Funcin continua(Redirigido desde Continuidad (matemtica))Continua redirige aqu. Para otras acepciones, vasecontinuo.Enmatemticas, unafuncincontinuaes aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeas variaciones en los valores de la funcin. Si la funcin no es continua, se dice que esdiscontinua. Una funcin continua deenes aquella cuya grfica puede dibujarse sin levantar el lpiz del papel (ms formalmente sugrafoes unconjunto conexo).La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales delanlisis matemticoy de latopologa. El artculo describe principalmente la continuidad defunciones realesde una variable real.ndice[ocultar] 1Funciones reales de una variable real 1.1Continuidad de una funcin en un punto 1.2Continuidad lateral 1.3Continuidad de una funcin en un intervalo abierto: (a,b) 1.4Continuidad de una funcin en un intervalo cerrado: [a,b] 2Algunas funciones continuas importantes 2.1Funciones definidas por intervalos 2.2Funcin racional 3Teoremas sobre funciones continuas 3.1Derivada y continuidad 3.1.1Clase de continuidad 4Funciones continuas en espacios topolgicos 5Funciones continuas sobre los nmeros ordinales 6Vase tambin 7Referencias 7.1BibliografaFunciones reales de una variable real[editar]

Informalmente hablando, una funcinfdefinida sobre unintervaloIescontinuasi lacurvaque la representa, es decir el conjunto de los puntos (x,f(x)), conxenI, est constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no est roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.El intervaloIdexes eldominio de definicindef, definido como el conjunto de los valores dexpara los cualesf(x)existe.El intervaloJdeyes elrango(tambin conocido comoimagen) def, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribeJ = f(I). Notar que en general, no es igual que elcodominio(slo es igual si la funcin en cuestin essuprayectiva.)El mayor elemento deJse llama elmximo absolutodefenI, y el menor valor deJes sumnimo absolutoen el dominioI.Continuidad de una funcin en un punto[editar]

Definicin de continuidad en un puntoUna funcinf es continua en un punto x0en el dominio de la funcinsi:tal que para todaxen el dominio de la funcin:

Esto se puede escribir en trminos de lmites de la siguiente manera:Six0es punto de acumulacin del dominio de la funcin entoncesfes continua enx0si y slo si. Cuandox0no es de acumulacin del dominio, la funcin es continua en ese punto.En el caso de aplicaciones deen, y de una manera ms rigurosa se dice que una funcines continua en un puntox1si existef (x1), si existe ellmitedef (x)cuandoxtiende haciax1por la derecha, si existe el lmite def (x)cuandoxtiende haciax1por la izquierda, y adems ambos coinciden conf (x1).As pues, una funcinfcontinua en el puntox1implica lo siguiente:1. existe el lmite por la derecha:

2. existe el lmite por la izquierda:

3. La funcin tiene lmite por la derecha y por la izquierda del puntox1

4. El lmite por la derecha, el lmite por la izquierda coinciden:

5. Si existen el lmite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la funcin tiene lmite en este punto:

6. Existef(x1):

7. El lmite y el valor de la funcin coinciden:

La funcin es continua en ese punto. Una funcin es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Sif(x1)= y1, la continuidad enx1se expresa as:

parafraseando, cuandoxse aproxima ax1,f(x)se aproxima ay1'. Por definicin de los lmites, esto significa que para todo intervalo abiertoJ, centrado eny1, existe un intervalo abiertoI, centrado enx1, tal que.Sifejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervaloIalrededor dex1tiene su imagen en un intervaloJcentrado eny1, con un radio inferior al salto def, no importa lo pequeo que este intervalo sea, hay valores dexdel intervaloIalrededor dex1que tiene su imagen en un intervaloKcentrado eny2, siendoy1yy2valores distintos, esto es:xtiene imgenes que se salen deJ.La ventaja de esta definicin es que se generaliza a cualquierespacio topolgico.

Continuidad lateral[editar]

Una funcinescontinua por la izquierdaen el puntosi el lmite lateral por la izquierda y el valor de la funcin en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.Una funcinescontinua por la derechaen el puntosi su lmite lateral por la derecha y el valor de la funcin en el punto son iguales. Es decir:

Una funcinescontinua en un puntosi escontinua por la izquierday escontinua por la derecha. Esto es:

Continuidad de una funcin en un intervalo abierto: (a,b)[editar]Un valorc, pertenece a unintervaloabiertoI, de extremo izquierdoay extremo derechob, representadoI= (a,b)si:

Una funcin,fes continua en un intervalo abiertoI= (a,b), si y solo si la funcin es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

Continuidad de una funcin en un intervalo cerrado: [a,b][editar]Un valorc, pertenece a un intervalo cerradoI, de extremo izquierdoay extremo derechob, representadoI= [a,b]si:

Una funcinfes continua en un intervalo cerrado[a, b]si la funcin es continua en el intervalo abierto(a,b)y es continua por la derecha deay continua por la izquierda deb:

Algunas funciones continuas importantes[editar]

Funciones seno y coseno.Las funcionespolinomiales,trigonomtricas:senoycoseno, lasexponencialesy loslogaritmosson continuas en sus respectivos dominios de definicin.Laparbola, como funcin polinmica, es un ejemplo de funcin continua a lo largo de todo el dominio real.En la grfica se ve la funcin seno que es peridica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carcter peridico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Funciones definidas por intervalos[editar]

Artculo principal:Funcin definida a trozosLas funciones definidas para distintos intervalos dex, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo: LaFuncin parte enteradex, E(x), donde E(x) es el mayornmero enteroinferior o igual ax, tal que:E(x) x< E(x) + 1.Su curva es una sucesin de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta funcin no es continua en los enteros, pues los lmites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante. Otras funciones definidas por intervalos son:Funcin escaln unitarioFuncin signo

Funcin racional[editar]

Artculo principal:Funcin racionalLas funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la funcin inverso dex:

Esta funcin es unahiprbolacompuesta por dos tramos.x< 0 yx> 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo eldominioporque no est definida enx= 0. Si se extiende el dominio de la funcin aR(dndole un valor arbitrario a f(0)) la funcin ser discontinua.

Teoremas sobre funciones continuas[editar]Estos son algunos de los teoremas ms importantes sobre funciones continuas.1. Teorema de Weierstrass: Sifes continua enentonces presenta mximos y mnimos absolutos.2. Teorema de Bolzano: Sifes continua enyy, entoncestal que3. Teorema del valor intermedio: Sifes continua enyentoncestal que4. Acotacin: Sifes una funcin sobre unconjunto compactoentonces, la funcin tiene un mximo o un mnimo (sobre un conjunto abierto se tiene el siguiente contraejemplo la funcines continua sobrepero no es acotada).Derivada y continuidad[editar]Las funciones derivables son continuas. Si unafuncinesderivableenx= aentonces es continua enx= a. De modo que la continuidad es una condicin necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables es parte de las funciones continuas.[Expandir]Demostracin

Es importante notar que lo recproco no es vlido; es decir que nada se puede afirmar sobre laderivabilidadde una funcin continua. Un ejemplo claro de esta situacin es la funcinvalor absolutof(x)= |x|que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todopero no derivables en ningn punto (las funciones delmovimiento brownianoverifican esto con probabilidad 1). Sobre esto consultarCalculusde Spivak.Clase de continuidad[editar]Una funcin, se dice que: es de clasecuando es continua en todo el dominio. es de clasesi est definida en todo el dominiojunto con sus derivadas hasta ordeny todas ellas son continuas. es de clasesi tiene derivadas continuas de cualquier orden. Observemos que funciones de este tipo no son nercesariamenteanalticas. Una funcin es de clasesi es la derivada en elsentido de las distribucionesde una funcin de clase. Unafuncin generalizadase dice de clasesi es la derivadak-sima en el sentido de las distribuciones de una funcin de clase.Se puede dar ejemplos que muestran que hay funciones de clasepero no lo son de clase. Los ejemplos clasicos son.Funciones continuas en espacios topolgicos[editar]Seanedosespacios topolgicos. Unaaplicacinse dice que escontinuasi:es unabiertode, cualquiera que sea el abiertode. Esta es la continudad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en un punto del dominio.Esta definicin se reduce a la definicin ordinaria de continuidad de una funcinsi sobreyse considera la topologa inducida por la distancia eucldea.Con la misma notacin anterior, si, diremos queescontinuaencuando se obtiene quees unentornode, cualquiera que sea el entornode.Es "inmediato" entonces comprobar quees continuasi y solo sies continua en, cualquiera que sea ste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.Funciones continuas sobre los nmeros ordinales[editar]El trmino funcin continua en la parte de lateora de conjuntosque se refiere a losnmeros ordinalestiene un sentido diferente al referido a las funciones sobre espacios topolgicos. Concretamente una funcinFdefinida sobre laclasede los nmeros ordinaleses continua si para cada ordinal lmite se cumple la siguiente propiedad:

Vase tambin[editar] Clasificacin de discontinuidades Lista de funciones matemticas Derivacin Continuo Continuidad uniformeReferencias[editar]Bibliografa[editar] Serge Lang (1990):Introduccin al anlisis Matemtico, Wilmington Delaware. James R. Munkres (2002):Topologa, Madrid.