Control Estadístico de Procesos Parte 1 María Guadalupe Russell ...

Control Estadístico de Procesos

Parte 1

María Guadalupe Russell Noriega.

Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas

Universidad Autónoma de Sinaloa.

V Verano de Probabilidad y Estadística, CIMAT.

Del 2 al 6 de julio del 2012.

ContenidoContenidoIntroducción al Control Estadístico de Procesos

¿Por qué varían los procesos?

Fundamentos EstadísticosFundamentos Estadísticos

Causas Comunes y Causas Especialesy p

Capacidad de Procesos

Monitoreo de ProcesosCartas de Control Tipo ShewhartpCartas de Control de Sumas Acumuladas

Introducción

El “Control Estadístico de Procesos” nació a finales de los años 20en los Bell Laboratories, como parte del Manejo de Calidad Total(TQM) C t l d l C lid d T t l (TQC)(TQM) o Control de la Calidad Total (TQC).

Shewhart, en su libro “Economic Control of Quality ofManufactured Products” (1931) marcó la pauta que seguirían otrosdiscípulos distinguidos (Juran, Deming, etc.).

En 1924 Shewhart desarrolló el concepto de carta de controlestadístico, el cual suele considerarse como el inicio formal delcontrol estadístico de calidad.

La popularidad del uso de las cartas de control en la industria sedebe a la facilidad de construcción e interpretación Sin embargodebe a la facilidad de construcción e interpretación. Sin embargosu uso ha venido creciendo en áreas como salud y servicios.

IntroducciónPara entender los alcances del SPC (CEP), se entiende que unproceso es una red de componentes independientes que trabajanjuntas, con el propósito de lograr los objetivos propuestos por elju as, co e p opós o de og a os obje os p opues os po esistema.

¿Por qué varían los procesos?Un proceso industrial está sometido a una serie de factoresde carácter aleatorio que hacen imposible fabricar dosproductos exactamente iguales.

Las características del producto fabricado no son uniformesy presentan variabilidad.

Esta variabilidad es no deseable y el objetivo es reducirla lomás posible o al menos mantenerla dentro de ciertos límites.

El Control Estadístico de Procesos es una herramienta útilpara alcanzar dicho objetivo. Dado que su aplicación es enel momento de la fabricación puede decirse que estael momento de la fabricación, puede decirse que estaherramienta contribuye a la mejora de la calidad de lafabricación.

Permite también aumentar el conocimiento del procesodando lugar a la mejora del mismo.

¿Por qué varían los procesos?

Por que se ve f t d f t afectado por factores

que varían

Causas de variabilidad

ii i

ii i i

i

i ii

i

i i i

i

Causas de variabilidadLa estrategia básica para la mejora de la calidad pasa por laidentificación de las causas que producen variabilidad, las cuales segúnShewhart (1931) se clasifican en:( )

a) Causas comunes o aleatorias: Son las que provocan la llamadavariabilidad natural del proceso y obedecen a un comportamientovariabilidad natural del proceso, y obedecen a un comportamientoaleatorio.

b) Causas especiales o atribuibles: Son aquellas que cuando estánpresentes tienen un efecto significativo en el desempeño del proceso.Este efecto se refleja eventualmente en el patrón que presentan lospuntos graficados en la carta de controlpuntos graficados en la carta de control.

Causas de variabilidad

La variabilidad de las causas comunes o aleatorias es el reflejo de cientosde causas pequeñas que actúan de manera conjunta, y que no esp q q j , y qposible identificar alguna en especial.

La variación excesiva debida a causas comunes se resuelve cambiandola tecnología de modo que la eliminación de las causas comunes esla tecnología, de modo que la eliminación de las causas comunes esresponsabilidad de la empresa.

La variabilidad de las causas especiales o atribuibles se debentípicamente a aspectos tales como: materiales, operadores, instrumentosde medición, máquinas, métodos.

La eliminación de las causas especiales es más sencilla ya quebásicamente son responsabilidad del operario.

Causas de variabilidadPor definición, se dice que un proceso está bajo control estadísticocuando no hay causas especiales presentes. O equivalentementecuando únicamente actúa un sistema de causas de variabilidad común.cuando únicamente actúa un sistema de causas de variabilidad común.

El Control Estadístico de Procesos se basa en analizar la información queaporta el proceso para detectar la presencia de causas especiales yh bit l t li di t t ió áfihabitualmente se realiza mediante una construcción gráficadenominada Gráfico o Carta de Control.

Si el proceso se encuentra bajo control estadístico es posible realizar unap j ppredicción del intervalo en el que se encontrarán las características de lapieza fabricada.

Medidas de variabilidadConsidere un proceso de producciónde engranes en estado de control,para el cual la característica de

lid d l diá t d lcalidad es el diámetro de losengranes en mm.

Se selecciona aleatoriamente una

Diámetros del engrane en mmmuestra de tamaño n de entre losengranes fabricados por el proceso,en un día de producción.

Medida de variabilidad en unamuestra.

¿Proporción de engranes en la muestraque tienen un diámetro menor a 19.8 mm?¿Qué proporción de engranes en la¿Q p p gmuestra cumple con la especificación de20±0.2 mm?

Histograma de los Diámetros de engranes en mm, para una muestra de tamaño n=100

19.8 19.9 20 20.1 20.2

Variabilidad en la Población

f(x)

n=20 n=200 n=2000 n→∞n 20 n 200 n 2000 n→∞

Función de densidad de Probabilidad (fdp)

De la definición frecuentista de probabilidadDe la definición frecuentista de probabilidad,

nocurreAquevecesdeAP

n

#lim)(∞→

=

Además de la relación entre histograma y fdp Además de la relación entre histograma y fdp, se deduce que:

( )bYadyyfb

a

≤≤=∫ Pr)(

En resumen una función f es fdp si cumple que:1)(),0)() =∈∀≥ ∫

R

dyyfbRyyfa

Función de DistribuciónLa fdp f(y) contiene toda la información sobre la variabilidad del proceso,es decir, si f(y) es conocida podemos contestar preguntas como:

1. ¿Qué proporción de los diámetros de engranes producidos por elproceso estarán entre a y b mm?

∫b

dyyf )(

2. ¿Qué proporción de los engranes tendrán diámetros inferiores a a mm?

∫a

dyyf )(

∫∞−

a

dyyf )(

3. ¿Qué proporción de engranes tendrán diámetros superiores a b mm?

∫∞

dyyf )(∫b

Función de distribuciónDada una variable aleatoria Y, se llama función de distribución de la v.a. Y a la función F, de recta real R en el intervalo [0,1], definida por:

( ) ∫∞−

≤==y

yYdttfyF )Pr()(

Una función de distribución F esU a u c ó de d s buc ó esmonótona no decreciente,continua por la derecha y cumpleque:

( ) ( ) 1limy0lim ==∞→−∞→

yFyFyy

Primeros MomentosLa variabilidad representada exhaustivamente por la fdp, puedecaracterizarse parcialmente por los primeros dos momentos poblaciones,definidos por:

dyyfyYEYVarydyyyfYERR

)()()()()()( 222 ∫∫ −=−==== μμσμ

μ y σ son la media y varianza poblacional, respectivamente.

El parámetro μ se conoce como parámetro de localización y σ elá óparámetro de dispersión.

Parte de la variabilidad en una muestra puede caracterizarse a través delos primeros dos momentos muestrales identificados y definidos como:los primeros dos momentos muestrales, identificados y definidos como:

22 )(11 YYSyYYn

i

n

i −== ∑∑11

)(1n

yn i

ii

i − ∑∑==

Distribución NormalSe dice que una v.a. Y distribuye normal con parámetros μ y σ (Y~N(μ,σ)) si su fdp es:

0)(1)(2

⎥⎤

⎢⎡ − μyf .0,,,

2)(exp

2)( 2 >∞<<∞−∞<<∞−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= σ

σμ

σπyyyyf

La fdp normal cumple laspropiedades siguientes:propiedades siguientes:

a) f(y) es simétrica respecto deleje y=μ

b) La gráfica de f(y) presenta unmáximo relativo en el punto

⎤⎡ 1

c) La gráfica de f(y) presenta

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

σπμ

21,

puntos de inflexión en y=μ±σ.

Comportamiento de la fdp N(μ,σ)

0.3

0.35

0.4

f(x)

σ=1μ=1

0 3

0.4

f(x)

μ=1 μ=2 μ=3 μ=4

0.1

0.15

0.2

0.25σ=2

σ=3σ=40.1

0.2

0.3σ=1

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10x

0.05

σ=4

-2 2 4 6x

0.1

0.4

f(x)

μ=0,σ=1

0.8

1

F(x)

μ=0,σ=1

μ=1,σ=2

0.1

0.2

0.3

μ=1,σ=2

μ=3,σ=3

0 2

0.4

0.6 μ=3,σ=3

-5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10x

-4 -2 0 2 4 6 8 10x

0.2

Teorema de Límite CentralEl teorema del límite central (TLC) establece que si una variable aleatoriase obtiene como una suma de muchas causas independientes, siendocada una de ellas de poca importancia respecto al conjunto, entonces sudistribución es asintóticamente normal.

{ }

generalesscondicioneciertasbajoentonces21 para , y varianza mediacon ntesindependie v.a.de

desucesión unason las donde, Si2

i

121

,, i

XXXXS

i

iinn ≥

=

+++=

σμ K

L

( )1,0

generales,scondicioneciertasbajo entonces

1 NS

n

iin

= →−∑μ

( )1,0

1

2

Nnn

ii

∞→

=

→

∑σ

Teorema de Límite Central (TLC)Distribución de las medias muestrales

muestrasextraensecualladepartira)(óndistribuciconv aunaesSi NX σμ

( ).1,0~/

xó,~x ;distribuye se

,x ,muestrales medias las deón distribuci la entonces , tamañode aleatoriasmuestrasextraen secual la departir a),(ón distribucicon v.a.unaes Si

mm

m

NN

nNX

μσμ

σμ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

/ nn σ⎠⎝

Teorema de Límite Central (TLC)Como consecuencia del TLC la distribución de las medias muestrales esasintóticamente normal, aún en el caso de que la distribución poblacionalno lo sea; siempre que el tamaño de la muestra sea suficientemente

0.25

0.20

0.15

grande.

0.05

0.10

0.15

0.20

0.05

0.10

0.15

0.05

0.10

0 2 4 6 8 10

n = 10, p = 0.75

0.00

0 5 10 15 20

n = 20, p = 0.75

0.00

0 5 10 15 20 25 30

n = 30, p = 0.75

0.00

2

0.06

040.

060.

080.

100.

12

0.04

0.06

0.02

0.03

0.04

0.05

0 10 20 30 40 50

n = 50, p = 0.75

0.00

0.02

0.0

60 80 100 120 140

n = 150, p = 0.75

0.00

0.02

120 140 160 180 200 220

n = 250, p = 0.75

0.00

0.01

Teorema de Límite Central (TLC)0.

06Weibull( beta = 1.3, eta = 10 )

200

n = 50.

020.

04

5010

015

0

0 5 10 15 20 25

0.0

5 10 15 20 25

05

150

n = 10

200

n = 20

5010

0

5010

015

0

4 6 8 10 12 14 16 18

0

6 8 10 12 14

0

Teorema de Límite Central (TLC)Recapitulando, un proceso está afectado por un gran número defactores (por ejemplo oscilaciones de las características del materialutilizado, variaciones de temperatura y humedad ambiental,utilizado, variaciones de temperatura y humedad ambiental,variabilidad introducida por el operario, entre otras), que inciden en él yque inducen una variabilidad de las características del productofabricado.

Si el proceso está operando de manera que existen pequeñasoscilaciones de todos estos factores (causas comunes), pero de modoque ninguno de ellos tienen un efecto preponderante frente a losq g p pdemás, entonces por el TLC esperamos que la característica de calidaddel producto fabricado se distribuya normal.

Si el proceso se encuentra bajo control estadístico es posible realizar unaSi el proceso se encuentra bajo control estadístico es posible realizar unapredicción del intervalo en el que se encontrarán las características dela pieza fabricada y monitorear el proceso mediante un gráfico decontrol.

Capacidad de un ProcesoUn análisis de capacidad evalúa la habilidad que tiene un proceso paraproducir artículos que se ajusten a especificaciones preestablecidas, yque por tanto satisfagan los requerimientos de los consumidores. Es decir,cuando un proceso está en estado de control, a la amplitud del intervalode variabilidad de las observaciones individuales, se le denominacapacidad.

Variabilidad causas comunes

Capacidad del proceso

Capacidad de máquina

+Variabilidad causas especiales

=

p q+

Otras variaciones(Turnos, operadores, Materia prima, etc.)

=

Tres tipos de Límites

Los límites LE definen los requerimientos de aceptabilidad para una unidadLos límites LE definen los requerimientos de aceptabilidad para una unidadindividual de un proceso de manufactura o de servicio.

Los límites LN indican los puntos en donde varía la salida de un proceso.

Áreas bajo la Distribución Normal

Si un proceso normal está en control estadístico, la característica decalidad del 99.73% de los elementos fabricados estarán comprendidos en

.3σμ ±μ

Especificaciones y Ancho del Proceso

Bajo normalidad el anchodel proceso se define como6σ6σ.

El ancho deespecificaciones puede

i i imedir “cualquier cantidad”de sigmas.

LEI LES

Las curvas representanlo observado.

Las especificaciones lodeseadodeseado.

LEI LES

Capacidad de ProcesosProceso concapacidadpotencial y

Dado un proceso y dadasunas especificaciones diremosque un proceso es capaz sipuede producir dentro de lap y

capacidadreal.

puede producir dentro de laespecificaciones exigidas, esdecir, si su capacidad esmenor que las tolerancias.q

LIE LSET

Ancho del Proceso

Proceso con capacidad potencial

Ancho de las Especificaciones

Proceso con capacidad potencial,pero SIN capacidad real.

Ancho del Proceso


LIE T LSE

Capacidad de Procesos y Estabilidad

Variables deVariables desalida inestablespero dentro deespecificaciones

Cumple conespecificacionesy es predecibleya que esta bajocontrolcontrol

Las variables desalida del proceso son No cumple con especificacionessalida del proceso sonestables pero bajacapacidad de cumplirespecificaciones.

No cumple con especificacionesy causas especiales devariabilidad presentes

Índices de Capacidad de Procesos

6Pd lA hcionesEspecifica deAncho LEILESCp

−==

σ6ProcesodelAnchop

bli1C

adecuadapotencialcapacidades331C

y marginal33.1C1

aceptableines1

p

>

<<

<pC

adecuadapotencialcapacidades33.1Cp >

σ61 “P ió d l t l i

LEILESCC

pr −

==σ61 “Proporción de la tolerancia que

ocuparía el proceso”

Índice CpProcesos con Cp=1 Procesos con Cp=2

Ancho del Proceso

A h d l Ancho de las Especificaciones

El índice Cp no toma en cuenta l t d d l el centrado del

proceso.

% de artículos defectuosos

Índices ZU, ZL, CPU, CPL y CPK

μ−LESLEI−μ

μLES

LESμLEI LESμLEI

UPUU

ZLESCLESZ33

=−

=−

=σ

μσ

μ

LPLL

ZLEICLEIZ33

=−

=−

=σ

μσ

μToma en cuenta el centrado

{ }PUPLPK CCLESLEIC ,min3

,3

min =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

=σ

μσ

μdel proceso

Índice CPK

El Cpk no puede distinguir entre los tres procesos representados en lafigura.

ajustado más a tolerancide límite al media la deDistancia=PKC

C C i l t t d

proceso deldadSemicapaciPKC

CPK=CP si el proceso esta centrado

Relación entre los Índices CP y CPK

El factor que mide el grado en que el proceso se desvía del valornominal (T) expresado en unidades de ½ de la tolerancia, digamos k,se expresa como:

LIELSET

k−−

=μ2

p

10 kLSELIE 10 ≤≤ kSi se cumple queLSELIE ≤≤ μ

La relación entre los índices CP y CPK es:

PPK CkC )1( −=

Esta relación implica que el CPK es menor o igual al CP, y la igualdad sedá cuando la media del proceso coincide con el valor nominal ( ).T=μ

Índice CpmCpm = 1 Cpm = 0.63 Cpm = 0.44

( )2

2

1σ

μ TCC P

pm−

+

=

p

El índice Cpm sí distingue entre los tresprocesos de la figura. Se cumple que:

LEILESC −<

TCpm −

<μ6

Esta relación implica que para queC 1 d b liCpm= 1, se debe cumplir

6LEILEST −

<−μ

Es decir, la media del proceso no se puede alejar del valor objetivo másallá de un sexto de la tolerancia.

Cpm coincide con el Cp y el Cpk cuando el proceso estácentrado en el valor nominal (T).

Comparación de ÍndicesLEI LES Cp CPL CPU Cpk Cpm

2 1.5 2.5 1.5 1.11

LEI LES Cp CPL CPU Cpk Cpm

LEI LES

2 2 2 2 2

Cp CPL CPU Cpk CpmLEI LES Cp CPL CPU Cpk Cpm

2 3 1 1 0.63

LEI LES Cp CPL CPU Cpk Cpm

2 3.5 0.5 0.5 0.43

Índices del Desempeño del Proceso

LIELSE − ⎟⎞

⎜⎛ −− LIETTLSEP i

globalp

LIELSEPσ6

= ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=globalglobal

pkPσσ 3

,3

min

subgrupos entrey dentro variaciónla cuentaen Toma

Globalestándar Desviaciónglobalσ

CP > Pp y CPK> Ppk

Ya que los Pp´ toman en cuenta la variabilidad a largo plazo.

Métrica 6 sigma

6σ6σ

12σ 12σ

7.5σ

0 002 0 002 ppm

4.5σ

0.002 ppm0.002 ppm

0 ppm

Ancho de las Especificaciones3.4 ppm

0 ppm


6⇓

σ 6⇓

σ

6;6

2

⇓

==⇓

ZZ

CC pkp

54;6

5.1;2

⇓

==⇓

ZZ

CC pkp

ppm002.0

6;6 plazo largoplazo corto

⇓

== ZZ

ppm4.3

5.4;6 plazo largoplazo corto

⇓

== ZZ

Procesos en Estado de Control¿Qué es la calidad?

Definición tradicional: Calidad significa adecuación para uso.Definición tradicional: Calidad significa adecuación para uso.

Definición moderna: La calidad es inversamente proporcional a lavariabilidad.

Definición. El mejoramiento de calidad es la reducción de lavariabilidad en procesos y productos.

Un proceso en estado de control es aquel que sólo está afectadopor causas comunes de variación.

Es posible modelar matemáticamente la variabilidad de las causascomunes, considerando la función de distribución de lacaracterística de interés (Normal, Binomial, Poisson).

Cartas de Control Las cartas de control son una herramienta estadística que permite

conocer si un proceso dado se encuentra en estado de estabilidad ocontrol.

Son gráficas cronológicas de los datos del proceso de interés, que nosayudan a entender, controlar y mejorar los procesos.

0 1 2 3 4

ayuda a e e de , co o a y ejo a os p ocesos.

Comportamiento esperado de las observaciones individuales en un proceso en estado de control

Considere un proceso de llenado de botellas de agua que, en estado decontrol, sigue una distribución normal con media μ=200 cm3 y desviacións =0.7 cm3.

3s3+= μ

μ=

s3+= μ

El proceso se desajusta provoca unEl proceso se desajusta en 1cm3 pasando a rellenar conmedia 201 cm3 e igualdispersión.

El proceso se desajusta provoca unaumento en la variabilidad delproceso de relleno, pasando des=0.7 a s = 1.

s3+= μs3+= μ

μ=

s3+= μ

μ=

s3+= μ s3+= μ

Cartas de Control

Proceso

Comportamiento de la media de un proceso en estado de control

L fi ti l t id di d 4 b t llLa figura contiene el contenido medio de 4 botellas

• Observaciones de la 1 a la 20 con μ=200 y s=0.7• Observaciones de la 21 a la 40 con μ=201 y s=0.7μ y• Observaciones 41 a la 60 con μ=200 y s=1.

Cambios en la media

m= 1 2σ

m=2

m=6

m=3m=2

m=5

1.5σ

m=14

m=52m=28

m=7

m=18

m=5

m=52

m=6

0 5σ

1σ

m=217

m=52

m= 181 m=130

0.5σ

m es el número de muestras de tamaño n que se han de tomar para que exista una probabilidad de al menos 95% de detectar el cambio en el proceso.

Gráfico o diagrama de control

Gráfico de control: Representa el comportamiento de los datosf p pordenados en el tiempo de un proceso.

Objetivo principal: Detectar lo antes posible cambios en el proceso.Se busca minimizar el tiempo que transcurre desde que se produce unSe busca minimizar el tiempo que transcurre desde que se produce undesajuste hasta que se detecta.

Falsas alarmas: Observaciones de un proceso en estado de controlinterpretadas erróneamente como señales de que en el proceso actúancausas especiales.

Cartas de Control tipo Shewhart

iWiWiWE σ3)( +

Señal de fuera de control

)( iWEProbabilidad de falsasalarmas del orden del 3%.

iWiWE σ3)( −

Costos de producir fuera de control.T(1) y T(2) frecuencias de muestreopara n proceso en el q e separa un proceso en el que semonitorea la media

Cartas de control para variablesConstrucción de los Límites de Control

Considere una muestra aleatoria de tamaño n,Sean las estadísticas de orden:

.,,, 21 nXXX L

.)()2()1( nXXX ≤≤≤ L

Funciones lineales de las estadísticas de orden, denominadasusualmente L-estimadores, son de la forma

Los límites de control se calculan a partir de los valores esperadosLos límites de control se calculan a partir de los valores esperadosy varianzas de las funciones usadas:

Construcción de los Límites de Control

Por ejemplo, si es la media muestral de una muestra aleatoriade tamaño , donde , entonces,

( ) nn

Xn

EXEn

ii

1)(11 μμ ==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

=

( )n

nn

Xn

VarXVarn

ii

i

22

21

1

)(11 σσ ==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎠⎝

∑=

Si representa la línea central de una carta de control paraXTSi representa la línea central de una carta de control para

la medida de localización , los límites son:

T 3±

XT =XT =

TT σ3±

Carta X

La carta muestra las variaciones en los promedios de lasmuestras. Si las con μ, σ conocidos, los límites de

t l

X ( )2,~ σμNX icontrol son;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±

nz σμ α

2

n tamaño de subgrupoque se toma en cadati2 tiempo.

probabilidad de unafalsa alarma. 2

αz cuantil de la normal e iguala 3, si tenemos una carta delímites tres sigmas..

En la práctica μ σ desconocidos y deben estimarse de unEn la práctica μ, σ desconocidos y deben estimarse de unconjunto de datos históricos, Fase I (construcción de la carta decontrol), hasta que el proceso se considere estable.

En la Fase II el proceso se monitorea en línea.

Carta si μ y σ desconocidos,X

Se estima μ y σ a partir de la media de las medias y σ a partir derango, R, o bien a partir de la desviación estándar muestral, S, de kmuestras iniciales.

,X

)1()( XXR n −=El estadístico da una estimación de la dispersión de lapoblación de la que procede.

Se calcula muy fácilmente y para valores muestrales pequeños, n≤8, secomporta bien. Para valores mayores da una estimación sobrevalorada dela dispersión de la población.

( )21 XXS

n

∑

Para el estadístico S, se tiene dos definiciones:

( )2

* 1 ∑n( )

1

1

XXn

Si

i −= ∑=

( )

( )

1

*

11

−−

= ∑=

XXn

Si

i

Estimador insesgado

Estimador sesgado

( ) 22 1σn

nSE −= ( ) 22* σ=SE

gg

Carta si μ y σ desconocidos,X

( ) ( ) 42*242

22 2)1(222 σσσσ ==≤

−== SVarnSVar

Las varianzas de ambos estadísticos son, para procesos normales:

( ) ( )2 )1(2*2 σσσσ−

≤n

SVarn

SVarSS

( ) ( )* 2222nn⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

( ) ( ) σσσσ 4*

2

21

2)1(

2

21

22 cnn

SEcnn

SE =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Γ

⎠⎝−

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Γ

⎠⎝=

En este caso ambos estadísticos son estimadores segados de σ.

( ) ( ) ( )222 )(SESESVarS −==σ ( ) ( ) ( )2*2**2 )(SESESV( )

22

2222

2 111 cn

cn

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−

−= σσσ

( ) ( ) ( )( )2

4222

42 1

)(*

cc

SESESVarS

−=−=

−==

σσσ

σ

22

11 cnS −−=σσ

241* c

S−=σσ

Carta RX −

La carta monitorea las variaciones en los promedios de las muestras.La carta R monitorea la variabilidad de un proceso. Es decir, muestra lasvariaciones de los rangos de las muestras.

X

Lo más conveniente es empezar con la construcción de la carta R.

Si la carta R muestra que la variabilidad del proceso esta fuera decontrol, lo mejor es controlar la variabilidad antes que construir la carta .X

A partir de y se trazan los límites provisionales de la manera siguiente. X R

RAXRXLCS 213 +=+=

En el gráfico de Medias: En el gráfico de Rangos:

RDRdLCS 331 =⎟⎟⎞

⎜⎜⎛+=

RAXRXLCI

XLC

RAXdn

XLCS 22

313

3

==

=

++

RDRdLCI

RLC

RDRd

LCS

3

42

31

31

⎟⎞

⎜⎛

=

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝+=

RAXdn

XLCI 22

33 −=−= RDRddLCI 3

2

331 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Carta RX −Estimación de las constantes d2 y d3, por simulación, utilizadas en laconstrucción de la carta RX − d2 d3

1.118145 0.8495161

1.693288 0.884309Programa en R

#Estimación de d2 y d3. El estadístico W = Rango/sigma, denominado # “recorrido relativo”, con E(W) = d2 y raiz(varianza) = d3.

2.059194 0.8825737

2.323239 0.8602215

2.533122 0.8498462

2.70243 0.8322734

Programa en R

W <-0; W2<-0; nn<-100000; n <- as.matrix(seq(1,25,1)); nl<-length(n);d2<-matrix(0,nl,1);d3<-matrix(0,nl,1)for (j in 1:nl){ W<-0; W2<-0;

2.84786 0.8188604

2.973336 0.8085068

3.078241 0.7991577

3.17815 0.78777

3.261795 0.77942for(i in 1:nn)

{ rdatos <-rnorm(n[j],0,1); #Se simulan datos de una normal estándarrango <-range(rdatos)#función que obtiene el rango de los datosW <-W + (rango[2]-rango[1])/1

3.261795 0.77942

3.336109 0.7690239

3.402547 0.7607124

3.466029 0.7531938

3.532219 0.7473171

W2 <-W2 + ( (rango[2]-rango[1])/1)^2}

d2[j] <-W/nn # E(W)=d2d3[j]<-sqrt((W2/(nn-1))-2*(d2[j])*(W/(nn-1))+ (nn/(nn-1))*( (d2[j])^2))#

3.585279 0.7449061

3.638498 0.7374566

3.68987 0.733514

3.736589 0.7312419

3 781558 0 7259207sigmaW=d3; j<-j+1;}cbind(d2,d3)

3.781558 0.7259207

3.818268 0.7200756

3.860174 0.7163147

3.894794 0.7132323

3.93311 0.7110048

Carta SX −La carta S monitorea la variabilidad de un proceso, es similar a la carta R,solo que ahora se calculan y grafican las desviaciones estándar paracada grupo.

Carta SX − Carta *SX −

Carta SX −Estimación de las constantes c2 y c4 involucradas en la obtención de los límites de control de las cartas por medio de simulación. ,SX −

Programa en RC2 C4

#Estimación de c2 y c4C <-0; W2<-0; nn<-100000; n < as matrix(seq(1 25 1))

Programa en R 0.5634149 0.796789

0.7235947 0.8862189

0.7983276 0.9218293

0.8402237 0.9393986

0 867655 0 9504685n <- as.matrix(seq(1,25,1))nl<-length(n); c2<-matrix(0,nl,1); c4<-matrix(0,nl,1)

for (j in 1:nl){

0.867655 0.9504685

0.8880728 0.9592283

0.9022891 0.9645876

0.9147785 0.9702691

0.9223831 0.9722771C<-0; CC<-0;for(i in 1:nn){rdatos <-rnorm(n[j],0,1); #Se simulan datos de una normal estándarC <- C + sd(rdatos)

0.9308393 0.9762725

0.9366463 0.9782952

0.9412656 0.9797003

0.9449452 0.980616C C sd(rdatos)CC <- CC +( sd(rdatos) * sqrt((n[j]-1)/n[j]) )}c4[j] <-C/nn; c2[j]<-CC/nn;j<-j+1}

0.9489709 0.9822782

0.9526069 0.9838482

0.9541755 0.9835416

0.957595 0.9853571

0 9594323 0 985723}cbind(c2[-1],c4[-1])

0.9594323 0.985723

0.96143 0.9864064

0.9641059 0.9879146

0.9653752 0.9880931

Carta para n grandeSX −

En muestras pequeñas, el rango y la desviación estándar tienen uncomportamiento similar. Sin embargo, en muestras grandes la ocurrenciade un valor extremo produce un rango grande, pero tiene un efectomenor sobre la desviación estándar.

Como la distribución de S es no simétrica, se puede construir una carta S,con límites de probabilidad en lugar de los límites 3σcon límites de probabilidad en lugar de los límites 3σ.

( ) 2)1(2

2

~1−

−n

Sn χσ

2

( ) αχσ

χ αα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<−<

−−−11 2

)1,2

1(2

22

)1,2

(

SnPnn Entonces,

1

2

)1,2

(

−=

−

nLCI

nαχσ

αχ

σχ

σαα

−=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−<<

−

−−−1

11

2

)1,2

1(

2

)1,2

(

nS

nP

nn

1

2

)1,2

1(

−=

−−

nLCS

nαχσ

⎟⎠

⎜⎝

Carta para n grandeSX −

Como antes tomamos como estimación de σ a

Finalmente, la carta S con límites de probabilidad queda definida como

1

2

)1,2

(=

−SLCInαχ

1

2

4

=

−

SLCnc

1

2

)1,2

1(

4 −=

−−

ncSLCS

nαχ

4

EjemplosEjemplos

2.00

Normal Q-Q Plot

1.98

LCS= 1.995

Carta de Mediasn=4 #tamaño de subgruposubgrupos=20 #cantidad de subgruposdatos<-matrix(nrow=subgrupos,ncol=n)

1.85

1.90

1.95

61.

901.

94

Med

ias LC= 1.933

LCI= 1.87

datos[1,]<-c(1.88, 1.93, 1.98, 1.88)datos[2,]<-c(1.93, 1.97, 1.89, 1.94)datos[3,]<-c(1.92, 1.95, 1.90, 1.98)datos[4,]<-c(1.89 ,1.89, 1.90, 1.94)datos[5 ]< c(1 95 1 93 1 90 1 93)

-2 -1 0 1 2

1.86

Subgrupo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

datos[5,]<-c(1.95 ,1.93, 1.90, 1.93)datos[6,]<-c(2.00, 1.95, 1.94, 1.89)datos[7,]<-c(1.95, 1.93, 1.97, 1.85)datos[8,]<-c(1.87, 1.98, 1.96, 2.04)datos[9,]<-c(1.96, 1.92, 1.98, 1.88)

52.

00 LCS

Carta de Medias

0.15

0.20 LCS= 0.19

Carta de Rangosdatos[10,]<-c(1.99, 1.93, 2.01, 2.02)datos[11,]<-c(1.93, 1.95, 1.90, 1.93)datos[12,]<-c(1.95, 1.98, 1.89, 1.90)datos[13,]<-c(1.88, 1.93, 1.88, 1.90)datos[14 ]<-c(1 97 1 88 1 92 1 96)

1.85

1.90

1.95 LC

LC

0.00

0.05

0.10R LC= 0.084

LCI= 0

datos[14,]< c(1.97, 1.88, 1.92, 1.96)datos[15,]<-c(1.91, 1.91, 1.96, 1.93)datos[16,]<-c(1.98, 1.90, 1.92, 1.91)datos[17,]<-c(1.93, 1.94, 1.95, 1.90)datos[18,]<-c(1.82, 1.92, 1.95, 1.94)d [19 ] (2 00 1 97 1 99 1 95)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0

Subgrupo1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

datos[19,]<-c(2.00, 1.97, 1.99, 1.95)datos[20,]<-c(1.98, 1.94, 1.96, 1.88)

EjemplosEjemplosEn el departamento de ensamble de motores de una plantaautomotriz, se tiene que una de las partes del motor, el árbol delevas, debe tener una longitud de 600mm(+/-)2mm para cumplircon las especificaciones de ingenieríacon las especificaciones de ingeniería.

Un árbol de levas es un mecanismo formado por un eje en elque se colocan distintas levas, que pueden tener distintasf t ñ t i t d d dif tformas y tamaños y estar orientadas de diferente manera, paraactivar diferentes mecanismos a intervalos repetitivos, como porejemplo unas válvulas, es decir constituye un temporizadormecánico cíclico.mecánico cíclico.

Hay un problema crónico con la longitud del árbol de levas, yaque se sale de especificaciones, y crea un problema dered cción del rendimiento de la línea de prod cción altasreducción del rendimiento de la línea de producción y altastasas de re trabajo y desperdicio.

El supervisor del departamento quiere correr cartas de medias yp p q yrangos para monitorear esta característica, durante un mes.Para esto recibe 20 muestras de tamaño 5 del proveedor.

Ejemplos (Árbol de levas)Ejemplos (Árbol de levas)Muestras de longitudes (en mm) de árboles de levas.

Ejemplos (Árbol de levas)Ejemplos (Árbol de levas)Normal Q-Q Plot Carta de Medias

602

604

601

602

603

as

LCS= 602.37 Los promedios de lasmedias y los rangos son600.23 y 3.72 resp.

9659

860

0

598

599

600

6

Med

i LC= 600.2

LCI= 598.08

El promedio de lasmedias se encuentradentro de las

ifi i l-2 -1 0 1 2

59 5Subgrupo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

especificaciones, lomismo ocurre con lasmedias excepto para lasmuestras 2 y 14, que

tá ib d l

0260

4

LCS

Carta de Medias

810

LCS= 7.86

Carta de Rangosestán por arriba delLCS y la muestra 9,que está en el LCI.

El di d l

598

600

60

LC

LC

24

6

R

LC= 3.72

El promedio de losrangos es algo grande,considerando que lamáxima variaciónpermitida es de ±2

596

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0

Subgrupo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22LCI= 0

permitida es de ±2mm., hay un exceso devariación en el proceso.

Ejemplos (Árbol de levas)Ejemplos (Árbol de levas)Sin subgrupos 2 y 14g p y

260

4

Normal Q-Q Plot

604

LCS= 602 14

Carta de Medias

Después de unainvestigación con el

598

600

602

600

602

Med

ias

LC= 599.93

LCS= 602.14 investigación con elresponsable del proceso,se llegó a laidentificación de causas

-2 -1 0 1 2

596 59

8

Subgrupo1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

LCI= 597.72 asignables para lasmuestras 2 (falla demaquina) y 14 (errordel operador) más no

604

Carta de Medias

10

Carta de Rangos

del operador), más nopara la nueve.

Luego se eliminaron las

600

602

LC

LCS

46

8

R

LC= 3.833

LCS= 8.10 muestras 2 y 14,obteniendo nuevamentelas cartas de medias yrangos.

596

598

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

LC

02

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

LCI= 0

rangos.

Ejemplos (Árbol de levas)Ejemplos (Árbol de levas)Al eliminar los subgrupos 2 y 14, ya no tenemos señales de fuera de control, enambas cartas.

Observamos ahora que el promedio de las medias ha disminuido pero elObservamos ahora que el promedio de las medias ha disminuido, pero elpromedio de los rangos ha aumentado. Esto se debe a las magnitudes de lasobservaciones eliminadas, los subgrupos tenían poca variabilidad pero valoresgrandes.

Como ya no hay señales de fuera de control, el proceso es estable y podemosahora iniciar el monitoreo del proceso (Fase II), tomando periódicamentemuestras de 5 arboles de levas.

Chenet al. (2001)

Ejemplo diametros de cilindrosEjemplo diametros de cilindros( )

presentan un conjuntode medidas de losdiámetros interiores decilindros de un tipo demotor.

El conjunto de datosesta formado por 35muestras de tamañon=5 recolectadascada media hora. Losdatos corresponden alos tres últimos dígitosde los valores realesmedidos de la forma3.5205, 3.5202, 3.5204,y así sucesivamente.

El interés es establecer un control estadístico de este proceso mediante cartas de control.

Normal Q-Q Plot Carta de Medias

Ejemplo diámetros de cilindrosEjemplo diámetros de cilindros21

0

202

206

as LC= 200.251

LCS= 204.702

La carta de mediasmuestra que los

b

190

200

194

198M

edi

LCI= 195.800

subgrupos 1 y 11exceden el límite decontrol superior.

-2 -1 0 1 2

Subgrupo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

210

Carta de Medias

2025

LCS= 16 311

* *

Carta de Rangos

La carta de Rangost l

9020

0 LC

LCS

LCI

510

15

R

LC= 7.7143

LCS= 16.311

LCI= 0

muestra que lossubgrupos 6 y 16exceden el límite decontrol superior.

19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

0

Subgrupo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37C 0 p

Normal Q-Q Plot Carta de Medias U i ti ió

Ejemplo diámetros de cilindrosEjemplo diámetros de cilindros02

206

202

206

s

LCS= 204.135

Carta de Medias Una investigaciónmostró que los dosvalores de rangosde los subgrupos 6

9419

820

9419

82

Med

ia LC= 200.236

LCI= 196.337

g py 16 correspondíana tiempos en que eloperador regular seausentaba y dejaba

-2 -1 0 1 2

19 19Subgrupo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Sin 6 y 16

ausentaba y dejabaun reemplazo conmenos experiencia,a cargo de la

206

LCS

Carta de Medias

15 LCS= 14.288

Carta de Rangosproducción.

Se observa que lavariabilidad ha sido

198

202

LC

LCI

510

R LC= 6.7576

LCI= 0

variabilidad ha sidocontrolada, así quese pasa ahora acontrolar la media

194

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0

Subgrupo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35LCI 0

del proceso.

Normal Q Q Plot

Ejemplo diámetros de cilindrosEjemplo diámetros de cilindrosEl subgrupo 1 ocurre a

0220

6

Normal Q-Q Plot

202

206

LCS= 203.894

Carta de Mediasg p

las 8:00 a.m. ycorresponde al arranquede la producción, cuandolas maquinas están frías

419

820

419

82

Med

ias LC= 199.9484

LCI= 196.002

las maquinas están frías.

El subgrupo 11 ocurre ala 1:00 p.m. y

Sin 1 y 11-2 -1 0 1 2

19 19Subgrupo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

corresponde al arranquede la línea de produccióninmediatamente despuésdel descanso del lunch y

206

LCS

Carta de Medias

15

LCS= 14.459

Carta de Rangosdel descanso del lunch ycuando las maquinas hansido apagadas porcambio de herramienta.

198

202

LC

LCI

05

10

R LC= 6.8387

LCI= 0

Como se encontraroncausas asignables, estospuntos se eliminan y las

194

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

0

Subgrupo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

puntos se eliminan y lascartas se vuelven acalcular.

Ejemplo diámetros de cilindrosEjemplo diámetros de cilindros

Se observa en estas últimas gráficas que tanto las cartas demedias como de rangos están en control estadístico.

Se puede concluir que el proceso esta bajo control respecto de suvariabilidad y valor medio, finalizando el análisis de la Fase I.

Se retienen estos últimos límites de control para utilizarlos en elcontrol del proceso en línea, es decir durante la Fase II

Subgrupos racionalesSubgrupos racionalesEl primer paso en el establecimiento de cartas de medias y rangos,es la selección de las muestras.

Es importante que todas las muestras sean muestras racionales (osubgrupos racionales). Esto es, grupos de observaciones cuyavariación, solo es atribuible a las causas comunes.

Cuando tomamos las muestras, minimizando la ocurrencia decausas especiales dentro de ellas, maximizamos la oportunidad dedetectar causas especiales cuando estas ocurren entre lasdetectar causas especiales cuando estas ocurren entre lasmuestras.

Muestrear de: o Diferentes máquinasí d did d iMuestrear de: o Durante períodos extendidos de tiempo

o Productos combinados de diferentes fuentes

No son métodos racionales de muestreo y deben evitarse.

Subgrupos racionalesSubgrupos racionalesEl tamaño de los subgrupos se rige por los siguientes principios:

Los subgrupos deben de reflejar solo las causas comunes

Los subgrupos deben asegurar la presencia de la distribuciónnormal para las medias muestrales.

Los subgrupos deben garantizar una alta capacidad dedetección de causas especiales o asignables.

Los subgrupos deben ser suficientemente pequeños para facilitarsu medición y reducir el costo de operación.

Cuando estas consideraciones se toman en cuenta,frecuentemente, el tamaño de los subgrupo, resulta ser entre 3 y 6., g p , y

Aunque usualmente se toman 5 observaciones en cada muestra.

Subgrupos racionalesSubgrupos racionalesLa frecuencia de muestreo, debe considerarse cuidadosamente,ya que cuando un proceso se muestrea con una frecuencia muybaja, las cartas de medias y rangos resultan ser de poca utilidadj y g ppara identificar y resolver problemas.

Algunos puntos que vale la pena tomar en cuenta paredeterminar la frecuencia de muestreo son:

Naturaleza general de la estabilidad del proceso.

La frecuencia con que se presentan eventos en el proceso(cambios de turno, de materia prima, de condicionesambientales)ambientales).

Costo del muestreo

Reglas para detección de señales de alarmaReglas para detección de señales de alarma

En cierto momento se propuso agregar a las cartas de controlmecanismos de detección de señales fuera de control másrápidamente.áp da e e.

El manual de Western Electric (1956) sugirió un conjunto de reglasde decisión para detectar patrones no aleatorios en las cartas dede decisión para detectar patrones no aleatorios en las cartas decontrol.

El problema con la adición de estas reglas de detección deseñales fuera de control, es que aumenta bastante el número defalsas alarmas y puede ser muy complicado estar revisandofrecuentemente el proceso para encontrar las causas de lasseñales.

Patrones de Inestabilidad de CCPatrones de Inestabilidad de CC

A+B+C+

LSC

LC

PRUEBA 1 . Un punto fuera de los límites de control.X

A+B+C

LSC

PRUEBA 2.Nueve puntos consecutivos todos por arriba o por abajo de la linea central.

A+B+

LSC

PRUEBA 3. Seis puntos consecutivos con un ascenso o descenso constante.

X

...A -B -C-

LIC

LC

.X

C+

A -B -C-

LIC

LCX.. . . . . . . B+

C+

A -B -C-

LIC

LC .. .... ...

X

A+B+

LSC

PRUEBA 4 .Catorce puntos alternandose hac ia abajo y arriba

. . ... . A+B+

LSC

PRUEBA 5. Dos de tres puntos consecutivos en la zona A

...X

A+B+

LSC

PRUEBA 6.Cuatro de cinco puntos consecutivos en la zona B o más allá de ella.

. ..XB

C+

A -B -C-

LIC

LC

X

.. .

.....

....

C+

A -B -C-

LIC

LC

...X

B+C+

A -B -C-

LIC

LC.. .....

X

X

A+B+C+

LSC

LC

PRUEBA 7 . Quince puntos consecutivos en la zona C (por abajo y arriba de la linea central)

.. ... .. ...A+B+C+

LSC

LC

PRUEBA 8. Ocho puntos consecutivos en ambos lados de la linea central con ningún punto en la zona C.

. . . .C+

A -B -C-

LIC

LC X.. .... .... . C+

A -B -C-

LIC

LC

. . . .X


Se muestran las zonas y sus probabilidades normales de que un puntocaiga en cada una de ellas.


Las probabilidades de que estas pruebas nos den una falsa alarmacuando los puntos son variables aleatorias normales se dan acontinuación.

Las probabilidades correspondientes a estos Gráficos que son lossiguientes .

Prueba 1: Probabilidad = 0.0027

Prueba 2: Probabilidad = 2(1/2)9 = 0.00391

Prueba 3: Probabilidad = 2/6! = 0 00277Prueba 3: Probabilidad = 2/6! = 0.00277




Prueba 7: Probabilidad = (0.68268)15 = 0.00326

Prueba 8: Probabilidad = (0.31732)8 = 0.000103

ARL combinadoARL combinadoLa consideración de un número grande de reglas dedetección de fuera de control, aumenta notablementeel número esperado de falsas alarmas.el número esperado de falsas alarmas.Suponiendo que las reglas actúan de forma independiente, y considerando

==−

i-11

αα Probabilidad de no salir de control

Probabilidad de no salir de control , por la regla i 1 2i=1,2,…,n.

∏ −=−n )1(1 αα

Tenemos que,

∏∏

=

=

−−=

−=−n

i i

i i

1

1

)1(1

)1(1

αα

αα

ARL combinadoARL combinado

Sustituyendo las probabilidades de salir de control para lasdiferentes reglas tenemos que la probabilidad de salir, deacuerdo a una o mas de las reglas es,

)0001.1)(00326.1)(00553.1)(00304.1()00461.1)(00277.1)(00391.1)(0027.1(1

−−−−−−−−−=α

02564.))()()((

=

Por lo que la longitud promedio de corrida es

01.3902564./1/1 === αARL

Por lo que la longitud promedio de corrida es,

Este es un valor muy pequeño, por lo tanto si seconsideran reglas de fuera de control adicionales a laconsideran reglas de fuera de control adicionales a lade Shewhart, habría que seleccionar un númeroreducido, que tenga sentido.

Cartas de control para observaciones individuales Cartas de control para observaciones individuales

Se usan cuando los datos no se pueden agrupar de una maneranatural. Esto ocurre cuando la inspección o medición de lasunidades es muy costosa o demanda mucho tiempo. Tambiénutilizamos estas cartas cuando los procesos son de tipo continuo.

Ej lEjemplos:

•Procesos químicos

•Industria de bebidas alcohólicas, en las que debe pasar desde 1hasta más de 100 horas para tener resultados de los procesos defermentación y destilación.

•Mediciones de rendimiento, desperdicio, de consumo de agua,energía eléctrica, etc.

Cartas de control tipo Shewhart para observaciones individuales

Cartas de control tipo Shewhart para observaciones individuales

En la carta de observaciones individuales, se graficadirectamente la observación, que suponemos tiene

i i ió i i ió í idistribución normal, con media y desviación típica .Los límites de control de esta carta son de la forma:

μ .σ

σμ 3±En este caso estimamos la desviación utilizando losrangos móviles de orden 2, que se forman tomando

j i i

σμ 3±

parejas de observaciones sucesivas y calculando surango, como se muestra a continuación,

RangoiX

32522

gi

221619

Cartas de control tipo Shewhart para observaciones individuales y de Promedios Móviles

Cartas de control tipo Shewhart para observaciones individuales y de Promedios Móviles

La desviación típica se estima como,

128.1// 2 RdRX ==σLa constante ya es conocida, solo que aquí consideramos quees función del tamaño muestral n=2.

2d

Además de la carta de observaciones individuales, podemosconstruir también la carta de medias móviles para monitorear lavariación del proceso. Los límites de ambas cartas son los

Límites de la carta deb i i di id l

Límites de la carta de

siguientes:

1281/3RXLCIXLC = RLC =

observaciones individuales medias móviles

128.1/3128.1/3

RXLCSRXLCI

+=

−=

RLCSLCI

267.30

==

Cartas para observaciones individuales Cartas para observaciones individuales Ejemplo. En la producción de tequila se miden varias característicasde calidad a lo largo del proceso, ya sea por regulaciones oficialeso por criterios propios de cada empresa. Una de las características

l d b i id l d é d l li d ( tid d des el grado brix residual después de la molienda (cantidad deazúcar que queda en el gabazo del agave), que mide . Esta es unavariable del tipo entre más pequeña mejor, y el valor máximotolerado que se tiene en una empresa en particular es ES=3 5%tolerado que se tiene en una empresa en particular es ES=3.5%.Después de mole cada lote se determina el grado brix residual, porlo que se considera un proceso lento, que será más apropiadoanalizar con una carta de individuales A continuación se dan losanalizar con una carta de individuales. A continuación se dan losúltimos 40 lotes molidos consecutivos más recientes

2 2.4 2.2 1.4 2.3 1.8 1.5 1.52 2.4 2.2 1.4 2.3 1.8 1.5 1.52.1 2 1.6 2.2 1.9 2.4 3.3 2.12.1 1.8 1.6 2.1 1.2 1.8 2 2.41.9 2.4 2.4 1.7 1.8 2.1 1.7 2.11.6 2.4 2.1 1.8 1.3 1.8 1.7 1.6

Cartas para observaciones individuales Cartas para observaciones individuales .0

LCS= 3.0982

Carta de individuales En la carta observamos que nohay tendencias, ni ningún patrónespecial, salvo un punto fuera del

2.5

3 LCS, que corresponde al lote 15.Al investigar, se encontró quedurante la molienda de ese loteocurrió algo especial se

1.5

2.0Brix LC= 1.9525

ocurrió algo especial, sedesajusto el molino.

Note que el LCS esta dentro deES 3 5 l i t

1.0

LCI= 0.8068

ES=3.5 por lo que si este procesose contrala (erróneamente) conla especificación superior comoLCS, el lote 15 no caería fuera y

Lote

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

, ypor lo tanto no se detectaría eldesajuste del molino.

Lo anterior y otros cambios y desajuste podrían llevar a un deterioroó íimportante de la eficacia del proceso y la reacción sería demasiado

tarde.

Cartas para observaciones individuales y promedios móviles

Cartas para observaciones individuales y promedios móviles

3.0

Normal Q-Q Plot

3.0

LCS= 3.0

Carta de individualesLote 15 RangomóvilNA0 4

RangoMóvil0.9 0 6

Lote12

Lote2122

1.5

2.0

2.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Brix LC= 1.95

LCI= 0.80

0.40.2 0.8 0.9 0.5

0.6 0.2 0.4 0.5 0.5

23456

2223242526

-2 -1 0 1 21

Lote

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

0.3 0.0 0.6 0.10 4

0.0 0.7 0.1 0.3 0 4

7891011

2728293031

.01.

5

vil

LCS= 1.4

Carta de Rangos móviles

0.4 0.6 0.3 0.50.9

0.4 0.4 0.5 0.8 0.3

1112131415

3132333435

0.0

0.5

1.

Ran

go.m

ov

LC= 0.43

LCI= 0

1.20.0 0.3 0.20 5

0.3 0.50.50.10 1

1617181920

363731940

Lote

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

0.5 0.120 40

Cartas para observaciones individualesCartas para observaciones individuales2.

4

Normal Q-Q Plot

5

Carta de individuales

82.

02.

2

34

LCS= 2.9678

.41.

61.

8

12

Brix

LC= 1.9179

LCI= 0.8681

-2 -1 0 1 2

1.2

1.

-10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

Lote

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4

Cartas de control para atributos

Existen muchas características de calidad que no son medidas coninstrumento de medición en una escala continua o al menos en unainstrumento de medición en una escala continua, o al menos en unaescala numérica.

Por ejemplo puede ser más conveniente contar el número de nojconformes en una muestra dada. En este caso la unidad de referenciapuede ser la unidad producto, como el número de impurezas en un vasode vidrio, o una unidad o cantidad física, como el número de impurezaspor dm cuadradopor dm cuadrado.

Cuando se monitorean procesos que producen este tipo de datos, seutilizan cartas de control para atributos.

Carta p (Proporción de no conformes)Una carta p muestra las variaciones en la proyección de unidades noconformes de una producción. Este caso surge cuando en cada tiempose selecciona una muestra de n artículos y se cuenta el números de ellosno conformes (defectuosos) Se supone independencia de estosno conformes (defectuosos). Se supone independencia de estosartículos, con el objeto de usar la distribución binomial, o como ocurrefrecuentemente, su aproximación a la distribución normal.

)1(Si p conocido los límites de control 3σ son:n

ppp )1(3 −±

Como p no se conoce usualmente, se estima de un conjunto de datoshistóricos, por ejemplo, sean m muestras, cada una de tamaño n, es decir,en cada tiempo se seleccionan n artículos para inspección.

Sea Xi, i=1,2,…,m, el número de artículos defectuosos en cada muestra. Elestimador usual de p es:

m1 ∑=

=i

iXnm

p1

1

Carta p (Proporción de no conformes)Los límites de control de la carta p son:

pppLCS )1(3 −+=

ppLCI

pLCn

)1(3 −

=

npppLCI )1(3−=

Los valores de Xi/n, i=1,2,…,m, se grafican en la carta. Si uno o variospuntos quedan fuera de los LC se inicia la búsqueda de las causasespeciales, los puntos son eliminados y los límites de control recalculados.U l t t l d l lí it d t l liUna vez que el proceso esta controlado los límites de control se aplicanprospectivamente a muestras futuras.

En muchas situaciones no se puede garantizar el mismo valor de n en cada En muchas situaciones no se puede garantizar el mismo valor de n en cada tiempo, por ejemplo, una muestra a seleccionar podría ser la producción diaria de una fábrica, la cual puede variar día a día.

Ejemplo Carta p con n constanteCarta p

0.12

Carta p

adosinspeccionartículosdetotalNúm.sdefectuoso artículos de totalNúm.

== pLC

080.

10

LCS= 0.089

p

Durante 25 días seinspeccionaron 200 artículos

t l ú d

0.06

0.0

p

LC= 0.045 La gráfica muestra que

y se contaron el número dedefectuosos por día.

0.02

0.04 todos los puntos están bajo

control. Por lo tanto loslímites se usarán en elfuturo inmediato para

0.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27LCI= 0.001

futuro inmediato paracontrolar la fracción deartículos defectuosos,siempre que se mantenganl i di i b j

Subgrupolas misma condiciones bajolas cuales se tomaron las 25muestras.

Carta p con n variableSi n no es constante, los límites de control pueden calcularse como:

pppLCS )1(3 −+=

i

pp

pLCn

)1(

=

inpppLCI )1(3 −

−=

Donde ni es el tamaño de la i-ésima muestra Esto significa que la carta Donde ni es el tamaño de la i-ésima muestra. Esto significa que la carta mostrará límites de control variables.

Por cuestiones de simplicidad se sugiere tomar el valor de n como:

subgrupos de Total adosInspeccion de Total

=n

Ejemplo Carta p con n variableEn una empresa del ramo alimenticio, mediante ciertas máquinas seempaquetan salchichas en sobres o paquetes. La forma de evaluar si elsubproceso de empaquetado se hizo de manera adecuada es haciendouna inspección visual de los paquetes para determinar que se satisfagandiferentes atributos de calidad, por ejemplo,

• Que la cantidad de salchichas dentro del sobre sea la correctaQue la cantidad de salchichas dentro del sobre sea la correcta• Que dentro del sobre no quede aire 8empaque al vacío)

Se han tenido problemas en este último atributo , por lo que hay und l tá l di t d l á i doperador que a la vez que está al pendiente de la máquina de

empacadora, hace la inspección para separar los paquetes con aire.

El atributo de falta de vacío es importante porque reduce la vida dep p qanaquel del producto.

Ejemplo Carta p con n variableSubgrupo ni di[1,] 595 15[2,] 593 5[3 ] 607 8

Subgrupo ni di[21,] 594 7[22,] 606 5[23 ] 601 7

di=paquetes con aire

sdefectuoso de Total=p[3,] 607 8

[4,] 596 10[5,] 602 6[6,] 599 5

[23,] 601 7[24,] 598 4[25,] 599 2[26,] 590 3 011.0

23942257

adosinspeccion de Total

==

=p

[7,] 600 5[8,] 590 7[9,] 599 2[10 ] 601 4

[27,] 588 5[28,] 597 3[29,] 604 6[30 ] 605 5

23942

adosinspeccion de Total=n[10,] 601 4

[11,] 598 9[12,] 600 17[13,] 597 4[ ]

[30,] 605 5[31,] 597 7[32,] 603 9[33,] 96 5[34 ] 597 3

6.59840

23942subgrupos de Total

==

=n

[14,] 594 5[15,] 595 3[16,] 597 10[17,] 599 7

[34,] 597 3[35,] 607 8[36,] 596 15[37,] 598 4

40

[17,] 599 7[18,] 596 5[19,] 607 4[20,] 601 9

[37,] 598 [38,] 600 6[39,] 608 8[40,] 592 5

Ejemplo Carta p con n variable25

Carta p La carta muestra que elproceso de empaquetado nofue estable, ya que las

i d l

0.02

00.

02 LCS= 0.023 proporciones de lossubgrupos 1, 12 y 36 estánpor arriba del LCS.

010

0.01

5

p

LC= 0.011

Se desprende que durante elempaquetado de estossubgrupos el procesofuncionó en presencia de

0.00

50.

0 funcionó en presencia decausas especiales, lo queocasionó que lasproporciones de defectuosos

0.00

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42LCI= -0.001

LCI=0 sean muy grandes.

Subgrupo

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4

Ejemplo Carta p con n variableAl investigar lo ocurrido en los subgrupos 1, 12 y 36 se encontró que duranteesas horas se había cambiado el rollos de la película plástica de empaque, yasea porque se terminó o porque se empezó a empaquetar otra presentación.

0.02

0 LCS= 0.020

Carta p

68.5980094.0

=

=

np

0.01

5 Interpretación: se espera quede cada 598 paquetesaproximadamente la

005

0.01

0

p LC= 0.009

pproporción de paquetes conproblemas de vacío varíe entre0 y 0.021.

0.00

00.

0

LCI= -0 002

LCI=0

Subgrupo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

LCI= -0.002

Carta np (número de defectuosos)En ocasiones cuando el tamaño del subgrupo o muestra es constante, esmás conveniente usar la carta np, en la que se grafican el número dedefectuosos por subgrupo di, en lugar de las proporciones.

Los límites de control para la carta np, son:

)1(3 ppnpnLCS −+=

)1(3

)(

ppnpnLCI

pnLCppp

−−=

=

Ejercicio: Realice la carta np para los datos del ejemplo en que durante 25 días se inspeccionaron 200 artículos y se contaron el número de d f dí difi l didefectuosos por día. Modifique el programa correspondiente.

Carta c (Número de defectos)En muchos casos es más conveniente trabajar con el número de defectospor unidad, en lugar del porcentaje de unidades defectuosas. La carta canaliza la variabilidad del número de defectos por subgrupo.

Los límites de control se obtienen suponiendo que el estadístico ci, sigueuna distribución de Poisson, donde ci es el número de defectos o eventosen el i-ésimo subgrupo o muestraen el i ésimo subgrupo o muestra.

Los estimadores de la media y la varianza del este este estadísticos son:

sdefectuosodeTotal

c

c

i

i

c

c

=

==

2

subgrupos de TotalsdefectuosodeTotal

σ

μ

Y los límites de control:

cLCccLCS 3

=

+=

ccLCI 3−=

Ejemplo Carta cEn una fabrica de muebles se inspecciona con detalle elacabado de las mesas cuando salen del departamento delaca. La cantidad de defectos que son encontrados en cadamesa son registrados con el fin de conocer y mejorar el proceso.

7 5 10 2

1234

Art. ci

Se muestras los defectos en las últimas 30 mesas, es claro queestamos ante una variable a ser analizada por carta c, ya queuna misma mesa puede tener varios defectos y de diferentestipos.

2 6 5 4 9 7

456789Carta c

5 6 7 8 4 5

1011121314

15 LCS= 13.936

5 12 8 10 4 7

1516171819205

10

o. D

efec

tos

LC= 6.3667

7 3 10 6 6 7

2021222324250

5No

LCI 1 203 4 5 6 8 5

2627282930

Artículos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

LCI= -1.203

Carta uCuando el número de artículos inspeccionados en una unidad muestral n varía depunidad a unidad, es mejor graficar la estadística

ncu =n

Que representa el número de artículos defectuosos por unidad o artículo.

Para esta carta el LC es el número promedio de defectos por artículo YuPara esta carta el LC es , el número promedio de defectos por artículo. Ycomo,

u

)(1)( 2 cVarnn

cVaruVar =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

La varianza de u se estima por:nu

nnccVar

n==

/)(12

Los límites de control quedan como:

uLCnuuLCS 3

=

+=

nuuLCI 3−=

Ejemplo Carta uEn una fábrica se ensamblan artículos electrónicos y al final del n cyproceso se hace una inspección por muestreo para detectardefectos relativamente menores, y así retroalimentar el procesopara enfocar bien las acciones de mejora. En particular en latabla siguiente se presentan el número de defectos observados

n c[1,] 20 17[2,] 20 24[3,] 20 16[4,] 20 26g p

en muestreos realizados sobre 24 lotes consecutivos de piezaselectrónicas. El número de piezas inspeccionadas en cada lotees variable, por lo que no es apropiado analizar el número dedefectos por muestra, ci, mediante una carta c, es mejor

[5,] 15 15[6,] 15 15[7,] 15 20[8,] 25 18[9 ] 25 26p j

analizar el número promedio de defecto por pieza, ui, mediantela carta u.

Para calcular los límites de control de la carta tenemos que:

[9,] 25 26[10,] 25 10[11,] 25 25[12,] 30 21[13,] 30 40[14 ] 30 24

q[14,] 30 24[15,] 30 46[16,] 30 32[17,] 30 30[18,] 30 34

04.1525549

==u[ ,][19,] 15 11[20,] 15 14[21,] 15 30[22,] 15 17[23 ] 15 18

525

87521 [23,] 15 18[24,] 15 20875.21=n

Ejemplo Carta u3

Carta u

Se observa que elproceso no funciona de

t bl

2

LCS= 1.7016

manera estable, ya queen la muestra del lote21 el número promediode defectos por pieza se

1

u LC= 1.0457

p psale del límite decontrol superior.

En la fabricación de tal

0

LCI= 0.3898En la fabricación de tal lote ocurrió un evento especial.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Lote

Ejemplo Carta uCarta u

2.5

Carta u

Sin lote 21

1.5

2.0

LCS= 1.6603

51.

0u

LC= 1.0176

0.0

0.5 LCI= 0.3749

-0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Lote

FIN

GRACIAS.

Control Estadístico de Procesos Parte 1 María Guadalupe Russell ...

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