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Pontificia Universidad Cat´ olica de Chile Facultad de Matem´ aticas Departamento de Matem´ atica Primer Semestre de 2010 ´ Algebra - MAT110E Secci´ on 2 Ayudant´ ıa 1 L´ogica Proposicional y Trigonometr´ ıa Problema 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) ∃n ∈ N tal que n 2 - 1 es un n´ umero primo. b) ∀n ∈ N la expresi´ on n 2 + n + 41 es n´ umero primo. c) ∃n ∈ N tal que 4n 2 - 4n + 1 no es un cuadrado perfecto. d) ∀n ∈ N la expresi´ on n 2 + n es divisible por 2. Problema 2. Construya demostraciones del tipo que se indique, de las siguientes afirmaciones: a) ∀n ∈ N, n> 2= ⇒ (n 2 - 1) es un n´ umero no primo. [Directa] b) Sea A : {n ∈ N | n> 2}∀n ∈ A, n es primo = ⇒ (n + 1) es un n´ umero par. [Contrar- rec´ ıproco] c) ∀n ∈ N, n es primo = ⇒ √ n es un n´ umero irracional. [Contradicci´ on] Problema 3. Visualice gr´ aficamente las siguientes propiedades: a) sen 2 α + cos 2 α = 1. b) sen(π - α) = sen α. c) cos(π - α)= - cos α. d) cos ( π 2 - α ) = sen α. e) sen ( π 2 - α ) = cos α. Problema 4. Demuestre las siguientes identidades trigonom´ etricas: a) tan 2 α + 1 = sec 2 α. b) cot 2 α + 1 = csc 2 α. [email protected] 1 Gast´ on Burrull
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Pontificia Universidad Catolica de Chile
Facultad de Matematicas
Departamento de Matematica
Primer Semestre de 2010
Algebra - MAT110E
Seccion 2
Ayudantıa 1Logica Proposicional y Trigonometrıa
Problema 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ∃n ∈ N tal que n2 − 1 es un numero primo.
b) ∀n ∈ N la expresion n2 + n+ 41 es numero primo.
c) ∃n ∈ N tal que 4n2 − 4n+ 1 no es un cuadrado perfecto.
d) ∀n ∈ N la expresion n2 + n es divisible por 2.
Problema 2. Construya demostraciones del tipo que se indique, de las siguientes afirmaciones:
a) ∀n ∈ N, n > 2 =⇒ (n2 − 1) es un numero no primo. [Directa]
b) Sea A : {n ∈ N | n > 2} ∀n ∈ A, n es primo =⇒ (n + 1) es un numero par. [Contrar-recıproco]
c) ∀n ∈ N, n es primo =⇒ √n es un numero irracional. [Contradiccion]
Problema 3. Visualice graficamente las siguientes propiedades:
a) sen2 α+ cos2 α = 1.
b) sen(π − α) = senα.
c) cos(π − α) = − cosα.
d) cos(
π
2− α
)
= senα.
e) sen(
π
2− α
)
= cosα.
Problema 4. Demuestre las siguientes identidades trigonometricas:
a) tan2 α+ 1 = sec2 α.
b) cot2 α+ 1 = csc2 α.
[email protected] 1 Gaston Burrull
Pontificia Universidad Catolica de Chile
Facultad de Matematicas
Departamento de Matematica
Primer Semestre de 2010
Algebra - MAT110E
Seccion 2
Ayudantıa 1Soluciones
Problema 1.
a) La proposicion es verdadera pues con n = 2 la expresion es igual a n2 − 1 = 3, el cual esun numero primo.
b) La proposicion es falsa para n = 41, dicho de otro modo, tomando n = 41 se puedeverificar la negacion ∃n ∈ N tal que la expresion n2 + n+ 41 es numero no primo, pues laexpresion es 412 + 41 + 41 = 41 · 43 que es divisible por 41 y 43.
c) La proposicion es falsa, pues es cierta la negacion que es: ∀n ∈ N 4n2 − 4n + 1 es uncuadrado perfecto. En efecto, 4n2 − 4n + 1 = (2n − 1)2 es un cuadrado perfecto de unnumero impar.
d) La propocision es verdadera, podemos analizarla por casos, si n fuese impar n + 1 serıapar, y si n fuese par n + 1 serıa impar (¿por que?). Entonces en el producto n(n + 1)habra siempre un numero par multiplicado por un numero impar, por lo tanto n(n+1) = pq
donde p es un numero par y q es un numero impar. Como p es par, se puede escribir dela forma p = 2k para cierto k ∈ N, entonces n2 + n = n(n+ 1) = 2(kq) es divisible por 2.
Problema 2.
a) Una demostracion directa es:
n > 2 =⇒ (n+ 1) > 1 ∧ (n− 1) > 1
=⇒ (n+ 1)(n− 1) es divisible por dos numeros mayores a 1
=⇒ n2 − 1 es divisible por dos numeros mayores a 1
=⇒ n2 − 1 es no primo �
b) Procedemos por contrarrecıproco, entonces debemos demostrar la expresion equivalenteque es:
∀n ∈ A, (n+ 1) es un numero impar =⇒ n es no primo.
En efecto,
(n+ 1) es impar =⇒ n es par
=⇒ n es no primo �
[email protected] 2 Gaston Burrull
Pontificia Universidad Catolica de Chile
Facultad de Matematicas
Departamento de Matematica
Primer Semestre de 2010
Algebra - MAT110E
Seccion 2
c) Realizemos la demostracion por contradiccion:Supongamos que dada la hipotesis no se cumple la tesis, es decir, que para n primo
√n es
un numero racional, de modo que√n = p
qpara p y q primos entre sı. Entonces elevando
al cuadrado obtenemos que n = p2
q2=⇒ nq2 = p2, de modo que p2 es divisible por n,
lo cual implica que p tambien lo es (¿por que?), entonces podemos escribir p = kn paraalgun k ∈ N. Entonces nq2 = p2 = n2k2 =⇒ q2 = nk2, de modo que q2 es divisible por n,lo cual implica que q tambien lo es. Esto hace que p y q sean divisibles por n, por lo queno son primos entre sı, esto contradice la premisa de que
√n es un numero racional. Por
lo tanto√n es un numero irracional. �
Problema 3. Dibujar el cırculo unitario, luego dibujar los angulos α, (π − α) y(
π
2− α
)
, eidentificar visualmente el seno y el coseno de cada uno de los angulos mencionados para valoresarbitrarios de α, para luego corroborar graficamente cada una de las propiedades.
Problema 4.
a) Sabiendo que sen2 α+ cos2 α = 1, tenemos:
tan2 α+ 1 =sen2 α
cos2 α+
cos2 α
cos2 α
=sen2 α+ cos2 α
cos2 α
=1
cos2 α= sec2 α �
b) Sabiendo que sen2 α+ cos2 α = 1, tenemos:
cot2 α+ 1 =cos2 α
sen2 α+
sen2 α
sen2 α
=sen2 α+ cos2 α
sen2 α
=1
sen2 α= csc2 α �
[email protected] 3 Gaston Burrull
