Coordenadas Polares
description
Transcript of Coordenadas Polares
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 1/14
Localizacindeunpuntoencoordenadaspolares.
CoordenadaspolaresDeWikipedia,laenciclopedialibre
Lascoordenadaspolaresosistemaspolaressonunsistemadecoordenadasbidimensional en el cual cada punto del plano sedeterminaporunadistanciayunngulo,ampliamenteutilizadosenfsicaytrigonometra.
Demaneramsprecisa,setoman:unpuntoOdelplano,alquese le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, osegmentoOL)quepasaporO,llamadaejepolar(equivalentealejex del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Conestesistemadereferenciayunaunidaddemedidamtrica(parapoderasignardistanciasentrecadapardepuntosdelplano),todopuntoPdelplanocorrespondeaunparordenado(r,)donderesladistanciadePalorigenyeselnguloformadoentreelejepolarylarectadirigidaOPquevadeOaP.Elvalorcreceensentido antihorario y decrece en sentido horario.La distancia r(r0)seconocecomolacoordenadaradialoradiovector,mientras que el ngulo es la coordenada angular o ngulopolar.
Enelcasodelorigen,O,elvalorderescero,peroelvalordeesindefinido.Enocasionesseadoptalaconvencinderepresentarelorigenpor(0,0).
ndice
1Historia2Representacindepuntosconcoordenadaspolares3Conversindecoordenadas
3.1Pasodecoordenadaspolaresarectangularesyviceversa3.1.1Conversindecoordenadaspolaresarectangulares3.1.2Conversindecoordenadasrectangularesapolares
4Ecuacionespolares4.1Circunferencia4.2Lnea4.3Rosapolar4.4EspiraldeArqumedes4.5Seccionescnicas
5Nmeroscomplejos6Clculoinfinitesimal
6.1Clculodiferencial6.2Clculointegral6.3Generalizacin6.4Clculovectorial
7Extensinamsdedosdimensiones7.1Tresdimensiones
7.1.1Coordenadascilndricas7.1.2Coordenadasesfricas
7.2ndimensiones
8Aplicaciones
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 2/14
Sistemadecoordenadaspolaresconvariosngulosmedidosengrados.
8Aplicaciones8.1Posicinynavegacin8.2Modelado8.3Camposescalares
9Vasetambin10Referencias11Enlacesexternos
Historia
Sibienexistenejemplosdequelosconceptosdenguloyradiose conocen ymanejan desde la antigedad, no es sino hasta elsigloXVII,posterioralainvencindelageometraanaltica,enquesepuedehablardelconceptoformaldesistemacoordenadaspolares.
Los primeros usos empricos de relaciones entre ngulos ydistancias se relacionan con aplicaciones a la navegacin y elestudio de la bveda celeste. El astrnomo Hiparco(190a.C.120a.C.) creuna tabla trigonomtrica quedaba lalongitud de una cuerda en funcin del ngulo y existenreferencias del uso de coordenadas polares para establecer laposicin de las estrellas.1 En Sobre las espirales, Arqumedesdescribe la espiral de Arqumedes, una funcin cuyo radiodepende del ngulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacanuso de un sistema de coordenadas como medio de localizarpuntos enelplano, situacinanlogaal estadode lageometra antesde la invencinde lageometraanaltica.
En tiempos modernos, Grgoire de SaintVincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de formaindependienteelconceptoamediadosdelsigloXVIIen la solucindeproblemasgeomtricos.SaintVincentescribisobreestetemaen1625ypublicsustrabajosen1647,mientrasqueCavalieripublicsusescritosen1635yunaversincorregidaen1653.CavalieriutilizenprimerlugarlascoordenadaspolarespararesolverunproblemarelacionadoconelreadentrodeunaespiraldeArqumedes.BlaisePascalutilizposteriormentelascoordenadaspolaresparacalcularlalongituddearcosparablicos.
Sinembargo,elconceptoabstractodesistemadecoordenadapolarsedebeaSirIsaacNewton,quienensuMtodode las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas decoordenadas(ademsdelascartesianas)pararesolverproblemasrelativosatangentesycurvas,unodeloscuales,elsptimo,eseldecoordenadaspolares.2EnelperidicoActaEruditorumJacobBernoulliutilizen1691unsistemaconunpuntoenunalnea,llamndolospoloyejepolarrespectivamente.Lascoordenadassedeterminabanmedianteladistanciaalpoloyelngulorespectoalejepolar.EltrabajodeBernoulli sirvi de base para encontrar el radiode curvatura de ciertas curvas expresadas en estesistemadecoordenadas.
El trmino actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por losescritores italianosdel sigloXVIII.El trmino aparecepor primeravez en ingls en la traduccinde1816 efectuada por George Peacock del Tratado del clculo diferencial y del clculo integral deSylvestre Franois Lacroix,3 mientras que Alexis Clairaut fue el primero que pens en ampliar lascoordenadaspolaresatresdimensiones.
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 3/14
Lospuntos(3,60)y(4,210)enunsistemadecoordenadaspolares.
Representacindepuntosconcoordenadaspolares
Enlafiguraserepresentaunsistemadecoordenadaspolaresenelplano,elcentrodereferencia(puntoO)ylalneaOLsobrelaquesemidenlosngulos.ParareferenciarunpuntoseindicaladistanciaalcentrodecoordenadasyelngulosobreelejeOL.
El punto (3, 60) indica que est a una distancia de 3unidades desdeO, medidas con un ngulo de 60 sobreOL.El punto (4, 210) indica que est a una distancia de 4unidadesdesdeOyunngulode210sobreOL.
Unaspectoaconsideraren lossistemasdecoordenadaspolareses que un nico punto del plano puede representarse con unnmeroinfinitodecoordenadasdiferentes,locualnosucedeenelsistemadecoordenadascartesianas.Oseaqueenelsistemadecoordenadaspolaresnohayunacorrespondenciabiunvocaentrelospuntosdelplanoyelconjuntodelascoordenadaspolares.Estoocurrepordosmotivos:
Un punto, definido por un ngulo y una distancia, es elmismo punto que el indicado por esemismo nguloms un nmero de revoluciones completas y lamisma distancia. En general, elpunto( ,)sepuederepresentarcomo( , 360)o( ,(2 +1)180),donde esunnmeroenterocualquiera.4Elcentrodecoordenadasestdefinidoporunadistancianula,independientementedelosngulosqueseespecifiquen.Normalmenteseutilizanlascoordenadasarbitrarias(0,)pararepresentarelpolo, ya que independientemente del valor que tome el ngulo , un punto con radio 0 seencuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitarconfusionesenestesistemadecoordenadas.Paraobtenerunanicarepresentacindeunpunto,sesuele limitar a nmeros no negativos 0 y al intervalo [0, 360) o (180, 180] (enradianes,[0,2)o(,]).6
Los ngulos en notacin polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo delcontexto.Porejemplo,lasaplicacionesdenavegacinmartimautilizanlasmedidasengrados,mientrasque algunas aplicaciones fsicas (especialmente lamecnica rotacional) y lamayor parte del clculomatemticoexpresanlasmedidasenradianes.7
Conversindecoordenadas
Pasodecoordenadaspolaresarectangularesyviceversa
Lascoordenadasrectangulares(x,y)decualquierpuntodeunplanoimplicansolamentedosvariables,xey.Portanto,laecuacindecualquierlugargeomtricoenunsistemadecoordenadasrectangularesenunplano ,contieneunaoambasdeestasvariables,peronootras.Porestoesapropiado llamaraunaecuacindeestaclaselaecuacinrectangulardellugargeomtrico.
Lascoordenadaspolares(r,)decualquierpuntodeunplanoimplicansolamentedosvariables,ry,demaneraquelaecuacindecualquierlugargeomtricoenelplanocoordenadopolarcontieneunaoambasvariables,peronootras.Talecuacinsellama,deacuerdoconesto,laecuacinpolardellugargeomtrico.As,laecuacin=/4yr=cossonlasecuacionespolaresdedoslugaresgeomtricosplanos.
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 4/14
Diagramailustrativodelarelacinentrelascoordenadaspolaresylascoordenadascartesianas.
Paraunlugargeomtricodeterminado,conviene,frecuentemente,sabertransformarlaecuacinpolarenlaecuacinrectangular,yrecprocamente.ParaefectuartalYtransformacindebemosconocerlasrelacionesqueexistenentrelascoordenadasrectangularesylascoordenadaspolaresdecualquierpunto,X,Adel lugar geomtrico. Se obtienenY relaciones particularmente simples cuando el polo y el ejepolardelsistemapolarsehacencoincidir,respectivamente,conelorigenylapartepositivadelejeXdelsistemarectangular.SeaPunpuntocualquieraquetengaporcoordenadasrectangulares(x,y)yporcoordenadaspolares(r,)Entoncessededuceninmediatamentelasrelaciones
EnelplanodeejesxyconcentrodecoordenadasenelpuntoOsepuededefinirunsistemadecoordenadaspolaresdeunpuntoM del plano, definidas por la distancia r al centro decoordenadas,yelngulo delvectordeposicinsobreelejex.
Conversindecoordenadaspolaresarectangulares
Definidounpuntoencoordenadaspolaresporsungulo sobreelejex,ysudistanciaralcentrodecoordenadas,setiene:
Conversindecoordenadasrectangularesapolares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares(x,y),setienequelacoordenadapolarres:
(aplicandoelTeoremadePitgoras)
Paradeterminarlacoordenadaangular,sedebendistinguirdoscasos:
Para =0,elngulopuedetomarcualquiervalorreal.Para 0, para obtener un nico valor de , debe limitarse a un intervalo de tamao 2. Porconvencin,losintervalosutilizadosson[0,2)y(,].
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 5/14
Paraobtenerenelintervalo[0,2),sedebenusarlassiguientesfrmulas( denotalainversadelafuncintangente):
Paraobtenerenelintervalo(,],sedebenusarlassiguientesfrmulas:
oequivalentemente
Muchoslenguajesdeprogramacinmodernosevitantenerquealmacenarelsignodelnumeradorydeldenominadorgraciasalaimplementacindelafuncinatan2,quetieneargumentosseparadosparaelnumerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la funcin atanpuederecibircomoparmetrolacoordenadax(comoocurreenLisp).
Ecuacionespolares
Se le llamaecuacinpolar a la ecuacinquedefineunacurva expresada en coordenadaspolares.Enmuchoscasossepuedeespecificartalecuacindefiniendo comounafuncinde.Lacurvaresultanteconsiste en una serie de puntos en la forma ( (), ) y se puede representar como la grfica de unafuncin .
Sepuedendeducirdiferentesformasdesimetradelaecuacindeunafuncinpolar .Si ()= ()lacurvasersimtricarespectoalejehorizontal(0/180),si (180)= ()sersimtricarespectoalejevertical(90/270),ysi ()= ()sersimtricorotacionalmenteensentidohorariorespectoalpolo.
Debidoalanaturalezacirculardelsistemadecoordenadaspolar,muchascurvassepuedendescribirconunasimpleecuacinpolar,mientrasqueensuformacartesianaseramuchomsintrincado.Algunasdelascurvasmsconocidassonlarosapolar,laespiraldeArqumedes,lalemniscata,elcaracoldePascalylacardioide.
Paralosapartadossiguientesseentiendequeelcrculo,lalneaylarosapolarnotienenrestriccioneseneldominioyrangodelacurva.
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 6/14
Uncrculoconecuacin ()=1.
Unarosapolarconecuacin()=2sin4.
Circunferencia
La ecuacin general para una circunferencia con centro en (0,)yradio es
En ciertos casos especficos, la ecuacin anterior se puedesimplificar.Porejemplo,paraunacircunferenciaconcentroenelpoloyradioa,seobtiene:8
Lnea
Las lneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) serepresentanmediantelaecuacin
dondeeselngulodeelevacindelalnea,estoes,=arctan donde eslapendientedelalneaen el sistema de coordenadas cartesianas. La lnea no radial que cruza la lnea radial = perpendicularmentealpunto( 0,)tienelaecuacin
Rosapolar
La rosapolar es una famosa curvamatemtica que parece unaflor con ptalos, y puede expresarse como una ecuacin polarsimple,
paracualquierconstante (incluyendoal0).Sikesunnmeroentero,estasecuacionesrepresentanunarosadekptaloscuandok es impar, o 2k ptalos si k es par. Si k es racional pero noentero, la grfica es similar a una rosa pero con los ptalossolapados.Nteseque estas ecuacionesnuncadefinenuna rosacon2,6,10,14,etc.ptalos.Lavariablearepresentalalongituddelosptalosdelarosa.
Sitomamosslovalorespositivospararyvaloresenelintervalopara ,lagrficadelaecuacin:
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 7/14
UnbrazodelaespiraldeArqumedesconecuacinr()=para0
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 8/14
Ilustracindeunnmerocomplejozenelplanocomplejo.
IlustracindeunnmerocomplejoenelplanocomplejousandolafrmuladeEuler.
dondei es launidadimaginaria.De formaalternativa, sepuedeescribir en formapolar (mediante lasfrmulasdeconversindadasarriba)como
porloquesededuceque
dondeeeslaconstantedeNeper.9Estaexpresinesequivalentea la mostrada en la frmula de Euler. (Ntese que en estafrmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienenexponenciales de ngulos, se asume que el ngulo estexpresadoenradianes.)Parapasarde laformapolara la formarectangular de un nmero complejo dado se pueden usar lasfrmulasdeconversinvistasanteriormente.
Para las operaciones de multiplicacin, divisin yexponenciacin de nmeros complejos, es normalmentemuchomssimpletrabajarconnmeroscomplejosexpresadosenformapolarqueconsuequivalenteenformarectangular:
Multiplicacin:
Divisin:
Exponenciacin(FrmuladeDeMoivre):
Clculoinfinitesimal
El clculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares.A lolargodeestaseccinseexpresalacoordenadaangularenradianes,alserlaopcinconvencionalenelanlisismatemtico.1011
Clculodiferencial
Partiendo de las ecuaciones de conversin entre coordenadas rectangulares y polares, y tomandoderivadasparcialesseobtiene
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 9/14
LareginRestdelimitadaporlacurvar()ylassemirrectas=ay=b.
LareginRseaproximapornsectores(aqu,n=5).
Paraencontrarlapendienteencartesianasdelarectatangenteaunacurvapolarr()enunpuntodado,lacurvadebeexpresarseprimerocomounsistemadeecuacionesparamtricas
Diferenciandoambasecuacionesrespectoaresulta
Dividiendolasegundaecuacinporlaprimeraseobtienelapendientecartesianadelarectatangentealacurvaenelpunto(r,r()):
Clculointegral
SeaRunaregindelplanodelimitadaporlacurvacontinuar()ylassemirrectas=ay=b,donde0
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 10/14
Generalizacin
Usandolascoordenadascartesianas,unelementodereainfinitesimalpuedesercalculadocomodA=dxdy.Elmtodode integracinporsustitucinpara las integralesmltiples estableceque, cuando seutilizaotrosistemadecoordenadas,debetenerseencuentalamatrizdeconversinJacobiana:
Porlotanto,unelementodereaencoordenadaspolarespuedeescribirsecomo:
Unafuncinencoordenadaspolarespuedeserintegradacomosigue:
dondeReslaregincomprendidaporunacurvar()ylasrectas=ay=b.
LafrmulaparaelreadeRmencionadaarribaseobtienetomandofcomounafuncinconstanteiguala1. Una de las aplicaciones de estas frmulas es el clculo de la Integral de Gauss :
Clculovectorial
El clculovectorial puede aplicarse tambin a las coordenadas polares. Sea el vector de posicin,conry dependientesdeltiempot.
Sea
unvectorunitarioenladireccinde y
unvectorunitarioortogonala .Lasderivadasprimeraysegundadelvectordeposicinson:
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 11/14
Unpuntorepresentadoencoordenadascilndricas.
Unpuntorepresentadoencoordenadasesfricas.
Extensinamsdedosdimensiones
Tresdimensiones
Elsistemadecoordenadaspolarespuedeextenderseatresdimensionescondossistemasdecoordenadasdiferentes: el sistemade coordenadas cilndricas y el sistemade coordenadas esfricas.El sistemadecoordenadas cilndricas aade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadasesfricasaadeunacoordenadaangular.
Coordenadascilndricas
El sistema de coordenadas cilndricas es un sistema decoordenadas que extiende al sistema de coordenadas polaresaadiendounaterceracoordenadaquemidelaalturadeunpuntosobreelplano,delamismaformaqueelsistemadecoordenadascartesianasseextiendeatresdimensiones.Laterceracoordenadase suele representar por h, haciendo que la notacin de dichascoordenadassea(r,,h).
Las coordenadas cilndricas pueden convertirse en coordenadascartesianasdelasiguientemanera:
Coordenadasesfricas
Las coordenadas polares tambin pueden extenderse a tresdimensiones usando las coordenadas (, , ), donde es ladistanciaalorigen,eselnguloconrespectoalejez(medidode0a180),yeselnguloconrespectoalejex(igualqueenlas coordenadas polares, entre 0 y 360) Este sistema decoordenadasessimilaralsistemautilizadoparadenotarlaaltitudy la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde sesitaelorigenenelcentrodelaTierra,lalatitudeselngulocomplementariode(esdecir,=90),ylalongitudlvienedadapor180.12
Las coordenadas esfricas pueden convertirse en coordenadascartesianasdelasiguientemanera:
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 12/14
Lascoordenadaspolaresenelespaciotienenespecialinterscuandolosngulosdeterminanlafuncin,comoenelcasodelahlice.
ndimensiones
Esposiblegeneralizarestasampliacionesdeformaqueseobtengaunsistemaderepresentacinpara4omsdimensiones.Porejemplo,para4dimensionesseobtiene
Aplicaciones
Lascoordenadaspolaressonbidimensionales,porloquesolamentesepuedenusardondelasposicionesdelospuntossesitenenunplanobidimensional.Sonlasmsadecuadasencualquiercontextodondeelfenmenoaconsiderarestdirectamenteligadoconladireccinylongituddeunpuntocentral,comoenlas figuras de revolucin, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. LosejemplosvistosanteriormentemuestranlafacilidadconlaquelascoordenadaspolaresdefinencurvascomolaespiraldeArqumedes,cuyaecuacinencoordenadascartesianasseramuchomsintrincada.Ademsmuchossistemasfsicos,talescomolosrelacionadosconcuerposquesemuevenalrededordeunpuntocentral,olosfenmenosoriginadosdesdeunpuntocentral,sonmssimplesymsintuitivosdemodelarusandocoordenadaspolares.Lamotivacininicialdelaintroduccindelsistemapolarfueelestudiodelmovimientocircularyelmovimientoorbital.
Posicinynavegacin
Lascoordenadaspolaresseusanamenudoennavegacin,yaqueeldestinooladireccindeltrayectopuedenvenirdadosporunnguloyunadistanciaalobjetoconsiderado.Lasaeronaves,porejemplo,utilizanunsistemadecoordenadaspolaresligeramentemodificadoparalanavegacin.
Modelado
LosSistemassonBusternianosimetraradialposeenunascaractersticasadecuadasparaelsistemadecoordenadas polares, con el punto central actuando como polo.Un primer ejemplo de este uso es laecuacin del flujo de las aguas subterrneas cuando se aplica a pozos radialmente simtricos. De lamismamanera,lossistemasinfluenciadosporunafuerzacentralsontambinbuenoscandidatosparaeluso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioelctricas, o los camposgravitatorios,queobedecenalaleydelainversadelcuadrado(vaseelproblemadelosdoscuerpos).
Lossistemasradialmenteasimtricostambinpuedenmodelarseconcoordenadaspolares.Porejemploladirectividaddeunmicrfono,quecaracterizalasensibilidaddelmicrfonoenfuncindeladireccindel sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrfono cardioideestndar,elmscomndelosmicrfonos,tieneporecuacinr=0,5+0,5sen.13
Camposescalares
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 13/14
Unproblemaenelanlisismatemticodefuncionesdevariasvariableses ladificultadparaprobar laexistencia de un lmite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados segn la trayectoria deaproximacinalpunto.Enelorigendecoordenadas,unode lospuntosquetienenmsintersparaelanlisis(poranularhabitualmentefuncionesracionalesologartmicas),esteproblemapuedesolventarseaplicandocoordenadaspolares.Enotrospuntosesposiblerealizaruncambiodesistemadereferenciayasaplicareltruco.
Alsustituirlascoordenadascartesianasx,y,z...porsuscorrespondientesequivalenciasencoordenadaspolares,ellmitealaproximarsealorigensereduceaunlmitedeunanicavariable,loqueresultafcildecalcularporserelsenoyelcosenofuncionesacotadasyruninfinitsimo.Sielresultadonomuestradependenciaangular,esposibleaseverarqueellmiteesindistintodelpuntoytrayectoriadesdeelquesehaaproximado.
Vasetambin
CoordenadascelestesCoordenadasesfricasCoordenadasgeogrficas
Referencias
Enlacesexternos
1. Friendly, Michael. Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and DataVisualization(http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec2.html).Consultado el 10denoviembrede2008.
2. Boyer,C.B.(1949).NewtonasanOriginatorofPolarCoordinates(http://www.jstor.org/pss/2306162).AmericanMathematicalMonthly56.10.2307/2306162,pags.7378.
3. Smith,DavidEugene(1925).HistoryofMathematics,VolII.Boston:GinnandCo.p.324.4. Polar Coordinates and Graphing
(http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf)(PDF).13042006.Consultadoel11deenerode2009.
5. DavidCohen,DavidSklar(2005).ThomsonBrooks/Cole,ed.Precalculus:WithUnitCircleTrigonometry(CuartaEdicinedicin).ISBN0534402305.|coautores=requiere|autor=(ayuda)
6. Cambridge University Press, ed. (1983). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane).ISBN0521287634.Parmetrodesconocido|coauteurs=ignorado(ayuda)
7. JohnW.Jewett,Jr.(2005).Brooks/ColeThomsonLearning,ed.PrinciplesofPhysics. ISBN053449143X.|coautores=requiere|autor=(ayuda)
8. Claeys, Johan. Polarcoordinates(http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm). Consultado el 11 de enerode2009.
9. Smith, Julius O. Euler's Identity (http://ccrmawww.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html).Mathematicsof theDiscreteFourierTransform(DFT).W3KPublishing. ISBN0974560707.Consultado el11deenerode2009.
10. Husch, Lawrence S. Areas Bounded by Polar Curves(http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html).Consultadoel11deenerode2009.
11. Lawrence S. Husch. Tangent Lines to Polar Graphs(http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html).Consultadoel11deenerode2009.
12. Wattenberg, Frank (1997). Coordenadas esfricas(http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm). Consultado el 26 denoviembrede2008.
13. Eargle, John (2005). Springer, ed. Handbook of Recording Engineering (Fourth Edition edicin).ISBN0387284702.
-
10/3/2015 CoordenadaspolaresWikipedia,laenciclopedialibre
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 14/14
WikimediaCommonsalbergacontenidomultimediasobreCoordenadaspolares.
Obtenidodehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_polares&oldid=80375452
Categora: Sistemasdecoordenadas
Estapginafuemodificadaporltimavezel3mar2015alas21:18.EltextoestdisponiblebajolaLicenciaCreativeCommonsAtribucinCompartirIgual3.0podranseraplicablesclusulasadicionales.Lanselostrminosdeusoparamsinformacin.WikipediaesunamarcaregistradadelaFundacinWikimedia,Inc.,unaorganizacinsinnimodelucro.