Control Robusto Tarea7 Coprima
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Universidad de Los Andes. Facultad de Ingeniera. Postgrado de Control y Automatizacin.
CONTROL ROBUSTO
Elaborado por: Mara I. Velasco C.
Prof. Addison Ros. Mrida, Abril de 2012.
TAREA 7.Factorizacin Coprima.PROBLEMA 9.Determinar la factorizacin coprima de ( ) .
(
)(
)
Solucin. 1. Transformamos ( ) a ( ) bajo el mapeo un cociente de polinomios coprimos: ( ) ( )( )
. Escribimos como
Sustituyendo ( )
(
)
obtenemos ( ) ) ( ) ) ) ( ) ( )
( ( ( ( ) )
(
( )
2. Usamos el algoritmo de Euclides para encontrar polinomios ( ) ( ) tal que Algoritmo de Euclides. Paso 1. Dividimos n entre m para obtener el cociente q1 y el resto r1 Al hacer la divisin de obtenemos que y y que el
, ahora verificamos que se cumpla que ( ) ( ).
(
)( )
(
)
y el ( ) , lo cual se cumple.
(
)
Paso 2. Dividimos m entre r1 para obtener el cociente q2 y el resto r2 Al hacer la divisin de obtenemos que y y que el
, ahora verificamos que se cumpla que ( ) ( ).
(
)(
)
(
) y el ( )
(
)
, lo cual se cumple.
Como r2 es una constante diferente de cero se detiene el algoritmo de Euclides y entonces las ecuaciones son: { Dando que: ( Por lo tanto, ( ) ( ) deben ser: ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )
es decir, al sustituir los valores de obtenemos ( )
en las ecuaciones (5) y (6)
( )
( )(
)
Ahora verificamos que se cumpla que ) ) ( )( ) ( ) , por lo tanto, ( ) 3. Transformar ( ) mapeo de . ( ) ( )
( (
)(
( ) son la factorizacin coprima de ( ) ( )a ( ) ( ) ( ) ( ) bajo el
Entonces: ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
PROBLEMA 10.Determinar la factorizacin coprima de ( ) para espacio de estados. Solucin. Paso 1. Obtener la realizacin en espacio de estados (A,B,C,D) de ( ) ( ) ( ) * [ + ( ) ] ( ) tal que y * + ( ) ( sean estables. ) usando el mtodo
(
)(
)
Paso 2. Escoger las matrices
La matriz
debe ser de dimensiones
y la matriz
de dimensiones
.
Para que las matrices
y (
sean estables sus autovalores deben se )) ( )) y ( (
tener la parte real negativa, por lo tanto, el clculo de las matrices realizara de modo que los autovalores de cumplan con lo anterior.
Clculo de la matriz F. ( ( )) (( ) *( ) ( )( )+)
((
)
( ( )
)) (
( )
) ( )
Para que el polinomio (12) sea estable no deben existir cambios de signos por lo tanto
( ( Por lo tanto ( ) ( ).
) )
Al sustituir los valores de la matriz cuyos autovalores son
en el polinomio (12) obtenemos , por lo tanto, es estable.
Clculo de la matriz H. ( ( )) (( ) *( ) ( )( )+)
((
)
( ( )
)) (
( )
) ( )
Para que el polinomio (15) sea estable no deben existir cambios de signos por lo tanto ( ( ) )
Al resolver el sistema de inecuaciones se obtiene como resultado que ( ( ) )
Para
. Por lo tanto la matriz
(
)
(
)
Al sustituir los valores de la matriz cuyos autovalores son estable.
en el polinomio (15) se obtiene , por lo tanto, es
Paso 3. Calculamos las funciones de transferencia ( )
( )
( )
( ).
( )
*
+
(
(
))
(
)
( )
*
+
(
)(
(
))
(
)
( )
*
+
(
(
))
(
)
( )
*
+
(
(
)) (
)
(
)