ANA KAREN RIVAS BETANCOURT 2ºB

TEMAS:

Prueba de hipótesisIntervalos de Confianza

INTERVALOS DE CONFIANZA

1.- INTRODUCCION Dentro del estudio de la inferencia estadística, se describe como se puede tomar

una muestra aleatoria y a partir de esta muestra estimar el valor de un parámetro poblacional en la cual se puede emplear el método de muestreo y el teorema del valor central lo que permite explicar como a partir de una muestra se puede inferir algo acerca de una población, lo cual nos lleva a definir y elaborar una distribución de muestreo de medias muestrales que nos permite explicar el teorema del limite central y utilizar este teorema para encontrar las probabilidades de obtener las distintas medias maestrales de una población.

Pero es necesario tener conocimiento de ciertos datos de la población como la media, la desviación estándar o la forma de la población, pero a veces no se dispone de esta información.

En este caso es necesario hacer una estimación puntual que es un valor que se usa para estimar un valor poblacional. Pero una estimación puntual es un solo valor y se requiere un intervalo de valores a esto se denomina intervalote confianza y se espera que dentro de este intervalo se encuentre el parámetro poblacional buscado. También se utiliza una estimación mediante un intervalo, el cual es un rango de valores en el que se espera se encuentre el parámetro poblacional

En nuestro caso se desarrolla un procedimiento para probar la validez de una aseveración acerca de un parámetro poblacional este método es denominado Prueba de hipótesis para una muestra.

2.- HIPOTESIS Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Tenemos que empezar por definir que es una hipótesis y que es prueba de hipótesis.

Hipótesis es una aseveración de una población elaborado con el propósito de poner aprueba, para verificar si la afirmación es razonable se usan datos.

En el análisis estadístico se hace una aseveración, es decir, se plantea una hipótesis, después se hacen las pruebas para verificar la aseveración o para determinar que no es verdadera.

Por tanto, la prueba de hipótesis es un procedimiento basado en la evidencia muestral y la teoría de probabilidad; se emplea para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable.

Prueba de una hipótesis: se realiza mediante un procedimiento sistemático de cinco paso:

EJERCICIO 1 Una encuesta revela que los 100 autos particulares, que constituyen

una muestra aleatoria, se condujeron a un promedio de 12500 Km. Durante un

año, con una desviación estándar de 2400 Km. Con base en esta información,

docimar la hipótesis donde, en promedio, los autos particulares se condujeron a

12000 Km durante un año, f rente a la alternativa de que el promedio sea

superior. Utilizar el nivel de significación. SOLUCIÓN H0: μ = 12000 Ha: μ > 12000 n = 100 S = 2400 = 0.05 Zcalc = 2.083

Rechazamos la hipótesis de que μ es igual a 12000, luego aceptamos que losautos se condujeron en un promedio superior durante ese año, al nivel del 5%.

EJERCICIO 2 Un criador de pollos sabe por experiencia que el

peso de los pollos de cinco meses es 4,35 libras. Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron los siguientes pesos ( en libras).

4,41 4,37 4,33 4,35 4,30 4,39 4,36 4,38 4,40 4,39

En el nivel 0,01, el aditivo ha aumentado el peso medio de los pollos? Estime el valor de p.

EJERCICIO 3 Lisa Monnin es directora de presupuesto en la

empresa New Process Company, desea comparar los gastos diarios de transporte del equipo de ventas y del personal de cobranza. Recopiló la siguiente información muestral ( importe en dólares).

Ventas ($) 131 135 146 165 136 142

Cobranza ($) 130 102 129 143 149 120 139

Al nivel de significancia de 0,10, puede concluirse que los gastos medios diarios del equipo de ventas son mayores? cuál es el valor p?

EJERCICIO 4 De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La

media muestral es de 102 y la desviación estándar 5. De otra población se toma una muestra de 50 observaciones. La media mustral es ahora 99 y la desviación estándar es 6. Realice la siguiente prueba de hipótesis usando como nivel de significancia 0,04.Ho: u1 = u2

Ho: u1 ≠ u2

a) Es esta una prueba de una o de dos colas?

Esta es una prueba de hipótesis de dos colas

b ) Establezca la regla de decisión

Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa

c) Calcule el valor del estadístico de prueba

Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1

EJERCICIO 5

Determine si la región de rechazo es de la cola derecha, de la cola izquierda o de dos colas.

a.H0 : m = 15, H1 : m ¹ 15, =.05 b.H0 : p £ 0.7, H1 : p > 0.7, =.02 Solución: La forma de la región de rechazo está

determinada por la hipótesis alterna. H1 : m ¹ 15 significa que la región está en ambas

colas. .05/2 .05/2

.05/2 .05/2

H1 : p > 7 significa que la región está en la cola derecha.

.02

EJERCICIO 6En el Ejemplo 1a, presumamos que la región

derechazo es parte de la curva normal estándar. Complete el dibujo de la región crítica para los valores a siguientes:

a)a = .05 Solución: a. Del ejemplo 1(a), tenemos:

-1.96

.05/2=0.025 .05/2=0.025

1.96

De la tabla de la distribución normal, la

P(Zz) =.025 corresponde a un valor Z= -1.96. Por simetría la P(Z>z)=.025 corresponde a Z= 1.96.

EJERCICIO 7 En el ejemplo 1a, presumamos que la región de

rechazo es parte de la curva t. Complete el dibujo de la región de rechazo para:

a = .05 y u = 14  Solución: a. Del ejemplo 1(a), a = .05, y u =

14, tenemos:

.05/2=0.025 .05/2=0.025

-2.086 2.086

De la tabla de la distribución t, la

P(Tt) =.025 corresponde a un valor t= -2.086. Por simetría la P(T>t)=.025 corresponde a t= 2.086.

EJERCICIO 8 Establezca las hipótesis nula y alterna. a. Las millas por galón (mpg) promedio de un nuevo

modelo de automóvil es 32. b. Más del 65% de los empleados de un colegio aportan a

Fondos Unidos. c. En promedio, los empleados de cierta compañía viven a

no más de 15 millas de la misma. d. Al menos un 60% de la población adulta de una

comunidad votará en las próximas elecciones Presidenciales. e. El peso promedio de un pollo para asar es de al menos

cuatro libras. Solución: a.H0 : m = 32 b.H0 : p ³ .65 c.H0 : m £ 15 H1 : m ¹ 32 H1 : p < .65 H1 : m > 15 d.H0 : p ³ .6 e.H0 : m ³ 4 H1 : p < .6 H1 : m < 4

INTERVALOS DE CONFIANZA

DEFINICION Intervalo de valores que tiene designada una probabilidad que incluya el valor

real del parámetro de población.

Para entender mas claramente este concepto, es necesario comentar de inicio otros que al estar relacionados con el, facilitan su comprensión.

Algunos de estos conceptos a revisar son: ¯ Estimación. ¯ Estimación Puntual. ¯ Estimación de intervalo. ¯ Nivel de confianza. ¯ Limites de confianza

ESTIMACIÓN (Del lat. aestimatĭo, -ōnis). f. Aprecio y valor que se da y en que se tasa y

considera algo. || 2. Der. La que se realiza en ciertos tributos para determinar el valor de la base imponible.

Este es el concepto que podemos encontrar en un diccionario. Pero es además un concepto que en nuestra vida diaria aplicamos de forma recurrente.

EJERCICIO 1 1- Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una

matriz de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513,

492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461 Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente,

determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%. Solución: Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35

y la desviación típica 42,54. Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad,

obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12 Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la

media tenemos: (505,35 - 2,12 · 42,54 / 4 ,, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4) operando ( 482,80 ,, 527,90 )

EJERCICIO 2 2- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64. a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población. b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual. Solución: a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo

una probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta

muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos: ( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 ) operando ( 30,06 ,, 35,34 ) b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del 95% la media de la población puede valer 32,7 ± 2 · 12,64 / 8 luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16

EJERCICIO 3 3- Con los datos del problema 1, calcule a un nivel de confianza del 90% un

intervalo de confianza para la varianza e indique cual sería el máximo error por exceso y

por defecto que podría cometerse utilizando el estimador insesgado de la varianza. Solución: Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale

1809,29 y la cuasivarianza 1922,37 En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo

una probabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad

de 0,95. Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza

tenemos: ( 17 · 1809,29 / 26,30 ,, 17 · 1809,29 / 7,96 ) operando ( 1169,50 ,, 3864,06 ) Por tanto el error por defecto sería 1922,37 - 3864,06 = -1941,69 y el error por exceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87

EJERCICIO 4 4- En una muestra de 300 universitarios el 80% ha

respondido que asiste semanalmente al cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de

confianza del 95%, la proporción de universitarios que acude todas las semanas al cine. Solución: En las tablas de la Normal encontramos que el valor de

la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 1,96. Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza

para una proporción:(0,8-1,96raiz0,8*0,2/300,,0,8+1,16raiz0,8*0,2/300) operando ( 0,755 ,, 0,845 )

EJERCICIO 5

Para determinar la estatura media de los varones adultos españoles, se tomó una muestra al azar de 10 de ellos en la que se obtuvo los valores 162, 176, 169, 165, 171, 169, 172, 168, 167 y 175 cm. Determinar el valor de la estatura media, suponiendo que = 16.

Un estimador puntual para la estatura media µ es la que en este caso es 169,4. Para dar un intervalo de confianza hemos de suponer que es una v. a. normal. Como n=10, = 169,4 y = 4, para el intervalo de confianza al 95%, la expresión (4.1) indica que

Así pues, esperamos que este intervalo sea un de los 95 de cada 100 que contienen a µ, o, más brevemente, la estatura media de los españoles varones adultos es algún valor entre 166,92 cm y 171,88 cm con una confianza del 95%

EJERCICIO 6

se conoce que n =10 y = 169,4. Ahora es preciso calcular la varianza muestral por la fórmula correspondiente lo que da s = 4,3. Como t0,05 (9 g.l.)= 2,262 en la tabla , entonces es el intervalo de confianza para µ al 95% de confianza.

La interpretación del nuevo intervalo es idéntica del que resultaba cuando la varianza era conocida, la única diferencia es que ahora no sólo el centro del intervalo es variable, sino que también lo es su radio.

EJERCICIO 7 Si de 100 personas encuestadas, 30 se manifiestan a favor de un

determinado partido político, ¿qué porcentaje de votos obtendría dicho partido de celebrarse en ese momento las elecciones? (confianza del 95%)

Obsérvese que x="nº de individuos, entre los 100 encuestados, que votarán al candidato" es una Binomial de parámetro n = 100 y p desconocido. El objetivo es determinar p teniendo en cuenta que x sigue una B(n,p), con n = 100 y x = 30 el valor obtenido experimentalmente de esa Binomial. Conviene expresar que todo lo que sigue contiene las fórmulas para p expresadas en tantos por uno, no en %.

Intervalo.

La distribución Binomial, bajo ciertas circunstancias, se aproxima a una Normal. Los resultados siguientes se basan en esta aproximación. La expresión más tradicional del intervalo de confianza para una proporción p es la siguiente:

Esta expresión es válida si x > 20 y n-x >20.Tiene la ventaja de ser cómoda, pero a cambio es más imprecisa y tiene unas condiciones de validez más exigentes. La siguiente expresión es más exacta (pero más incómoda) y para su validez basta con que sean x > 5 y n - x > 5:

EJERCICIO 8

Suponga que 100 estudiantes varones de una universidad representan una muestra aleatoria de las estaturas de la totalidad de estudiantes varones. De dicha muestra se obtuvo una media igual a 67,450 pulgadas. Se sabe que la varianza para la estatura de los varones de dicha universidad es 8,614 pulgadas. Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la estatura media de los estudiantes de la universidad.

SOLUCIÓN 1-.Lea detenidamente el enunciado, respetando las comas y puntos, tratando de

identificar los datos que se proporcionan.   En la primera parte del párrafo dice: Suponga que 100 estudiantes varones de una

universidad representan una muestra aleatoria de las estaturas de la totalidad de estudiantes varones.

Datos: Tamaño de la muestra, n = 100 estudiantes. Variable, X = estaturas de los estudiantes varones de una universidad.   Luego: De dicha muestra se obtuvo una media igual a 67,450 pulgadas. Dato: Media de la muestra, pulgadas.   Siguiendo: Se sabe que la varianza para la estatura de los varones de dicha

universidad es 8,614 pulgadas. Están hablando en general para la estatura de los varones de dicha universidad, por

lo tanto ese valor de la varianza es de la población y no de la muestra. Dato: varianza de la población, pulgadas.   Finalmente: Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la estatura media

de los estudiantes de la universidad. Dato: Se pide calcular un intervalo para la estatura promedio, es decir para la media

de la población . Nivel de Confianza: 95%