Conteo y Probabilidad
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PREUNIVERSITARIO SIMBIOSIS
CONTEO Y PROBABILIDAD
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO: Si un experimento se puede
describir como una sucesión de k etapas, en las que hay n1
resultados posibles en la primera etapa, n2 en la segunda, etc.,
la cantidad total de resultados experimentales es igual a
n1*n2*....*nk. Esto es, la cantidad de resultados del experimento
es el producto de las cantidades de resultados posibles en cada
etapa.
Ej:
¿Cuántas posibles placas de carro pueden hacerse en una
ciudad?
R/ Una placa tiene 3 letras y 3 números, es decir, 6 espacios a
llenar:
__x __x __x __x __x__
Estos espacios se llenan con LAS POSIBILIDADES que se tienen
para escribir en cada uno de ellos, de esta manera en los 3
primeros espacios se pueden escribir 26 posibles letras para
cada uno y para los espacios numéricos se tienen 10 diferentes
números posibles que se pueden escribir, por eso el resultado
sería:
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10
Ejercicios:
Cuántas posibles placas de auto se podrían hacer en una ciudad si:
Las letras no se pueden repetir pero los números si
Los números no se pueden repetir pero las letras si
Tienen 3 letras iguales y 3 números iguales
El número de la placa es par y las letras no se pueden
repetir
El número de la placa es impar
Se define !n como la productoria o multiplicación
progresiva de n, factores, es decir:
! 1 2 3 ( 1)n n n
Permutaciones
Una permutación de n objetos, es una elección ordenada de
r objetos entre n donde importa el orden de los agrupados.
Con repetición: En general, si se toman r objetos
de n , la cantidad de permutaciones u ordenaciones
esta dada por : n r
rP n
Ejemplo: Sea el conjunto , , ,A a b c d , ¿cuántas
palabras de dos letras se pueden obtener?
4 2
2 4 16P
Las palabras formadas son:
, , , , , , , , , , , , , , , aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cc cd da db dc ddSin repetición: En este caso, a diferencia del anterior, se
realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo
a la situación de cada objeto en la ordenación.
!
( )!
n
r
nP
n r
Ejemplo: Sea el mismo conjunto , , ,A a b c d , ¿cuántas
ordenaciones de dos letras sin repetición se pueden
obtener?
4!12
(4 2)!
n
rP
Lo que resulta es:
, , , , , , , , , , , ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc
Combinatoria
Una combinación de r objetos entre n , donde no importa el
orden de los agrupados.
!
( )! !
n
r
nC
n r r
Ejemplo: Si tomamos el mismo conjunto , , ,A a b c d ,
¿cuántos subconjuntos de 2 elementos cada uno se pueden
obtener?
4
2
4!6
(4 2)!2!C
Los subgrupos son:
, , , , , ab ac ad bc bd cd
Ejercicios
1. ¿Cuántas señales con tres banderas pueden
obtenerse con 8 banderas diferentes?
8
3
8!336
5!P 336 señales.
2. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden
elegir con ocho personas?
8
3
8!56
5!3!C
PREUNIVERSITARIO SIMBIOSIS
56 comités posibles de tres personas cada una.
PROBABILIDAD
Esta se encarga de analizar cuántos casos son favorables entre los
casos posibles de suceder en una situación cualquiera y se expresa
como una razón entre los casos favorables (CF) y los casos posibles
(CP).
La probabilidad fluctúa entre los valores 0 y 1 siendo el primero la
certeza de que un evento no sucederá y el segundo el
convencimiento de que el evento ocurre, sin embargo algunas veces
se evalúa porcentualmente multiplicando el resultado obtenido por
el número 100.
Ej: ¿Cuál es la posibilidad de que al lanzar un dado una vez, caiga un
4?
R/
=
ya que de los seis números que pueden servirme al lanzar
el dado, solo me sirve uno y ese es el número 4.
Cuando en la probabilidad se habla de sucesos consecutivos, es decir
pasa uno y pasa otro y pasa otro, esas “y” se convierten en
multiplicaciones que operan la probabilidad de que cada evento
suceda por separado.
De la misma manera el conector “o” se convierte en un signo “+”
que suma las probabilidades individuales.
Ej:
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados los dos números
sean pares o los dos sean impares?
R/ Esto se da cuando: (el primer número es par y el segundo es par)
o (cuando el primero es impar y el segundo es impar).
Como la probabilidad de que salga un número par es
=
y es la misma para la salida de un número impar, entonces
tenemos que:
(
x
) + (
x
)=
+
=
=
TALLER
1. Un restaurante ofrece 3 tipos de vino, 2 tipos de ensalada, 4
tipos de carne y 5 tipos de postre. El número total de órdenes
diferentes que pueden elaborarse si se elige uno de cada uno
de los cuatro alimentos y dos órdenes se consideran distintas si
difieren al menos en uno de los alimentos seleccionados es:
A. 14
B. 32
C. 64
D. 120
2. En una isla todas las motocicletas están identificadas con placas
que contienen dos vocales y un dígito, en ese orden. Si las
vocales no pueden repetirse en una misma placa y se han usado
todas las placas, excepto aquéllas con dígitos pares, entonces el
número de motocicletas en la isla es:
A. 50
B. 80
C. 100
D. 200
3. En una fiesta hay 20 invitados. Entonces el número de sonidos
de copa que hay a la hora de brindar sabiendo que todos
brindan entre sí y nadie repite brindis es:
A. 130
B. 160
C. 190
D. 220
4. Se va a escoger un número entero X con 10 X 99. Si todas las escogencias de X son igualmente probables, la probabilidad de que al menos un dígito de X sea 8 es:
A. 18
1 B.
8
1
C. 6
1 D.
5
1
5. Una diana para tiro al blanco se ha construido con
circunferencias concéntricas de radios 1, 2 y 3 unidades respectivamente. Los ángulos centrales son iguales (45° cada uno). La probabilidad de que en un lanzamiento de un dardo, que cae en el interior de uno de los 8 sectores circulares y en ninguna de las líneas o arcos divisorios, caiga en la región sombreada es: A. 2/3 B. 1/2 C. 3/8 D. 1/4
6. Un avión está dotado de tres turbinas que funcionan independientemente. La probabilidad de que una turbina falle es de 0,01. Si al avión puede mantenerse en vuelo siempre y cuando al menos una de las tres turbinas este en pleno funcionamiento, entonces la probabilidad de que el avión pueda mantenerse en vuelo es: A. 0,999999 B. 0,777777
PREUNIVERSITARIO SIMBIOSIS
C. 0,666666 D. 0,333333
7. Si se tienen seis cartas dirigidas a seis personas diferentes y se
meten al azar en seis sobres con las correspondientes
direcciones, entonces la probabilidad de que hayan 5 cartas en
sus sobres correctos y una no es:
A. 0
B. 1/6
C. 1/5
D. 1
Preguntas 8 a 10 Un equipo de futbol formado por niños de barrio, gano una copa al vencer en un campeonato regional. Para decidir quién guardaría la copa en su casa planearon algún tipo de sorteo.
- Mateo, el de la camiseta 7, hizo la siguiente propuesta: Como cada uno de nosotros tiene la camiseta enumerada del 1 al 11, podemos lanzar dos dados, el resultado obtenido al lanzar estos dos dados es un número entre 2 y 12, le restamos 1 a esa suma. Quién tenga la camiseta con ese número se lleva la copa a su casa.
- Sebastián, el de la camiseta 11, comentó: A Mateo siempre le gusta llevar ventaja. Seguramente él tiene más posibilidades que cualquiera de los del equipo si hacemos lo que él quiere.
- Camilo, el de la camiseta 1, le respondió a Sebastián: ¡Tal vez tienes razón! Mateo debe tener más posibilidades que nosotros dos juntos.
8. Si se sigue el plan de Mateo, la probabilidad de que él se
lleve la copa a su casa es: A. Igual que la de cualquier otro del equipo B. Mayor que la probabilidad de cualquiera del equipo C. Mayor que la probabilidad que tiene el de la
camiseta 1, pero menor que la que tiene el de la camiseta número 6.
D. Menor que la de cualquiera del equipo.
9. Si se lleva a cabo la propuesta de Mateo, la única
afirmación falsa es:
A. Uno de los niños del equipo tiene más probabilidad
de llevarse la copa a su casa que cualquier otro, pero
no es Mateo.
B. Camilo y Sebastián, juntos, tienen la misma
probabilidad de llevarse la copa a su casa que el niño
que tiene la camiseta 10.
C. Mateo tiene más posibilidades de llevarse la
camiseta a su casa que cualquiera otro del equipo
D. Si se suman las posibilidades de Mateo y el niño de la
camiseta 5, tendrán más posibilidad de llevarse la
copa que cualquiera del equipo individualmente
10. De los comentarios de Mateo, Sebastián y Camilo se
puede concluir con certeza que:
A. Sebastián y Camilo están equivocados, pues con la
propuesta de Mateo todos tienen la misma
posibilidad de llevarse la copa para la casa.
B. Sebastián tiene razón pero Camilo está equivocado.
Los dos juntos tienen más posibilidades que Mateo
C. Sebastián está equivocado pero Camilo hizo una
afirmación correcta. Los dos juntos tienen menos
posibilidades que Mateo de llevarse la copa a su
casa, aunque Mateo no es el jugador con más
ventaja
D. No es posible saber si Camilo o Sebastián tienen la
razón, pues es un resultado probabilístico que solo
depende del azar
Preguntas 11 a 13
Se integra una comisión de 9 miembros para una cámara
legislativa con las siguientes características:
- El partido mayoritario, M, tiene 4 miembros (M1, M2, M3 y
M4); el partido B tiene 2 miembros (B1 y B2); el partido C
tiene 2 miembros (C1 y C2) y el grupo independiente tiene un
miembro (I).
- El coordinador de la comisión es un miembro de M; uno de
los 9 integrantes que no es el coordinador ni el independiente
tiene derecho a voz pero no al voto en cualquier decisión.
Todos los demás tienen derecho a voz y voto.
- El partido M siempre votará buscando imponer su
propuesta en forma unida, cualquiera sea estrategia.
- Los partidos B y C son opositores de M; nunca realizarán
alianzas con M, pero podrán hacerlo entre ellos. Al interior de
B sus dos integrantes votarán en el mismo sentido, o si hay
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desacuerdo frente a alguna decisión uno de ellos vota a favor
o en contra y el otro vota en blanco. Lo mismo ocurre al
interior de C.
- El independiente podrá asumir cualquier posición.
11. Se ha sometido a votación el tiempo máximo de duración
de las ponencias. El partido M propuso 20 minutos y un
integrante de B o de C propuso 10 minutos. Si al efectuar
la votación todos los integrantes habilitados votaron y se
obtuvo un empate, de las afirmaciones siguientes, de la
única que se tiene certeza es:
A. El integrante que no tiene derecho al voto pertenece
al partido B o al partido C
B. El integrante que no tiene derecho al voto pertenece
al partido M
C. El independiente votó en contra de la propuesta del
partido M
D. Al menos tres integrantes de M votaron a favor de su
propuesta
12. Frente a las mismas propuestas anteriores, si al efectuar
la votación uno de los integrantes habilitados para votar
votó en blanco, y la propuesta del partido M ganó por un
voto, entonces de las situaciones siguientes la única que
no es posible es:
A. El integrante independiente votó en blanco
B. Uno de los integrantes de B o C votó en blanco
C. Uno de los integrantes de M no tiene derecho al
voto y uno de los integrantes de C votó en blanco
D. El independiente votó en blanco y uno de los
integrantes de M no tiene derecho al voto
13. Frente a las mismas propuestas anteriores, si al efectuar
la votación dos de los integrantes habilitados para votar
lo hicieron en blanco y se obtuvo un empate entonces,
de las afirmaciones siguientes, de la única que se tiene
certeza es:
A. Uno de los integrantes del partido M no tiene
derecho al voto
B. El independiente votó en blanco
C. Los integrantes de C votaron en blanco
D. El independiente y uno de los integrantes de B
votaron en blanco
14. La probabilidad de lanzar un dardo y que éste caiga en la parte sombreada, asumiendo que caerá al interior de la figura, es:
A. 1/4 B. 1/3 C. 3/8 D. 2/5
Preguntas 15 a 17
El diagrama muestra la distribución de un consultorio con sus tres puertas de acceso, además del número de cerraduras de cada puerta; cada cerradura tiene su propia llave, aunque todas son idénticas en apariencia. A una auxiliar de enfermería le entregan 9 llaves entre las cuales se encuentran 8 de las cerraduras.
15. El número mínimo de ensayos que se requieren para
garantizar su acceso al quirófano pasando por todas las puertas, siempre y cuando se vayan señalando las llaves una vez utilizadas es: A. 524 B. 558 C. 600 D. 630
16. A un médico que se encuentra en el interior del quirófano la secretaria al salir le entrega 9 llaves con el mismo sistema anterior y por seguridad cierra las tres puertas con sus respectivas cerraduras con otro juego de llaves. El número mínimo de ensayos que se requieren para garantizar la salida del médico pasando por todas las puertas; siempre y cuando se vayan señalando las llaves una vez utilizadas es: A. 600 B. 558 C. 336 D. 306
17. Aceptando como verdadera la siguiente afirmación:
Si un paciente se encuentra en el interior del quirófano, entonces pasó necesariamente por la puerta B.
PREUNIVERSITARIO SIMBIOSIS
La única afirmación válida lógicamente es: A. Si un paciente ingresó por B, necesariamente se
encuentra en el quirófano B. Si un paciente no se encuentra en el quirófano,
necesariamente no ingresó por la puerta B C. Si un paciente ingresa por la puerta A y no se
encuentra en el quirófano, necesariamente ha pasado por la puerta B
D. Si un paciente no pasó por la puerta B, necesariamente no se encuentra en el quirófano