contraste hipotesis [Modo de compatibilidad] · 2012-02-02 · 15/12/2011 4 Conceptos del contraste...

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Contraste de hipótesis

Análisis de datos y gestión veterinariaAnálisis de datos y gestión veterinaria

Departamento de Producción Animal – Facultad de Veterinaria

Universidad de Córdoba

Córdoba, 14 de Diciembre de 2011

Conceptos del contraste de hipótesis

N = ???? = millones de votantes

estadísticos

n = 10.000votantes

estimadores ointervalos de confianza

Inferencias.Generalizaciones apartir de la muestra ala población.

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N = ???? = millones de votantes

Hipótesis o conjetura

n = 10.000votantes

Verificación de la validez de la

hipótesis

Contraste de hipótesis.Verificación de la validez de unahipótesis planteada sobre unapoblación a partir de lainformación muestral.


Un veterinario quiere saber si la esperanza de vida de losgatos es la misma que la de las gatas.

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Un veterinario quiere saber si la esperanza devida de los gatos es la misma que la de lasgatas.

Una clínica veterinaria recibe un envío dematerial clínico. Sólo aceptará el envío si nohay más de un 1% de materialesdefectuosos.


Un veterinario quiere saber si la esperanza devida de los gatos es la misma que la de lasgatas.

Una clínica veterinaria recibe un envío dematerial clínico. Sólo aceptará el envío si nohay más de un 1% de materialesdefectuosos.

Una fábrica de piensos afirma que producesacos de 50 kg.

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Una fábrica depiensos afirma queproduce sacos de 50kg.

Hipótesis nula: se formula la conjetura sobre elparámetro y se acepta siempre que no se produzcasuficiente evidencia en contra.

0 0:H θ θ=

Ho: los sacos de pienso pesan 50 kg



Hipótesis alternativa: se contrasta la validez de lahipótesis nula frente a su alternativa con informaciónmuestral. Se considera cierta si la nula resulta falsa.

1 0:H θ θ≠

H1: los sacos de pienso no pesan 50 kg

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Hipótesis nula

simple0 0:H θ θ=

compuesta0 0:H θ θ≤

Hipótesis alternativa

unilateral1 0:H θ θ≤

bilateral1 0:H θ θ≠



n = 100sacos

Se rechaza

1 0:H θ θ≠ Regla de decisión

Se acepta

0 0:H θ θ=

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Se rechaza


1 0:H θ θ≠Regla de decisión Se acepta

0 0:H θ θ=

Si Ho es cierta y la regla la rechaza, se comete el

error Tipo I

Si Ho es falsa y la regla no la rechaza, se comete el

error Tipo II

α es la probabilidad derechazar Ho siendo cierta

β es la probabilidad deaceptar Ho siendo falsa

1-α es la probabilidad deaceptar Ho siendo cierta

1-β es la probabilidad derechazar Ho siendo falsa

Regla de decisiónRealidad


aceptar

rechazar

Ho cierta Ho falsa

Decisión correctap = 1 – α

Error Tipo Ip = α

Error Tipo IIp = β

Decisión correctap = 1 – β

α = nivel de significación de la prueba1 – β = potencia de la prueba

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Regla de decisiónRealidad


aceptar

rechazar

Ho cierta Ho falsa

Decisión correctap = 1 – α

Error Tipo Ip = α

Error Tipo IIp = β

Decisión correctap = 1 – β

α = nivel de significación de la prueba1 – β = potencia de la prueba

Robustez. Habilidad delcontraste para no detectarerróneamente diferencias,cuando no realmente no lashay.

Potencia. Habilidad paraseñalar diferencias, cuandoefectivamente las hay.



n = 100sacos

Se rechaza

1 0:H θ θ≠ Regla de decisión

Se acepta

0 0:H θ θ=

α = 0,05

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Contrastes para la media

¿n?

n>30 contrastebasadoen Z

no requiered. normal

n<30requiere

d. normal¿σ2 conocida?

no requiereconocer σ2

contraste basado en t


contrastebasadoen Z

n<30requiere


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Contrastes para la media de una distribución normal con varianza conocida

n = X1, X2, …, Xn

µ desconocidaσ2 conocida

0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

>

/

XZ

n

µσ−

=

Si Ho es cierta…

0

/

XZ

n

µσ−

=

Si H1 es cierta…

0

/

XZ

n

µσ↑↑ −

=↑↑


n = 16= 5,038 gµ = ¿5 g?σ2 = 0,0256

0 0

1

:

:

5

5

H

H

µ µ

µ

==

>

5,038 51,52

0,1/ 16Z

−= =

X

¿puedo considerar que 1,52 es muy grande para aceptar

Ho?

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Z

fZ(z)

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

n = 16= 5,038 gµ = ¿5 g?σ2 = 0,0256

0 0

1

:

:

5

5

H

H

µ µ

µ

==

>

5,038 51,52

0,1/ 16Z

−= =

X


n = 16= 5,038 gµ = ¿5 g?σ2 = 0,0256

0 0

1

:

:

5

5

H

H

µ µ

µ

==

>

5,038 51,52

0,1/ 16Z

−= =

X

Depende del riesgo a asumir. Ho será rechazadacuando, siendo cierta, la probabilidad de que la mediamuestral tome el valor observado sea menor al 5%(α=0,05):

P(Z>zα)=α; α = 0,05; Z=1,645


Ho?

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Z

fZ(z)

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

n = 16= 5,038 gµ = ¿5 g?σ2 = 0,0256

0 0

1

:

:

5

5

H

H

µ µ

µ

==

>

5,038 51,52

0,1/ 16Z

−= =

X

α


n = 16= 5,038 gµ = ¿5 g?σ2 = 0,0256

0 0

1

:

:

5

5

H

H

µ µ

µ

==

>

5,038 51,52

0,1/ 16Z

−= =

X

Depende del riesgo a asumir. Si se quiere asumirun 5% de probabilidad de rechazo de Ho, si escierta (α=0,05):

P(Z>zα)=α; α = 0,05; Z=1,645


Ho?

Dado que 1,52 < 1,645; no hay suficienteevidencia para rechazar Ho (con una probabilidadde rechazar Ho, si fuera cierta, del 5%).

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n = 16= 5,038 gµ = ¿5 g?σ2 = 0,0256

0 0

1

:

:

5

5

H

H

µ µ

µ

==

>

5,038 51,52

0,1/ 16Z

−= =

X

Si α=0,10:

P(Z>zα)=α; α = 0,10; Z=1,28


Ho?


n = 16= 5,038 gµ = ¿5 g?σ2 = 0,0256

0 0

1

:

:

5

5

H

H

µ µ

µ

==

>

5,038 51,52

0,1/ 16Z

−= =

X

Si α=0,10):

P(Z>zα)=α; α = 0,10; Z=1,28


Ho?

Dado que 1,52 > 1,28; hay suficiente evidenciapara rechazar Ho (con una probabilidad derechazar Ho, si fuera cierta, del 10%).

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Z

fZ(z)

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,1α =

0,05α =

Mientras menor sea el nivel de significación,mayor será la duda sobre su veracidad.


n = X1, X2, …, Xn


0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

>

/

XZ

n

µσ−

=Rechazar Ho si:

siendo Z una variable aleatoria normalestándar

0

/

( )

XZ z

n

P Z z

α

α

µσ

α

−= >

> =

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n = X1, X2, …, Xn


0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

<

/

XZ

n

µσ−

=Rechazar Ho si:


0

/

( )

XZ z

n

P Z z

α

α

µσ

α

−= < −

> − =


n = X1, X2, …, Xn


0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

≠

/

XZ

n

µσ−

=Rechazar Ho si:


0 0/2 /2

/2 /2

o / /

( ) / 2 ( ) / 2

X XZ z Z z

n n

P Z z P Z z

α α

α α

µ µσ σ

α α

− −= < − = >

< − = > =

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Valor crítico (p-value). Elmenor nivel de significaciónal cual puede rechazarse unahipótesis.

5,038 51,52

0,1/ 16Z

−= =

1,52; 0,0643zα α= =

Si Ho fuera cierta, la probabilidad de encontrar un valor igual o superior a 1,52

es del 6,43%

La hipótesis nula puede ser rechazada para todos los niveles de significación mayores que 6,43%


Cuando una máquina de ordeño funciona bien, la presión es de 2 atmcon d.t. 0,06 atm. Periódicamente se comprueba que funciona bien enuna muestra aleatoria de 9 vacas. El último control reportó una mediade 1,95 atm. Contraste que la media poblacional sigue siendo de2 atm con un nivel de significación del 5% y halle el p-valor.

Rechazar si:0 0

1

: 2

: 2

H

H

µ µ

µ

= =

≠0 0

/2 /2 o / /

X XZ z Z z

n nα α

µ µσ σ− −

= < − = >

/2 0,025

/2 0,025

1,95 22,50

0,06 / 9

1,96

1,96

Z

z z

z z

α

α

−= = −

= =

− = − = −

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contrastebasadoen Z

n<30requiere



¿n?



n<30requiere



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Contrastes para la media si n>30

Los mismos planteamientosdesarrollados anteriormenteson válidos.

Teorema central del límite

Si no se conoce σ2, se usa s2


¿n?



n<30requiere



contraste basado en t

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Contrastes para la media de una distribución normal: varianza poblacional desconocida

n = X1, X2, …, Xn

µ desconocidaσ2 desconocida

0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

>

Rechazar Ho si:

Donde tn-1 sigue una distribución t deStudent con n-1 grados de libertad

01,

1 1,

/

( )

n

x

n n

Xt

S n

P t t

α

α

µ

α

−

− −

−>

> =

Rechazar Ho si:

Donde tn-1 sigue una distribución t deStudent con n-1 grados de libertad


n = X1, X2, …, Xn


0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

<

01,

1 1,

/

( )

n

x

n n

Xt

S n

P t t

α

α

µ

α

−

− −

−< −

< − =

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Rechazar Ho si:

Donde tn-1 sigue una distribución t de Student conn-1 grados de libertad


n = X1, X2, …, Xn


0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ

µ µ

=

≠

0 01, /2 1, /2

1 1, /2 1 1, /2

o / /

( ) / 2 ( ) / 2

n n

x x

n n n n

X Xt t

S n S n

P t t P t t

α α

α α

µ µ

α α

− −

− − − −

− −< − >

< − = > =

Se basa en que la variable aleatoria:

sigue una distribución chi-cuadrado con (n–1) grados delibertad.

Contrastes para la varianza de una distribución normal

Se apoya de modo crucial en la distribución normal

( ) 2

2

1 2

1 x

n

n sχ

σ−

−=

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Si Ho es cierta, la variable aleatoria:

sigue una distribución normal con (n–1) grados de libertad


n = X1, X2, …, Xn


2 2

0 0:H σ σ=

( )

( ) ( )

2

2

1 2

0

2 2 2 2

1 1, 1 1,

1

x

n

n n n n

n s

P Pα α

χσ

χ χ α χ χ α

−

− − − − −

−=

> = < =


Intervalo de confianza del

( ) ( )

2 22

2 2

1, /2 1,1 /2

2 2 2 2

1 1, /2 1 1,1 /2

( 1) ( 1)

2 2

x x

n n

n n n n

n s n s

P P

α α

α α

σχ χ

α αχ χ χ χ

− − −

− − − − −

− −< <

> = < =

100(1 )%α−

chi-cuadrado

f(chi-cuadrado)

0 10 20 30 40

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

1 α− 2

α

2

α

2

,1 /2v αχ −2

, /2v αχ

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Rechazar Ho si:

Donde la variable aleatoria chi-cuadrado sigue unadistribución chi-cuadrado con (n-1) grados de libertad


n = X1, X2, …, Xn


2 2

0 0

2 2

1 0

:

:

H

H

σ σ

σ σ

=

≠

( ) ( )2 2

2 2

1,1 /2 1, /22 2

0 0

2 2 2 2

1 1,1 /2 1 1,1 /2

1 1 o

( ) / 2 ( ) / 2

x x

n n

n n n n

n s n s

P P

α α

α α

χ χσ σ

χ χ α χ χ α

− − −

− − − − − −

− −< >

< = > =

Rechazar Ho si:

Donde la variable aleatoria Z sigue una distribución normalestándar

Contrastes para la proporción poblacional

0 0

1 0

:

:

H p p

H p p

=

≠

( ) ( )0 0

/2 /2

0 0 0 0

/2 /2

ˆ ˆ o

1 / 1 /

( ) / 2 ( ) / 2

x xp p p pz z

p p n p p n

P Z z P Z z

α α

α αα α

− −> < −− −

> = < − =

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Contrastes para la proporción poblacional

De una muestra de 802 clientes de clínicas veterinarias, 378 fueroncapaces de recordar el precio del servicio un año después del mismo.Contrastar con un nivel de significación del 10% que al menosla mitad de los clientes de clínicas veterinarias son capaces derecordar el precio un año después del servicio.

Rechazar si:0 0

1

: 0,50

: 0,50

H p p

H p

≥ =

<

( )0

0 0

0,10

ˆ

1 /

1,28

xp pz

p p n

z z

α

α

−< −

−

= =0,471 0,50

1,640,50·0,50 / 802

−= −

Contrastes para la diferencia entre dos medias

Se estudia la diferencia de medias antes ydespués del tratamiento en los mismossujetos que constituyen una muestra,extraída aleatoriamente de la poblaciónnormal.

Se estudia la diferencia de medias de dosmuestras independientes extraídasaleatoriamente de poblaciones normales.

Diferencia de medias con datos pareados

Diferencia de medias en muestras independientes

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Rechazar Ho si:

donde la variable aleatoria tn-1 sigue una distribución t deStudent con (n–1) grados de libertad.

0 01, /2 1, /2

1 1, /2 1 1, /2

o / /

( ) / 2 ( ) / 2

n n

d d

n n n n

d D d Dt t

s n s n

P t t P t t

α α

α αα α

− −

− − − −

− −< − >

< − = > =

0 0

1 0

:

:

x y

x y

H D

H D

µ µ

µ µ

− =

− ≠

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varianza conocidao

tamaño muestral grande

varianzas poblacionales son iguales

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varianza conocidao


30 observaciones en cadamuestra son, en general,suficientes

si la varianza poblacional nose conoce, se utiliza lavarianza muestral


Diferencia de medias en muestras independientes convarianza conocida o tamaño muestral grande

Rechazar Ho si:

donde la variable aleatoria Z sigue una distribución normalestándar.

0 0/2 /2

2 22 2

/2 /2

o

( ) / 2 ( ) / 2

y yx x

x y x y

x y D x y Dz z

n n n n

P Z z P Z z

α α

α α

σ σσ σ

α α

− − − −< − >

+ +

< − = > =

0 0 1 0: :x y x yH D H Dµ µ µ µ− = − ≠

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varianza conocidao


varianzas poblacionales son iguales

A continuación, estimar la varianza común.


Diferencia de medias en muestras independientes convarianzas poblacionales iguales

En primer lugar, contrastar la igualdad de varianzas.

( ) ( )2 2

21 1

2

x x y y

x y

n s n ss

n n

− + −=

+ −

Finalmente, contrastar la diferencia de medias.

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Diferencia de medias en muestras independientes convarianzas poblacionales iguales

Rechazar Ho si:

donde la variable aleatoria tnx+ny-2 sigue una distribución t deStudent con (nx+ny-2) grados de libertad.

0 02, /2 2, /2

2 2, /2 2 2, /2

o

( ) / 2 ( ) / 2

x y x y

x y x y x y x y

n n n n

x y x y

x y x y

n n n n n n n n

x y D x y Dt t

n n n ns s

n n n n

P t t P t t

α α

α αα α

+ − + −

+ − + − + − + −

− − − −< − >

+ +

< − = > =

0 0 1 0: :x y x yH D H Dµ µ µ µ− = − ≠


Una muestra aleatoria de 4 perros tratados con un fármaco tuvo unamedia de 78,0 + 24,4 latidos cardíacos por minuto, mientras que otramuestra independiente de 4 perros sin tratar, tuvo una media de 63,5 +20,2 latidos. Asumiendo igualdad de varianzas, contrastar con el10% de significación que ambas medias son iguales frente a laalternativa que la media es mayor en el grupo con tratamiento.

0

1

: 0

: 0

x y

x y

H

H

µ µ

µ µ

− =

− >

( ) ( )2 2 2 21 1 3·24,4 3·20,222,4

2 4 4 2

x x y y

x y

n s n ss

n n

− + − += = =

+ − + −

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Una muestra aleatoria de 4 perros tratados con un fármaco tuvo unamedia de 78,0 + 24,4 latidos cardíacos por minuto, mientras que otramuestra independiente de 4 perros sin tratar, tuvo una media de 63,5 +20,2 latidos. Asumiendo igualdad de varianzas, contrastar con el10% de significación que ambas medias son iguales frente a laalternativa que la media es mayor en el grupo con tratamiento.

0

1

: 0

: 0

x y

x y

H

H

µ µ

µ µ

− =

− >

02,

78 63,5 0,915

822,4

16

x yn n

x y

x y

x y Dt

n ns

n n

α+ −

− − −> =

+

2,0,10 6,0,10 1,440x yn nt t+ − = =

Contrastes para la diferencia entre dos proporciones

40 observaciones en cada muestra son, en general, suficientes

Rechazar Ho si:


0 1: :x y x yH p p H p p= ≠

( ) ( )/2 /2

0 0 0 0

/2 /2

ˆ ˆ ˆ ˆ o

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1

( ) / 2 ( ) / 2

x y x y

x y x y

x y x y

p p p pz z

n n n np p p p

n n n n

P Z z P Z z

α α

α αα α

− −< − >

+ +− −

< − = > =

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Contrastes para la igualdad de varianzas

Se toman dos muestras aleatorias e independientes: nx, ny

De dos poblaciones normales con varianzas: σ2x, σ2

y

Con varianzas muestrales: s2x, s2

y

F

f(F)

0 1 2 3 4 5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

F con (nx-1) g.L. en elnumerador y (ny-1)g.L. en el denominador

2 2

2 2

/

/

x x

y y

sF

s

σσ

=

Contrastes para la igualdad de varianzas

Rechazar Ho si:

Donde la variable aleatoria F sigue una distribución F con (nx–1) g.L. en el numerador y (ny–1) g.L. en el denominador

2 2 2 2

0 1: :x y x yH Hσ σ σ σ= ≠

( )

2

1, 1,2

1, 1 1, 1,

x y

x y x y

xn n

y

n n n n

sF

s

P F F

α

α α

− −

− − − −

>

> =

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Contrastes no paramétricos

contrastes basados en el supuesto de normalidad (también válidos si se aplican en muestras grandes aunque la población no

sea normal)

¿Cómo contrastamos dos medias si la distribución de la

población difiere considerablemente de la normal, o n es pequeño?


- No requieren d. normal en las poblaciones.- Es poco sensible a valores extremos.- Requieren muestras independientes.- Requieren distribuciones poblacionales similares.- Si la población es normal, son menos poderosos que losparamétricos.


Contraste de signos

¿Cómo contrastamos dos medias si la distribución de la

población difiere considerablemente de la normal, o n es pequeño?


- No requieren d. normal en las poblaciones.- Es poco sensible a valores extremos.- Requieren muestras independientes.- Requieren distribuciones poblacionales similares.- Si la población es normal, son menos poderosos que losparamétricos.

Contraste de Wilcoxon

Contraste de Mann-Whitney

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Contraste de signos

A

B

8 personas elegidas aleatoriamente van a catar

ambos platos y a puntuarlos de 1 a 10


Contraste de signos

A B

Individuo Diferencia Signo

Jamón A Jamón B

María 6 8 -2 -

Pedro 4 9 -5 -

Alejandro 5 4 1 +

Sonia 8 7 1 +

Ana 3 9 -6 -

Raquel 6 9 -3 -

Andrés 7 7 0 0

José 5 9 -4 -

Valoración

Si se descartan los ceros, los signos pueden considerarse como una muestra aleatoria

de una población con distribución binomial.

Individuo Diferencia

Jamón A Jamón B

María 6 8 -2

Pedro 4 9 -5

Alejandro 5 4 1

Sonia 8 7 1

Ana 3 9 -6

Raquel 6 9 -3

Andrés 7 7 0

José 5 9 -4

ValoraciónIndividuo

Jamón A Jamón B

María 6 8

Pedro 4 9

Alejandro 5 4

Sonia 8 7

Ana 3 9

Raquel 6 9

Andrés 7 7

José 5 9

Valoración

Se usa como alternativa no paramétrica a la comparación de dos medias con datos pareados

15/12/2011

32


Contraste de signos

A B


Jamón A Jamón B

María 6 8 -2 -

Pedro 4 9 -5 -

Alejandro 5 4 1 +

Sonia 8 7 1 +

Ana 3 9 -6 -

Raquel 6 9 -3 -

Andrés 7 7 0 0

José 5 9 -4 -

ValoraciónIndividuo

Jamón A Jamón B

María 6 8

Pedro 4 9

Alejandro 5 4

Sonia 8 7

Ana 3 9

Raquel 6 9

Andrés 7 7

José 5 9

ValoraciónIndividuo Diferencia

Jamón A Jamón B

María 6 8 -2

Pedro 4 9 -5

Alejandro 5 4 1

Sonia 8 7 1

Ana 3 9 -6

Raquel 6 9 -3

Andrés 7 7 0

José 5 9 -4

Valoración

0 : 0,5H p+ =

ˆ 0,28p+ =La regla de decisión se basaen la probabilidad de que, si Hofuese cierta, que probabilidadhabría de tener un resultadomuestral como el obtenido


Contraste de signos

A B

0 : 0,5H p+ =

1 : 0,5H p+ ≠

x

f(x)

0 2 4 6 8

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

/ 2α / 2α1 α−

ˆ 0,28p+ =

15/12/2011

33

0 : 0,5H p+ =

1 : 0,5H p+ ≠

ˆ 0,28p+ =


Contraste de signos

A B

x

f(x)

0 2 4 6 8

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

/ 2α / 2α1 α−

(0) (1) (2) (5) (6) (7) 0,4532P P P P P P+ + + + + =

0 : 0,5H p+ =

1 : 0,5H p+ ≠

ˆ 0,28p+ =


Contraste de signos

A B

x

f(x)

0 2 4 6 8

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

/ 2α / 2α1 α−

(0) (1) (6) (7) 0,1250P P P P+ + + =

15/12/2011

34


Contraste de signos

x

f(x)

0 20 40 60 80 100

0

0,02

0,04

0,06

0,08

Si n>20, el contraste de signosse basa en la aproximaciónbinomial de la normalA B


Contraste de signos

Rechazar Ho si:


/2 /2

ˆ ˆ0,5 0,5 o

0,5·0,5 / 0,5·0,5 /

x xp p

z zn n

α α

− −< − >

0 : 0,5H p =

1 : 0,5H p ≠

15/12/2011

35


Contraste de signos

Se usa como alternativa no paramétrica al contraste demedias con datos pareados.

Sólo indica diferencias, no informa de la magnitud dela diferencia.

n>20



A

B

8 personas elegidas aleatoriamente van a catar

ambos platos y a puntuarlos de 1 a 10

15/12/2011

36


A B


Jamón A Jamón B

María 6 8 -2 -

Pedro 4 9 -5 -

Alejandro 5 4 1 +

Sonia 8 7 1 +

Ana 3 9 -6 -

Raquel 6 9 -3 -

Andrés 7 7 0 0

José 5 9 -4 -

Valoración Rango(+) Rango(-)

3

6

1,5

1,5

7

4

5

3 25 Suma




A B

Rango(+) Rango(-)

3

6

1,5

1,5

7

4

5

3 25 Suma

observación

rango

Si no hay diferencias, la distribución de losrangos estará centrada en 0.

15/12/2011

37



A B

Rango(+) Rango(-)

3

6

1,5

1,5

7

4

5

3 25 Suma

observación

rango

Si no hay diferencias, la sumade rango(+) debe seraproximadamente la mismaque la suma de rango (-), quepara n=7, sería entorno a 14.

Si Ho (no hay diferencias) es cierta, ¿qué probabilidad

habría de obtener un resultado muestral como el

obtenido?



A B

Rango(+) Rango(-)

3

6

1,5

1,5

7

4

5

3 25 Suma

La más pequeña de las sumasde rangos es el estadístico T.

En este caso, T=3; que para n=7, α = 0,025

15/12/2011

38



A B

Si n>20, la distribución normales una buena aproximación alestadístico T

( )

( )2

1( )

4

1 (2 1)( )

24

T

T

T

T

n nE T

n n nVar T

TZ

µ

σ

µσ

+= =

+ += =

−=

Rechazar Ho si:




A B

Si n>20, la distribución normales una buena aproximación alestadístico T

/2T

T

Tzα

µσ−

< −

15/12/2011

39



Se usa como alternativa no paramétrica al contraste demedias con datos pareados.

Además de los signos utiliza la magnitud, por lo que Ho serárechazada con un nivel de significación menor que utilizandoel contraste de signos.


Se compara el rendimiento quesero de 31 cabras con dos alimentosdiferentes, ensilado de maíz frente a heno de alfalfa. Se calcularon losrangos y el más pequeño correspondió al heno de alfalfa (189).Contrastar la hipótesis se que ambos alimentos producen elmismo rendimiento quesero.

0

1

: 0

: 0

x y

x y

H

H

µ µ

µ µ

− =

− ≠

( )

( )2

1 31·32248

4 4

1 (2 1) 31·32·632604

24 24

189 2481,16

51,03

T

T

T

T

n n

n n n

TZ

µ

σ

µσ

+= = =

+ += = =

− −= = = −

/2 /21 1 1 0,4385 0,56152

z zα α

α− = − = − = − =

15/12/2011

40



Se usa como alternativa no paramétrica al contraste demedias con muestras aleatorias independientes.

nx

análisis de datos = 10 alumnos

¿son diferentes las horas semanales de estudio de Análisis de Datos y de

Embriología?

ny

embriología = 12 alumnos



Análisis de datos Embriología rango análisis datos rango embriología

10 13 10 17,5

6 17 2 22

8 14 4,5 19

1 12 10 15,5

12 10 15,5 10

13 9 17,5 7

11 15 13 20

9 16 7 21

5 11 1 13

11 8 13 4,5

9 7

7 3

93,5 159,5 Suma de rangos

Análisis de datos Embriología

10 13

6 17

8 14

1 12

12 10

13 9

11 15

9 16

5 11

11 8

9

7

Se desarrolla de modo similar alcontraste de Wilcoxon

15/12/2011

41




10 13 10 17,5

6 17 2 22

8 14 4,5 19

1 12 10 15,5

12 10 15,5 10

13 9 17,5 7

11 15 13 20

9 16 7 21

5 11 1 13

11 8 13 4,5

9 7

7 3


( )

( )2

1

2

( )2

1( )

12

x x

x y x

x y

U

x y x y

U

U

U

n nU n n R

n nE U

n n n nVar U

UZ

µ

σ

µσ

+= + −

= =

+ += =

−=

nx>10 y ny>10



Rechazar Ho si:


/2 /2 o U U

U U

U Uz zα α

µ µσ σ− −

< − >

15/12/2011

42




10 13 10 17,5

6 17 2 22

8 14 4,5 19

1 12 10 15,5

12 10 15,5 10

13 9 17,5 7

11 15 13 20

9 16 7 21

5 11 1 13

11 8 13 4,5

9 7

7 3


Análisis de datos Embriología

10 13

6 17

8 14

1 12

12 10

13 9

11 15

9 16

5 11

11 8

9

7

( )

( )2

1 10·1110·12 93,5 81,5

2 2

10·12( ) 60

2 2

1 10·12·23( ) 230

12 12

81,5 601,42

230

x x

x y x

x y

U

x y x y

U

U

U

n nU n n R

n nE U

n n n nVar U

U

µ

σ

µσ

+= + − = + − =

= = = =

+ += = = =

− −= =

/2 1,42 0,0778 0,15562

zαα

α= = =

contraste hipotesis [Modo de compatibilidad] · 2012-02-02 · 15/12/2011 4 Conceptos del contraste...

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