Conocer losconceptosbásicosde las inclusionesdiferencialesyaplicarlosalestudiodeproblemasdeOptimizaciónyControlÓptimo.
Objetivosespecíficos:
Elestudiantealfinaldelcursodeberá:
• Comprenderyutilizarlosconceptosrelacionadosconmultifunciones;• Deducirpropiedadesglobalesdetrajectoriassolucionesdeunainclusiondiferencial
(existencia,compacidad,comportamientoasintótico,etc);• Aplicar el enfoque para encontrar soluciones de problemas de Optimización
Convexa,CálculodeVariacionesyControlÓptimo.
Contenidos 1. Multifunciones:Definiciones,ejemplosypropiedadesdecontinuidadymonotonía;TeoremasdeSelección(medible,continuayLipschitz).
2. Inclusiones diferenciales: Ejemplos (sistema controlados, procesos de arrastre,ecuacióndeEuler-Lagrange,sistemasHamiltonianos);Existenciayotraspropiedadesdelassoluciones;Trayectoriasrelajadas;LemadeGronwallyTeoremasdeFilippov.
3. AplicacionesenCálculodeVariaciones(casoconvexo):Definicióndeproblemadual;SistemasHamiltonianosyexistenciadesoluciones.
4. AplicacionesenControlÓptimo:Existenciadesolucionesóptimasdeproblemasno-lineales;Propiedadesdecontinuidaddelafunciónvalor.
5. Algunodelossiguientestemasa. Inclusióndiferencialgobernadaporunoperadormonótono;b. Viabilidadeinvarianza.
Metodología Los cursos tienen una programación de dos sesiones de cátedra y una ayudantía porsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestáncentradasenlaexposiciónsistemáticadeloscontenidosteóricosdelcursoporpartedelprofesordecátedra(clasespresenciales)yenlaparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.
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• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacionalenelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestre.
Evaluación Elprofesordefineyponeenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanota finaldel curso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade0a100 (UTFSM)y lanotafinaldelcursocorrespondeaunpromedioponderadodelasnotasobtenidasenlasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluyen dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El resto de las actividades definidas por el profesor para la evaluación del estudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Unexamenfinal,elcualdebeserunapruebaescritaacumulativa,elcualincluya
preguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:1. J P Aubin, A Cellina, Differential Inclusions: Set-valued maps and Viability Theory.
Springer-Verlag1984.
2. HBrézis,Opérateursmaximauxmonotonesetsemi-groupesdecontractionsdanslesespacesdeHilbert.North-HollandPublishingCo.,Amsterdam-London,1973.
3. R.Vinter,OptimalControl.BirkhäusenBoston,2000
Recomendada:4. F Clarke, Y Ledyaev, R Stern, PWolenski,NonsmoothAnalysis and Control Theory.
Springer-VerlagNewYork,1998
5. RRockafellar,GeneralizedHamiltonianequations forconvexproblemsofLagrange.PacificJournalofMathematics,33(3):411-427,1970
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3.LíneadeSistemasDinámicos
Nombredelcurso
INTRODUCCIÓNALATEORIAERGODICA
Descripcióndelcurso
AsignaturaqueintroducelosconceptosbásicosdeTeoríaErgódica.Elcursocomienzacondiversosejemplodetransformacionesquepreservanmedidasylasconsecuenciasdinámicasquesepuedendeducirdeestetipodetransformaciones,comoelTeoremadeRecurrenciadePoincaré.Luegosepresentaelconceptodeergodicidad,ysurolfundamentalenlateoríaatravésdelosTeoremasErgódicosyelTeoremadeDescomposiciónErgódica.Finalmenteelcursosededicaalestudiodelaentropíatopológicaymétrica,estableciéndosediversaspropiedadesyconsecuencias,finalizandoconelprincipiovariacionalquerelacionaambosconceptos.
Objetivos PresentarlasherramientasbásicaslaTeoríaErgódicaysuaplicaciónalossistemasdinámicos.
Contenidos 1.Transformacionesquepreservanmedida1.1.EjemplosdeTransformacionesquepreservanmedidas:Rotaciones,ShiftdeBernoulli,TransformaciondeGauss,transformacioneslinealeseneltoro,flujosconservativos,otros.1.2.TeoremaderecurrenciadePoincaré1.3.Existenciademedidasinvarianteparatransformacionescontinuas.1.4.Inducción.TransformacióndeManeville-Pomeau2.Ergodicidad.2.1.TeoremasdevonNeumann,deBirkhoff,Kingman:Enunciados,aplicacionesyejemplos.2.2.Ergodicidadyejemplos:rotacioneseneltoro,shift,transformacióndeGauss,endomorfismosenelToro.2.3.TeoremadeDescomposiciónErgódica.2.4Consecuenciasdelaunicidadergódica.2.5.Transformacionesmixingydecrecimientodelascorrelaciones.3.Entropía.3.1.Entropíatopológicaymétrica.3.2.TeoremasTeoremadeKolmogorov-Sinai,deShannonMcMillanBreimanparalaentropialocal:Enunciados,aplicacionesyejemplos.
3.3.PrincipioVariacionaldelaentropía:Enunciado,aplicacionesyejemplos.Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería.
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• Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temasespecíficos.
• Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.
• Otros.En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cual
incluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:1.Mañé,Ricardo.Ergodictheoryanddifferentiabledynamics.TranslatedfromthePortuguesebySilvioLevy.ErgebnissederMathematikundihrerGrenzgebiete(3)[ResultsinMathematicsandRelatedAreas(3)],8.Springer-Verlag,Berlin,1987.2.Walters,PeterAnintroductiontoergodictheory.GraduateTextsinMathematics,79.Springer-Verlag,NewYork-Berlin,1982.3.Viana,Marcelo;Oliveira,Krerley.Foundationsofergodictheory.CambridgeStudiesinAdvancedMathematics,151.CambridgeUniversityPress,Cambridge,2016.xvi+530pp.ISBN:978-1-107-12696-1
Complementaria:4.Katok,Anatole;Hasselblatt,BorisIntroductiontothemoderntheoryofdynamicalsystems.WithasupplementarychapterbyKatokandLeonardoMendoza.EncyclopediaofMathematicsanditsApplications,54.Cambridge
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UniversityPress,Cambridge,1995.5.Brin,Michael;Stuck,Garrett.Introductiontodynamicalsystems.CambridgeUniversityPress,Cambridge,2002.xii+240pp.ISBN:0-521-80841-36.Einsiedler,Manfred;Ward,Thomas.Ergodictheorywithaviewtowardsnumbertheory.GraduateTextsinMathematics,259.Springer-VerlagLondon,Ltd.,London,2011.xviii+481pp.ISBN:978-0-85729-020-5
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Nombredelcurso
INTRODUCCIONALOSSISTEMASDINÁMICOSDIFERENCIABLES
Descripcióndelcurso
AsignaturaqueintroducelosconceptosbásicosdeSistemasDinámicosdiferenciables,particularmentehiperbólicos.Elcursocomienzaconunarevisióndelateoríacualitativadeecuacionesdiferenciales,ylasprimerasnocionesdedinámicaasociadasaestosobjetosformalizadosenunsegundocapítulodedicadoaformalizarnocionesdedinámicatopológicaypresentarejemplosenelcontextodiscreto.Lasegundapartedelcurso,correspondientealcapítulo3,estadedicadaalateoríalocaldelossistemasdinámicosdiferenciables,dondesemuestrancondetallesalgunosteoremasquedancuentadeladescripciónlocaldeladinámicaalrededorlospuntosfijosyórbitasperiódicashiperbólicas,supersistenciaysuabundancia.Elúltimoterciodelcurso,capítulo4,estádedicadoalestudiodelosconjuntoshiperbólicos,presentandodistintosejemplosylosprincipalesresultadosquedancuentadelaspropiedadesdinámicasdedichosobjetosmatemáticos.
Objetivos Presentarlasherramientasbásicasdeladinámicadiferenciable.Teoríalocalyglobal.
Contenidos 1.Nocionesdelateoriacualitativadelasecuacionesdiferenciales.1.1Sistemaslineales.Clasificación.1.2Equilibrio,estabilidadyconjuntoslimites.TeoremadePoincareBendixon.1.3ConjugaciónyEquivalencia.Puntosfijoshiperbólicos.TeoremadeHartman:EnunciadoyAplicaciones.1.4TransformaciónderetornodePoincaré.Transformacióndetiempo1.Flujodesuspensión.2.Nocionesdedinámicatopológicadiscreta:2.1Puntosperiódicos,transitividad,minimalidad,conjuntoslímites,mixing,conjugación.2.2Ejemplos.Logística,shift,doublingmap,rotaciones,sistemaslineales.2.3Bifurcacionesytransiciónhaciaelcaosenlafamilialogística.3.Teoríahiperbólicalocal3.1.Puntosfijoshiperbólicos.TeoremadeHartman.3.2.TeoremadelaVariedadestable.3.3LemadelaInclinaciónyaplicaciones.3.4.TeoremadeKupka-Smale:Enunciadoeideasdelademostración.4.Conjuntosuniformementehiperbólicos.4.1.Ejemplos:Herradura,Solenoide,difeomorfismosdeAnosov.Morse-Smale.4.2Campodeconosyrobustezdeconjuntoshiperbólicos4.3.Existenciadefoliacionesinvariantes:Enunciadoyejemplos.4.4Expansividad,sombreamiento,estructuradeproductolocal,estabilidaddedifemorfismosdeAnosov.4.5.TeoremadeDescomposiciónEspectralyOmegaestabilidad:Enunciadosyejemplos.4.6ParticionesdeMarkov.Codificaciónydinámicasimbolica.
Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
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• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cual
incluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:1.Shub,MichaelGlobalstabilityofdynamicalsystems.WiththecollaborationofAlbertFathiandRémiLangevin.TranslatedfromtheFrenchbyJosephChristy.Springer-Verlag,NewYork,1987.2.Sambarino,Martín.Hiperbolicidadyestabilidad.InstitutoVenezolanodeInvestigacionesCientíficas,2009.http://evm.ivic.gob.ve/LibroSambarino.pdf3.M.W.Hirsch,S.SmaleandR.L.Devaney,DifferentialEquations,DynamicalSystemsandanIntroductiontoChaos(PureandAppliedMathematics)
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ElsevierAcademicPress(2004).4.Barreira,Luis;Valls,ClaudiaDynamicalsystems.Anintroduction.Translatedfromthe2012Portugueseoriginal.Universitext.Springer,London,2013.x+209pp.ISBN:978-1-4471-4834-0;978-1-4471-4835-737-015.Brin,Michael;Stuck,Garrett.Introductiontodynamicalsystems.CambridgeUniversityPress,Cambridge,2002.xii+240pp.ISBN:0-521-80841-3.6.Robinson,ClarkDynamicalsystems.Stability,symbolicdynamics,andchaos.Secondedition.StudiesinAdvancedMathematics.CRCPress,BocaRaton,FL,1999.xiv+506pp.ISBN:0-8493-8495-837-01.Complementaria:
1.Palis,Jacob,Jr.;deMeloWelington.Geometrictheoryofdynamicalsystems.Anintroduction.TranslatedfromthePortuguesebyA.K.Manning.Springer-Verlag,NewYork-Berlin,1982.2.Katok,Anatole;Hasselblatt,Boris.Introductiontothemoderntheoryofdynamicalsystems.WithasupplementarychapterbyKatokandLeonardoMendoza.EncyclopediaofMathematicsanditsApplications,54.CambridgeUniversityPress,Cambridge,1995.3.Perko,Lawrence.Differentialequationsanddynamicalsystems.(Englishsummary)Thirdedition.TextsinAppliedMathematics,7.Springer-Verlag,NewYork,2001.xiv+553pp.ISBN:0-387-95116-4.4.Sotomayor,JorgeLiçõesdeequaçõesdiferenciaisordinárias.(Portuguese)[Lessonsonordinarydifferentialequations]ProjetoEuclides[EuclidProject],11.InstitutodeMatemáticaPuraeAplicada,RiodeJaneiro,1979.xvi+327pp.5.Dumortier,FreddySingularitiesofvectorfields.MonografíasdeMatemática[MathematicalMonographs],32.InstitutodeMatemáticaPuraeAplicada,RiodeJaneiro,1978.iv+191pp.
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4.LíneadeAnálisisNumérico
Nombredelcurso
ÁLGEBRALINEALNUMÉRICA
Descripcióndelcurso
LosMétodosNuméricoscomprendeneldesarrolloylaimplementaciónyusodealgoritmosnuméricosydesoftwareparalaresolucióndeunproblemafísico,apartirdeunmodelomatemáticodelsistemafísicoencuestión.EstosMétodosNuméricosseimplementanconalgoritmosenmáquinasdecálculocomopuedeserunordenadorpersonalconunsoftwareadecuado.Enestemarco,elálgebralinealnuméricaesunaherramientafundamentalparaeltratamientodesistemasdeecuacioneslinealesgigantesprovenientesdediversosproblemas.Conestoenperspectiva,estaasignaturaesuncomplementonaturaldelcursodemétodosnuméricosparaEcuacionesenDerivadasParciales(EDPs),desumaimportanciaenmuchasáreasdeinvestigacióndentrodelasmatemáticasaplicadas,dadalagrancapacidaddelasEDPSpararepresentarvariadosmodelosmatemáticosdefenómenosdelanaturaleza.Así,estecursoentregaherramientasindispensablesenlaresoluciónnuméricadeproblemasdedistintasáreasdelconocimiento(Biología,Física,Ingeniería,Química,etc.).
Objetivos ObjetivogeneralElobjetivodeestaasignaturaesentregarcompetenciasparadesarrollarunmétododetrabajoyunametodologíalógicaenlaaplicacióndelálgebralinealnuméricapararesolucióndegrandessistemasdeecuacionesprovenientesdediversosproblemasrepresentadosporEDPs.Objetivosespecíficos●Desarrollarlateoríamediayavanzadadelálgebralinealnumérica.●Desarrollarvariadosmétodosnuméricosparaaproximardiferentesproblemasmatemáticos.●AplicarlosresultadosprincipalesdelateoríadelálgebralinealnuméricaagrandessistemasdeecuacionesprovenientesdeproblemaspuntualesdeEDPs.●Representareintegrarconceptosendiferentesformas:numérica,geométrica,analíticayalgebraica.●Reconocerdiversosesquemasnuméricosparaaproximardeterminadosproblemas.●Implementarcomputacionalmenteestosesquemasnuméricos●Procesar,analizareinterpretarresultadosnuméricosyoptimizarestrategiasysoluciones.● Asociar los métodos numéricos como una alternativa de solución de problemasreales.
Contenidos 1.VectoresyMatrices1.1.MatricesyAplicacionesLineales1.1.1.Algunostiposdematrices:Diagonales,Triangulares,dePermutación1.1.2.Aplicacioneslineales1.1.3.Submatrices1.2.ImagenyNúcleodeunamatriz1.2.1.Rangoynulidad1.3.FactorizaciónLU2.NormasdeVectoresyMatrices2.1.NormasdeVectores2.2.1.DefiniciónyEjemplos
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2.2.2.Equivalenciadenormas2.3.NormasdeMatrices2.3.1.Definiciones,EjemplosyPrimerasPropiedades2.3.2.NormasdeMatrizInducidas2.4.SucesionesySeriesdeMatrices3.Valoressingulares3.1.Introducción3.2.MatricesOrtogonalesyUnitarias3.3.Valoressingulares3.4.Propiedadesdelosvaloressingulares3.5.Aproximaciónamatricesdemenorrango3.6.LainversadeMoorePenrose4.Condicionamiento4.1.Condicionamientodeunproblema4.2.Elnúmerodecondiciónparaelproductodematricesyvectores4.3.Lacondicióndelossistemasdeecuacioneslineales5.Proyeccionesybasesortonormales5.1Proyecciones5.2Proyeccionesortogonales5.3ElalgoritmoclásicodeGramSchmidt5.4ElalgoritmomodificadodeGramSchmidt5.5ExistenciayunicidaddelafactorizaciónQR5.6FactorizaciónQRreducidaycompleta5.7UnanálisisexperimentaldelaestabilidaddelosalgoritmosdeGramSchmidt5.8Pérdidanuméricadeortogonalidad6.AlgoritmoQRyelProblemadeMınimosCuadrados6.1LasreflexionesdeHouseholder6.2RotacionesdeGivens6.3Elproblemademınimoscuadrados6.3.1.Lasolucióndelproblemademınimoscuadrados6.3.2.ElproblemademınimoscuadradosylainversaMoorePenrose6.4.Condicionamientoyestabilidaddelosalgoritmosdemınimoscuadrados6.4.1.Condicionamientodelproblemademınimoscuadrados7.Elálgebradelosvalorespropios7.1Valoresyvectorespropios7.2SemejanzaUnitaria7.3Vectorespropiosalaizquierda7.4Matricesunitariamentediagonalizables7.5TeorıadePerturbación7.5.1.Continuidaddelosvalorespropios7.5.2.Localizacióndelosvalorespropios7.5.3.Diferenciabilidaddelosvalorespropiossimples7.5.4.Elnúmerodecondicióndelosvalorespropiossimples8Elproblemadelosvalorespropios8.1ElMétododelasPotencias8.2IteraciónInversa8.3IteracióndelcocientedeRayleigh8.4ElAlgoritmoQRparavalorespropios9.MétododeGradientesConjugados9.1.MétodosdeKrylovypropiedaddeminimización9.2.Consecuenciasdelapropiedaddeminimización9.3.Criteriodedetencióndelprocesoiterativo9.4.Implementacióndegradientesconjugados
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9.5.MétodosCGNRyCGNE10.ElmétodoGMRES10.1.LapropiedaddeminimizaciónparaGMRESyconsecuencias10.2.Criteriodedetención10.3.Precondicionamiento10.4.ImplementaciónbásicadeGMRES10.5.Implementaciónenunabaseortogonal10.5.1.ColapsodeGMRES(Breakdown)10.6.ElalgoritmodeGramSchmidtmodificado10.7.Implementacióneficiente10.8.Estrategiasdereortogonalización
Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode las actividades definidas por el profesor para la evaluacióndel estudiantetiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
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• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cual
incluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:1.Golub&Gérard:“Matrices,momentsandquadraturewithapplications".PrincetonSeriesinAppliedMathematics,PrincetonUniversityPress(December27,2009).2.Golub&VanLoan.“MatrixComputations".JohnsHopkinsStudiesintheMathematicalSciences(Book3),JohnsHopkinsUniversityPress;fourtheditionedition(December27,2012).3.Quarteronietal..:“NumericalMathematics”.TextsinAppliedMathematics(Book37),Springer;2ndedition(November10,2006).4.Stoer&Burlisch:“IntroductiontoNumericalAnalysis".TextsinAppliedMathematics,Vol.12,3ra.Ed.,Spinger,2010.5.Trefethen&Bau:“NumericalLinealAlgebra”.SIAM:SocietyforIndustrialandAppliedMathematics(June1,1997)6.Allaire&Kaber:“NumericalLinearAlgebra”,TextsinAppliedMathematics(Book55),Springer;2008edition(December5,2007).7.Ciarlet:“IntroductiontoNumericalLinearAlgebraandOptimization”,CambridgeTextsinAppliedMathematics(Book4),CambridgeUniversityPress;1edition(August25,1989).Complementaria:Noaplica
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Nombredelcurso
ANÁLISISNUMÉRICODEECUACIONESDERIVADASPARCIALES
Descripcióndelcurso
Asignaturateóricapracticaqueentregalosfundamentosdelosmétodosnuméricosparaecuacionesdiferenciales.Eneldesarrollodelaasignaturaseestudiaránmétodosdeaproximacióndesolucionesdeproblemasdeltipoelíptico,parabólicoehiperbólico,ademásciertasecuacionesaestudiarcomputacionalmenteseránladelCalor,OndayPoisson.Losalgoritmosaimplementarsebasanenelmétododeelementosfinitosasícomodiferenciasfinitas,seestudiaranenparaleloalgunasvariantesdeestosmétodosytemasrelacionadosconelordendeaproximaciónyexactituddelaSolución.
Objetivos ObjetivogeneralElpropósitodeestecursoesproveeralosestudiantesunconocimientoyanálisisdemétodosyherramientaspararesolvercomputacionalmenteproblemasprovenientesdelaingenieríaylacienciasmodeladosporecuacionesdiferencialesparciales.Objetivosespecíficos1.Formularyanalizarproblemasdeecuacionesdiferencialeseningenieríayeconomía.2.Utilizarelmétododeelementosfinitosparalasolucióndeproblemasdeecuacionesdiferenciales.3.Manejodelateoríadeinterpolaciónpararealizarunestudioapropiadodelerrordeaproximacióndemanerateóricayalavezpráctica.4.Utilizarelmétododediferenciasfinitasparalasolucióndeproblemasdeecuacionesdiferenciales.5.Implementaralgoritmosparalaresolucióndeproblemasconcretos
Contenidos 1.Introducciónynocionesbásicas.Problemamodelo,revisiónespaciosdeSobolev,TeoríadeTrazas,inclusiones.2.ProblemasdeFronteraelípticos.Ejemplos(ProblemasdeDirichlet,NeumannyMixtos).Problemasvariacionalesabstractos,Existenciayunicidad,LemadeLax-Milgram.EstimacióndeCea.3.AproximaciónusandoElementosFinitos.Teoríadeaproximaciónabstracta:MétododeGalerkin.Aplicaciónaproblemas2D.Implementación.4.TeoríadeInterpolación.E.F.deLagrange(simplex–paralelepipédicos).ResultadosgeneralesdeaproximaciónenespaciosdeSobolev.LemadeBramble-Hilbert.5.Aproximacióndeproblemasdeautovalores.6.AproximaciónporelementosfinitosdeProblemasparabólicos,ecuacióndelcalor.esquemasdediferenciasfinitaseneltiempo.Estabilidad.métodosdeeuleryeltheta-métodos.7.AproximaciónporelementosfinitosdeProblemashiperbólicos.EcuacióndeOnda,esquemasNewmark.
Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.
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• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cual
incluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:Textosespecificadosporelprofesor.Complementaria:Noaplica
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5. LíneadeTeoríadeNúmeros
Nombredelcurso
Aritmética
Descripcióndelcurso
ElTeoremaFundamentalde laAritméticaafirmaque todoenteropositivo seescribedemanera única (salvo ordenaciones) como potencias de números primos. Másgeneralmente,siconsideramosKuncuerpodenúmeros(unaextensiónfinitadeQ)yZKsuanillodeenteros,resultanaturalpreguntarsesiestosanillostienenfactorizaciónúnica.LaTeoríaalgebraicadenúmerostratadelestudiodecuerposdenúmeros,susanillosdeenterosyunidades.UnimportantehechoquemotivóesteestudioprovienedeKummer,quien motivado por demostrar el último teorema de Fermat, introdujo el concepto de"números ideales", siendo éstos aquellos que se pueden factorizar como producto deidealesprimos.EsteconceptofuereemplazadoporlosidealesenZK.
Objetivos Comprenderelconceptodecuerposdenúmeros,susanillosdeenterosyunidades.
Contenidos • Cuerposdenúmeros,anillosdeenteros,discriminantedeuncuerpodenúmeros.• Anillo Noetherianos y Dominios de Dedekind, factorización única de ideales,
teoríaderamificación.• Finitud del grupo de clases de ideales: Geometría de números, Teorema de
Minkowski.• TeoremadelasunidadesdeDirichlet.• Valuaciones,cuerposp-ádicos.• FunciónzetadeDedekind,continuaciónanalítica,fórmuladelnúmerodeclases.
Metodología Clasesexpositivas.
Evaluación Dospruebasescritasyunexamenfinal
Bibliografía
Básica:1. S.Lang,AlgebraicNumberTheory,Springer(1994).2. D.Marcus,NumberFields,Universitext,Springer,(1995).3. R.MurtyandJ.Esmonde,ProblemsinAlgebraicNumberTheory,Springer-Verlag,
(2004).4. J.Neukirch,AlgebraicNumberTheory,Springer-Verlag,Berlin,(1999).5. P.Samuel,AlgebraicTheoryofNumbers,Dover(2008).
Complementaria:Noaplica
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Nombredelcurso
TeoríaAnalíticadeNúmeros
Descripcióndelcurso
Los métodos analíticos juegan un importante rol en teoría de números. En particular,estudiarelcomportamientoanalíticodelasseriesLhasidoclaveparaobtenerresultadosconrespectoa ladistribucióndenúmerosprimos(Teoremadelnúmeroprimo,Teoremadelaprogresiónaritmética).
Objetivos PresentarlosmétodosanalíticosapartirdelestudiodelasseriesL.
Contenidos • CaracteresdeDirichlet• SeriesLdeDirichlet:continuaciónanalítica,ecuaciónfuncional.• Noanulaciónens=1:teoremadelaprogresiónaritmética.• Teoremasdedensidad• FunciónzetadeDedekind:continuaciónanalítica,ecuaciónfuncional,fórmula
paraelnúmerodeclases.• FunciónzetadeRiemann.• TesisdeTate.• FuncionesLdeArtin.• FórmulasexplícitasdefuncionesLysusaplicaciones(sesgodeChebyschev,
TeoremadelNúmeroPrimo).
Metodología Clasesexpositivas
Evaluación Dospruebasescritas,unexamenfinal.
Bibliografía
Básica:
1. Davenport,H.MultiplicativeNumberTheory,Springer-Verlag,2000.2. NeukirchJ.,AlgebraicNumberTheory,Springer-Verlag,Berlin,1999.3. Serre,J-P.,ACourseinArithmetic,Springer-VerlagNewYork,1973.4. ProblemsinAnalyticNumberTheory(GraduateTextsinMathematics),Springer,
2007.5. D.RamakrishnanandR.Valenza,FourierAnalysisonNumberFileds,Springer,
1999.6. G.Tenenbaum,Introductiontoanalyticandprobabilisticnumbertheory,
CambridgeUniversityPress,1995.
Complementaria:Noaplica
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6. LíneadeModelaciónEstadística
Nombredelcurso
ModelosLineales
Descripcióndelcurso
El propósito de este curso es proveer de una introducción rigurosa a los aspectosbásicosdelateoríadeestimaciónlinealypruebasdehipótesis.Alolargodelcursosondesarrollados los pre-requisitos necesarios referentes a la distribución normalmultivariadaydistribucionesdeformascuadráticas.Elcursoseplanteacomounmarcounificador para la inferencia en modelos lineales con un mínimo de suposiciones,discutiendolaconexióndelametodologíapresentadacontécnicasmáximoverosímilessólo en ciertas circunstancias. Algunos tópicos adicionales en los que se realiza unénfasis especial son extensiones al contexto multivariado y a modelos con efectosmixtos
Objetivos Objetivogeneral
Estudiarlateoríadeestimaciónlinealypruebadehipótesis.
Objetivosespecíficos
- Estudiar los aspectos básicos de la teoría de estimación lineal y pruebas dehipótesis.
- Estudiar la distribución normal multivariada y distribuciones de formascuadráticas.
- Aplicacar técnicas de estimación de parámetros como estimación máximoverosímiles.
- Estudiaralgunostópicosadicionalesenlosqueserealizaunénfasisespecialsonextensionesalcontextomultivariadoyamodelosconefectosmixtos.
Contenidos 1.Introducción
1.1.Vectoresaleatoriosymatrices.
1.2.Distribuciónnormalmultivariada.
1.3.Distribucióndeformascuadráticas.
1.4.Modelolinealgeneral.
2.Estimaciónypruebasdehipótesis
2.1.Identificabilidadyestimabilidad.
2.2.Estimaciónmínimoscuadrados.
2.3.EstimacióninsesgadadevarianzamínimayteoremadeGauss-Markov.
2.4.Mínimoscuadradosgeneralizadosymáximaverosimilitud.
2.5.Clasificacionesone-wayytwo-way.
2.6.Hipótesislinealesgeneralesyregionesdecon_anza.
3.Tópicosenmodeloslineales
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3.1.Modelolinealmultivariado.
3.2.Modelolinealconefectosmixtos.
Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestáncentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.
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• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cualincluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:- Christensen, R. (2010). Plane Answers to Complex Questions: The Theory of LinearModels.Springer,NewYork.-Eaton,M.L.(2007).MultivariateStatistics:AVectorSpaceApproach.Lecture--NotesVol. 53. InstituteofMathematical Statistics, Beachwood,Ohio.Gro_, J. (2003). LinearRegression.Springer,NewYork.- Wichura, M.J. (2006). The Coordinate-free Approach to Linear Models. CambridgeUniversityPress,Cambridge.
Complementaria:Noaplica
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Nombredelcurso
TeoríaEstadística
Descripcióndelcurso
Estecursoproveedeunafundamentaciónmatemáticarigurosaparaelmaterialesencialde teoría estadística. Se adopta los enfoques de teoría de decisión e inferenciaestadística para introducir el tópico de estimación puntual. Se presenta una serie decriterios de optimalidad, tal como insesgamiento, equivarianza y admisibilidad. Serealiza un estudio detallado del problema general de test de hipótesis. A lo largo delcursosediscuteconparticular interés laaplicaciónde lametodologíapresentadaa lafamiliaexponencial.
Objetivos ObjetivogeneralEstudiarlateoríadeestimaciónypruebadehipótesis.Objetivosespecíficos
1. Comprender los fundamentosque sustentan la teoría deestimaciónpuntual,testdehipótesiseintervalosdeconfianza.
2. Integrar el conocimiento previo de inferencia estadística con la teoríadesarrolladaenestecurso.
3. Entenderlossupuestosylimitacionesdelosprocedimientosinferencialesysurelaciónconlateoríadedecisiones
Contenidos 1. Modeloestadístico,estimadores,familiasdedistribución.2. Insesgamiento,familiasnoparamétricas,desigualdadesdeinformación.3. Elprincipiodeequivarianzaenmodelos.4. Formulación del problema de decisión estadística, riesgo Bayesiano,
Estimadoresrobustos.5. Conjuntos de confianza, intervalos de confianza, Formulación general del
problemadetestdehipótesis.6. Convergenciadébilyfuertedeestimadores,teoremasdeSlutsky.7. Teoremascentraldellímite.Elmétododeltaytransformacionesestabilizadoras
devarianza
Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos.
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• Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.
• Otros.En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cual
incluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:-Keener,R.W.(2010).TheoreticalStatistics.Springer,NewYork.-Lehmann,E.L.,andCasella,G.(1998).TheoryofPointEstimation.Springer,NewYork.-Lehmann,E.L.,andRomano, J.P. (2005).TestingStatisticalHypotheses.Springer,NewYork.-Lehmann,E.L.(1999).ElementsofLarge-SampleTheory.Springer,NewYork.-Schervish,M.J.(1995).TheoryofStatistics.Springer,NewYork.-Serfling,R.J. (1980).ApproximationTheoremsofMathematical statistics.Wiley,NewYork.Complementaria:Noaplica
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7. LíneadeControlyProblemasInversosdeEDP
Nombredelcurso
PROBLEMASINVERSOS
Descripcióndelcurso
Asignatura que introduce los conceptos básicos de la teoría matemática de losproblemas inversos y conceptos relacionados. En el desarrollo de la asignatura seestudiarándistintostiposdeproblemasinversosymétodospararesolverlos.
Objetivos ObjetivogeneralIntroduciralalumnoentemasdeinvestigaciónrelacionadosconelestudiodelateoríamatemáticadelosproblemasinversos.Objetivosespecíficos
1. SefamiliarizaráconlasherramientasmatemáticasdelosespaciosdeSobolevylastransformacionesintegrales.
2. Conocerá la relación entre transformaciones integrales y problemas inversosdeobservacionesmúltiples.
3. Conocerá laspropiedadesmás importantesde laTransformadadeRadón,asícomométodosyfórmulasdeinversión.
4. Conocerá el planteamiento del problema de Calderón, así como distintosmétodosparaobtenerresultadosdeunicidadyestabilidad.
5. Identificaráyresolveráproblemasinversosrelacionadosconladeterminacióndecoeficientesyfuentesdeecuacionesenderivadasparciales.
Contenidos 1. Introducciónypreliminares.1.1. IntroducciónalosProblemasInversos.1.2. TransformacionesintegralesyespaciosdeSobolev.
2. TransformadadeRadon.
2.1Introducción:LaTomografíaComputarizada.2.2.Definicionesypropiedadesbásicas.2.3Unicidadyrango2.4Fórmulasdeinversión.
3. ProblemasdeCalderón.3.1Introducción:Elproblemadeimpedanciaeléctrica.3.2.EcuacionesElípticas.3.3.Unicidad.3.4Estabilidad.
4. ProblemasInversosdeobservaciónúnica.4.1Laecuacióndeondas.4.2MétododeBukhgeim-Klibanov.4.3DesigualdadesdeCarlemanglobales.
Modalidaddeevaluación
Metodología:
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Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cual
incluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.
BibliografíaBásica:1.M.Salo.CalderónProblem(Lecturenotes,http://www.rni.helsinki.fi/~msa/teaching/calderon/calderon_lectures.pdf).
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2.Helgason.TheRadontransform.BirkhäuserBoston,Inc.,Boston,MA,1999.3.F.Natterer.TheMathematicsofComputerizedTomography.SIAM,2001.4.G.Uhlmann.DevelopmentsininverseproblemssinceCalderón'sfoundationalpaper.ChicagoLecturesinMath.,Univ.ChicagoPress,Chicago,IL,1999.
Complementaria:
1. M.Bellassoued,M.Yamamoto.CarlemanEstimatesandApplicationstoInverseProblemsforHyperbolicSystems.Springer2017.
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Nombredelcurso
CONTROLDEECUACIONESENDERIVADASPARCIALES(EDP)
Descripcióndelcurso
Asignatura que introduce los conceptos básicos de teoría de control aplicados asistemas descritos por ecuaciones en derivas parciales lineales. En el desarrollo de laasignaturaestudiaremoslacontrolabilidadyestabilizacióndeestetipodesistemasysepresentarándiferentesmétodosderesolución.
Objetivos Objetivogeneral
Introducir las herramientas matemáticas y los métodos básicos que se utilizan en elestudiodelaTeoríadeControldeecuacionesenderivadasparciales.
Objetivosespecíficos
⋅ IdentificarycomprenderlosdistintostiposdeproblemasquesonestudiadosporlaTeoríadeControl.
⋅ Introducir las herramientas matemáticas utilizadas por diferentes métodos decontrol.
⋅ Aplicar los diferentes métodos de control para analizar problemas decontrolabilidad y estabilización para sistemas lineales descritos por ecuacionesenderivadasparciales.
Contenidos
1. Introducción.2. Conceptos preliminares: Control interno y control frontera; Tipos de
controlabilidad; Estabilidad y estabilización; Caracterización por dualidad delcontrolexacto,delcontrolaproximadoydelcontrolacero.
3. Control exacto de la ecuación de transporte: Método directo; Método pordualidad.
4. Controlabilidadexactade laecuacióndeondas:Métodode losmultiplicadores;MétododeFourieryDesigualdadesdeIngham.
5. Controlabilidad aproximada y a cero de la ecuación del calor: Principios decontinuaciónúnica;Métododemomentos;DesigualdadesdeCarlemanglobales.
6. EstabilizacióndeEDP:Estabilizaciónapartirdelaobservabilidadparalaecuacióndeondas;Métodode amortiguamientopara la ecuacióndeondas.Métododelocalización de polos para la ecuación del calor no estable; Método deBacksteppingparalasecuacionesdelcalorydeondas.
Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.
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• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cual
incluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:
1. S.A.AvdoninandS.A.Ivanov,Familiesofexponentials.Themethodofmomentsin controllability problems for distributed parameter systems, Cambridge Univ.Press,1995.
2. J.-M.Coron,ControlandNonlinearity,AmericanMathematicalSociety,2007.
3. J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation de systèmesdistribués,Vol.1&2,Masson,RMA,Paris,1988.
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4. S. Micu and E. Zuazua, An introduction to the controllability of linear PDE. InContrôle non linéaire et applications. Sari, T., ed., Collection Travaux en CoursHermann,2005.
5. V.KomornikandP.Loreti,FourierSeriesinControlTheory,SpringerVerlag,2004.
6. M. Krstic and A. Smyshlyaev, Boundary Control of PDEs: A Course onBacksteppingDesigns,SIAM,2008.
Complementaria:Noaplica.
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8.LíneadeProcesosEstocásticos
Nombredelcurso
AnálisisEstocásticoI
Descripcióndelcurso
Objetivos Contenidos
I.Introducción:ElementosbásicosdelaTeoríadeSistemasAbiertos.1.Dinámicasclásicascerradas,aperturaynecesidaddelasprobabilidades.2.Construccióndemedidasenproductosdeespaciosmedibles.3.Lanocióndeprocesoestocástico.II.LosobjetosbásicosdelAnálisisEstocástico1.Filtracionesytiemposdeparada2.Procesosestocásticosadaptados,previsibles.3.Procesosgaussianos.4.Espaciosgaussianos.Espaciosdenúcleoautorproductor.5.Descomposiciónencaos.III.ElementosdeTeoríadeMartingalas1.Martingalas(atiempodiscretoycontinuo)2.DesigualdadesdeDoob3.Resultadosdeconvergencia4.TeoremademuestreoopcionaldeDoob5.DescomposiciónDoob-Meyer6.Martingalasdecuadradointegrables7.MartingalaslocalesIV.MovimientoBrowniano1.ConstrucciónysimulacióndelmovimientoBrowniano(mB)2.PropiedadesdeMarkovyprincipiodereflexión3.FiltracionesBrownianas4.PropiedadesdelastrayectoriasdelmBV.Integraciónestocástica1.ConstruccióndelaintegralestocásticadeItôparaelmByparamartingalaslocalesdecuadradointegrable.2.FormuladeItôyaplicaciones.MartingalaExponencial.3.TeoremadeRepresentaciónPrevisible
Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actor
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principaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo. • Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cual
incluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:1.KaratzasandShreve.BrownianMotionandStochasticCalculus.SpringerVerlagNewYork1988.2.ProtterP.E.-StochasticIntegrationandDifferentialEquations.Springer.3.P.Bald,L.MazliakandP.Priouret.MartingalesandMarkovChains.Chapma&Hall/CRC.4.Kuo,H.,IntroductiontoStochasticIntegration.Springer,2006.5.KussmaulA.U.StochasticIntegrationandGeneralizedMartingales.6. S.N. Ethier and T.G. Kurtz Markov Processes: Characterization and Convergence,
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Wiley,2005.7.A.Friedman,StochasticDifferentialEquationsandApplications(Twovolumesinone),Broché,2007.8.N.IkedaandS.Watanabe,StochasticDifferentialEquationsandDiffusionProcesses,Broché,1988.9.B.Oksendal,StochasticDifferentialEquations:AnIntroductionwithApplications,Springer,2010.10. D.W. Stroock and S.R.S. Varadhan,Multidimensional Diffusion Processes, Broché,2014.Complementaria:Noaplica
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Nombredelcurso
AnálisisEstocásticoII
Descripcióndelcurso
Objetivos Contenidos
I.EcuacionesDiferencialesEstocásticas.1.SobrelosprocesosdedifusióndeItô.2.NocióndesoluciónfuerteaunaEDE,elproblemadelaexistenciayunicidadasociadoymétododeresolución.3.NocióndesolucióndébilaunaEDE,elproblemadelaexistenciayunicidadasociadoymétododeresolución (TransformacióndeGirsanov,métododecambiodetiempo).4.Aplicaciones:ElmodelodeOrnstein-Ulhenbeck,elpuentebrowniano.5.Tiemposlocales6.TeoremadeYamada-Watanabeyelenlaceentresolucióndébilysoluciónentrayectorias.7.ElproblemasdemartingalasdeStroock&Varadhan.8.Enlacesconecuacionesenderivadasparciales:ecuacióndeFokker-Planck,formuladeFeynman-Kacparaecuaciónenderivadasparcialesparabólicasoelíptica.9.FuncionesdeLyapunovII.SemigruposMarkovianos1.Semigruposdecontracciones,ElTeoremadeHille-Yosida.2.SemigruposMarkovianos,elcasodelasubclasedeFeller3.ProcesosMarkovianosdeSalto(evolucionesdebajafrecuencia)4.ProcesosysemigruposdeLévy.III.Topologíasdébilesdemedidas1.Lastopologíasdébilyestrechademedidasdeprobabilidad2.TeoremadeProkhorov3.Losespaciosmétricosdefuncionescontinuasycontinuasaladerecha,conlímitesalaizquierdaencadapuntodesudominio(cadlai).4.Criteriodecompacidadestrecha(contiemposdeparada)paraleyesdeprocesoscontrayectoriascadlai.5.Aplicacionesalaresolucióndeproblemasdemartingalas.
Modalidaddeevaluación
Metodología:Loscursostienenunaprogramacióndedossesionesporsemana.Almenosun70%delasclaseslectivasestancentradasenlaexposiciónsistemáticadelos contenidos teóricos del curso por parte del profesor (clases presenciales) y en laparticipacióndelosestudiantes.Este trabajo se combina con otras metodologías más participativas, donde el actorprincipaleselestudiante,comoporejemplo:
• Trabajogrupal.• Sesionesdeaplicacionescomputacionales.• Tareasderesolucióndeproblemasmodelo.
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• Análisisydiscusióndecasosprovenientesdela ingeniería. • Estudio independiente y exposiciones de estudiantes acerca de temas
específicos. • Investigación y presentación de uno o mas proyectos, lecturas de artículos,
desarrollocomputacional,enelcualelalumnoexponealcursosusresultados.• Otros.
En cualquier caso, las metodologías centradas en la participación del estudiante nopodránsuperarel30%delasclaseslectivasdelsemestreEvaluación:Elprofesordefineyponenconocimientodelosestudiantes,alcomienzodelcurso,lasactividadesquedebendesarrollarparasuevaluación,ysusrespectivaponderaciónenlanotafinaldelcurso.Cadaactividadesevaluadaconunanotade1a7ylanotafinaldel curso corresponde a un promedio ponderado de las notas obtenidas en lasactividades.Dentro de las actividades para la evaluación se incluye dos o tres pruebas parcialesescritas,cuyaponderacióncorrespondeporlomenosal70%delaevaluacióndelcurso.Estaspruebasescritascontienenensudiseñopreguntastipoexamendecalificación.El restode lasactividadesdefinidasporelprofesorpara laevaluacióndelestudiante,tiene una ponderación de, a lo más, el 30% de la nota final del curso. Entre estasactividadesalternativassecuentanporejemplo:
• Tareasindividualesocolectivasescritas.• Exposicionesdelosestudiantes.• Proyectodeinvestigaciónodesarrollo.• Trabajosescritossobretemasasignadosporelprofesor.• Desarrollodesoftware.• Talleresgrupalesoindividuales.• Controlesoevaluacionesescritaspequeñas.• Entregadeinformesescritosuorales.• Un examen final, el cual debe ser una prueba escrita acumulativa, el cual
incluyapreguntasdeniveldeexamendecalificación.
Bibliografía
Básica:1.KaratzasandShreve.BrownianMotionandStochasticCalculus.SpringerVerlagNewYork1988.2.ProtterP.E.-StochasticIntegrationandDifferentialEquations.Springer.3.P.Bald,L.MazliakandP.Priouret.MartingalesandMarkovChains.Chapma&Hall/CRC.4.Kuo,H.,IntroductiontoStochasticIntegration.Springer,2006.5.KussmaulA.U.StochasticIntegrationandGeneralizedMartingales.6. S.N. Ethier and T.G. Kurtz Markov Processes: Characterization and Convergence,Wiley,2005.7.A.Friedman,StochasticDifferentialEquationsandApplications(Twovolumesinone),Broché,2007.8.N.IkedaandS.Watanabe,StochasticDifferentialEquationsandDiffusionProcesses,Broché,1988.
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9.B.Oksendal,StochasticDifferentialEquations:AnIntroductionwithApplications,Springer,2010.10. D.W. Stroock and S.R.S. Varadhan,Multidimensional Diffusion Processes, Broché,2014.Complementaria:Noaplica
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B).SEMINARIOSDEINVESTIGACIÓN
Nombre delcurso
SeminariodeInvestigación(I,II,IIIyIV)
Descripcióndelcurso
ElcursoSeminariodeInvestigación,promueveeldesarrollodehabilidadesdeordencientíficoodeinvestigaciónenlosestudiantes.Eldesarrollodesustemas,dependeráde la líneade Investigaciónde interésdelalumno,yse llevaráacabosegún laguíaproporcionadaporelprofesortutoroelprofesorqueimpartalaasignatura.Elcursosuponeunadedicacióndealmenos2horaspresencialesdondeelestudiantedará cuentade susaprendizajesa travésde laexposiciónde los temasestudiados,juntoconladedicacióndehorasdeestudioalosrespectivostemasabordadosenelcurso.
Objetivos Alaprobarlaasignatura,elestudiantedebesercapazdecomprenderlosdistintosfundamentosasociadosaloscontenidosdelcursoydesarrollarsushabilidadesdeInvestigación.
Contenidos Loscontenidosdependerándelalíneadeinvestigacióndeinterésdelestudiante.Estosseránasignadossegúnlaplanificacióncurriculardecadaalumno.
Modalidaddeevaluación
MetodologíaLadinámicadelcursoestarácentradaenlaexposiciónsistemáticadelostemasporparte del alumno (clases presenciales) en donde este mostrará sus respectivosavances.Seráelprofesorquienviertasobreestasexposiciones laretroalimentaciónadecuadaquelepermitaevidenciarsusrespectivosaprendizajes
Ademássereforzaráen:
a) ladiscusióndelosresultadosteóricos,suinterpretaciónyejemplosb) laresolucióndeproblemas.
Evaluación
LaformadeevaluarlaasignaturadependeráabsolutamentedelcriteriodelProfesoryserásegúnlasexposicionesdelestudiante.
Bibliografía
Básica:Seráasignadaporelprofesortutoroguíayestarárelacionadaeltemadeinvestigacióndelcurso,propiodelalineadetrabajodelestudiante.
Recomendada:Seráasignadaporelprofesortutoroguíayestarárelacionadaeltemadeinvestigacióndelcurso,propiodelalineadetrabajodelestudiante.
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C).PROYECTODETESIS
Nombre delcurso
ProyectodeTesis
Descripcióndelcurso
Consisteenlarealizacióndelestudiodelestadodelartedeunaproblemáticapropiadentro de la línea de investigación escogida por el estudiante. El proyecto de tesisdebe contener los aspectos fundamentales que serán desarrollados en la tesisdoctoralyseráunaasignaturacursadaenparaleloalosSeminariosdeInvestigación.Ladefensadel proyectode tesis debe ser presentada amás tardar el quinto semestredel programa ante una comisión ad---hoc designada por el ComitéAcadémicodelprograma.Unavezaprobadoelproyectodetesis,el estudianteadquierelacategoríadecandidatoadoctor.
Objetivos Al aprobar la asignatura, el estudiante deberá dar cuenta de la formulación de unproyectodetesisdoctoral,elcualdebeestardirectamenterelacionadoconeltrabajode tesis a desarrollar. Estará fundamentado a partir de referencias bibliográficas,paperuotrostrabajosdeinvestigaciónasociadosaltemaencuestión.
Contenidos Elproyectodetesisdeberáadscribirseaalgunadelaslíneasdeinvestigaciónvigentesen el Programa, luego los contenidos dependerán de dicha línea de investigación.Estosseránasignadossegúnlaplanificacióncurriculardecadaalumno.
Modalidaddeevaluación
MetodologíaLadinámicadelcursoestarácentradaenlaexposiciónsistemáticadelostemasporparte del alumno (clases presenciales) en donde este mostrará sus respectivosavances.Seráelprofesorquienviertasobreestasexposiciones laretroalimentaciónadecuadaquelepermitaevidenciarsusrespectivosaprendizajes
Ademássereforzaráen:
a) ladiscusióndelosresultadosteóricos,suinterpretaciónyejemplos,b) factibilidaddelproyectodetesis.
Evaluación:EvaluacióndelmanuscritodelProyectodeTesis(100%)
Bibliografía
Básica:Seráasignadaporelprofesortutoroguíayestarárelacionadaaltemadeinvestigacióndelcurso,propiodelalíneadetrabajodelestudiante.
Recomendada:Seráasignadaporelprofesortutoroguíayestarárelacionadaaltemadeinvestigacióndelcurso,propiodelalíneadetrabajodelestudiante.
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D).TESIS
Nombre delcurso
Tesis
Descripcióndelcurso
Esta asignatura tiene comopropósito que el estudiante elabore suTesis Doctoral,que consiste en un trabajo de investigación individual y original, que permita darorigen,a lomenos,aunapublicaciónenalgunarevistadecorrienteprincipalyquesea una contribución en el área de lamatemática. La actividad de desarrollo de laTesisDoctoralcomienzaunavezaprobadoelproyectodetesisyseextiendeentreelcuartoyeloctavosemestredelprograma.
Objetivos Al aprobar la asignatura, el estudiante debe presentar una tesis doctoral la cualevidencieuntrabajodeinvestigaciónindividualyoriginalenelámbitodealgunadelaslíneasdeinvestigaciónimplementadasporelPrograma.
Contenidos Los contenidos dependerán de la línea de investigación de interés del estudiante,serán asignados según la planificación curricular de cada alumno en vista de lospresentadoenelProyectodeTesis.
Modalidaddeevaluación
MetodologíaEn esta asignatura, la metodología consistirá en la discusión periódica entre elalumno y su respectivo Director de Tesis. Dicha discusión, estará basada en losdiferentestrabajosrelacionadosaltemadelatesis,elavancerespectoalProyectodeTesis, estudio de trabajos presentados en revistas indexadas, contraste conresultadosanteriores,trabajosexperimentales,entreotrosaspectos.
EvaluaciónLaevaluacióndelaasignaturaconcluiráconlarevisióndelmanuscritodelatesisyconelexamendegrado.
Bibliografía
Básica:SeráasignadaporelDirectordeTesisyestarárelacionadaaltemadeinvestigación,propiodelalíneadetrabajodelestudiante.
Recomendada:SeráasignadaporelDirectordeTesisyestarárelacionadaaltemadeinvestigación,propiodelalíneadetrabajodelestudiante.