CientíficaInstituto Politécnico Nacionalrevista@maya.esimez.ipn.mx ISSN (Versión impresa): 1665-0654MÉXICO

2005 Ieroham Baruch / Luis Alberto Hernández / Josefina Barrera Cortés

CONTROL NEURONAL ADAPTABLE CON TÉRMINO INTEGRAL PARA UN PROCESO BIOTECNOLÓGICO DE FERMENTACIÓN POR LOTE ALIMENTADO

Científica, año/vol. 9, número 003 Instituto Politécnico Nacional

Distrito Federal, México pp. 111-118

Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal

Universidad Autónoma del Estado de México

http://redalyc.uaemex.mx

IPN ESIME

Control neuronal adaptable con término integralpara un proceso biotecnológico de fermentaciónpor lote alimentado

1. Resumen

Un modelo matemático no lineal de un proceso biotecnológicoaerobio de un sistema de fermentación por lote alimentado espresentado mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. Espropuesto un control utilizando dos redes neuronalesrecurrentes entrenables (RNRE) con la adición de un términointegral; la primera red representa un aproximador de la salidade la planta y la segunda genera la señal de control tal que laconcentración de la biomasa pueda ser regulada mediante laalimentación de un flujo con nutrientes al biorreactor.

2. Abstract (An Integral Term Adaptive Neural Control ofFed-Batch Fermentation Biotechnological Process)

A nonlinear mathematical model of aerobic biotechnologicalprocess of a fed-batch fermentation system is derived usingordinary differential equations. A neurocontrol is appliedusing Recurrent Trainable Neural Network (RTNN) plusintegral term; the first network performs an approximation ofthe plant’s output; the second network generates the controlsignal so that the biomass concentration could be regulatedby the nutrient influent flow rate into the bioreactor.

Palabras clave: red neuronal recurrente entrenable, procesobiotecnológico de fermentación por lote alimentado, controldirecto adaptable, término integral.

3. Introducción

En este trabajo es presentado un control neuronal adaptablecon término integral, aplicado a un proceso biotecnológico defermentación por lote alimentado bajo condiciones óptimas parala operación, cuya solución y demostración son presentadasen [1]. El modelo representa el proceso de fermentación de labacteria Bacillos thuringiensis (Bt); una de las característicasimportantes a destacar de estos procesos, es el manejo de seresvivos con capacidad para producir, durante su procesometabólico, productos de interés comercial. La importancia deBt radica en que produce proteínas con propiedades tóxicasselectivas para larvas de insectos dañinos a la agricultura y alhombre. Los bioinsectisidas, producidos a base de Bt, son 98%de la producción y solamente 1% se debe a los insecticidas.

El objetivo de control es regular la concentración de biomasa,[2] mediante la alimentación de nutrientes durante la fase máximade crecimiento, utilizando la RNRE dada en [3,4], para conformarel esquema de control neuronal adaptable con término integralque nos permita alcanzar el objetivo propuesto. El presenteartículo está organizado de la siguiente forma: En la sección 4.1se presenta el modelo que describe el proceso biotecnológicode fermentación por lote alimentado. En la sección 4.2 se presentala topología y aprendizaje de la RNRE. La sección 4.3 presentael control neuronal directo adaptable con término integral. Elmodelo de este proceso biotecnológico, desarrollado en [1],será usado en la sección 4.4 para presentar el trabajo desimulación. Finalmente en la sección 5 se presentan lasconclusiones.

4. Desarrollo4.1 Modelo del proceso biotecnológico

El bioreactor modelado se representa en la figura 1, el cualestá conformado por un módulo de medición, un agitador(proveedor de oxígeno) y un módulo de suministro de nutrientes(bomba peristáltica). En [1] se fundamenta la proposición deque para cada conjunto de condiciones iniciales positivas

Científica Vol. 9 Núm. 3 pp.111-118© 2005 ESIME-IPN. ISSN 1665-0654. Impreso en México

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Control neuronal adaptable con término integralpara un proceso biotecnológico de fermentaciónpor lote alimentadoIeroham BaruchLuis-Alberto HernándezJosefina Barrera-Cortés

Departamento de Control Automático,Departamento de Biotecnología y Bioingeniería,CINVESTAV-IPN, Av. IPN núm. 2508México, DFMÉXICO

Tel. 57473800 ext. 4229, fax 57477089

email: baruch@ctrl.cinvestav.mx

Recibido el 11 de septiembre de 2004; aceptado el 10 de diciembre de 2004.

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00))0(),0(( >> ×∈ RRSX y )(⋅≥ SS f existe una solución

000:))(),(( >>≥ ×→⋅⋅ RRRSX de las ecuaciones del modelo(1) y ésta es acotada.

Consideramos el proceso biotecnológico aerobio de Bt, [2],modelado de la forma:

)()( tutV =&

)()( tXtX =&

−

)()()((

tVtutsµ (1)

[ ]Y

tXtStSStVtutS f

)())(()()()()( µ

−−=&

dondeV(f ): 00 >≥ → RR función creciente; volumen del

medio de cultivo en el birreactor;00:)( >≥ → RRtu entrada al birreactor;

S(t) concentración de substrato en el birreactor;X(t) concentración de biomasa en el birreactor;Sf > 0 concentración del substrato en la entrada;Y > 0 coeficiente de rendimiento;

Ecuación de Monod que describe la tasa de crecimientoespecífico.

)()(

))(,( maxtSKtS

tStm +

=µ

µ

0.0.0:))(,( ≥≥≥ →× RRRtStµµ(t,0) = 0

dondeµmáx tasa máxima de crecimiento específico.Km constante positiva de Michaelis-Menten.

Más aun, las siguientes suposiciones de (1) simplifican elmodelo:

(I) El coeficiente de rendimiento (Y) es constante durantetodo el proceso.

(II) El consumo de sustrato para manutención celular esdespreciable.

(III) El aumento de volumen en el bioreactor es igual al volumende solución nutriente alimentada.

(IV) La muerte celular durante la etapa de crecimiento esdespreciable.

4.2 Topología y aprendizaje de la RNRE

Un modelo en tiempo discreto de la RNRE es descrito en [3],[4], así como la regla de aprendizaje de retropropagacióndinámica para la actualización de los pesos. Las ecuacionesque describen la RNRE son:

X(k + 1) = AX (k) + BU(K) (2)Z(k) = S [X(k)] (3)Y(k) = S [CZ(k)] (4)A = bloque-diagonal (aii); | aii | < 1 (5)

Donde x(k) es el vector de estado de la red de dimensión n;u(k) es el vector de entrada a la red de dimensión m; y(k) es elvector de salida de la red de dimensión l; z(k) es un vectorauxiliar de dimensión n; S(.)es el vector de las funciones deactivación de la red de dimensión apropiada; A es la matrizdiagonal de pesos (n x n) de los estados con elementos aii; By C son matrices de pesos de la entrada y salida de la red,respectivamente, de dimensiones apropiadas. Como podemosobservar, el modelo de la RNRE es paramétrico y paralelo, locual es útil para propósitos de identificación y control. Lacontrolabilidad, observabilidad y estabilidad de la red soncomprobados en [4,5,6]. La expresión general para el ajuste delos pesos de la red está basada en el algoritmo de aprendizajede retropropagación con término momento, [7,8], que es:

Wij (k + 1) = Wij (k) + η∆Wij (k) + α∆Wij (k − 1) (6)

Donde η y α son los parámetros de aprendizaje, Wij es el pesoa ser ajustado de las matrices A, B o C, ∆Wij es el gradiente de

Fig. 1. Esquema de un bioreactor por lote alimentado.

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cambio correspondiente ∆Αij(k), ∆Βij(k) o ∆Cij(k). El gradientede cambio de los parámetros de la red se calcula por lassiguientes ecuaciones [3], [4]:

)())(()]()([)( ' kZkYSkYkTkC ijjjjij =∆ (7)

RkijA =∆ )( )1( −kiX (8)

))(()]()()[( ' kZSkYkRkCR ijii = (9)

RkijB =∆ )( )(kiU (10)

Donde: T(k) es el vector de referencia de dimensión l acompararse con el vector de salida Y(k); [ T(k) – Y(k)] es elvector del error; S’(.) es el vector de derivadas de la funciónde activación y R es una variable auxiliar.

4.3 Control neuronal directo adaptable usando RNRE

4.3.1 Esquema de control neuronal directo adaptable conacción proporcional más estados

Un esquema de control directo adaptable proporcional (sintérmino integral), [1], aplicando el modelo de la RNRE espresentado como objetivo de este trabajo, con la finalidadde regular el crecimiento de la biomasa del reactor. La figura2 muestra el esquema de control proporcional más estados.Se puede observar que el esquema está compuesto por dosredes neuronales. La primera red RN-1 es un aproximador

py de la salida de la planta yp y estimador de los estados

xe(k), con lo que el ajuste de los parámetros de la red RN-1 A,B y C, está basado en el error de aproximación

ei(k) = yp(k) − yp(k)

usando el algoritmo de retropropagación dinámico, dado conlas ecuaciones de (7) hasta (10). La aproximación lineal, basadaen el modelo, dado con las ecuaciones de (2) hasta (5), que lared forma del sistema, queda expresada como:

xe(k + 1) = Axe(k) + Bu(k) (11)yp(k) = Cxe(k) (12)

Siguiendo el esquema de control, dado en la figura 2, de la redRN-1, obtenemos los estados que se usan como entrada a lared de control RN-2, que a su vez tiene una segunda entrada lacual es la señal del error de control, formada por la diferencia dela señal de referencia ym(k) y la salida de la planta yp(k), que esec = ym(k) _ yp(k), por lo que es necesario que yp(k) v ym(k)cuando k v lo que asegura que lim ec(k) = ; el error decontrol es utilizado también para ajustar los parámetros de lared RN-2, de esta forma la segunda red puede generar la señalde control. Cabe mencionar que la señal de referencia utiliza-da es un tren de pulsos. Las ecuaciones de la red RN-2 sepueden escribir también en una forma linealizada:

u*(k) = C*x*(k)x* (k + 1) = A*x*(k) − B1*xe(k) + B2*ec(k) (13)

ec(k) = ym(k) − yp(k)

Donde x*(k) es el vector de estado de la red de control condimensión nc; u*(k) es el vector de salida de la red de controlcon dimensión m; ec(k) es la variable del error de control condimensión l. Usando la transformación z podemos definir lassiguientes funciones transferenciales:

q1(z) = C*(zI − A*)-1B1* (14)

q2(z) = C*(zI − A*)-1B2* (15)

p(z) = (zI − A*)-1B; xe(z) = p(z)u * (z) (16)

Wp = Cp(zI − Ap)-1Bp; yp(z) = Wp (z)u * (z) (17)

Donde: la ecuación (16) representa la dinámica de la primeracapa de la red de identificación RN-1, desarrollada usando laecuación (2); la ecuación (17) representa la dinámica de la

Fig.2. Esquema de control directo con acción proporcionalmás estados.

8

^

^

k v 8

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planta descrita en una forma lineal, usando un modelo enespacio de estados. La ecuación (13) de la red de control RN-2 linealizada se puede describir también en una formaoperacional, usando las funciones transferenciales (14), (15),que da:

)()()()(-)(* 21 zezqzxzqzu ce += (18)

Sustituyendo xe(z) de (16) en (18), después de algunasmanipulaciones matemáticas, podemos obtener:

+= - )()()]()([)(* 21

1 zezqzpzqIzu c (19)

Sustituyendo el error ec(z) de (13) y el control u*(z) de (19) enla ecuación de la planta (17), después de algunas manipu-laciones matemáticas, finalmente se obtiene:

+

=++-

-

)()()]()()[(

)()}()]()()[({

21

1

21

1

zyzqzpzqIzW

zyzqzpzqIzWI

mp

pp

(20)

De la ecuación (20), que describe el comportamiento del siste-ma de control proporcional linealizada en lazo cerrado se pue-de concluir que, si la planta es estable de fase mínima y lasredes neuronales son convergentes, lo que significa que lasfunciones transferenciales (14) hasta (17) son también esta-bles de fase mínima, entonces el sistema, descrito con (20)será estable. La otra conclusión es que si k v o z v 1,entonces ec(k) v ε, donde ε es un valor pequeño distinto decero, es decir que el sistema de control proporcional tiene un

error estático y para eliminarlo tendremos que introducir untérmino integral en el control.

4.3.2 Esquema de control neuronal directo adaptable conacción integral más estados

Para el caso de control con término integral [9], mostrado en elesquema de control, dada en la figura 3, se supone un modelolinealizado de la planta, descrita con la ecuación (17),encontrando que el control u(k) es una suma de doscomponentes, podemos obtener:

u(k) = ui(k) + u*(k) (21)ui(k + 1) = ui(k) + T0Kiec(k) (22)yp(z) = Wp(z)[u(z) + Of(z)] (23)

Donde ui(k) es la salida del integrador con dimensión l (aquíse supone que l = m); Of es una perturbación con dimensiónm, nombrada offset, que representa las imperfecciones en elmodelo de la planta; T0 es el tiempo de integración y Ki es laganancia del integrador.

Aplicando la transformación z a la ec. (22) se obtiene:

ui(z) = (z − 1)−1 T0Kiec(z) (24)

Sustituyendo (24), en (21), descrita en z, después de usar lasfunciones transferenciales de (14) hasta (16) y efectuaralgunas operaciones matemáticas, podemos obtener:

+++= -1-

)()]()1-[()]()([)(

2

01

1

zezqKTzzpzqIzu

c

i (25)

Sustituyendo el error ec(z) de (13) y el control u(z) de (25) en laecuación de la planta (23), después de algunas manipulacionesmatematicas, finalmente podemos obtener:

)()(1)-(

)()]()1-([)]()()[(

)()]}()1-([)]()()[(1)-{(

201-

1

201-

1

zOfzWz

zyzqzKTzpzqIzW

zyzqzKTzpzqIzWIz

pmi

p

pip

+

+++=

+++

(26)

Reflexionando en la misma manera como en el caso proporcio-nal, podemos concluir que el sistema será estable. El término(z _ 1) tiene en el tiempo como equivalente una derivada, porlo que un offset Of (k) constante puede ser compensado por elintegrador, con lo que ec(k) v 0.

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Fig. 3. Esquema de control directo adaptable con términointegral.

8

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4.4 Resultados de simulación

El modelo específico [1] utilizado, es el presentado en elparágrafo 4.1 de este artículo, teniendo en cuenta las siguientescondiciones iniciales y parámetros:

V(0) = 3 l ; X(0) = 3.58 g/lS(0) = 15.6 g/l; Sf = 34.97 g/lµmáx = 1.216; Km = 5; Y = 7.5

Utilizando el esquema de control proporcional presentado enla figura 2, tenemos una RNRE como aproximador de la salidade la planta con topología (1, 7, 1), es decir, una entrada, sieteneuronas en la capa oculta y una salida, con parámetros deaprendizaje η = 0.1 y α = 0.01; esta red nos proporciona losparámetros y estados siguientes:

[ ] [ ] [ ] 17711777 xe

xxx RxRCRBRA ∈∈∈∈

Cabe mencionar que para el entrenamiento de la red se haseleccionado una entrada u(t), calculada usando el métodode control λ-tracking, presentado en [10] y [11], que es:

e(t) = yp(t) − y

m(t)

u(t) = sat[0, umáx]

(−k(t))e(t) (31)

k(t) = δ {Donde umáx = 0.65, λ = 0.0025, δ = 33 y r = 1.

El muestreo de la salida se realiza en un intervalo de tiempo discreto,con lo que se ha establecido como periodo de muestreo T0 = 0.01.Es preciso notar que un segundo de simulación es equivalente auna hora del proceso real.

Es importante mencionar que se simularon tres ciclos deoperación continua, cada uno de 21 horas. La red de controlRN-2 tiene una topología (8, 7, 1) y parámetros de aprendiza-je η = 0.7 y α = 0.01. Para poder comparar la salida de laplanta yp(k) con la salida de la red RN-1 yp(k), la salida de laplanta es normalizada para así formar el error de identifica-ción ei(k), el cual es utilizado para actualizar los pesos de lared de aproximación. Los resultados obtenidos con el con-trol proporcional son presentados en la figura 4, de a) hastah), donde: a) representa la salida del proceso (concentra-ción de biomasa) yp(k) comparada con la referencia ym(k) endos ciclos cada uno de 21 horas; b) compara la salida delproceso yp(k) y la salida de la red RN-1 yp(k); c) representa elerror medio-cuadrático (EMC %) de aproximación, siendo de

1%; d) representa EMC % de control, siendo de 4 %; e)muestra el sustrato S(k) presente en el biorreactor; f) repre-senta el volumen de operación V(k) en el bioreactor,incrementándose a partir de la cuarta hora de operación,conforme la señal de control (influyente) es introducido albioreactor, obteniéndose un volumen de operación de 4.7[litros] a las 21 horas de funcionamiento; g) es el flujo dealimentación al biorreactor u(k) siendo de 0.55 [l/h]; h) repre-senta los estados de la red RN-1, utilizados para el control.En la figura 5 se presentan los resultados del control propor-

Fig.4. Resultados de aplicación del control proporcional. a)Salida de la planta yp(k) y señal de referencia ym(k) [g/l];

b)Salida de la planta yp(k) y salida de la red de aproximaciónyp(k); c) EMC % de aproximación ; d) EMC % de control; e)

Consumo de sustrato en el biorreactor S(k) [g/l]; f) Volumende operación del biorreactor V(k) [l] ; g) Señal de control

generada por la red neuronal RN-2 u(k) [l/h]; h) Estados de lared neuronal RN-1, usados en el control.

(|e(t)| − λ)r si |e(t)| > λ 0 si |e(t)| < λ

^

^

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cional obtenidos al introducir en la entrada un offset del10%, es decir, 0.055 [l/h] en el flujo de alimentación.

Como se puede observar en la figura 5, a) representa la salidadel proceso X(k) comparada con la referencia ym(k) en dosciclos de operación cada uno de 21 horas, se observa que lasalida de la planta es desplazada del valor deseado de biomasapor efecto del offset en la entrada; b) muestra la salida delproceso y la salida de la red RN-1 yp(k) c) EMC % de aproxima-

ción, siendo de 1 %; d) EMC % de control, siendo de 12 %; e)muestra el sustrato S(k) presente en el biorreactor; f) repre-senta el volumen de operación V(k) en el biorreactor,incrementándose desde la primera hora de operación debidoal offset en la señal de control, obteniéndose un volumen deoperación de 5.5 [litros] al final del ciclo. g) es el flujo dealimentación al biorreactor u(k), es apreciable el offset en laentrada; h) representa los estados de la red RN-1. La conclu-sión de estos dos experimentos muestra que el control pro-

Fig.5. Resultados de aplicación del control proporcionalcon 10% de offset. a) Salida de la planta yp(k) y señal de

referencia ym(k) [g/l]; b)Salida de la planta yp(k) y salida dela red de aproximación yp(k); c) EMC % de aproximación ; d)EMC% de control; e) Consumo de sustrato en el biorreactorS(k) [g/l]; f) Volumen de operación del biorreactor V(k) [l] ;g) Señal de control, generada por la red neuronal RN-2 u(k)

[ l/h]; h) Estados de la red neuronal RN-1, usados en elcontrol.

Fig.6. Resultados de aplicación del control directoadaptable con término integral y 10% de offset. a) Salida dela planta yp(k) y señal de referencia ym(k) [g/l]; b) Salida dela planta yp(k) y salida de la red de aproximación yp(k); c)

EMC% de aproximación ; d) EMC% de control; e) Consumode sustrato en el biorreactor S(k) [g/l]; f) Volumen deoperación del biorreactor V(k) [l] ; g) Señal de control

generada por la red neuronal RN-2, u(k) [l/h]; h) Estados dela red neuronal RN-1 usados en el control.

^

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porcional no puede eliminar un offset constante y tambiéntiene error estático.

Para eliminar el offset, en el siguiente experimento se aplica uncontrol con término integral. Como lo muestra claramente elesquema de control de la figura 3, el control alimentando a laplanta es la suma de dos componentes, representada en laecuación (21), una compensación dinámica y una parte integral.Como se mencionó, el objetivo del término integral es demantener la salida de la planta en un rango de operaciónaceptable a pesar de tener un offset en la entrada de control.Aquí se utiliza una RNRE como aproximador (RN-1) de la salidade la planta con topología (1, 7, 1) y parámetros de aprendizajeη = 0.1 y α = 0.01. Los estados de la red RN-1 son entradas ala red de control RN-2, al igual que el error de control ec(k). Latopología utilizada en esta segunda red es (8, 7, 1), es decir,ocho entradas, siete neuronas en la capa oculta y una neuronade la salida, que es la señal de control u(k), con parámetros deaprendizaje η = 0.75 y α = 0.01.

Como se puede observar en las gráficas presentadas en lafigura 6, la utilización del término integral produce una mejoríaaun con la presencia de offset en la entrada. Al comparar lasalida de la planta con la referencia en la gráfica a), en elprimer ciclo de operación, se observa un desplazamiento de lasalida de la planta producto del offset en la señal de control.Dicho desplazamiento se mantiene constante desde las 12 alas 21 horas, esto último producto de la compensación realiza-da por el término integral. En el segundo ciclo se observa quela señal de referencia es seguida por la planta con mínimoerror. En las gráficas b) y c) se confirma la buena aproximaciónde la red RN-1. En d) se presenta el EMC%, que al final es de4.5 %, con lo que se confirma el desempeño del término inte-gral, ya que comparando este parámetro con la figura 5d) exis-te una diferencia de un 7%. En e) se presenta el sustrato, en elcual no hay gran variación con respecto a los anteriores. En f)se puede observar una diferencia entre el volumen de opera-ción del primero y segundo ciclo. En g), al igual que en a), sehace más palpable la intervención del término integral, ya queen el primer ciclo el offset en la señal de control va siendocompensado hasta desaparecer, y en el segundo la presenciadel offset es totalmente compensada.

5. Conclusiones

Un modelo matemático no lineal de un proceso biotecnológicoaerobio de un sistema de fermentación por lote alimentado, espresentado mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. Espropuesto un control neuronal directo adaptable, utilizandodos redes neuronales recurrentes entrenables (RNRE), desa-rrollado en dos esquemas de control proporcional e integral,es decir, con la adición de un término integral. Ambos esque-

mas de control usan la primera red como un aproximador de lasalida de la planta. La segunda red, en el control proporcional,genera la señal de control, tal que la concentración de labiomasa pueda ser regulada mediante la alimentación de unflujo con nutrientes al biorreactor. A este control proporcio-nal, en el segundo esquema, se le agrega un término integralcon el fin de asegurar un buen desempeño en presencia deperturbaciones. Los resultados de la simulación, obtenidoscon el control proporcional, muestran una dependencia deloffset, generado por imperfecciones en la planta y un errorestático que depende de la referencia. El control integral mues-tra un mejor desempeño y habilidad de compensar offsetsconstantes y asegurar un buen seguimiento de la trayectoriadeseada, con un error inferior al 5 %.

Por lo anterior, consideramos que los controladores presenta-dos pueden ser utilizados para experimentar con un procesoreal, es decir, con propósitos prácticos, ya que la señal decontrol generada por las RN, es generada durante la etapa decrecimiento exponencial del proceso, tal y como se reporta en[12].

Agradecimientos

El segundo autor da las gracias al CONACYT-MEXICO por labeca recibida durante sus estudios de maestría en elCINVESTAV-IPN. Los autores dan las gracias a SEP-CONACyTpara el apoyo dado con el proyecto de investigación 42035-Zdel 1 de junio 2003, titulado "Producción de bioinsecticidasde toxicidad controlada mediante técnicas de inteligencia arti-ficial".

6. Referencias

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