Control de Sistemas en Tiempo Discreto Análisis y Proyecto en Espacio de Estado Profesor...
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Control de Sistemas en Tiempo DiscretoAnálisis y Proyecto en Espacio de Estado
Profesor Responsable: Dr. Ing. Fernando Botterón
Curso de Posgrado – Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Misiones
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Conceptos
Representación de Espacio de Estados de Sistemas Discretos
o Se describe por un sistema de n ecuaciones diferencia.
o Combinadas en una ecuación diferencia vector-matriz.
o El método de espacio de estado posibilita la inclusión de las condiciones iniciales.
Estado:
Variables de Estado:
Vector de Estados:
Ecuaciones de Espacio de Estado:
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Representación de Espacio de Estados de Sistemas Discretos
o Para sistemas discretos lineales o no lineales y variantes en el tiempo:
( 1) [ ( ), ( ), ]
( ) [ ( ), ( ), ]
k k k k
y k k k k
x f x u
g x u
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k k k k
y k k k k k
x G x H u
C x D u
o Para sistemas discretos lineales y variantes en el tiempo:
( ) :Dimensión k nx ( ) :Dimensión k ru ( ) :Dimensión k my
( ) :Dimensión k n nG ( ) :Dimensión k n rH ( ) :Dimensión k m nC
( ) :Dimensión k m rD
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Representación de Espacio de Estados de Sistemas Discretos
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k k k
y k k k
x Gx Hu
Cx Du
o Para sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo:
G
CH
D
z-1I( )ku ( 1)k x ( )kx ( )ky
Planta
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Solución de la Ecuación de Espacio de Estado en Tiempo Discreto
( 1) ( ) ( ) (1)
( ) ( ) ( ) (2)
k k k
y k k k
x Gx Hu
Cx Du
o Para sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo:
o Por recursividad:
2
3 2
(1) (0) (0)
(2) (1) (1) (0) (0) (1)
(3) (2) (2) (0) (0) (1) (2)
x Gx Hu
x Gx Hu G x GHu Hu
x Gx Hu G x G Hu GHu Hu
• De forma genérica:
11
0
( ) (0) ( ); 1,2,3,... (3)k
k k j
j
k j k
x G x G Hu
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Solución de la Ecuación de Espacio de Estado en Tiempo Discreto
• La ecuación de salida resulta:
11
0
( ) (0) ( ) ( ) (4)k
k k j
j
k j k
y CG x C G Hu Du
o Método de la transformada Z:
1 1( ) ( ) (0) ( ) ( )z z z z z X I G X I G HU
1 1 1 1( ) [( ) ] (0) [( ) ( )] (5)k z z z z x I G x I G HUZ Z
11 1 1 1 1
0
[( ) ] [( ) ( )] ( )k
k k j
j
z z z z j
I G G I G HU G HuZ y Z
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Matriz Función Transferencia Discreta
• Tomando la transformada Z de (1) y (2):
• La ecuación de salida resulta:
( ) ( ) ( ) (0)
( ) ( ) ( )
z z z z z
z z z
X GX HU X
Y CX DU
Matriz FT Discreta
1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )z z z z z Y C I G H D U F U
( )( )
adj zz
z
I G
F C H DI G
1 21 2 1 0n n n
n nz z a z a z a z a I G
Polinomio Característico, donde los ai dependen de los parámetros de G.
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t
x(t)
T0 2T 3T 4T
x(kT)
x(k+1)T
Discretización de ecuaciones de Espacio de Estado en tiempo continuo
( 1) ( )
kT
dx x k T x kT
dt T
Aproximación de Euler
( 1) ( )( ) ( )
( 1) [ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k T kTkT u kT
Tk T T kT T u kT
y kT kT u kT
x xAx B
x I A x B
Cx D
( 1) ( ) ( )k T kT u kT x G x H max10mf f
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Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto
Sistema SISO LIT modelado por la siguiente ec. de espacio de estados
( ) ( ) ( )t t u t x Ax B
0
0
( ) ( τ)0( ) ( ) (τ) τ
tt t t
tt e t e u d A Ax x B
(1)
Solución de (1) está dada por:
(2)
Se asume que: ( ) ( ) . ( 1)u u kT ctte kT T k T
En tiempo discreto, (1) resulta:
[( 1) ] ( ) ( ) ( ) ( )k T T kT T u kT x G x H (3)
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Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto
Utilizamos la (2) para obtener la solución de la ec. de estado discreta:
( 1)( 1) [( 1) ]
0[( 1) ] (0) (τ) τ
k Tk T k Tk T e e u d A Ax x B
Se llega a la siguiente expresión:
to = 0 y en t = (k+1)T, se tiene:
to = 0 y en t = (kT), se tiene:
( ) ( )
0( ) (0) (τ) τ
kTkT kTkT e e u d A Ax x B
( 1) [( 1) ][( 1) ] ( ) ( ) τk TT k T
kTk T e kT e u kT d
A Ax x B
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Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto
La última se puede escribir:
( )
0[( 1) ] ( ) ( ) τ
TT Tk T e kT e u kT d A Ax x B
donde:
( )
0
TT Te y e d A AG H B
Haciendo un cambio de variables l = (T - t), la matriz H resulta:
1
0( )
T Te d e A AH B A I B
[( 1) ] ( ) ( )k T kT u kT x G x H
A-1 debe poseer inversa para la solución de H
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Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto
Cálculo de eAT por expansión en serie de Taylor:
2 2
0
1 1
2! ! !
k kT k k
k
Te T T T
k k
A AI A A A
-1 1[( ) ]Te s A I AL
siendo:
1
1 21 2 1
( )( )
0n n nn n o
adj ss y
s
s s a s a s a s a
I AI A
I A
I A
Cálculo de eAT por la Transformada de Laplace:
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Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto
Si se cumple que:
Te T AG I A
Sustituyéndose en la (3) los resultados anteriores para G y H:
max10mf f
1[( 1) ] ( ) ( ) ( )Tk T T kT e u kT Ax I A x A I B
1[( 1) ] ( ) ( ) ( )k T T kT T u kT x I A x A I A I B
Se obtiene finalmente el mismo resultado que utilizando Euler:
[( 1) ] ( ) ( )k T T kT T u kT x I A x B
[ , ] 2 ( , , )c d TG H A BCon Matlab: ZOH
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Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación
L Li
2S
ccV C
4S
1S 3S
pwmu1
2
+oi
Convertidor CC-CA
ov
[( 1) ] ( ) ( )k T kT u kT x G x H
N
Planta
1V 2V 0V 2V 1V 1V 2V 0V 2V 1V
( )ov kT [( 1) ]ov k T [( 2) ]ov k TpwmT T
1,4s
2,3s
pwmT T
( )pwmu t
2c pwmf f
fC cR
R Carga
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Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación
( )u kTZOH
Inversory
PWM
Ecuación
Estado
( )pwmu tT
T
( )kTx
/cc baseV V
cc
base
V
VZOH
( )u kT ( )pwmu tT
1V 2V 0V 2V 1V 1V 2V 0V 2V 1V
( )ov kT [( 1) ]ov k T [( 2) ]ov k TpwmT T
1,4s
2,3s
pwmT T
( )pwmu t
2c pwmf f
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cc
base
V
VZOH
( )u kT ( )u tTdsTe
Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación
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Se puede extender el análisis realizado anteriormente, utilizando la ecuación (2), para modelar el atraso de implementación Td:
(4)
Sustituyendo (4) en (5) y mediante simplificaciones, se llega a:
1°) entre los instantes donde se aplica u[(k−1)T], t0 = kT y t = (kT + Td):
2°) entre los instantes donde se aplica u(kT), t0 = (kT + Td) y t = (k+1)T :
(5)
[( ) ] [( ) τ]( ) ( ) τ [( 1) ]d
d dkT TkT T kT kT T
d kTkT T e kT e d u k T
A Ax x B
( 1)[( 1) ( )] [( 1) τ][( 1) ] ( ) τ ( )d
d
k Tk T kT T k Td kT T
k T e kT T e d u kT
A Ax x B
( τ)( τ)
0 0[( 1) ] ( ) τ [( 1) ] τ ( )
d dd
T T T T TT Tk T e kT e d u k T e d u kT AA Ax x B B
Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación
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( τ)( τ)
0 0[( 1) ] ( ) τ [( 1) ] τ ( )
d dd
T T T T TT Tk T e kT e d u k T e d u kT AA Ax x B B
( ) TT e AG ( )
0
dT Te d A0H B ( )
0
dd
T T T Te d A
1H B
[( 1) ] ( ) [( 1) ] ( )k T kT u k T u kT 0 1x G x H H
( )1 d dT T Te e A A0H A I B ( )1
1dT Te
AH A I B
La ec. de estado que incluye el atraso de implementación digital, resulta:
[( 1) ] ( )( )
[( 1) ] ( )
: ( ) [( 1) ]
d d
d
k T kTu kT
u k T u kT
donde u kT u k T
0 1x xG H H
0 0 I
[( 1) ] ( ) ( )P Pk T kT u kT ψ G ψ H
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Modelos de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Diferentes Estrategias de Muestreo
- 2 muestras x periodo de conmutación
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Modelos de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Diferentes Estrategias de Muestreo
- Promedio de 2 muestras
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Solución de la ecuación de espacio de estado (2) en el intervalo de discretización Tm, incluyéndose el atraso de implementación Td = T/2
Usamos la (1) para obtener la evolución de los estados entre instantes de muestreo:
1°) La ec. de espacio de estado discreta para este caso es:
2°) El promedio de 2 muestras en el instante kT, es:
[( 1) ] ( ) ( / 2) ( ) ( )m mk T T kT T T u kT x G x H
( ) ( ) ( 1/ 2) 2kT kT k T x x x
Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras
3°) El promedio de 2 muestras en el instante (k+1)T, es:
[( 1) ] { [( 1) ] [( 1/ 2] } 2k T k T k T x x x
(1)
(2)
(3)
( ) mTmT e AG 1( ) mT
mT e AH A I B
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Sustituyéndose (4) en la última ecuación, se llega a:
4°) La evolución de los estados entre kT y (k+T/2) está dada por:
[( / 2] ( ) ( 1)kT T kT u k T x G x H
Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras
6°) Utilizado la ecuación (3) obtenemos:
5°) La evolución de los estados entre (k+T/2) y (k+1)T está dada por:
( 1) [( / 2] ( )k T kT T u kT x G x H
[( 1) ] { [( / 2] ( ) ( ) ( 1) }/ 2k T kT T u kT kT u k T x G x H G x H
(4)
(5)
2( ) ( )[( 1) ] ( ) ( ) ( 1)
2 2 2k T kT u kT u k T
G G H GH Hx x (6)
![Page 23: Control de Sistemas en Tiempo Discreto Análisis y Proyecto en Espacio de Estado Profesor Responsable: Dr. Ing. Fernando Botterón Curso de Posgrado – Facultad.](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022081517/56a1889f1a28abe545954c29/html5/thumbnails/23.jpg)
Debe relacionarse x(kT) con x(kT) promedio, la que resulta:
Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras
1 11 1 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 1)
2 2 2 2kT kT u k T
G I G G I G H G I G Hx x
Finalmente, reemplazándose esta última en la (6), obtenemos:12 1
1
12 1 1
( )( ) ( )[( 1) ] ( ) ( ) ( 1)
2 2 2 2
( ) ( ) ( )( 1)
2 2 2 2
k T kT u kT u k T
u k T
G H HG G G I G Hx x
G G G I G H G I G H
![Page 24: Control de Sistemas en Tiempo Discreto Análisis y Proyecto en Espacio de Estado Profesor Responsable: Dr. Ing. Fernando Botterón Curso de Posgrado – Facultad.](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022081517/56a1889f1a28abe545954c29/html5/thumbnails/24.jpg)
Las matrices útiles para el proyecto de realimentación de estados:
Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras
12 1
1
12 1 1
2
( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
G G G I G HG H
GH H G G G I G H G I G HH
12( 1) ( )
( )( 1) ( ) 1a a
k T kTu kT
u k T u kT
x x HG H
0 0
[( 1) ] ( ) ( )p p p pk T kT u kT x G x H
, ( ) ( 1)adonde u kT u k T
(7)
(8)
(9)
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Resultados experimentales que validan el modelo presentado
Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Amostras
x( )kT .x( )kT
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Amostras
x( )kT .x( )kT
Tensión en el capacitor del filtro LC
Corriente en el inductor del filtro LC
Muestras Muestras
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Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos
Hp z-1I
Gp
+
+
Planta
x(k)x(k+1)u(k)
Se asume: - Todas las variables de estado son medibles.
- Todas las variables de estado están disponibles para su realimentación
Ubicaciones deseadas de polos de lazo cerrado:
- Obtenidas en base a especificaciones de desempeño transitorio y al periodo de muestreo T.
[( 1) ] ( ) ( )k T kT u kT x G x H u(kT) escalar y no limitada
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Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos
Hp z-1I
Gp
-K
+
+
Planta
x(k)x(k+1)u(k)
Si se elige a u(k) = -K × x(k): [( 1) ] ( )k T kT x G HK x
Diseñar K para la estabilidad asintótica y especificaciones deseadas.
Hay diferentes métodos.
![Page 28: Control de Sistemas en Tiempo Discreto Análisis y Proyecto en Espacio de Estado Profesor Responsable: Dr. Ing. Fernando Botterón Curso de Posgrado – Facultad.](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022081517/56a1889f1a28abe545954c29/html5/thumbnails/28.jpg)
Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos + Referencia
u(k) = K0 r(k) - K x(k) 0[( 1) ] ( ) ( )k T kT K r kT x G HK x H
Diseñar K para la estabilidad asintótica y especificaciones deseadas.
Diseñar K0 para eliminar el error de régimen estacionario.
Hp z-1I
Gp
K
+
+
Planta
x(k)x(k+1)u(k)+
-
v(k)K0
r(k)C
y(k)
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Diseño en Espacio de Estado: Sistema de Seguimiento - Servo
u(k) = K1 v(k) - K x(k) ( ) ( 1) ( ) ( )k k k k v v r y
Diseñar las matrices de ganancias K1 y K2 para:
estabilidad asintótica; especificaciones transitorias deseadas.
K1 Hp z -1I
Gp
Cp
K2
+ +
+-
+
-
+
+
Servo Planta
r(k)
y(k)
y(k) y(k)v(k)
z-1Iv(k-1)
u(k)