Control II- Espacio de Estados Mandujano

Control II Captulo 3: Diseo de Sistemas de Control en Espacio de Estado

_____________________________________________________________________

M. SC., Ing. Ral Benites Saravia

57

Captulo 3

Diseo de Sistemas de Control en

Espacio de Estado

3.1 Introduccin

En la teora de control convencional o clsica, slo se consideran importantes las seales de

entrada, de salida y de error; el anlisis y diseo se efectan utilizando funciones de

transferencia, junto con una serie de tcnicas grficas como los diagramas del lugar de las

races y los de Bode.

La desventaja principal de la teora de control convencional, es que, en general, slo

se aplica a sistemas lineales, invariantes en el tiempo, con una entrada y una salida. Las

tcnicas convencionales no tienen aplicacin en sistemas de control ptimos o adaptables,

que en su mayora son variables en el tiempo y/o no lineales.

Un sistema complejo puede tener varias entradas y salidas (sistema multivariable)

relacionadas entre s. El anlisis de estos sistemas requiere reducir la complejidad de las

expresiones matemticas y recurrir a las computadoras para la solucin de los clculos

tediosos. El mtodo ms adecuado para el anlisis de estos sistemas, es el mtodo en el

espacio de estado. Sin embargo, para el diseo de controladores en Espacio de Estado, se

requiere que el modelo del proceso o planta sea completamente controlable y

completamente observable. En caso de que no fuera completamente observable, se debe

implementar observadores de estado, que permitan estimar las variables de estado, las

cuales estarn ahora s disponibles como entradas a cada uno de los elementos del

controlador.


_____________________________________________________________________


58

3.2 Controlabilidad

Se dice que un sistema de control es de estado completamente controlable, si es posible transferir el sistema de un estado inicial arbitrario a cualquier estado deseado, en un

periodo finito. Es decir, un sistema de control es controlable si todas las variables de

estado pueden ser controladas en un periodo finito, mediante alguna seal de control

restringida.

Para que un sistema sea completamente controlable se debe cumplir que el rango de la matriz de controlabilidad sea igual al orden del sistema, es decir:

)1.3(1

1

nBAABBMRango

BAABBM

n

n

Ejemplo 3.1 Considere el modelo de una determinada planta, definido por:

2

1

2

1

2

1

01

1

0

32

10

x

xy

ux

x

x

x

Verifique su controlabilidad.

Solucin

La matriz de controlabilidad es:

..231

10CCesnMRangoABBM

3.3 Observabilidad

Se dice que un sistema es totalmente observable, si cada estado x(to) se puede determinar a partir de la observacin de y(t) en un intervalo de tiempo finito to


_____________________________________________________________________


59

)2.3(;

11

n

CA

CA

C

Rango

CA

CA

C

N

nn

Ejemplo 3.2 Considere el modelo de una determinada planta, definido por:

2

1

2

1

2

1

01

1

0

32

10

x

xy

ux

x

x

x

Verifique su Observabilidad.

Solucin

La matriz de Observabilidad es:

..210

01OCesnNRango

CA

CN

3.4 Diseo de sistemas de control por el mtodo de Localizacin

de Polos

El diseo por Localizacin de Polos usa el esquema de control por realimentacin de

estados, que es ms verstil que el diseo de controladores de configuracin fija

convencionales, ya que se controla directamente la ecuacin caracterstica. Un sistema

inestable que es controlable, siempre se puede estabilizar mediante control por

realimentacin de estado.

La desventaja de este mtodo es que todos los estados deben detectarse y

realimentarse, lo cual puede no ser prctico; sin embargo, este inconveniente puede

resolverse utilizando un estimador de estados.


_____________________________________________________________________


60

En esta tcnica de Localizacin de Polos, pueden distinguirse dos configuraciones

principales, conocidas como sistemas de control de regulacin y sistemas de control de

seguimiento.

3.4.1 Diseo del Regulador por Localizacin de Polos

En este tipo de configuracin, la seal de control slo depende de la ganancia del

controlador y de las variables de estado, es decir, no est presente la referencia (r = 0), por

lo que, el sistema de control permite el ajuste de la salida del sistema en funcin de los

polos deseados.

En la figura 3.1 se presenta el sistema de control de lazo cerrado por realimentacin de

estado.

Sea el sistema de control:

)3.3(BuAxx

donde:

x = vector de estado (n x 1)

u = seal de control (escalar)

A = matriz de n x n constante

B = matriz de n x 1 constante

B

A

-K

u +

+

x

Figura 3.1: Sistema de control de lazo cerrado con u = - K x.


_____________________________________________________________________


61

Se elige como seal de control

)4.3(Kxu

donde K es de dimensin 1 x n , y u no est acotado.

Al sustituir la ecuacin (3.4) en (3.3), se tiene:

)5.3()()()( txBKAtx

La solucin de la ecuacin (3.5) est dada por:

)6.3()0()( )( xetx tBKA

La estabilidad y las caractersticas de respuesta transitoria se determinan a partir de los

valores propios de la matriz A-BK. Escogiendo adecuadamente la matriz K, se puede hacer

que la matriz A-BK sea asintticamente estable.

Pasos de diseo:

Sea el sistema descrito por:

BuAxx

con la seal de control:

Kxu

los pasos de diseo son:

1. Verificar la condicin de controlabilidad. Si es completamente controlable continuar con

el paso siguiente.

2. Determine los valores de a1, a2, a3, ..., an del polinomio caracterstico de A:

3. Determine la matriz de transformacin T, a partir de:

donde M y W estn dadas por:

0 AsI

)7.3(MWT


_____________________________________________________________________


62

donde las ia son los coeficientes del polinomio caracterstico

Definiendo un nuevo vector de estado x como: xTx

)10.3(11 uBTxTATx

donde:

Entonces la ecuacin (3.10) es la forma cannica controlable de la ecuacin (3.3). Si la

ecuacin (3.3) ya estuviera en la forma cannica controlable, entonces se debe

cumplir que T = I; en caso contrario, todo lo que se necesita es hallar la matriz T.

4. Utilizando los valores propios deseados, halle el polinomio caracterstico deseado:

)8.3(1BAABBM n

)9.3(

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

W

nn

nn

0 AsI

nn

nn

n

asss

sss

1

1

1

21 )())((

1

0

0

0

;

1000

0100

0010

1

121

1

BT

aaaa

ATT

nnn


_____________________________________________________________________


63

Por lo que los valores de n ,,, 21 son conocidos.

5. Determinar K a partir de:

Nota: Si el sistema es de orden bajo (n 3), la matriz K puede ser sustituida en el

polinomio caracterstico en forma sencilla. Por ejemplo, si n = 3, la matriz de ganancia de

retroalimentacin de estado K se puede escribir as:

]321[ kkkK

Esta matriz K se reemplaza en el polinomio caracterstico deseado

Ejemplo 3.3 Considere el sistema definido por:

donde

Disear el sistema de control por realimentacin de estado, tal que los polos de lazo

cerrado se localicen en s = -1.8 j2.4 (que vienen a ser los valores propios de

A BK: 1 = - 1.8 + j2.4 y 2 = - 1.8 j2.4).

.

Solucin

Determinemos la solucin aplicando el mtodo prctico.

1. Verifiquemos la controlabilidad del proceso:

Entonces: Rango M = n = 2, entonces el sistema es completamente controlable.

)11.3(1112211

TaaaaK nnnn

BuAxx

01

10ABBM

1

0,

06.20

10BA


_____________________________________________________________________


64

2. Determinemos la ecuacin caracterstica deseada del sistema el lazo cerrado:

Es de la forma: 0212 ss , entonces: 9,6.3 21

3. Determinemos la ecuacin caracterstica del sistema de control (lazo cerrado):

4. Determinemos la ganancia del controlador

Igualando coeficientes de las ecuaciones (I) y (II), se obtiene:

Entonces

Luego, la seal de control u es:

3.4.2 Diseo del Servocontrolador por Localizacin de polos Tipo 1

cuando la planta tiene un integrador

Considere una planta definida por:

)13.3(

)12.3(

Cxy

BuAxx

donde:

12

2

21

21

6.20

6.20

1

1

0

06.20

10

0

0

ksks

ksk

s

kks

sBKAsI

96.3

)4.28.1)(4.28.1())((

2

21

ss

jsjsss

6.36.2921 kkK

(I)

(II)

6.3,6.29 21 kk

2

16.36.29

x

xu


_____________________________________________________________________


65



y = seal de salida (escalar)



C = matriz de 1 x n constante

Donde el controlador est determinado por la matriz ganancia K, que contiene n elementos,

tal como se muestra en la figura 3.2. Se ha supuesto que la salida a controlar es la variable

x1, pudiendo entonces determinarse la ecuacin del controlador por localizacin de polos,

as:

)14.3(

)(

1

13

2

1

321

1332211

113322

rkKxu

rk

x

x

x

x

kkkk

rkxkxkxkxk

xrkxkxkxku

n

n

nn

nn

donde

nkkkkK 321

Suponiendo que la entrada de referencia (funcin escaln), se aplica en t = 0, entonces

reemplazando la ecuacin (3.14) en (3.12), obtenemos la ecuacin de estado en lazo

cerrado, as:

)15.3()(

)(

1

1

rBkxBKAx

rkKxBAxBuAxx

Suponiendo que se tiene determinado la ganancia del controlador K, entonces los polos de

la ecuacin caracterstica del sistema de lazo cerrado, dada por:


_____________________________________________________________________


66

)16.3(0)( BKAI

Tendrn parte real negativa, incluido el origen.

La ecuacin (3.15) en estado estacionario es:

)17.3()()()()( 1 rBkxBKAx

Considerando que la referencia rrtr )()( , y restando la ecuacin (3.17) de la (3.15),

se obtiene:

)18.3()()()()()( xtxBKAxtx

Definiendo

)()()( textx

Entonces, la ecuacin (3.18) se convierte en:

)19.3()()()( teBKAte

que describe la dinmica del error.

-

x3

x2

u r

+ k1 BuAxx

k2

k3

+

- -

y = x1

Figura 3.2: Servosistema tipo 1 cuando la planta tiene integrador.

-

kn

xn

+

C


_____________________________________________________________________


67

Por consiguiente, el diseo del servosistema tipo 1, se convierte en el diseo de un

regulador asintticamente estable, tal que e(t) tiende a cero, para cualquier condicin inicial

e(0).

La ecuacin (3.17) que es la correspondiente a tiempo estacionario ser nula, as:

0)()()( 1 rBkxBKAx

Entonces, suponiendo diseado K, y que los valores propios deseados de (A-BK) estn en

el semiplano izquierdo del plano s, la matriz (A-BK) tiene inversa, luego se puede

determinar )(x , as:

rBkBKAx 11)()(

Igualmente, la seal de control generado por el servocontrolador en tiempo estacionario

ser:

0)()( 1 rkKxu

Los pasos de diseo son los mismos que para el caso regulador.


001

1

0

0

240

100

010

3

2

1

3

2

1

y

u

x

x

x

x

x

x

Disee un servocontrolador por localizacin de polos, tal que los polos de lazo cerrado sean

10,11 32,1 j . El diagrama de bloques del sistema de control se muestra en la

figura 3.3. Considere una referencia escaln unitario.

e x1 x2 x3

y = x1 u +

- -

r + k1

BuAxx

C

k2

Figura 3.3: Servosistema tipo 1.

-

k3


_____________________________________________________________________


68

Solucin

Pasos de diseo:

1. Verificar controlabilidad

..3021

210

1002 CCesnMRangoBAABBM

2. Verificar si el sistema tiene integrador

0)42(

240

10

012

AI

Entonces, los valores propios del sistema en lazo abierto contienen un integrador,

por lo que es conveniente disear el servocontrolador de tipo proporcional que

estamos tratando en esta seccin; es decir no es necesario incluir un integrador en el

controlador.

3. Considerando los polos deseados, determinar la ecuacin caracterstica deseada de

lazo cerrado

)(0202212

0)10)(11)(11())()((

23

321

I

jj

4. Determinar la ecuacin caracterstica del sistema de control de lazo cerrado

)(0)4()2()(

)2()4(

100

010

;0)(

12

2

3

3

321

IIkkkBKAI

kkk

BKABKAI

5. Determinar la matriz ganancia del servocontrolador

Comparando los coeficientes de las ecuaciones (I) y (II), se obtiene:

10122

18224

20

33

22

1

kk

kk

k

Luego, la matriz ganancia del controlador ser:

101820K


_____________________________________________________________________


69

Adicionalmente, verifiquemos que la seal de control generada por el controlador es

cero.

0)()( 1 rkKxu

Calculemos previamente )(x :

0

0

1

20

0

0

05.0

20

1

0

0

010

001

05.06.01.1

)(

010

001

05.06.01.1

)(

122220

100

010

)(

)()(

1

1

1

x

BKABKA

rBkBKAx

Luego, la seal de control generada en tiempo estacionario ser:

02020)(

)1)(20(

0

0

1

101820

)()( 1

u

rkKxu

3.4.3 Diseo del Servocontrolador por Localizacin de polos Tipo 1

cuando la planta no tiene integrador

En este caso, estamos frente a una planta que no tiene integrador, es decir una planta tipo 0;

por lo que se hace necesario agregar un integrador en la trayectoria directa entre el

comparador de error y la planta, con la finalidad de que el error en estado estacionario sea

cero. El diagrama de bloques correspondiente se observa en la figura 3.4, y del cual se

pueden obtener las ecuaciones de la planta, controlador, e integrador.

Ecuaciones de la planta:

)21.3(

)20.3(

Cxy

BuAxx


_____________________________________________________________________


70

Ecuacin del controlador:

)22.3(

2

1

21

2211

i

i

n

n

inn

kKxu

k

x

x

x

kkku

kxkxkxku

Ecuacin del integrador:

)23.3(Cxr

yr

donde:

: salida del integrador (variable de estado del sistema, escalar)

r : seal de entrada de referencia (funcin escaln, escalar)

+

-

x3

x2

u r

+ ki BuAxx

k2

+

- -

y

Figura 3.4: Servosistema tipo 1 cuando la planta no tiene integrador.

-

kn

xn

+

C

k3

x1

k2


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71

Para evitar que el integrador insertado sea cancelado por un cero en el origen de la planta,

se supone que la planta no tiene cero en el origen.

La combinacin de las ecuaciones (3.20) y (3.23) nos genera una nueva ecuacin, as:

)24.3()(1

0)(

0)(

)(

0

0

)(

)(trtu

B

t

tx

C

A

t

tx

Se disea un sistema asintticamente estable tal que )(x , )( , y )(u tiendan a valores

constantes, entonces 0)(

, ry )( .

La ecuacin (3.24) en estado estacionario es:

)25.3()(1

0)(

0)(

)(

0

0

)(

)(

ruBx

C

Ax

La referencia r(t) es una entrada escaln, por lo que rrtr )()( . Restando la ecuacin

(3.25) de la (3.24), se obtiene:

)26.3()]()([0)()(

)()(

0

0

)()(

)()(

utuB

t

xtx

C

A

t

xtx

Se define

)()()(

)()()(

)()()(

tuutu

tt

txxtx

e

e

e

Luego, la ecuacin (3.26) se puede reescribir como:

)27.3()(0)(

)(

0

0

)(

)(tu

B

t

tx

C

A

t

txe

e

e

e

e

Definiendo un vector de error e(t) de dimensin (n+1), una matriz A y B ampliadas, como:

0;

0

0;

)(

)()(

BB

C

AA

t

txte

e

e

Entonces, la ecuacin (3.27) se puede reescribir como:

)28.3()()()( tuBteAte e


_____________________________________________________________________


72

Efectuando de la misma manera para la ecuacin del controlador, se puede determinar que:

)29.3()()(

)(

)()(

)()()(

teKtu

t

txkKtu

tktKxtu

e

e

e

ie

eiee

Las ecuaciones (3.28) y (3.29) representan las ecuaciones del error para el proceso

ampliado y el controlador, respectivamente.

Si reemplazamos la ecuacin (3.29) en la (3.28), se obtiene la ecuacin del error de estado

en lazo cerrado:

)30.3()()(

)()()(

teKBAte

teKBteAte

Cuando se disee el controlador, se deber tener presente que la matriz de controlabilidad

ser ahora de rango (n+1), por la presencia del integrador.

Ejemplo 3.5 Considere un sistema de horno tubular mostrado en la figura 3.5, definido por:

)(25.0)(

)(2)(5.0)(

)()(2)(

ttv

tqtt

ttqtq

Fuel

v(t)

q

(t)

Sensor de

Temperatura

Horno tubular

Figura 3.5: Sistema de Horno tubular.


_____________________________________________________________________


73

Donde:

(t) : Desplazamiento angular

q(t) : Flujo del caudal de combustible

(t) : Temperatura del horno

v(t) : Lectura del transductor de temperatura

Se pide, disear un Controlador por Localizacin de Polos, de acuerdo al esquema

mostrado en la figura 3.5, de tal manera que la respuesta y(t) presente aproximadamente las

siguientes especificaciones: MP 5 %, ts = 2 seg. ante entradas de referencia tipo escaln.

Considere u = (variable de entrada o de control), y = v (variable de salida), y las

siguientes variables de estado: x1 = ; x2 = q . El diagrama de bloques del

sistema de control se muestra en la figura 3.6.

Sugerencia: ubicar la tercera raz a 10 veces la parte real de las races dominantes.

Solucin

El modelo en espacio de estado del sistema horno tubular viene dado por:

)(25.0)(

)(2)(

)(25.0)(

1

22

211

txty

tuxtx

txxtx

x

y(t) u(t)

-

+

+

r(t)

s

k i DuCxy

BuAxx

K

-

Figura 3.6: Diagrama de bloques del

sistema de control


_____________________________________________________________________


74

Ordenando matricialmente, tendremos:

)(

)(025.0)(

)(1

0

)(

)(

20

25.0

)(

)(

2

1

2

1

2

1

tx

txty

tutx

tx

tx

tx

Antes de abordar el diseo, calculemos si el modelo del sistema tiene integrador.

)2)(5.0(20

25.0

20

25.0

0

0

ss

s

s

s

sAsI

El sistema no tiene integrador, por lo que se justifica el diseo de un servocontrolador, con

inclusin de un integrador, que nos permita obtener error estacionario nulo.

Pasos de diseo (mtodo prctico):


..221

20CCesnMrangoM

2. Determinar los valores propios deseados de lazo cerrado a partir de las

especificaciones dadas

srad

Segt

eMP

nd

nns

/21

83.22.24

707.05100

2

1 2

Las races dominantes sern:

222,1 jjs d

La tercera raz ser:

20)2(103 s

3. Determinar la ecuacin caracterstica deseada

Habindose determinado los polos deseados, entonces la ecuacin caracterstica

deseada en lazo cerrado ser:

)(01608824

0)20)(22)(22(

23 Isss

sjsjs


_____________________________________________________________________


75

4. Determinar la ecuacin caracterstica del sistema de control de lazo cerrado

)(05.0)5.021()5.2()(

)0025.0

)2(

025.0

0

1

0

)0025.0

020

025.0

;0)(

21

2

2

3

21

21

IIkskksksKBAsI

kkkKBA

kkkKBAKBAsI

i

i

i

5. Determinar la matriz ganancia del controlador

Igualando los coeficientes de las ecuaciones (I) y (II), tenemos:

125.381)5.21(5.0882

5.21245.2

885.021

3201605.0

11

22

21

kk

kk

kk

kk ii

Entonces, la matriz ganancia del controlador es:

3205.21125.38 K

3.5 Diseo de Sistemas de Control ptimo Cuadrtico

El diseo de sistemas de control ptimo cuadrtico, se basan en ndices de desempeo

cuadrtico. El sistema de control que se considera en esta seccin, corresponde a sistemas

en tiempo continuo, definido por:

)32.3(

)31.3(

Cxy

BuAxx

donde








_____________________________________________________________________


76

Los sistemas de control analizados, pueden ser sistemas reguladores o sistemas de

seguimiento.

El objetivo de la optimizacin, es el de elegir el vector de control u(t) de modo que se

minimice el ndice de desempeo J.

3.5.1 Diseo del Regulador ptimo

Para un sistema regulador, la seal de control u(t) viene dada por:

)33.3()()( txKtu

donde K es una matriz de r x n.

El diagrama de bloques del sistema de control ptimo, se muestra en la figura (3.6).

El ndice de desempeo, rendimiento o costo a ser minimizado viene dado por

)34.3()(0

dtuRuQxxJ

En caso que se traten de vectores y matrices reales, la ecuacin (3.11) estar expresada por

)35.3()(0

dtuRuxQxJ TT

Donde:

Q : es una matriz hermtica o real simtrica definida positiva (o semidefinida positiva), que

pondera al vector de estados x

R : es una matriz hermtica o real simtrica definida positiva, que pondera a la seal de

control u, y

u : seal de control no acotado.

-K

uBxAx

u x

Figura 3.6 Sistema de Control ptimo.


_____________________________________________________________________


77

Si reemplazamos la ecuacin (3.33) en la (3.31), se obtiene:

)36.3()( xKBAxKBxAx

que viene a ser la ecuacin de estado de lazo cerrado, asumiendo que (A BK) es estable,

es decir los valores propios de (A BK) son negativos.

Reemplazando la ecuacin (3.33) en la ecuacin (3.35), se obtiene el siguiente ndice de

costo:

)37.3()(0

dtxKRKQxJ TT

Establecindose asimismo que:

)()( xPxdt

dxKRKQx TTT

donde P es una matriz hermtica definida positiva o real simtrica.

Entonces se obtiene:

)38.3()()()(

)]()[(

)()(

)(

KRKQBKAPPBKA

xBKAPPBKAx

xBKAPxPxxBKA

xPxxPxxKRKQx

TT

TT

TTT

TTTT

luego, el ndice de rendimiento o performance puede ser evaluada como:

)0()0()()()( 00

xPxxPxxPxdtxRKKQxJ TTTTT

Asumiendo que todos los valores propios de A BK tienen parte real negativa, entonces

x() 0, luego:

)39.3()0()0( xPxJ T

Asumiendo

gularnomatrizTTTR T sin:;

entonces la ecuacin (3.38) puede ser reescrita como:


_____________________________________________________________________


78

0])([])([

0)()(

111

QPBPBRPBTTKPBTTKPAPA

KTTKQBKAPPBKA

TTTTTTT

TTTTT

La minimizacin de J con respecto a K, requiere la minimizacin de

xPBTTKPBTTKx TTTTTT ])([])([ 1 con respecto a K, obtenindose:

)40.3()( 111 PBRPBTTK TTT

Luego, la ley de control ptimo estar dada por la siguiente ecuacin lineal:

)41.3()()(

)()(

1 txPBRtu

tKxtu

T

La matriz P debe satisfacer la ecuacin de la matriz reducida de Riccati, dada por:

)42.3(01 QPBPBRPAPA TT

Finalmente, podemos indicar los siguientes pasos para el diseo del regulador:


2. Elegir matrices de ponderacin deseadas Q y R

3. Resolver la ecuacin de Riccati (3.42) para la matriz P. Si la matriz P 0, entonces

el sistema es estable o la matriz [A BK ] es estable.

4. Determinar la matriz ganancia K del regulador ptimo, considerando la matriz P

hallada en el paso (2)


ux

x

x

x

1

0

10

10

2

1

2

1

Determinar las matrices P, K y la seal de control ptima u.

Solucin


_____________________________________________________________________


79

Pasos de Diseo:

1. Verificar controlabilidad del modelo del sistema:

..211

10CCesnMRangoABBM

2. Elegir las siguientes matrices de ponderacin:

]1[;10

01

RQ

3. Resolver la ecuacin de Riccati 01 QPBPBRPAPA TT para la matriz P.

1;10;11

001

RBA TT

El resultado es

11

12P . Como la matriz P 0 entonces el sistema es estable.

4. Determinar la matriz ganancia ptima K, a partir de:

1111

12101

1

K

PBRK T

Entonces la seal de control ptima, est dada por:

212

111 xx

x

xxKu

3.5.2 Diseo del Controlador ptimo Proporcional

El diseo de un Controlador ptimo Proporcional es aconsejable cuando la planta contiene

un integrador, y asumiendo que la referencia es una seal escaln.

Considere una planta definida por:

)44.3(

)43.3(

Cxy

BuAxx

donde:


_____________________________________________________________________


80







De la misma manera que para el caso del controlador por Localizacin de Polos, la matriz

ganancia K contiene n elementos, y la estructura del sistema de control es la misma, tal

como se muestra en la figura 3.7. Se ha supuesto que la salida a controlar es la variable x1,

pudiendo entonces determinarse la ecuacin del Controlador ptimo Proporcional:

)45.3(1rkKxu

donde

nkkkkK 321

Los pasos de diseo son los mismos que para el regulador, que se pasa a reescribir:

-

x3

x2

u r

+ k1 BuAxx

k2

k3

+

- -

y = x1

Figura 3.7: Sistema de Control ptimo Proporcional.

-

kn

xn

+

C


_____________________________________________________________________


81


2. Elegir matrices de ponderacin deseadas Q y R

3. Resolver la ecuacin de Riccati (3.42) para la matriz P. Si la matriz P 0, entonces

el sistema es estable o la matriz [A BK ] es estable.

4. Determinar la matriz ganancia K del regulador ptimo, considerando la matriz P

hallada en el paso (2)

La diferencia resultante entre el caso Regulador y el caso Controlador ptimo

Proporcional, es que en el primero todos los estados regulados tienden a cero, debido a que

no est presente la referencia, es decir la referencia es nula. En el segundo caso, el estado

seleccionado como salida (de acuerdo al esquema sera la variable x1), sigue a la referencia,

es decir, se hace igual a la referencia en tiempo estacionario. Cmo verificar esta

afirmacin? Veamos:

Idnticamente como en el Controlador por Localizacin de Polos visto en la subseccin

3.4.2, la ecuacin de estado del sistema de control en lazo cerrado viene dada por:

)46.3()( 1rBkxBKAx

Si aplicamos transformada de Laplace a la ecuacin (3.46) considerando condiciones

iniciales nulas, obtendremos la solucin del vector de estados en el plano S, dada por:

)47.3()()()( 11

sRBkBKAsIsX

Ahora, aplicando Transformada de Laplace a la ecuacin (3.44) obtendremos:

)48.3()()( sCXsY

Reemplazando la ecuacin (3.47) en la (3.48) se obtiene:

)49.3()()()( 11

sRBkBKAsICsy

Para obtener el valor estacionario de la salida, aplicamos el teorema del valor final:

)50.3()()(lim)(lim 11

00sRBkBKAsIsCsyy

ssss

El resultado de la evaluacin de la ecuacin (3.50) nos dar el valor de la magnitud de la

referencia escaln asumido. Con el ejemplo 3.8 se puede corroborar lo dicho.


_____________________________________________________________________


82

Ejemplo 3.7 Dada una planta con las siguientes ecuaciones de estado y de salida:

2

1

2

1

2

1

01

1

0

101

10

x

xy

ux

x

x

x

Determinar la ganancia del Controlador ptimo proporcional, considerando el diagrama de

bloques de la figura 3.8, y asumiendo las siguientes matrices de ponderacin:

10;10

010

RQ

Solucin

Pasos de diseo:

1. Verificar controlabilidad de la planta

..2101

10CCesnMRangoABBM

2. Considerar las matrices de ponderacin dadas en el enunciado

10;10

010

RQ

3. Resolver la ecuacin de Riccati

e x1 x2

y = x1 u +

- -

r + k1

BuAxx

C

k2

Figura 3.8: Sistema de Control ptimo Proporcional.


_____________________________________________________________________


83

10

010

1.0)10(21.010

1.0101.02

:

10

010101.0

1

0

101

10

101

10

0

2

2222122212221211

2212221211

2

1212

2212

1211

2212

1211

2212

1211

2212

1211

1

pppppppp

ppppppp

operando

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

QPBPBRPAPA TT

Entonces, resolviendo:

14.4

14.24101.02

12

12

2

1212

p

ppp

46.0

46.20011.0)10(2

22

22

2

222212

p

pppp

05.4201.010 112212221211 pppppp

Por consiguiente, la matriz P, solucin de la ecuacin de Riccati es:

46.014.4

14.405.42P

Podemos apreciar que P es una matriz definida positiva, por lo que cumple con los

requerimientos para esta matriz.

4. Determinar la matriz ganancia del controlador

046.0414.046.014.4

14.405.42101.0

1

K

PBRK T

En este ejemplo, directamente hemos atacado el diseo de un Controlador ptimo

Proporcional sin antes haber verificado si el modelo de la planta tiene integrador. Veamos

si lo tiene.


_____________________________________________________________________


84

110101

12

ssAsI

s

sAsI

Como se podr apreciar la planta no tiene integrador; por lo que la salida controlada nunca

llegar a la referencia.

Calculemos entonces el valor de la salida en tiempo estacionario, usando la ecuacin (3.50).

Calculemos primero la inversa de la ecuacin caracterstica de lazo cerrado:

)1()10(

)1(

1)10(

)]([

)10(1

1)]([

)10()1(

10

1

0

101

10)(

22

2

2

2

1

22

21

21

ksks

sk

ks

BKAsI

ksk

sBKAsI

kkkkBKA

Calculemos ahora la salida en tiempo estacionario yss, suponiendo una referencia

escaln unitario:

3957.0

046.1

414.0

)1()10(

414.0

01)10(

lim

1

)1()10(

)414.0(1

0

)1(

1)10(

01lim

)()(lim)(lim

22

2

2

0

22

2

2

2

0

1

1

00

ksks

ks

y

sksks

sk

ks

s

sRBkBKAsIsCsyy

sss

s

ssss

Como se puede apreciar, la salida llega aproximadamente al 40% de la referencia; sin

embargo, el diseo del controlador es vlido, recomendando que no debe suceder semejante

error. Una forma de resolver este inconveniente es usar un esquema de regulador con una

ganancia de ajuste fuera del bucle de control. Dicho esquema se muestra en la figura 3.9.


_____________________________________________________________________


85

Calculemos la salida en tiempo estacionario para la estructura mostrada en la figura 3.9.

La ecuacin de estado de lazo cerrado ser:

rBkxBKAx 0)(

La salida en tiempo estacionario ser:

046.1

1046.1)1()10(

01)10(

lim

1

)1()10(

)(1

0

)1(

1)10(

01lim

)()(lim)(lim

0

0

22

2

0

2

0

22

2

0

2

2

0

0

1

00

k

k

ksks

kks

y

sksks

ksk

ks

sy

sRBkBKAsIsCsyy

sss

sss

ssss

Entonces, utilizando una ganancia fuera de bucle de 1.046 logramos que la salida

sea igual a la referencia.


2

1

2

1

2

1

01

1

0

30

20

x

xy

ux

x

x

x

-

x1 x2

y = x1 u +

-

r

k1

BuAxx

C

k2

Figura 3.9: Sistema de Control ptimo Proporcional

modificado.

0k


_____________________________________________________________________


86

Determine:

a) La matriz ganancia del Controlador ptimo Proporcional, usando el esquema

mostrado en la figura 3.8, considerando las siguientes matrices de ponderacin:

)1(;10

01

RQ

b) La salida controlada en tiempo estacionario yss para una entrada escaln unitario.

Solucin

a) Determinacin de K.

Pasos de diseo:

Verifiquemos controlabilidad

..231

20CCesnMRangoABBM

Verifiquemos si la planta tiene integrador

)3(30

2)(

ssAsI

s

sAsI

El modelo de la planta s presenta integrador, entonces s puede aplicar el

presente diseo.

Resolvamos la ecuacin de Riccati

74.01

187.1

:

10

01101.0

1

0

30

20

32

00

0

2212

1211

2212

1211

2212

1211

2212

1211

1

P

obtenemosoperando

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

QPBPBRPAPA TT

Determinemos la matriz ganancia del controlador


_____________________________________________________________________


87

074.01.074.01

187.1101.0

1

K

PBRK T

b) Determinacin de la salida en tiempo estacionario

1

2.0

2.0

)2)3(

1.0

02)3(

lim

1

2)3(

)1.0(1

02)3(

01lim

)()(lim)(lim

12

2

2

0

12

2

1

2

0

1

1

00

ksks

ks

y

sksks

sk

ks

s

sRBkBKAsIsCsyy

sss

s

ssss

Como se puede ver, ahora s la salida es igual a la referencia.

3.5.3 Diseo del Controlador ptimo Proporcional Integral

El diseo del Controlador ptimo Proporcional Integral es una tarea obligada en los casos

en los que la planta no incluye integrador, y la referencia es una seal escaln. La inclusin

del integrador har que el error estacionario sea nulo. Sin embargo, el inconveniente de que

la planta no tiene integrador se puede resolver usando la estructura del regulador con

ganancia de ajuste fuera de bucle, tal como se trat en la subseccin 3.5.2, ejemplo 3.7.

Considere una planta de una entrada y una salida (SISO), definida por las ecuaciones (3.43)

y (3.44) , la matriz ganancia del controlador ser de dimensin (n+1) debido a la inclusin

del integrador.

El diagrama de bloques del sistema de Control ptimo Proporcional Integral es el

mismo que para el Servosistema tipo 1 cuando la planta no tiene integrador, que se presenta

en la figura 3.10.


_____________________________________________________________________


88

Idnticamente como en el caso del Controlador por Localizacin de Polos cuando la planta

no tiene integrador, las ecuaciones del error del sistema de lazo cerrado viene dada por:

)51.3()()( teKBAte

Donde:

ie

ekkkK

BB

C

AA

t

txte

21;

0;

0

0;

)(

)()(

Los pasos de diseo son los mismos que para el Controlador Proporcional, considerando

que las matrices involucradas ya no son las del proceso o planta; sino las matrices

ampliadas KBA ,, , y la matriz de controlabilidad ser una matriz de rango (n+1)

+

-

x3

x2

u r

+ ki BuAxx

k2

+

- -

y

Figura 3.10: Sistema de Control ptimo Proporcional Integral.

-

kn

xn

+

C

k3

x1

k2


_____________________________________________________________________


89


2

1

2

1

2

1

01

1

0

101

10

x

xy

ux

x

x

x

Determinar la ganancia del Controlador ptimo Proporcional Integral, considerando la

estructura de la figura 3.10, y asumiendo las siguientes matrices de ponderacin:

10;100

010

0010

RQ

Solucin

Pasos de diseo:

1. Verificar controlabilidad de la planta

..)1(3100

99101

1010

2 CCesnMRangoBABABM

2. Considerar las matrices de ponderacin dadas en el enunciado

10;100

010

0010

RQ

3. Resolver la ecuacin de Riccati

0 1 QPBRBPAPPA TT

Reemplazando y operando se obtiene:

9.19083.1623-32.2355-

3.1623-1.937619.0639

32.2355-19.0639193.1082

P

4. Determinar la matriz ganancia ampliada del controlador


_____________________________________________________________________


90

0.3162-0.19381.9064

21

1

i

T

kkkK

PBRK

Nota:

Si consideramos que la salida a controlar es la variable 1x , entonces la expresin de

la salida en tiempo estacionario, vendr dada por:

)()(lim)(lim 11

00sRkBKBAsICssyy

ssss

Siendo:

0 CC

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