Control Continuo

[CONTROL CONTINUO MITIT

[Escribir el nombre de la compañía] | ¿Qué es un SISTEMA DE CONTROL? 1

¿Qué es un SISTEMA DE CONTROL? Programa de ordenador o dispositivo electrónico que calcula las acciones a ejercer

sobre un sistema para obtener un comportamiento deseado.

Clasificación: dos posibles.

• 1ª clasificación: Control en BUCLE ABIERTO: No se comprueba el resultado de las acciones ejercidas

sobre el sistema.

Control en BUCLE CERRADO: Se comprueba continuamente el resultado de las

acciones ejercidas por si es necesario corregirlas.

Ventajas Inconvenientes

Bucle ABIERTO

Es muy sencillo No requiere tomar

medidas

Puede funcionar MAL el sistema sin ser

advertido

Bucle CERRADO

Si funciona MAL el sistema será advertido

Es muy complejo Requiere tomar

medidas

• 2ª clasificación: Control CONTINUO: El sistema será de control continuo cuando empleemos un

dispositivo electrónico. Se estudian utilizando la Transformada de LAPLACE

Control DISCRETO: El sistema será de control discreto cuando empleemos un

programa de ordenador. Se estudian utilizando la Transformada Z.

Continuo Discreto

COMPARACIÓN

SISTEMA

Tensión Temperatura Temperatura

Realimentación

CÁLCULOS

SISTEMA

Tensión Temperatura


[Escribir el nombre de la compañía] | ¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA? 2

¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA? SEÑAL: Cualquier variable que toma valores en el tiempo (tanto magnitudes físicas

como abstractas, temperatura y cotización en bolsa, respectivamente).

SISTEMA: Conjunto de elementos cuyo comportamiento queda definido por la relación

entre sus señales de entrada y de salida.

¿Cuáles son las señales de uso común en TEORÍA DE SISTEMAS? Nom

bre de la función

Forma CONINUA Forma DISCRETA Expresión Gráfica

Escalón

( )

=1

0

t

ttu

{ }

=1

0

ku

k

Impulso

( )

∞=

0tδ

{ }

=1

0

kk

δ

Rampa

( )

=0

tt

ttr

{ }

=0

kr

k

1

m = 1

1

1 1

Señales sobre las cuales se

puede actuar

Señales que indican si el comport.

del sistema es el deseado Causa - Efecto

SISTEMA

Señales de

entrada

Señales de

salida

Magnitud física Magnitud abstracta



Operaciones con Señales. Operación SEÑALES SECUENCIAS

Suma ( ) ( ) ( )tytxtz += { } { } { }

kkkyxz +=

Resta ( ) ( ) ( )tytxtz −= { } { } { }

kkkyxz −=

Producto ( ) ( ) ( )tytxtz ·= { } { }{ }kkk

yxz ·=

División

( ) ( )( )ty

txtz =

{ } { }{ }

k

kk y

xz =

Producto por un escalar

( ) ( )txCtz ·= { } { }kk

xCz ·=

Desplazamiento temporal

( ) ( )0

ttxtz −= { } { }0kkk

xz −=

Convolución ( ) ( ) (ζ tyxtz −= ∫

+∞

∞−

·

{ } ∑+∞

−∞=−=

n

nknkyxz ·

Tipos de Sistemas.

Sistemas continuos � Con señales de entrada y salida contínuas.

Sistemas discretos � Con señales de entrada y salida discretas.

- Con señales de entrada continua y de salida discreta.

Sistemas híbridos �

- Con señales de entrada discreta y de salida continua.

T

I

P

O

S



Ejemplo: Sistema de control de un Horno.

- Comportamiento deseado: Mantener a una cierta

temperatura el interior del horno.

- Acción a calcular: Tensión a aplicar a la resistencia.

Bucle ABIERTO � Obtener la tensión a aplicar en función de ecuaciones o

bien mediante experimentación.

- Si es menor que la deseada,

aplicamos menor tensión.

Bucle CERRADO � Se mide continuamente

la temperatura y

-Si es mayor que la deseada,

aplicamos mayor tensión.

Representación gráfica:

Control en BUCLE ABIERTO

Control en BUCLE CERRADO

Problemas: ¿Si se deteriora el aislamiento del horno y se pierde calor, que ocurriría?

ABIERTO � Aplicaría igual tensión � Bajaría la temperatura � MAL funcionamiento.

CERRADO � Aplicaría más tensión � Mantendría la temperatura � BUEN funcionamiento.

¿Cumple la definición?

Dif

eren

cias

en

tre

tipo

s de

bu

cle

COMPARACIÓN

HORNO

Tensión Temperatura Temperatura

Realimentación

CÁLCULOS

HORNO

Tensión Temperatura



¿Cuáles son las propiedades de los sistemas continuos?

Linealidad o no linealidad: Un sistema será lineal si el cumple el principio de

superposición:

Varianza o invarianza en el tiempo: Se dice que un sistema es invariante en el tiempo si su

comportamiento no depende del instante:

Causalidad: Decimos que un sistema es causal si su salida en un instante, depende de

valores futuros de la entrada:

SA

SA

SA

( ) ( )txtx21

·· βα + ( ) ( )txtx21

·· βα +

( )tx1

( )ty1

( )tx2

( )ty2

SA

SA

Un desplazamiento temporal en la señal de entrada

ocasiona el mismo desplazamiento en la señal de salida

( )ty( )tx ( )0

ttx − ( )0

tty −

SA

SA

Si es causal se tiene que:

Nota:

A los sistemas NO Causales se les nombra

FÍSICAMENTE IRREALIZABLES.

( ) ( ) ( ) ( )011011

tttytytttxtxSi <∀=⇒<∀=

( )tx1

( )ty1

( )tx2

( )ty2



¿Cuáles son las propiedades de los sistemas discretos? Linealidad o no linealidad: Un sistema será lineal si el cumple el principio de

superposición:

Varianza o invarianza en el tiempo:

Se dice que un sistema es invariante en el k si su comportamiento no depende del

instante:

Causalidad: Decimos que un sistema es causal si su salida en un instante k, dependa de

valores futuros de la entrada:

SA

SA

SA

{ }1k

x { }1k

y

{ }2k

x { }2k

y

{ } { }21

··kk

xx βα + { } { }21

··kk

yy βα +

SA

SA

Un desplazamiento temporal en la señal de entrada

ocasiona el mismo desplazamiento en la señal de salida

{ }k

x { }k

y { }nk

x − { }nk

y −

Si es causal se tiene que:

Nota:

A los sistemas NO Causales se les nombra

FÍSICAMENTE IRREALIZABLES.

SA

SA

{ } { } { } { } knyyknxxSikkkk

<∀=⇒<∀=2121

{ }1k

x { }1k

y

{ }2k

x { }2k

y


[Escribir el nombre de la compañía] | ¿Cómo determinar si un sistema es estable? 7

¿Cuáles son las formas de representación de los Sistemas Lineales e Invariantes?

Tipo de sistema Forma de representación

Ecuación diferencial

( ) ( ) ( ) ( )b

dy

txdbtya

dy

tyda

dy

tydn

n

mn

n

nn

n

01

1

1++=+++ −

−

− LL

Salida ante entrada δ (t), llamada g (t) o Respuesta Impulsional

Ecuación en diferencias

( ) kmkmknknnkxbxbyayay

0011++=++++ −−−−− LL

¿Cómo determinar si un sistema es estable? Sistema estable: Es aquel que ante cualquier entrada acotada responde con una salida

acotada.

g (t)

( )tx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+∞

∞−−== τττ dtxgtgtxty *

δ (t) g (t)

SA

{x k} {y k}

δ (t) g (t)

SA

x 1 (t) y 1 (t)

SA

x1 (t) y1 (t)

SA

x1 (t) y1 (t)

( ) ( ) establesistemaunEsdgyCtxSi ⇒∞<≤ ∫+∞

∞−ττ

{ } establesistemaunEsgyCxSin

kk⇒∞<≤ ∑

+∞

−∞=

{g k}

{ }k

x { } { } { } ∑+∞

−∞=−==

nnkkkkk

xggxy *


[Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 8

Transformadas

- ω Transformada de Fourier.

Cambio temporal � Se pasa del dominio temporal al - S Transformada de Laplace.

- Z Transformada Z.

1. Transformada de Fourier.

- Señales continuas � ( )[ ] ( ) ( )∫+∞

∞−

−== dtetxXtx tjϖϖF .

Transformada para

- Señales discretas � { }[ ] ( ) ∑+∞

−∞=

−==n

kTj

kk exx ϖϖXF .

¿Cuál es el problema de la Transformada de Fourier al aplicarla en Teoría de Sistemas?

- Condición de existencia de ( )tx � ( ) ∞<∫+∞

∞−dttx .

Problemas

- Condición de existencia de { }k

x � ∞<∑+∞

−∞=nk

x .

( )ϖX

ϖ

( )ϖX

ϖ

Fluctuaciones lentas componentes

de frecuencias bajas Fluctuaciones rápidas componentes de

frecuencias elevadas



2. Transformada de Laplace.

Ésta aparece en Teoría de Sistemas con el objetivo de dar solución al problema de la

existencia para funciones como rampa, escalón, parábola,…

- Señales continuas � ( )[ ] ( ) ( )∫+∞ −==

0dtetxXtx tϖϖL .

Transformada para


=

−==0n

kT

kk exx ϖϖXL .

2.1. ¿Cuál es el problema que resuelve la Transformada de Laplace respecto de la Transformada de Fourier al aplicarla en Teoría de Sistemas?

- Condición de existencia de ( )tx � ( ) ( )∫∫+∞ −+∞

∞−

− ∃⇒∞<0

dtetxdtetxSi tt ϖϖ .

Soluciones

- Condición de existencia de { }k

x � ∑∑+∞

=

−+∞

=

− ∃⇒∞<00 k

kT

k

k

kT

k exexSi ϖϖ .

- Señales Continuas � La Transformada de Laplace ofrece una reducción de

complejidad ya que las transformadas son cocientes de polinomios.

Recursos

- Señales Discretas � La Transformada de Laplace no ofrece una reducción de

complejidad ya que las transformadas son funciones periódicas de difícil

utilización.

- Señales Continuas � Transformada de Laplace.

Conclusión

- Señales Discretas � Transformada Z.

jba +=ϖ



( ) ( ) ( )ϖϖϖ GXY ·=

2.2. ¿Cuáles son las principales propiedades de la Transformada de Laplace? i) Linealidad.

( )[ ] ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )ϖβϖαβα

ϖϖ

2121

22

11···· XXtxtx

Xtx

XtxSi +=+⇒

==

LL

L

ii) Desplazamiento en el tiempo.

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ϖϖ ϖXettxXtxSi

t0

0

−=−⇒= LL

iii) Diferenciación en el dominio temporal.

( )[ ] ( ) ( ) ( )

)(

·

nulas soniniciales scondicione las todas

Xdt

tdxXtxSi ϖϖϖ =

⇒= LL

iv) Integración en el dominio temporal.

( )[ ] ( ) ( ) ( )ϖϖττϖ X

dxXtxSit

=

⇒= ∫

0

LL

v) Diferenciación en el dominio de Laplace.

( )[ ] ( ) ( ) ( )txtd

dXtxXSi -1-1 ·−=

⇒=

ϖϖϖ LL

vi) Teorema del valor inicial.

( )[ ] ( ) ( ) ( )ϖϖϖ XlimtxlimXtxSitt

·0 +∞→→

=⇒=+

L

vii) Teorema del valor final.

( )[ ] ( ) ( ) ( )ϖϖϖ XlimtxlimXtxSitt

·0→+∞→

=⇒=L

viii) Teorema de Convolución.

( )[ ] ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )ϖϖ

ϖϖ

2121

22

11·* XXtxtx

Xtx

XtxSi =⇒

==

LL

L

Aplicada sobre la Respuesta Impulsional si nos dan ésta como dato:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( )[ ]

⇒

=

===

tgtxty

tgG

txX

tyY

*

:

:

:

LL

L

L

L

ϖϖϖ

g (t)

( )tx( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tgtxtytgtxtytgtxty LLLLL ·** =⇒=⇒=

g (t)

( )tx ( )ty



Aplicada sobre la Ecuación diferencial si nos dan ésta como dato:

Supongamos la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txbtd

tdxb

td

txdb

td

txdbtya

td

tdya

td

tyda

td

tydn

n

mn

n

mn

n

nn

n

011

1

1011

1

1++++=++++ −

−

−−

−

− LL

Aplicamos la Transformada de Laplace:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )01

1

0

1

1

01

1

0

1

1

01

1

101

1

1

01

1

101

1

1

01

1

101

1

1

bbbXaaY

XbXbXbYaYaY

txbtd

txdb

td

txdbtya

td

tyda

td

tyd

txbtd

txdb

td

txdbtya

td

tyda

td

tyd

txbtd

txdb

td

txdbtya

td

tyda

td

tyd

m

mm

m

n

n

n

m

mm

m

n

n

n

n

n

mn

n

mn

n

nn

n

n

n

mn

n

mn

n

nn

n

n

n

mn

n

mn

n

nn

n

+++=+++

+++=+++

++

+

=++

+

++

+

=++

+

+++=

+++

−−−

−

−−−

−

−

−

−−

−

−

−

−

−−

−

−

−

−

−−

−

−

LL

LL

LL

LL

LL

ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ

LLLLLL

LLLLLL

LL

de donde se obtiene que

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )ϖϖϖϖϖϖ

ϖϖϖ

ϖ

XGYXaa

bbbY

G ciatransferen de función

n

n

n

m

mm

m ·0

1

1

01

1

=⇒+++

+++= −−

−−

4444 34444 21L

L

2.3. ¿A partir de la señal en el dominio temporal, cómo podemos obtener las señales bajo el dominio de la Transformada de Laplace?

Cálculos de la Transformada de Laplace de cada señal

Función de

transferencia =

Transformada de Laplace de la

Respuesta Impulsional

( )[ ] ( ) ( )∫+∞ −==

0dtetxXtx stϖL

( )

( )2

cos

2

jatjat

jatjat

eeat

j

eeatsen

−

−

+=

−=



Transformada de Laplace de señales utilizadas en Teoría de Sistemas

Señal Expresión matemática

en t

Expresión matemática en ω

Unitaria Amplitud A

Escalón ( )

≥<

=01

00

t

ttu ( )

ϖϖ 1=U ( )

ϖϖ A

U =

Rampa ( )

≥<

=0

00

tt

ttr ( )

2

1

ϖϖ =ℜ ( )

2ϖϖ A=ℜ

Parábola ( )

≥<

=0

00

2 tt

ttp ( )

3

2

ϖϖ =P ( )

3

2

ϖϖ AP =

Potencia genérica

( )

≥<

=0

00..

tt

ttgp

n ( )

1

!.. +=

n

nGP

ϖϖ ( )

1

!.. +=

n

nAGP

ϖϖ

Impulso ( )

=∞≠

=0

00

t

ttδ ( ) 1=∆ ϖ

Exponencial ( )

≥<

=− 0

000

te

tte

at ( )

aE

+=

ϖϖ 1

0 ( )

a

AE

+=

ϖϖ

0

Exponencial por t

( )

≥<

=− 0

001

tte

tte

at ( ) ( )21

1

aE

+=

ϖϖ ( ) ( )21

a

AE

+=

ϖϖ

Exponencial por t2 ( )

≥<

=− 0

00

22tet

tte

at ( ) ( )32

2

aE

+=

ϖϖ ( ) ( )32

2

aAE

+=

ϖϖ

Exponencial genérica

( )

≥<

=− 0

00

tet

tte

atnn ( ) ( ) 1

!++

=nn

a

nE

ϖϖ ( ) ( ) 1

!++

=nn

a

nAE

ϖϖ

Senoidal ( ) ( )

≥<

=0

00

tatsen

tts ( )

22 a

aS

+=

ϖϖ ( )

22 a

aAS

+=

ϖϖ

Cosenoidal ( ) ( )

≥<

=0cos

00

tat

ttc ( )

22 aC

+=

ϖϖϖ ( )

22 aAC

+=

ϖϖϖ

Seno por una

exponencial ( ) ( )

≥

<=

− 0

00..

tatsene

ttes

bt ( ) ( ) 22

..ab

aES

++=

ϖϖ ( ) ( ) 22

..ab

aAES

++=

ϖϖ

Coseno por una

exponencial ( ) ( )

≥

<=

− 0cos

00..

tate

ttec

bt ( ) ( ) 22

..ab

bEC

+++=

ϖϖϖ ( ) ( )

( ) 22..

ab

AbEC

+++=

ϖϖϖ



2.4. ¿A partir de la señal bajo el dominio de la Transformada de Laplace, cómo podemos obtener las señales en el dominio temporal?

Para averiguar la Antitransformada de Laplace emplearemos el método de resolución

mediante fracciones simples que se aplicará de la siguiente manera:

Si

¿Qué pasos he de seguir para realizar un Modelado de Sistemas Continuos?

Los pasos que seguiremos para la obtención de la función de transferencia en sistemas

continuos son:

⇒ Partimos de la ecuación diferencial. ⇒ Obtendremos el punto de equilibrio o de funcionamiento (derivadas = 0). ⇒ Linealizaremos y expresaremos en variables incrementales las ecuaciones. ⇒ Transformaremos al dominio de Laplace. ⇒ Obtendremos la función de transferencia (despejando o con diagramas de bloques).

3. Transformada Z.

- Señales continuas � ( )[ ] ( ) ( )∫+∞

∞−

−== dtztxzXtx KtZ .

Transformada para


−∞=

−==k

k

kk zxzx XZ .

No obstante, en Teoría de Sistemas emplearemos la siguiente expresión puesto que

para instantes inferiores al cero supondremos que todas las señales con las que trabajamos

son nulas:

{ }[ ] ( ) ∑+∞

=

−==0k

k

kk zxzx XZ

( )[ ] ( ) ( )∫∞+

∞−

−− ==j

j

t1dteX

jtxX

ϖϖπ

ϖ2

1L

Definición de Antitransformada de Laplace

( ) ( )( )ϖϖϖ

D

NX =



( ) ( ) ( )zzz GXY ·=

3.1. ¿Cuáles son las propiedades de la Transformada Z? i) Linealidad.

{ }[ ] ( ){ }[ ] ( ) { } { }[ ] ( ) ( )zzyx

zy

zxSi kk

k

k YXY

X···· βαβα +=+⇒

==

ZZ

Z

ii) Desplazamiento en el dominio de la variable k.

{ }[ ] ( ) { }[ ] ( )zZxzxSi n

nkk XX −− =⇒= ZZ

iii) Diferenciación en el dominio Z.

{ }[ ] ( ) { }[ ] ( )zdz

dzxkzxSi kk XX −=⇒= ·ZZ

iv) Multiplicación por una exponencial.

{ }[ ] ( ) { }[ ] ( )zaxazxSi k

k

k ·· 1−=⇒= XX ZZ

v) Teorema del valor inicial.

{ }[ ] ( ) ( )zlimxlimzxSiz

kk

k XX+∞→→

=⇒=+0

Z

vi) Teorema del valor final.

{ }[ ] ( ) ( ) ( )zzlimxlimzxSiz

kk

k XX ·11

1

−

→+∞→−=⇒=Z

vii) Teorema de Convolución.

{ }[ ] ( ){ }[ ] ( ) { } { }[ ] ( ) ( )zzxx

zx

zxSi kk

k

k

212,1,

22,

11,·* XX

X

X=⇒

==

LZ

Z

3.2. ¿Cómo podemos sacarle partido a la Transformada Z en Teoría de Sistemas?

Aplicada sobre la Secuencia de Ponderación:

( ) { }[ ]( ) { }[ ]( ) { }[ ]{ }[ ] { } { }[ ]

⇒

=

===

kkk

k

k

k

gxy

gz

xz

yz

*

:

:

:

ZZ

Z

Z

Z

G

X

Y

{gk}

{ }kx{ } { } { } { }[ ] { } { }[ ] { }[ ] { }[ ] { }[ ]kkkkkkkkk gxygxygxy ZZZZZ ·** =⇒=⇒=



Aplicada sobre la ecuación en diferencias:

Supongamos la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

( ) ( ) mkmmkmkkknknnknkkk xbxbxbxbxbyayayayay −−−−−−−−−−−− +++++=+++++ 1122110112211 LL

Aplicamos la Transformada Z:

( )[ ] ( )[ ][ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ][ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )m

m

m

m

n

n

n

n

m

m

m

m

n

n

n

n

mkmmkmkkknknnknkkk

mkmmkmkkknknnknkkk

mkmmkmkkknknnknkkk

zbzbzbzbbzzazzazaz

zzbzzbzzbzzbzbzYzazzazzazzaz

xbxbxbxbxbyayayayay

xbxbxbxbxbyayayayay

xbxbxbxbxbyayayayay

−−−−

−−−−−−

−−

−−−−

−−−−−−

−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

+++++=+++++

+++++=+++++

+++++=+++++

+++++=++++++++++=+++++

1

1

2

2

1

10

1

1

2

2

1

1

1

1

2

2

1

10

1

1

2

2

1

1

1122110112211

1122110112211

1122110112211

1 LL

LL

LL

LL

LL

XY

XXXXXYYYY

ZZZZZZZZZZ

ZZZZZZZZZZ

ZZ

De donde se obtiene que

( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )zzzzzazzaza

zbzbzbzbbz

zG ciatransferen de función

n

n

n

n

m

m

m

m XGYXY ·1 1

1

2

2

1

1

1

1

2

2

1

10 =⇒++++++++++= −−−

−−−

−−−−

−−

44444444 344444444 21L

L

Función de

transferencia =

Transformada Z de la Secuencia de

ponderación



3.3. ¿A partir da la señal en el dominio k, cómo podemos obtener las señales bajo el dominio de la Transformada Z?

Transformada Z de señales generalmente utilizadas en Teoría de Sistemas

Señal

Expresión matemática en el dominio temporal

Expresión matemática en z Cociente de polinomios en

potencias negativas de z Cociente de polinomios

en potencias negativas de z

Escalón { } { },...1,1,1=ku ( )11

1−−

=z

zU ( )1−

=z

zzU

Rampa { } { } { }krk == ,...3,2,1,0 ( ) ( )21

1

1 −

−

−=

z

zzR ( ) ( )2

1−=

z

zzR

Parábola { } { } { }2,...9,4,1,0 kpk == ( ) ( )1

31

1

1

1 −

−

−

−

+= zz

zzP ( ) ( )3

2

1−=

z

zzP

Potencia genérica

{ } { } { }pppp

k kpg == ,...2,1,0 NO TIENE FORMA GENERAL SENCILLA

Impulso { } { },...0,0,1=kδ ( ) 1=∆ z

Exponencial { } { } { }k

k aaaae == ,...,, 2100 ( )11

1−−

=az

zU ( )11

1

−= −

−

za

zazU

Exponencial por k

{ } { } { }k

k kaaaaae == ,...·3,·2,·1,0 32101 ( ) ( )21

1

1 −

−

−=

az

azzR ( ) ( )21

1

1−=

−

−

za

zazR

Exponencial por k2 { } { } { }k

k akaaaae 232102 ,...·9,·4,·1,0 == ( ) ( )1

31

1

1

1 −

−

−

−+= az

az

azzP ( ) ( )

( )31

21

1−=

−

−

za

zazP

Exponencial genérica

{ } { } { }kpppp

k

p akaaae == ,...2,1,0 210 NO TIENE FORMA GENERAL SENCILLA

Senoidal { } { } ( ){ }k

ksen 1,...1,1,1,1 −=−−= ( )11

1−+

=z

zU ( )1+

=z

zzU

Cosenoidal { } { }( ){ }11,...1,1,1,1

+−−−= k

kcos ( )11

1−+

−=z

zU ( )1+

−=z

zzU

Seno por una

exponencial { } { } ( ){ }k

k aaaaaesen −=−−= ,...,,, 3210 ( )11

1−+

=az

zU ( )11

1

+= −

−

za

zazU

Coseno por una

exponencial { } { }( ){ }13210 ,...,,,

+−−−= k

k aaaaaecos ( )11

1−+

−=az

zU ( )11

1

+−= −

−

za

zazU

Cálculos de la Transformada Z de cada señal

{ }[ ] ( ) ∑

+∞

−∞=

−==k

k

kk zxzx XZ



3.4. ¿A partir de la señal bajo el dominio de la Transformada Z, cómo podemos obtener las señales en el dominio k?

3.5. ¿Cómo puedo realizar un Modelado de Sistemas Físicos Reales? ¿Qué pasos he de seguir para realizar un Modelado de Sistemas Continuos?

Los pasos que seguiremos para la obtención de la función de transferencia en sistemas

continuos son:

⇒ Partimos de la ecuación en diferencias. ⇒ Obtendremos el punto de equilibrio o de funcionamiento (las señales toman valor

constante). ⇒ Linealizaremos y expresaremos en variables incrementales las ecuaciones. ⇒ Transformaremos al dominio Z. ⇒ Obtendremos la función de transferencia (despejando o con diagramas de bloques).

3.6. ¿Cómo obtener un sistema continuo a partir de uno discreto? ¿Y viceversa?

Mediante el muestreo y reconstrucción de señales, se estudia la combinación de

señales continuas discretas. Será una mezcla de señales continuas y discretas de modo que,

por ejemplo, seamos capaces de utilizar un control por computador para inspeccionar un

sistema físico. Añadiremos a nuestros conocimientos dos conceptos nuevos:

Muestreador � Capaz de convertir una señal continua en otra discreta.

Bloqueador � Capaz de convertir una señal discreta en una continua.

i) El muestreador. Por definición, un muestreador es capaz de convertir señales analógicas continuas en

señales secuenciales tal y como se muestra en la siguiente figura:

Su ecuación de comportamiento es : xk = x (kT).

{ }kx( )tx

T

( )[ ] ( ) ( )dzzj

txz1

∫==− XXπ2

1Z

Definición de Antitransformada Z



Con respecto al período de muestreo, podemos decir que éste es un aspecto muy

importante en el momento de su elección puesto que dependiendo del tamaño de éste, la

señal podrá estar bien determinada o no cuando ésta se convierta. Por ejemplo, si la señal

tiene muchas oscilaciones, hemos de elegir un período de muestreo corto para evitar que se

degrade demasiado la señal.

Cada señal necesitará un período de muestreo adecuado a los requerimientos que

necesite cada señal, por ejemplo, un señal de sonido no necesita el mismo período de

muestreo que una de temperatura.

{ }kx

( )tx

k

t

⇒

{ }kx

k


[Escribir el nombre de la compañía] | CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA

19

1. CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA

Puede observarse en la figura siguiente el esquema de un motor CC:

1.1. Subsistema magnético

El devanado de inducido del motor consiste en un arrollamiento de varias espiras que

puede girar en un campo magnético constante. Dicho campo magnético puede ser generado

por un imán permanente o por un devanado de excitación debido a una bobina por la que

circula una corriente de excitación if(t), que supondremos constante. Al circular una

corriente ia(t)por el devanado de inducido, como resultado de la interacción con el campo

magnético se ejerce sobre él un par T(t) que es directamente proporcional al campo magnético

y a la propia corriente de inducido ia(t):

T(t) = Kt.ia(t)

El giro de las espiras del devanado de inducido en presencia del campo magnético,

produce en bornas del mismo una caída de tensión o fuerza contraelectromotriz, e(t),

proporcional a su velocidad de giro:

1.2. Subsistema eléctrico

Por otro lado, el devanado de inducido es una resistencia Ra y una inductancia La, sobre

el que hay que considerar la fuerza contraelectromotriz como una fuente de tensión

dependiente de la velocidad de giro. La ecuación en la malla de inducido será, por tanto:

1.3. Subsistema mecánico

El par mecánico T(t) desarrollado por el motor se emplea para imprimir aceleración

angular a la carga y en vencer la fuerza de fricción :



20

Aplicando la transformada de Laplace y teniendo en cuenta que la velocidad

angular Ωm(s) = sΘm(s) se tiene:

Va(s) = (Ra + sLa)Ia(s) + KesΘm(s)

1.4. Función de transferencia

Agrupando términos, la función de transferencia que relaciona la tensión de inducido

con la posición angular y con la velocidad angular son

A continuación procedemos a introducir los datos correspondientes del sistema en el

programa MatLab:

>> Jm=0.01;

>> La=0.5;

>> Ra=1;

>> b=0.1;

>> Ke=0.01;

>> Kt=0.01;

>> NUM_motor=[Kt];

>> DEN_motor=[Jm*La (Jm*Ra+La*b) (Ra*b+Ke*Kt)];

>> SISTEMA=tf(NUM_motor,DEN_motor)

Transfer function:

0.01

---------------------------

0.005 s^2 + 0.06 s + 0.1001

Como puede observarse en la última línea de código implementada, el sistema es de

segundo orden.



21

Empleando la función roots() en el denominador obtenemos como resultado que los

polos del sistema (las raíces del polinomio del denominador) son -9.9975 y -2.0025. Puesto que

la parte real de los polos del sistema se encuentran ubicados en el semiplano negativo,

podemos afirmar que el sistema es estable. Para mostrar un ejemplo, implementaremos el

esquema en Simulink y exitaremos el sistema ante una entrada escalón de valor 1 V:

Otra forma de representación en matLab es basándonos en el bloque de simulink

Transfer Function:

También podríamos haber empleado el bloque LTI System de la librería Control System

Toolbox. En cualquier caso, los resultados obtenidos ante una entrada escalón de 1 V para el

valor de la velocidad angular son:

velocidad

To Workspace

Step(Jm*La)^(-1)

Gain3

Kt

Gain2

Ra*b+Ke*Kt

Gain1

Jm*Ra+La*b

Gain

1s

aceleración

1s

velocidad

NUM_motor(s)

DEN_motor(s)

Transfer FcnStep1 Scope2



22

El sistema se comporta de forma estable ante una entrada acotada puesto que su

salida también es acotada. Si probáramos de forma infinita con un número indeterminado de

señales de entrada, conseguiríamos demostrar que el sistema es estable puesto que para

cualquier entrada acotada, el sistema obtiene una salida acotada. Esto se demuestra puesto

que los polos tienen su parte real en el semiplano negativo. Como podemos observar, ante una

entrada escalón de, la salida del sistema es de 0.1. Si deseásemos que la salida fuera igual que

la entrada, en principio, bastaría con añadir un bloque controlador que multiplicara por diez el

sistema, es decir,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

TIEMPO (s)

Velocidad a

ngular (R

ad/s)

Respuesta del sistema ante entrada escalón de 1 V

1s

aceleración velocidad1

angulo1

To Workspace1

Step2

10

Gain9(Jm*La)^(-1)

Gain8

Kt

Gain7

Ra*b+Ke*Kt

Gain6

Jm*Ra+La*b

Gain5

1s

ángulo1



23

Obviamente, hemos obtenido una salida que se ajusta a nuestras especificaciones. Sin

embargo, esta solución puede resultar engañosa puesto que sólo será válida si el sistema se

mantiene sin sufrir deterioro para la eternidad. Obviamente, esto no es así porque con el

tiempo, las variables del sistema: los valores de resistencias, inductancias, viscosidad,… se ven

modificadas a lo largo de la vida del motor.

Por ello, está solución sólo resuelve momentáneamente el problema por lo que hemos

de intentar controlar el sistema de una forma más fiable. Para ello, empezaremos cerrando el

bucle. De este modo, la información de salida nos sirve para realimentar el sistema y que la

nueva salida tenga como información la entrada actual y la salida en el instante anterior. No

obstante, sólo con cerrar el lazo no es suficiente:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

TIEMPO (s)

Velo

cidad a

ngu

lar (R

ad/s

)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

TIEMPO (s)

Velocida

d an

gular (Rad

/s)



[Escribir el nombre de la compañía] | CONTROLADORES PID. 24

El sistema sigue siendo estable pero la ganancia del mismo ha bajado. Por tanto,

necesitaremos modificar el sistema.

Para ello, recordaremos la aplicación de dos métodos para controlar un sistema:

• Controladores PID.

• Lugar de las raíces.

Partimos nuestra pequeña odisea en el control del motor eléctrico exponiendo las

diferentes especificaciones para el comportamiento de nuestro sistema:

• Sobreoscilación: Mp ≤ 5 %

• Error en régimen permanente: ep ≤ 1 %

• Tiempo de establecimiento: ts ≤ 2 s

2. CONTROLADORES PID.

angulo

To Workspace1

Step5 Scope3

SISTEMA

LTI System3



Efectos de las acciones de los Reguladores PID:

• Regulador P: Aumenta la ganancia de la cadena directa del sistema. Reduce los

errores en régimen permanente. Modifica el transitorio y puede tender a desestabilizar el

sistema en muchos casos si K aumenta demasiado.

• Regulador I: Aumenta el tipo de la cadena directa del sistema. Mejora los errores en

régimen permanente. Anula el efecto sobre el régimen permanente del sistema, de las

perturbaciones que afectan al sistema entre el regulador y la salida.

• Regulador PI: Aumenta la ganancia y el tipo de la cadena directa del sistema,

combinando los efectos de los dos reguladores anteriores. Si el cero se encuentra muy

próximo al origen con respecto a los polos dominantes del sistema, apenas modifica el

transitorio del sistema comparado con un regulador P con la misma ganancia K.

• Regulador PD: Su ganancia, polo y cero permiten modificar la situación final de los

polos dominantes del sistema en bucle cerrado. Permite definir el comportamiento transitorio

del sistema. Por lo general estabiliza el sistema si se utiliza un valor de ganancia K moderado.

Es muy sensible a perturbaciones de alta frecuencia.

• Regulador PID: Es un compendio de los efectos de los reguladores anteriores.

Básicamente el regulador que hemos añadido se trata de un bloque donde van

incluidas las tres acciones del PID:

• Proporcional.

• Integral.

• Derivativa.

angulo

To Workspace

Step4

Scope1

40

P

SISTEMA

LTI System2

50

I

0

D

1s

Acción integral

du/dt

Acción derivativa



La forma de la ecuación de un control por PID es como se muestra a continuación:

u��

Que aplicando la transformada de Laplace: U�� 1� � � �� ⇔ ��

Mp ts ep

KP ↑ crece ≈ ↓ hasta

cierto límite

KI ↑ decrece ↑ empeora Elimina el error

KD ↓ crece ↓ disminuye ≈

Basándonos en la tabla anterior empezaremos a iterar en busca de un controlador que

satisfaga las condiciones impuestas.

Empleando una acción proporcional de 40 y una integral de 50 se consigue controlar el

sistema bajo las especificaciones exigidas. La acción proporcional nos permite mejorar la

ganancia del sistema, subiendo la magnitud de la salida. No obstante sólo con una acción

proporcional era imposible eliminar el error en régimen permanente. Para ello, introducíamos

una acción integral de 50 que nos permite eliminar el error. El resultado se muestra a

continuación.

Tal y como se observa en la gráfica, el tiempo de establecimiento es de

aproximadamente 0,3 s (por lo que es inferior a los 2 s solicitados). Con respecto a la

sobreoscilación, podemos decir que se encuentra entre 2-4 % por lo que es inferior al 5 % de la

sobreoscilación solicitada. Como puede observarse, el error en régimen permanente es

prácticamente nulo por lo que es inferior a un 1 %.



Tal y como se observa en la gráfica, el tiempo de establecimiento es de

aproximadamente 0,3 s (por lo que es inferior a los 2 s solicitados). Con respecto a la

sobreoscilación, podemos decir que se encuentra entre 2-4 % por lo que es inferior al 5 % de la

sobreoscilación solicitada. Como puede observarse, el error en régimen permanente es

prácticamente nulo por lo que es inferior a un 1 %.

El lagoritmo para obtener un controlador PID son los siguientes:

1. Obtener la respuesta en bucle abierto y determinar que no se cumplen los

requerimientos.

2. Usar una acción proporcional P para mejorar el error y el tiempo de

establecimiento.

3. Usar una acción Proporcional-Derivativa para mejorar la sobreoscilación.

4. Añadir una acción integral para eliminar el error en régimen permanente.

5. Ajustar las 3 acciones hasta obtener la respuesta deseada.

Desarrollando la expresión del controlador PID:

U�� /��U��

� ! "� #

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

TIEMPO (s)

Vel

ocid

ad a

ngu

lar (

Ra

d/s)



[Escribir el nombre de la compañía] | MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. 30

Esto nos indica que el controlador es físicamente irrealizable puesto que el orden del

numerador es superior al del denominador. Por ello, debemos buscar una solución mejor al

problema por lo que emplearemos el método del lugar de las raíces y que pueda resolverse de

forma más mecánica.

3. MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. Durante la 3ª sesión de la asignatura (la segunda de ramón P. Ñeco) se procedió al

repaso del método del lugar de las raíces. Con este método logramos representar los polos en

bucle abierto en función de los polos en bucle cerrado. Además, nos permite caracterizar el

sistema dinámicamente.

• Respuesta Transitoria Adecuada:

– Transitorio suficientemente rápido.

– Amortiguamiento adecuado.

El lugar de raíces de una función de transferencia H(s) (en lazo abierto) es un diagrama

de los lugares de todos los polos a lazo cerrado posibles con ganancia proporcional k y

realimentación unitaria donde los polos del sistema a lazo cerrado son valores de s tales que 1

+ K H(s) = 0.

Sin importar el valor de k que elijamos, el sistema a lazo cerrado debe tener siempre n

polos, donde n es la cantidad de polos de H(s). El lugar de raíces debe tener n ramas, cada

rama empieza en un polo de H(s) y termina en un cero de H(s). Si H(s) tiene más polos que

ceros (el caso normal), m < n y decimos que H(s) tiene ceros en el infinito. En este caso, el

límite de H(s) cuando s -> infinito es cero. El número de ceros en el infinito es n-m, la cantidad

de polos menos la cantidad de ceros, y es la cantidad de ramas del lugar de raíces que van al

infinito (asíntotas).

Como el lugar de raíces son realmente los lugares de todos los polos posibles a lazo

cerrado, del lugar de raíces podemos elegir una ganancia tal que nuestro sistema a lazo

cerrado haga lo que queramos. Si cualquiera de los polos elegidos está en el semiplano

derecho, el sistema a lazo cerrado será inestable. Los polos más cercanos al eje imaginario son

los que mayor influencia tienen en la respuesta a lazo cerrado, de modo que a pesar que el

sistema tenga tres o cuatro polos, el mismo puede actuar como un sistema de segundo o aún

de primer orden, dependiendo de la ubicación del/los polo/s dominante/s.

La mejor manera de entender el método del lugar geométrico de las raíces es

practicando. Por ello, empezaremos por intentar controlar el motor aplicando este método. A

continuación obtendremos el lugar de las raíces del motor.

A continuación, dibujaremos las restricciones que representan la sobreoscilación y el

tiempo de establecimiento:

$� % � &'()�*� → , % -./�0� 1234�$�� ≅ 46,36°



2; % 2 → ; = 22 ≅ 1,57

Estas especificaciones se traducen en dos áreas geométricas en el plano imaginario. La

primera supone un plano angular inferior a 46,36 grados mientras que la segunda supone el

semiplano con parte real inferior a 1,57.

Primero dibujaremos el lugar geométrico de las raíces del sistema:

A continuación, dibujaremos las especificaciones junto con el lugar geométrico de las

raíces:

La zona en blanco es la permitida donde se cumplen las especificaciones.

Si vamos variando el valor de K (modificando los polos del sistema en bucle cerrado) buscando

que se cumpla las especificaciones obtenemos que:

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0.20.40.580.720.830.91

0.96

0.99

0.20.40.580.720.830.91

0.96

0.99

246810

Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)

Real Axis

Imag

Axis

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)

Real Axis

0.20.40.580.720.830.91

0.96

0.99

0.20.40.580.720.830.91

0.96

0.99

246810

Imag

Axis



Para un valor de la ganancia de 27,8 se obtiene una sobreoscilación de un 5%, un

tiempo de establecimiento por debajo de 0,5 segundos y un error superior al 1%. Se cumplen

dos de las tres especificaciones. Ya nos encontramos en el límite de la región por lo que ya no

podemos mejorar la respuesta del sistema. Por ello, proponemos soluciones más drásticas

como por ejemplo tratar de deformar el lugar de las raíces haciendo que la mayor parte de

este, o incluso íntegramente, se encuentre dentro de las regiones permitidas.

Para saber cómo colocar el par de polo y cero realizaremos lo siguiente. Calcularemos

el error del sistema deseado que debe ser inferior a 1%:

�� % 1 → �� 11 � �� → �� = 99

donde aplicando el teorema del valor final, �� limD→EF��G�� limD→E� � � �� (HIJ�� HIF� � J�K�� F�K � �(��

�� (F�K � �(�� = 99

K es el valor de la ganancia que hemos obtenido anteriormente, de 27,8. Ke tiene un

valor de 0.01. El valor del cero z lo tomaremos como la 2,4 parte de polo deseado que lo

seleccionamos como la vertical del lugar de las raíces. Empleando la función roots() obtenemos

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

System: Closed Loop r to yI/O: r to ySettling Time (sec): 0.495

System: Closed Loop r to yI/O: r to yFinal Value: 0.735



que los polos del sistema abierto son: -9.9975 y -2.0025. El punto medio entre ambos se

encuentra en -6, por lo que el valor de z será 6/2,4 = 2,5 (parte real negativa). Despejando

obtenemos:

27,8 2,5 0,010,1001 = 99 → � 0,070

El lugar de las raíces ahora es:

Para una K de 1112, la respuesta del sistema es:

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-30

-20

-10

0

10

20

30

0.060.0950.1350.190.28

0.4

0.7

0.030.060.0950.1350.190.28

0.4

0.7

5

10

15

20

25

5

10

15

20

25

30

Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)

Real Axis

0.03

Imag

Axi

s



Las especificaciones técnicas se cumplen y son:

• Sobreoscilación: Mp = 3,72 ≤ 5 %

• Error en régimen permanente: ep =0,9 ≤ 1 %

• Tiempo de establecimiento: ts = 0,734 ≤ 2 s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


System: Closed Loop r to yI/O: r to yPeak amplitude: 1.03Overshoot (%): 3.72At time (sec): 1.19 System: Closed Loop r to y

I/O: r to yFinal Value: 0.991



Ejercicio optativo 1. El sistema es:

G�� 5�� 3�� 2�


• Sobreoscilación: Mp ≤ 20,8 %


• Tiempo de establecimiento: ts ≤ 1,57 s

Se emplea el siguiente código de MatLab:

>> NUM_1=[5];

>> DEN_1=conv([1 3],[1 2]);

>> SISTEMA1=tf(NUM_1,DEN_1)

Transfer function:

5

-------------

s^2 + 5 s + 6



$� % � &'()�*� → , % -./�0� 1234�$�� ≅ 63,44° 2; % 1,57 → ; = 21,57 ≅ 2,00








raíces:

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


Real Axis

Imag

Axi

s

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


Real Axis

Imag

Axi

s






Para un valor de la ganancia de 5 se obtiene una sobreoscilación de un 20,6 %, un tiempo de

establecimiento por debajo de 1 segundos y un error inferior al 20%. Se cumplen las tres

especificaciones.

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

System: Closed Loop r to yI/O: r to yPeak amplitude: 0.973Overshoot (%): 20.6At time (sec): 0.636

System: Closed Loop r to yI/O: r to ySettling Time (sec): 0.943 System: Closed Loop r to y

I/O: r to yFinal Value: 0.806




G�� 2�� 5�� 2��






>> NUM_2=[2];

>> DEN_2=conv(conv([1 5],[1 2]),[1 0]);


Transfer function:

2

------------------

s^3 + 7 s^2 + 10 sNUM_2=[2];



$� % � &'()�*� → , % -./�0� 1234�$�� ≅ 46,36° 2; % 0,79 → ; = 20,79 ≅ 2,09



semiplano con parte real inferior a 2,09





raíces:


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3


Real Axis

Imag

Axi

s

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3


Real Axis

Imag

Axi

s



Si vamos variando el valor de K (modificando los polos del sistema en bucle cerrado)

buscando que se cumpla las especificaciones obtenemos que:

Para un valor de la ganancia de 5 se obtiene una sobreoscilación de un 4,96 %, un






Se ha decidido colocar dos ceros en 0 y -2 y sis correspondientes polos muy alejados

del origen, en -800 y -750. El lugar de las raíces ahora es:

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



System: Closed Loop r to yI/O: r to yFinal Value: 1

-1500 -1000 -500 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Real Axis

Imag

Axis



Para una K de 188.2, la respuesta del sistema es:


• Sobreoscilación: Mp = 2,16 ≤ 5,00 %

• Error en régimen permanente: ep =≤ 2 %

• Tiempo de establecimiento: ts = 0,015 ≤ 0,50 s

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


System: Closed Loop r to yI/O: r to yFinal Value: 1




G�� 50�� 10��2� � 4�


• Sobreoscilación: Mp ≤ 2,73 %




>> NUM_3=[50];

>> DEN_3=conv([1 10],[2 4]);


Transfer function:

50

-----------------

2 s^2 + 24 s + 40



$� % � &'()�*� → , % -./�0� 1234�$�� ≅ 40,01° 2; % 0,79 → ; = 20,79 ≅ 3,97








raíces:


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


Real Axis

Imag

Axi

s

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


Real Axis

Imag

Axi

s





Para un valor de la ganancia de 5 se obtiene una sobreoscilación de un 2,37 %, un






Para saber cómo colocar el par de polo y cero realizaremos lo siguiente. Calcularemos

el error del sistema deseado que debe ser inferior a 1%:

�� % 1 → �� 11 � �� → �� = 99

donde aplicando el teorema del valor final, �� limD→EF��G�� limD→E� � � �� 50�� 10��2� � 4� �� 5010 N 4 = 99

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7



System: Closed Loop r to yI/O: r to yFinal Value: 0.674



K es el valor de la ganancia que hemos obtenido anteriormente, de 1,7. El valor del

cero z lo tomaremos como la tercera parte de polo deseado que lo seleccionamos como la

vertical del lugar de las raíces y así hacemos que cancele un polo del sistema en bucle abierto.

Empleando la función roots() obtenemos que los polos del sistema abierto son: -8 y -2. El

punto medio entre ambos se encuentra en -6, por lo que el valor de z será 6/3 = 2 (parte real

negativa). Despejando obtenemos:

1,7 2 54 = 99 → � 0,043

El lugar de las raíces ahora es:

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-30

-20

-10

0

10

20


Real Axis

Imag

Axi

s



Para una K de 79, la respuesta del sistema es:


• Sobreoscilación: Mp = 2,34 ≤ 2,73 %

• Error en régimen permanente: ep =≤ 1 %

• Tiempo de establecimiento: ts = 0,49 ≤ 0,79 s

A pesar de que esta técnica nos ha dado resultados satisfactorios, a continuación se

formulará la última técnica del repaso de Ingeniería de Control y que se trata de la de Estudio

del control en el Espacio de Estados.

Principalmente, la técnica del lugar geométrico de las raíces no es mecánica pro lo que

se busca en esta técnica encontrar un procedimiento mecánico de control de sistemas.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


[Escribir el nombre de la compañía] | METODOLOGÍA BASADA EN EL MODEL DE ESPACIO DE ESTADOS.

47

4. METODOLOGÍA BASADA EN EL MODEL DE ESPACIO DE ESTADOS. Recordemos las expresiones de partida del motor. Las ecuaciones diferenciales que

rigen el comportamiento del sistema son las siguientes:

O�� F� N P�� J� N �P�� N �,I��

�( N P�� HI N ��,I�� K N �,I��

El sistema que representará el modelo en espacio de estados es:

)()()(

)()()(

tuDtxCty

tuBtxAtx

⋅+⋅=

⋅+⋅=&

[ ] [ ] [ ] )()(

)()(

)()(

)(

)(

)(

11

2

1

1211

21

11

2

1

2221

1211

2

1

tudtx

txccty

tub

b

tx

tx

aa

aa

tx

tx

⋅+

⋅=

⋅

+

⋅

=

&

&

Donde para seleccionar las variables de estado deberemos elegir aquellas variables

que aparezcan derivadas en las ecuaciones diferenciales o, lo que es lo mismo, aquellas que no

sufren cambios bruscos. Por tanto, “jugando con las expresiones de las ecuaciones

diferenciales:

QR�� ,SI�� QSR�� T*U�(��(T

Q�� P�� QS�� V�(��(

"�� ,SI�� W�� O�� Por tanto, las derivadas que deseamos despejar son:

��,I�� 1 KHI N �,I�� (HI N P�� P�� 1��J� N �,I�� 1 F�J� N P�� 1J� O��



48

Las matrices serían:

X � YZZ[1 KHI ��(HI1��J� 1F�J� \]

]̂ ; ` � a 01J�b ; c � d1 0e; f � d0e; El sistema quedaría:

YZZ[�,SI��P�� \]]̂ � YZ

Z[1 KHI ��(HI1��J� 1F�J� \]]̂ N g,SI��P�� h � a 01J�b N O��

i,SI��j � d1 0e N g,SI��P�� h � d0e N O�� A continuación mostramos dos esquemas para la simulación del sistema en Simulink:

Step2

Scope4

Scope3

1s

Integrator1

K*u

Gain8

K*u

Gain7

K*u

Gain6

K*u

Gain5



49

Representamos el sistema como un objeto LTI (Linear Time-Invariant):

>> A=[-Ra/La -Ke/La;Kt/Jm -b/Jm]

>> sys=ss(A,B,C,D)

A = a = x1 x2 -2.0000 -0.0200 x1 -2 -0.02 1.0000 -10.0000 x2 1 -10 >> B=[1/La;0] b = u1 B = x1 2 x2 0 2 0 c = x1 x2 >> C=[0 1] y1 0 1 C = d = u1 0 1 y1 0 >> D=[0] D = Continuous-time model. 0 >> A=[-Ra/La -Ke/La;Kt/Jm -

b/Jm]

Obtenemos en Matlab la respuesta del sistema continuo, así como la trayectoria de los estados, considerando una entrada en escalón unitario y condiciones iniciales nulas. step(SISTEMA)

Step

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space Scope



50

[y,t,x]=step(SISTEMA); plot(t,x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1



51

A continuación, estudiaremos la estabilidad absoluta del sistema:

pole(SISTEMA) ans = -2.0025 -9.9975 eig(A) ans = -2.0025 -9.9975

Para determinar la controlabilidad del sistema, una vez introducidos todos los valores

de las matrices A y B, aplicamos la función de Matlab ctrb() para así obtener la forma de la

matriz de controlabilidad Q para este sistema:

>> Q=ctrb(A,B)

Q =

2 -4

0 2

>> rank(Q)

ans =

2

Tal y como se puede observar en las últimas líneas de código, al aplicar la función

rank(), que calcula el rango de la matriz, obtenemos que el rango es 2, que es justo rango

máximo puesto que la matriz de Q es justo 2x2. Por tanto, el sistema es controlable.

Para determinar la observailidad del sistema, una vez introducidos todos los valores de

las matrices A y C, aplicamos la función de Matlab obsv() para así obtener la forma de la matriz

de observabilidad Qi para este sistema:

>> P=obsv(A,C)

P =

0 1

1 -10

>> rank(P)

ans =

Para obtener los polos del sistema

podemos utilizar dos métodos: empleando la

expresión completa del sistema mediante pole() o

empleando sólo la matriz de estados eig().

Obviamente, empleando ambos métodos

obtenemos el mismo resultado.

Tal y como podemos observar, el

sistema se puede catalogar dentro del

grupo de los sistemas estables pues

ninguno de sus polos tiene parte real

positiva.



52

2

Puesto que el rango es 2, coincide justo con el rango máximo admisible por la matriz

(para una matriz de dimensión 2 x 2 el rango máximo es la menor de ambas que es 2) y por

tanto, el sistema es observable.

Recordemos desde dónde partíamos nuestra pequeña odisea en el control del motor

eléctrico. Las diferentes especificaciones para el comportamiento de nuestro sistema:



• Tiempo de establecimiento: ts ≤ 2 s

A continuación, obtendremos las restricciones que representan la sobreoscilación y el


$� % � &'()�*� → , % -./�0� 1234�$�� ≅ 46,36° 2; % 2 → ; = 22 ≅ 1,57



semiplano con parte real inferior a 1,57. Los polos deseados son:

R � 22 � 22 234�$�� P ≅ 1,57 � 1,64P � � 22 1 22 234�$�� P ≅ 1,57 1 1,64P

Emplearemos una realimentación del estado:

Step1

Scope2

Scope1

1s

Integrator

K*u

Gain4

K*u

Gain3

K*u

Gain2

K*u

Gain1

K*u

Gain



53

Para calcular el valor de la K de nuestro controlador empleamos la función de Matlab

place():

>> K=place(A,B,[-1.57+1.64i -1.57-1.64i])

K =

36.8673 -4.4300

A continuación, el comportamiento del sistema sin realimentación de estado y con

ella. Se cumplen dos de las especificaciones:

Se puede comprobar que existe error en régimen permanente. Para eliminar el error

en régimen permanente podemos, por ejemplo, añadir un nuevo bloque compensador. Para



54

su cálculo emplearemos la función rscale facilitada por Ramón Ñeco. Fundamentalmente, esta

función realiza un escalado de la salida. Se obtiene un valor de 2.5773. La salida ahora cumple

con todas las especificaciones:


[Escribir el nombre de la compañía] | CONTROL DEL MOTOR EN POSICIÓN 55

CONTROL DEL MOTOR EN POSICIÓN

Función de transferencia

Agrupando términos, la función de transferencia que relaciona la tensión de inducido

con la posición angular y con la velocidad angular son

Θl��m�� (HIJ��n � �HIF� � J�K�� F�K � �(��

A continuación procedemos a introducir los datos correspondientes del sistema en el

programa MatLab:

>> Jm=0.01;

>> La=0.5;

>> Ra=1;

>> b=0.1;

>> Ke=0.01;

>> Kt=0.01;

>> NUM_motor=[Kt];

>> DEN_motor=[Jm*La (Jm*Ra+La*b) (Ra*b+Ke*Kt) 0];

>> SISTEMA=tf(NUM_motor,DEN_motor)

Transfer function:

0.01

-----------------------------

0.005 s^3 + 0.06 s^3 + 0.1001s

Como puede observarse en la última línea de código implementada, el sistema es de

tercer orden.

Empleando la función roots() en el denominador obtenemos como resultado que los

polos del sistema (las raíces del polinomio del denominador) son 0, -9.9975 y -2.0025. Puesto

que la parte real de los polos del sistema se encuentran ubicados en el semiplano negativo,

podemos afirmar que el sistema es estable.



Para mostrar un ejemplo, implementaremos el esquema en Simulink y exitaremos el

sistema ante una entrada escalón de valor 1 V:

Otra forma de representación en matLab es basándonos en el bloque de simulink

Transfer Function:

También podríamos haber empleado el bloque LTI System de la librería Control System

Toolbox. En cualquier caso, los resultados obtenidos ante una entrada escalón de 1 V para el

valor de la posición angular son:

posicion

To Workspace2

velocidad

To Workspace

Step

Scope5

(Jm*La)^(-1)

Gain3

Kt

Gain2

Ra*b+Ke*Kt

Gain1

Jm*Ra+La*b

Gain

1s

aceleración

1s

velocidad1

1s

velocidad

NUM_motor(s)

DEN_motor(s)

Transfer FcnStep1 Scope2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

TIEMPO (s)

Posi

ción a

ngula

r (R

ad)




El sistema se comporta de forma estable ante una entrada acotada puesto que su

salida también es acotada. Si probáramos de forma infinita con un número indeterminado de

señales de entrada, conseguiríamos demostrar que el sistema es estable puesto que para

cualquier entrada acotada, el sistema obtiene una salida acotada. Esto se demuestra puesto

que los polos tienen su parte real en el semiplano negativo. Como podemos observar, ante una

entrada escalón de 1V, no se estabiliza, sigue girando a una velocidad constante pero no para

el ángulo.

Para conseguir que se pare en un cierto ángulo, vamos a cerrar el bucle:

Ahora se tiene que el ángulo girado es de:

posicion

To Workspace4

velocidad

To Workspace3

Step6

Scope7

Jm*Ra+La*b

Gain4

(Jm*La)^(-1)

Gain12

Kt

Gain11

Ra*b+Ke*Kt

Gain10

1s

aceler

1s

vel

1s

ang

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

TIEMPO (s)

Po

sici

ón

an

gu

lar

(Ra

d) Respuesta del sistema ante entrada escalón de 1 V



El valor en régimen permanente se obtiene (no hay error prácticamente). No obstante,

la dinámica del sistema es muy lenta y no se cumple la especificación de tiempo de

establecimiento de 0,04 s.

Para interna hacer que el tiempo de establecimiento sea de 0,04 s colocaremos un

bloque proporcional e intentaremos aumentar su ganancia buscando una disminución del

tiempo de establecimiento. Para ello, empleamos el siguiente diagrama:

Se buscó aumentar el valor de K hasta obtener un tiempo de establecimiento de 0,04 s. No

obstante, no se consiguió el objetivo, puesto que para una K de 15 aproximadamente lo que

mejoraba el tiempo de establecimiento se perdía en sobreoscilación, por lo que a partir de 15

la sobre oscilación era superior a un 16%;

posicion

To Workspace4

velocidad

To Workspace3

Step6

Scope7

Jm*Ra+La*b

Gain4

15

Gain13(Jm*La)^(-1)

Gain12

Kt

Gain11

Ra*b+Ke*Kt

Gain10

1s

aceler

1s

vel

1s

ang

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

TIEMPO (s)

Pos

ició

n an

gula

r (R

ad)




Para intentar mejorar la situación, se procurará emplear un controlador PID.

Jm=0.01;

La=0.5;

Ra=1;

b=0.1;

Ke=0.01;

Kt=0.01;

NUM_motor=[Kt];

DEN_motor=[Jm*La (Jm*Ra+La*b) (Ra*b+Ke*Kt) 0];

SISTEMA=tf(NUM_motor,DEN_motor)

Se construye el siguiente esquema para el control:

A pesar del tiempo invertido, no se ha conseguido obtener un control del sistema. Por ello, se

decide obtener el modelo discreto.

Step4

Scope1

10

P

???

LTI System2

0

I

20

D

1s

Acción integral

du/dt

Acción derivativa



METODOLOGÍA BASADA EN EL MODEL DE ESPACIO DE ESTADOS. Recordemos las expresiones de partida del motor. Las ecuaciones diferenciales que

rigen el comportamiento del sistema son las siguientes:

O�� F� N P�� J� N �P�� N �,I��

�( N P�� HI N ��,I�� K N �,I��

El sistema que representará el modelo en espacio de estados es:

)()()(

)()()(

tuDtxCty

tuBtxAtx

⋅+⋅=

⋅+⋅=&

[ ] [ ] [ ] )()(

)()(

)()(

)(

)(

)(

11

2

1

1211

21

11

2

1

2221

1211

2

1

tudtx

txccty

tub

b

tx

tx

aa

aa

tx

tx

⋅+

⋅=

⋅

+

⋅

=

&

&

Donde para seleccionar las variables de estado deberemos elegir aquellas variables

que aparezcan derivadas en las ecuaciones diferenciales o, lo que es lo mismo, aquellas que no

sufren cambios bruscos. Por tanto, “jugando con las expresiones de las ecuaciones

diferenciales:

QR�� P�� QSR�� V�(��(

Q�� ,I�� QS�� *U�(��(

Qn�� ,SI�� QSn�� *SU�(��(

"�� ,I�� W�� O�� Por tanto, las derivadas que deseamos despejar son: �P�� 1F�J� N P�� 1 ��J� N �,I�� 1J� O�� ,I�� ,SI�� ,SI�� (HI N P�� 1 KHI N ,SI��



Las matrices serían:

X �YZZZ[1F�J� 0 1��J�0 0 1��(HI 0 1 KHI\]

]]̂ ; ` � a 01J�b ; c � d1 0e; f � d0e; El sistema quedaría:

YZZZZZ[ �P��,I��,SI�� \]]

]]]̂ �YZZZ[1F�J� 0 1��J�0 0 1��(HI 0 1 KHI\]

]]̂ N o P��,I��,SI��p � q 1J�00 r N O��

d,I��e � d0 1 0e N o P��,I��,SI��p � d0e N O�� A continuación mostramos dos esquemas para la simulación del sistema en Simulink:

Step2

Scope4

Scope3

1s

Integrator1

K*u

Gain8

K*u

Gain7

K*u

Gain6

K*u

Gain5



Representamos el sistema como un objeto LTI (Linear Time-Invariant): >> A=[-Ra/La 0 -Ke/La;0 0 1; Kt/Jm 0 -b/Jm] A = -2 0 -0.02 0 0 1 1 0 -10 >> B=[1/La;0;0] B = 2 0 0 >> C=[0 1 0] C = 0 1 0 >> D=[0] D =

0 >> sys=ss(A,B,C,D) a = x1 x2 x3 x1 -2 0 -0.02 x2 0 0 1 x3 1 0 -10 b = u1 x1 2 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 0 1 0 d = u1 y1 0

Continuous-time model. Obtenemos en Matlab la respuesta del sistema continuo, así como la trayectoria de los

estados, considerando una entrada en escalón unitario y condiciones iniciales nulas. step(sys)

Step

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space Scope



[y,t,x]=step(sys); plot(t,x)

0 500 1000 15000

50

100

150Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 500 1000 15000

50

100

150



A continuación, estudiaremos la estabilidad absoluta del sistema:

pole(sys) ans = 0 -2.0025 -9.9975 eig(A) ans = 0 -2.0025 -9.9975

Para determinar la controlabilidad del sistema, una vez introducidos todos los valores

de las matrices A y B, aplicamos la función de Matlab ctrb() para así obtener la forma de la

matriz de controlabilidad Q para este sistema:

>> Q=ctrb(A,B)

Q =

2.0000 -4.0000 7.9600

0 0 2.0000

0 2.0000 -24.0000

>> rank(Q)

ans =

3

Tal y como se puede observar en las últimas líneas de código, al aplicar la función

rank(), que calcula el rango de la matriz, obtenemos que el rango es 3, que es justo rango

máximo puesto que la matriz de Q es justo 3x3. Por tanto, el sistema es controlable.

Puesto que todas las variables de estado de nuestro problema son realmente

fáciles de medir (simplemente añadiendo un amperímetro para anotar la intensidad, un

taquímetro para la velocidad y un potenciómetro para la posición), puede diseñarse un

completo controlador en espacio de estados sin tener que preocuparse sobre la adición de

un observador. No obstante, para determinar la observailidad del sistema, una vez

introducidos todos los valores de las matrices A y C, aplicamos la función de Matlab obsv()

para así obtener la forma de la matriz de observabilidad Qi para este sistema:

>> P=obsv(A,C)

P =

0 1 0

0 0 1

1 0 -10

>> rank(P)

ans =

3

Para obtener los polos del sistema

podemos utilizar dos métodos: empleando la

expresión completa del sistema mediante pole() o

empleando sólo la matriz de estados eig().

Obviamente, empleando ambos métodos

obtenemos el mismo resultado.

Tal y como podemos observar, el sistema

se puede catalogar dentro del grupo de los

sistemas estables pues ninguno de sus polos tiene

parte real positiva. El polo en cero es debido a que

ahora se desea controlar la posición



Puesto que el rango es 3, coincide justo con el rango máximo admisible por la matriz

(para una matriz de dimensión 3 x 3 el rango máximo es la menor de ambas que es 3) y por

tanto, el sistema es observable.

Recordemos desde dónde partíamos en el control del motor eléctrico. Las diferentes

especificaciones para el comportamiento de nuestro sistema:


• Error en régimen permanente: ep = 0 %

• Tiempo de establecimiento: ts ≤ 0.04 s

A continuación, obtendremos las restricciones que representan la sobreoscilación y el


$� % � &'()�*� → , % -./�0� 1234�$�� ≅ 117,75° 2; % 0,04 → ; = 22 ≅ 78,54



semiplano con parte real inferior a 78,54. Los polos deseados son:

R � 2; � 2; 234�$�� P ≅ 78,54 � 130,06P � � 2; 1 2; 234�$�� P ≅ 78,54 1 130,06P

Emplearemos una realimentación del estado:

Step1

Scope2

Scope1

1s

Integrator

K*u

Gain4

K*u

Gain3

K*u

Gain2

K*u

Gain1

K*u

Gain



Emplearemos otro polo que se encontrará a doble distancia de los deseados. Para

calcular el valor de la K de nuestro controlador empleamos la función de Matlab place():

>> K=place(A,B,[-78.54+130.06i -78.54-130.06i -300])

K =

1.0e+006 *

0.0002 3.4626 0.0329

A continuación, el comportamiento del sistema sin realimentación de estado y con

ella. Se cumplen dos de las especificaciones:

Se puede comprobar que existe error en régimen permanente. Para eliminar el error

en régimen permanente podemos, por ejemplo, añadir un nuevo bloque compensador. Para

su cálculo emplearemos la función rscale facilitada por Ramón Ñeco. Fundamentalmente, esta

función realiza un escalado de la salida. Se obtiene un valor de 1.8130e+006. La salida ahora

cumple con todas las especificaciones:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6x 10

-7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


[Escribir el nombre de la compañía] | Referencias 67

Referencias 1. Åström, Karl J.: Computer Controlled Systems. Theory and Design, Prentice Hall –1984

2. Papoulis, A: Sistemas Digitales y Analógicos, Marcombo – 1978

3. Modelado e identificación de sistemas. Carlos Pérez, et all. 2003

4. Apuntes de Teoría de Circuitos y Sistemas.

5. Apuntes de Autómatas y Sistemas de control.

6. Apuntes de Modelado e identificación de sistemas.

7. www.generacionpc.es

8. www.galileog.com/

9. http://www2.uca.es


[Escribir el nombre de la compañía] | Tabla de contenidos 68

Tabla de contenidos ¿Qué es un SISTEMA DE CONTROL? .............................................................................................. 1

¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA? .............................................................................................. 2

¿Cuáles son las señales de uso común en TEORÍA DE SISTEMAS? ........................................... 2

Operaciones con Señales. ......................................................................................................... 3

Tipos de Sistemas. ..................................................................................................................... 3

Ejemplo: Sistema de control de un Horno. ............................................................................... 4

¿Cuáles son las propiedades de los sistemas continuos? ......................................................... 5

¿Cuáles son las propiedades de los sistemas discretos? .......................................................... 6

¿Cuáles son las formas de representación de los Sistemas Lineales e Invariantes? ................ 7

¿Cómo determinar si un sistema es estable? ............................................................................... 7

Transformadas .............................................................................................................................. 8

1. Transformada de Fourier. ................................................................................................. 8

¿Cuál es el problema de la Transformada de Fourier al aplicarla en Teoría de Sistemas? ... 8

2. Transformada de Laplace. ................................................................................................. 9

2.1. ¿Cuál es el problema que resuelve la Transformada de Laplace respecto de la

Transformada de Fourier al aplicarla en Teoría de Sistemas? .............................................. 9

2.2. ¿Cuáles son las principales propiedades de la Transformada de Laplace? ............. 10

2.3. ¿A partir de la señal en el dominio temporal, cómo podemos obtener las señales

bajo el dominio de la Transformada de Laplace? ............................................................... 11

2.4. ¿A partir de la señal bajo el dominio de la Transformada de Laplace, cómo

podemos obtener las señales en el dominio temporal? ..................................................... 13

3. Transformada Z. .............................................................................................................. 13

3.1. ¿Cuáles son las propiedades de la Transformada Z? .............................................. 14

3.2. ¿Cómo podemos sacarle partido a la Transformada Z en Teoría de Sistemas? ..... 14

3.3. ¿A partir da la señal en el dominio k, cómo podemos obtener las señales bajo el

dominio de la Transformada Z? .......................................................................................... 16

3.4. ¿A partir de la señal bajo el dominio de la Transformada Z, cómo podemos

obtener las señales en el dominio k? .................................................................................. 17

3.5. ¿Cómo puedo realizar un Modelado de Sistemas Físicos Reales? ¿Qué pasos he de

seguir para realizar un Modelado de Sistemas Continuos? ................................................ 17

3.6. ¿Cómo obtener un sistema continuo a partir de uno discreto? ¿Y viceversa? ....... 17

1. CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA ................................ 19

1.1. Subsistema magnético ................................................................................................ 19

1.2. Subsistema eléctrico ................................................................................................... 19


[Escribir el nombre de la compañía] | Tabla de contenidos 69

1.3. Subsistema mecánico .................................................................................................. 19

1.4. Función de transferencia ............................................................................................. 20

2. CONTROLADORES PID. ........................................................................................................ 24

3. MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. ................................................................................. 30

Ejercicio optativo 1. ............................................................................................................. 35



4. METODOLOGÍA BASADA EN EL MODEL DE ESPACIO DE ESTADOS. .................................... 47

CONTROL DEL MOTOR EN POSICIÓN .......................................................................................... 55

Función de transferencia......................................................................................................... 55

METODOLOGÍA BASADA EN EL MODEL DE ESPACIO DE ESTADOS. ........................................ 60

Referencias .................................................................................................................................. 67

Tabla de contenidos .................................................................................................................... 68

Control Continuo

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Transcript of Control Continuo