Control No Vie Mb Re 2012
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![Page 1: Control No Vie Mb Re 2012](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081809/5695d2c51a28ab9b029bab0a/html5/thumbnails/1.jpg)
NOMBRE …….……………………………….………………………..………………………
PROBLEMA 1 Para la configuración de cargas de la figura, calcular:
a) El potencial eléctrico exacto en puntos del eje z (z > 0).
b) El momento dipolar y el tensor momento cuadrupolar de la distribución de carga.
c) La expresión aproximada del potencial eléctrico en un punto P(r,θ,φ) arbitrario,
siendo r >>a, b.
d) La expresión aproximada del campo eléctrico en puntos r>>a,b
PROBLEMA 2 Un condensador cilíndrico de radio interior a, radio exterior b y longitud L (L>>b) está conectado a una batería que mantiene una diferencia de potencial Vo entre sus armaduras. El interior del condensador está relleno de un dieléctrico de permitividad ε =εor/a. Calcular:
a) Los campos D, E y P.
b) La carga libre y la capacidad del condensador.
c) Las densidades de carga de polarización (ligada). Comprobar la neutralidad del dieléctrico.
d) La energía eléctrica almacenada en el condensador.
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Soluciones - Parcial de Electrostatica
20 de noviembre de 2012
Problema 1
Apartado a.
El potencial electrico creado por una carga puntual q situada en ~ri en un punto situado en
~r, a una distancia |~r − ~ri|, de la carga puntual viene dado por:
V (~r) =1
4πε0
q
|~r − ~ri|
Llamamos V1 al potencial creado por la carga situada en z = a, V2 al creado por la situada
en z = −a y V3 al creado por la situada en z = b. El potencial en un punto del eje z vendra dado
por:
V (z) = V1 + V2 + V3 =1
4πε0
q
|z − a|+
1
4πε0
q
|z + a|+
1
4πε0
Q
|z − b|
Apartado b.
Para calcular el momento dipolar ~p, necesitamos conocer el vector de posicion de cada una
de las cargas: ~r1 = a~k, ~r2 = −a~k, ~r3 = b~k. Por tanto:
~p =∑i
qi~ri = qa~k + q(−a)~k +Qb~k = Qb~k
Como tiene simetrıa axial, para calcular las componentes del tensor cuadrupolar basta con
calcular Qzz.
Entonces :
Qzz =∑
qn(3z2n − r2n
)= q
(3a2 − a2
)+ q
(3a2 − a2
)+Q(3b2 − b2) = 4qa2 + 2Qb2
Tenemos que Qxx = Qyy = −Qzz2 = −2qa2 −Qb2.
Ademas, Qxy = Qxz = Qyz = 0.
Por tanto:
Qxy = 2qa2 +Qb2
−1 0 0
0 −1 0
0 0 2
Apartado c.
Para el termino monopolar necesitamos Qtotal = 2q +Q. Por tanto:
V1 =2q +Q
4πε0r
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El termino dipolar viene dado por:
V2 =~p · ~r
4πε0r3=Qb~k · ~r4πε0r3
=Qbz
4πε0r3=Qb cos θ
4πε0r2
Para expresar el termino cuadrupolar del potencial, podemos tener en cuenta que la distri-
bucion de carga tiene simetrıa axia.
Por tanto:
V3 =Qzz4πε0
3 cos2 θ − 1
4r3=
2qa2 +Qb2
8πε0r3(3 cos2 θ − 1)
Apartado d.
El campo electrico vendra dado por ~E = −∇V .
En este caso es mucho mas sencillo trabajar en coordenadas esfericas y, por tanto, podemos
expresar el campo electrico como ~E = Er ~ur + Eθ ~uθ + Eφ ~uφ. Calculamos las tres componentes
de ~E:
Er = −∂V∂r
= −∂V1∂r− ∂V2
∂r− ∂V3
∂r=
2q +Q
4πε0r2+Qb cos θ
2πε0r3+
(6qa2 + 3Qb2)(3 cos2 θ − 1)
8πε0r4
Eθ = −1
r
∂V
∂θ= −1
r
∂V2∂θ− 1
r
∂V3∂θ
=Qb sin θ
4πε0r3+
3(2qa2 +Qb2) cos θ sin θ
8πε0r4
Eφ = − 1
r sin θ
∂V
∂φ= 0
2
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Problema 2
Apartado a.
Los campos ~E, ~D y ~P son cero fuera del condensador. Por tanto, podemos reducir el calculo
al interior del condensador. Al conectarlo a una diferencia de potencial V0, aparece una carga
Q en r = a y una carga −Q en r = b.
Aplicando el teorema de Gauss a un cilindro de radio r (a < r < b), tenemos que:∮s
~D d~S = Qencerrada
Como ~D y d~S son vectores paralelos y, ademas, | ~D| es constante sobre S, podemos escribir:
D · 2πrL = Q → D =Q
2πrL=
λ
2πr→ ~D =
λ
2πr~ur
Tenemos que ~D = ε ~E. Por tanto:
~E =λa
2πε0r2~ur
Calculamos la diferencia de potencial entre los extremos del condensador:
V0 = Va − Vb = −∫ a
bE dr = −
∫ a
b
λa
2πε0r2dr =
λa
2πε0
(1
a− 1
b
)=λ(b− a)
2πε0b
Por tanto:
λ =2πε0bV0b− a
Y, por tanto:
~D =ε0bV0
(b− a)
1
r~ur ~E =
abV0(b− a)
1
r2~ur
Por ultimo:
~P = ~D − ε0 ~E =λ
2π
(1
r− a
r2
)=
ε0bV0r(b− a)
(1− a
r
)Apartado b.
La carga libre la hemos calculado en el apartado anterior:
Q = λL =2πε0bLV0b− a
Para calcular la capacidad, podemos tener en cuenta que Q = C|V |. Es importante tener en
cuenta que la capacidad tiene que ser siempre un numero positivo.
C =Q
|V |= λL =
2πε0bL
b− a
Apartado c.
3
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La densidad de carga superficial de polarizacion se calcula a partir de σP = ~p~n, donde ~n es
un vector normal a la superficie del dielectrico y hacia fuera del mismo. Por tanto, en r = a
tenemos que ~n = − ~ur y en r = b tenemos que ~n = ~ur.
σp(a) = −∣∣∣~P (a)
∣∣∣ = 0
σp(b) =∣∣∣~P (b)
∣∣∣ =ε0V0b
Y la densidad de carga de polarizacion de volumen:
ρp(r) = −∇P = −1
r
∂
∂rrPr = − 1
r2∂
∂r
[ε0bV0
(b− a)
(1− a
r
)]= − 1
r3ε0abV0(b− a)
Para comprobar la neutralidad del dielectrico, calculamos la carga total de polarizacion:
Qsupp = σ(b)2πbL = 2πε0V0
Qvolp =
∫ b
aρp dV = −
∫ b
a
1
r3ε0abV0(b− a)
dV = −2πε0V0
Puede comprobarse que Qp = Qsupp +Qvol
p = 0
Apartado d.
La energıa almacenada por un condensador puede calcularse directamente como:
U =1
2QV = λL =
πε0bLV20
b− a
4