Cosmologıa Inflacionaria y Disipacion

desde un vacıo pentadimensional

Autor: Jesus M. RomeroDirector: Dr. Mauricio Bellini

Departamento de Fısica,Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,

Universidad Nacional de Mar del Plata,Dean Funes 3350, (7600) Mar del Plata,

Buenos Aires, Argentina.

Junio de 2008

Agradecimientos

Este no es ni el principio ni el fin (y mis palabras son asombrosamente lit-erales).Es la cuarta vez que intento escribir estos agradecimientos y la indecision nome deja seguir avanzando. Ya anote metodicamente lıneas, parrafos...y tambienborre cada uno de ellos, ¿Me pregunto en que orden empezar? ¿Que decir? Algoes seguro...¡Nunca creı que esto fuera ta difıcil!Cuando uno agradece, sobre todo en un momento tan importante como este,tiende a tornarse intimista y emotivo (o por lo menos a mı me pasa eso). Perono creo que sea el tono adecuado, ası que perdonen mi prosaica neurosis...perovoy a ser breve, y casi exclusivamente enumerativo. Es mucho menos de lo quedeberıa hacer, entonces ademas de darles les gracias les pido disculpas.Gracias a mi familia, a mi abuela, a mi padre, a mi madre...por estar siempreahı, los quiero mucho.Gracias Vero, porque tu paciencia no es infinita y por vos soy menos necio.Fuerza ”amore mıo”.Gracias a Ana, Gus, Jony, Pame, Piero, Vancit, Mabel y Salvador, porquetambien son parte de mi gente, y eso es bueno.Gracias Mauricio, te debo las ganas con que trabaje para esta tesis (se ve quelas tuyas son contagiosas)...gracias tambien por tu tiempo y tu generosidad, perosin esas ganas...no habrıa tenido sentido.Gracias a Dios por habernos dado este hermoso universo que describir e intentarcomprender.

A mi familia, a VNB, a Adolfus...

1

Contents

1 Palabras preliminares 4

2 Relatividad General 72.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Elementos de Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Elementos de cosmologıa estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Evidencia experimental y realismo cosmologico . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Corrimiento al rojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 Radiacion cosmica de fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.3 Escenario cosmologico actual . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Ideas basicas sobre Inflacion e Inflacion Tibia 173.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Inflacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Aproximacion semi-clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.3 Dinamica clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.4 Dinamica cuantica del Inflaton . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Inflacion Tibia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.1 La Idea de Berera y Fang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2 Desarrollo del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Espacio Tiempo Materia 274.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Teorıas de Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1 Desarrollo de la idea de Kaluza . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.2 Desarrollo de la idea de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Teorıas Espacio-Tiempo-Materia (STM) . . . . . . . . . . . . . . 344.3.1 Desarrollo de la teorıa STM segun el enfoque de Mc Manus 34

2

4.3.2 Algunas ecuaciones importantes sobre la metrica FRW . 354.3.3 Idea Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.4 Desarrollo de las Ecuaciones de Einstein y materia inducida 364.3.5 Aplicacion a una metrica particular . . . . . . . . . . . . 38

5 Disipacion desde un vacıo en 5D 395.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Desarrollo de la dinamica 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Desarrollo de la dinamica 4D, para una hipersuperficie caracteri-

zada mediante una metrica obtenida a partir de la foliacion ψ = cte 425.4 Desarrollo de la dinamica a traves de una metrica 4D, en la que

ψ = ψ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4.1 Ecuaciones de movimiento para una metrica tetradimen-

sional obtenida a partir de una foliacion dinamica . . . . 45

5.4.2 Analisis de disipasion y entropıa ante la foliacion ψ =√

3Λ 47

6 Conclusiones 51

3

Chapter 1

Palabras preliminares

Se puede decir que la Cosmologıa, en un sentido moderno, tiene su origenrecien en 1916, ano en que Albert Einstein presento su Teorıa General de laRelatividad[1]. Cambiando la fısica para siempre, al pensar en un tetra-espacioen el que el tiempo constituye, simplemente, una dimension mas. Un espaciocon propiedades matematicas claras e ıntimamente ligadas a los objetos fısicos,como masa o energıa.La Teorıa General brindo, y nos brinda aun, el marco para la obtencion de ecua-ciones de campo con que describir la dinamica del universo.En principio Einstein suponıa que el universo debıa ser homogeneo, isotropicoy estatico, como muchos otros pensaban en ese momento. Sin embargo los re-sultados de sus ecuaciones de campo mostraban un mundo dinamico, por lo queintrodujo la llamada ”constante cosmologica” asociada a una energıa de vacıoque aportaba la estabilidad necesaria a su solucion estatica.Poco despues Willem de Sitter consiguio otra solucion propia de un universoestatico[2] y que ademas predecıa un corrimiento al rojo sobre la radiacionrecibida por un observador en proporcion a la distancia de la fuente. Esto sirviopara garantizar al modelo de de Sitter una rapida aceptacion.Alexander Friedmann encontro una solucion diferente a las anteriores[3], conuna metrica expansiva, demostrando ademas la naturaleza altamente inestabledel universo estatico de Einstein, que ante pequenas perturbaciones terminarıaexpandiendose o contrayendose. Entonces (1927) hace su entrada a escenaAbbe Georges Lamaıtre, fısico y sacerdote que corroboro las conclusiones deFriedmann[4].Edwin Hubble determino, merced a cuidadosas observaciones, que las galaxiasestaban alejandose unas de otras y que ademas su velocidad de separacion eraproporcional a la distancia entre ellas. Entonces Lamaıtre fue un poco mas alla y

4

especulo con que, siguiendo el camino inverso a la expansion, alguna vez toda lamateria y energıa del universo se habrıa encontrado suficientemente cerca paraconfigurar un ”Atomo Primordial”. Esto parecio peligrosamente creacionista amuchos de los cientıficos de la epoca que miraron recelosos a este sacerdote.”Se parece demasiado al relato bıblico” dijo Fred Hoyle, quien postulaba ununiverso en permanente crecimiento merced a la produccion de materia que gen-eraba nuevas galaxias al ritmo de la expansion, con una logica que presumıa deirrefutable y cientıficamente desprejuiciada desacredito a Lemaitre.George Gamow (decada de 1940) amplio la idea de Lamaıtre proponiendo elorigen universal en una partıcula hipermasiva y caliente que se expandıa yenfriaba[5]. Logro de este modo formular una historia termica del universo ypredecir la existencia de una radiacion fosil propia del desacoplamiento materia-radiacion. Ademas de encontrar una teorıa adecuada al genesis de los elementosquımicos mas livianos, que predecıa acertadamente sus abundancias relativas.La disputa entre ”creacionistas” y ”estacionarios” se mantuvo hasta 1965, anoen que Arno Penzias y Robert Wilson identificaron la radiacion cosmica de fondoque el Big Bang predecıa. Muy anciano, Lamaıtre aun vivıa y tuvo el raro priv-ilegio de verse desagraviado.Pero el modelo estandar poseıa aun muchos problemas, la radiacion cosmica erademasiado uniforme respecto a la esperada para un universo aparentemente in-homogeneo. Tampoco aportaba a la comprension de la planaridad del espacio ypredecıa la aparicion abundante de monopolos magneticos a altas temperaturas.

Entonces llego Inflacion [6].

La pequena introduccion historica presentada pretende servir de andamiajeestructural y disparador de la construccion de este trabajo organizado en seiscapıtulos de los que este es el primero. Cada seccion cuenta asimismo, con unaintroduccion propia y algunos elementos asociados a la evolucion historica de lacosmologıa moderna.El segundo capıtulo trata en principio sobre el marco indispensable para el de-sarrollo de cualquier teorıa cosmologica, la Teorıa General de la Relatividad.Aborda tambien el Modelo Estandar y las caracterısticas propias del escenariocosmologico actual.El tercer capıtulo se refiere a conceptos basicos sobre Inflacion e Inflacion Tibia.El cuarto capıtulo introduce las teorıas de dimensiones extra, refiriendonos sobretodo a Kaluza-Klein y Materia Inducida.El quinto capıtulo trata, partiendo desde un vacıo 5D, el problema de disipacionen la dinamica 4D efectiva. Ajustandose al marco de Materia Inducida y poste-riormente a Inflacion Tibia.

5

Para finalizar se efectua un recuento de los resultados de cada capıtulo y lasconclusiones generales del trabajo.

Cabe remarcar que las observaciones han logrado un alto grado de precisionen los utimos anos. Aportando constantemente nuevos datos y convirtiendo eltema en un terreno dinamico. Aun ası la solidez del modelo inflacionario loposiciona como el fundamento mas claro para las formulaciones cosmologicas.De cara a este nuevo tiempo en que mucho hay por ver y en que se esperannuevos elementos para poner a prueba modelos cada vez mas realistas.

6

Chapter 2

Relatividad General

2.1 Introduccion

Los modelos cosmologicos modernos (como aquellos asociados a teorıas de branas,Kaluza-Klein y otras formulaciones sobre dimensiones extra) basan su formal-ismo en la Teorıa General de la Relatividad (TGR), que resulta entonces unaherramienta indispensable para el desarrollo de la cosmologıa.La TGR es basicamente un modelo en que la gravedad se manifiesta como lacurvatura del espacio-tiempo debida a la presencia de grandes masas. La teorıatiene un fuerte contenido geometrico, dandole suma importancia a la estructuradel tetra-espacio, que se manifiesta como una Variedad Riemanniana analıticadotada de una metrica lorentziana[7].

2.2 Elementos de Relatividad General

La metrica se representa en gravitacion por un tensor simetrico de segundo ordencuyas componentes covariantes en el sistema de coordenadas xµ se denotanpor gµν . El tensor fundamental tiene a priori una dependencia punto a punto,cumple con det(g) 6= 0 y admite derivadas parciales continuas hasta cierto orden,llamado clase del espacio. El diferencial de longitud de espacio-tiempo viene dadopor

(2.1) ds2 = gµν dxµ dxν .

Ante una transformacion de coordenadas xµ −→ xµ, el tensor metrico, al igualque cualquier otro tensor de segundo orden, cumple con la siguiente regla de

7

transformacion

(2.2) gµν =∂xρ

∂xµ∂xσ

∂xνgρσ.

Puede definirse una derivada covariante, que denotamos por ”;”, y tiene lapropiedad de aumentar en uno el orden tensorial covariante. La accion efec-tuada sobre un tensor mixto de segundo orden viene dada por

(2.3) Tµν;λ = Tµν, λ + ΓµλσTσν − Γσλ νT

µσ ,

siendo Γµλσ las conexiones afines definidas sobre el espacio [8], y donde notamoscon ”,” a la derivada ordinaria.Puede demostrarse que todo espacio de Riemann es un espacio de conexion afınsimetrica cuyos coeficientes vienen dados por los llamados sımbolos de Christoffelde segunda especie, cuya expresion es

(2.4) Γλµν =12gλσ (gσν, µ + gµσ, ν − gµν, σ) ,

donde gµν corresponde a las componentes contravariantes del tensor metrico, quesatisfacen

[gµσg

σν = δνµ]. Ademas vale aclarar que los sımbolos de Christoffel

no cumplen con las leyes de transformacion propias de los tensores.La curvatura del espacio-tiempo es determinada por el Tensor de Riemann

(2.5) Rσλµ ν = Γσλν, µ − Γσλµ, ν + Γρλ νΓσρµ − ΓρλµΓ σρν .

En un espacio de Riemann solo es posible obtener por contraccion del tensor decurvatura un unico tensor no nulo, el de Ricci

(2.6) Rµν = Rσµνσ = −Rσµσν ,

(2.7) Rσσµν = 0.

A su vez mediante el tensor de Ricci se define la curvatura escalar, dada por

(2.8) R = gµνRµν .

Las Ecuaciones de Einstein relacionan la naturaleza geometrica del espacio-tiempo con la materia en el mismo. La geometrıa aparece en el tensor deEinstein, definido a patir deRµν y R, estando determinado entonces desde lametrica

(2.9) Gµν = Rµν −12Rgµν ,

8

que es simetrico y cumple la siguiente relacion para su divergencia

(2.10) G µν;µ = G µν

;ν = 0.

La materia, o bien ”la parte fısica” de las ecuaciones, se incorpora a traves deun tensor de energıa-momento, cuyas componentes sonTµν en su forma dos vecescovariante. Las Ecuaciones de Einstein entonces son

(2.11) Gµν = 8πGTµν .

Dichas ecuaciones pueden obtenerse a traves del principio de mınima accion anu-lando las variaciones de

[I = −1

16πG

∫dx4√−gR+

∫dx4√−gL

], donde el primer

termino corresponde a la accion gravitatoria y el segundo a la accion fısica.El tensor energıa-momento satisface [Tµν;µ = 0 ], lo que es una extension al espacio-tiempo curvo de las leyes usuales de conservacion de energıa-momento, esto im-plica la necesidad de (2.10).En la TGR, el concepto euclidiano de lınea recta encuentra su extension a travesde las geodesicas [7], que son definidas como las curvas extremales del funcionalde longitud. De esto resulta la llamada Ecuacion de Geodesicas

(2.12)dUµ

ds+ ΓµλνU

λUν = 0,

donde[Uµ = dxµ

ds

]es la tetravelocidad asociada a la coordenada µ. Esta ex-

presion es la extension de la segunda ley de Newton en ausencia de fuerzas nogravitatorias, aunque es posible introducir tales fuerzas agregando los terminosapropiados al lado derecho de la ecuacion.La ecuacion se aplica tanto a partıculas masivas como no masivas. En el primercaso normalmente se utiliza como parametro de la curva al tiempo propio, demanera que [ gµνUµUν = 1 ] define la naturaleza hiperbolica de la variedad e im-plica que las tetravelocidades resultan ser vectores de tipo tiempo.Para partıculas no masivas, en especial fotones [ gµνUµUν = 0 ], nos habla deuna relacion de tipo luz.

2.3 Elementos de cosmologıa estandar

El modelo cosmologico estandar tiene su fundamento en las ecuaciones de Ein-stein asociadas a un gas ideal y en el principio cosmologico[9]. El principio

9

sostiene que el universo es espacialmente homogeneo e isotropo a escalas suficien-temente grandes. Esto resulta muy restrictivo, y las unicas metricas compatiblescon ello son las de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), cuya forma es

(2.13) ds2 = −dt2 + a2(t)[

dr2

1− kr2+ r2

(dθ2 + sen2(θ) dφ2

)],

donde k es la curvatura espacial, que es un numero real cuyo valor puede serreescaleado de modo que [ k = −1, 0, 1 ], lo que corresponde a una geometrıaabierta, plana y cerrada, respectivamente. La materia en el universo se describemediante el tensor

(2.14) Tµν = (ρ+ p)UµUν + p gµν .

En el caso de utilizar la signatura inversa a la aquı adoptada debe modificarsela expresion cambiando el signo del ultimo termino.Es de gran importancia definir cuales son los observadores que efectuaran lasmediciones de las diferentes cantidades fısicas involucradas en el modelo. Esto esequivalente a fijar un sistema de referencia desde el cual describir el universo. Encosmologıa generalmente se opta por la clase de observadores en reposo respectode la expansion del universo, es decir aquellos cuyas coordenadas espacialespermanecen constantes en el tiempo, pero que a su vez cumplen la ecuacion degeodesicas (2.12).Empleando la metrica FRW (2.13) en las ecuaciones de Einstein (2.11) asociadasal tensor de energıa-impulso de gas ideal (2.14), obtenemos

(2.15)(a

a

)2

=8πG3π

ρ− k

a2,

(2.16)a

a= −4πG

3(ρ+ 3p) ,

que son las ecuaciones de Friedmann-Lemaitre para una constante cosmologicanula. Estas determinan la dinamica del universo, y una de sus consecuenciasinmediatas es la ecuacion de continuidad

(2.17) ρ+ 3H (ρ+ p) = 0,

en la que[H = a

a

]es el parametro de Hubble. La ecuacion de continuidad es

equivalente a la de conservacion de energıa.De (2.15) podemos decir que el universo debe expandirse o contraerse segun el

10

valor de la constante de curvatura espacial. Si k = 1 el universo colapsara atiempo finito, mientras que para k = 0,−1 se expandira indefinidamente. Estasconclusiones se ven alteradas cuando Λ 6= 0.La ”constante cosmologica” Λ recibe este nombre por razones historicas, aunqueno sea necesariamente una constante. Las ecuaciones de Einstein (2.11) puedenreescribirse

(2.18) Gµν + Λgµν = 8πGTµν ,

donde Λgµν proviene de la libertad que da la condicion (2.10) para sumar altensor de Einstein un termino de divergencia nula. Tambien puede interpretarsecomo un tensor de energıa-momento de vacıo

[T

(vac)µν = −Λgµν

8πG

]. Las ecuaciones

(2.18) pueden obtenerse a mediante la aplicacion del principio de mınima accion,de modo analogo a (2.11), a traves de la variacion de[I = −1

16πG

∫dx4√−g (R− 2Λ) +

∫dx4√−gL

]. La ecuacion de continuidad (2.17)

mantiene su validez.La presion y densidad de energıa pueden relacionarse en una ecuacion de estadoa traves de un factor ω = ω(t), que puede ser considerado constante a escalasadecuadas

(2.19) p = ωρ,

esta ecuacion describe el caso de un universo constituıdo por un gas de partıculasrelativistas cando ω = 1

3 , y tambien el caso en que domina la materia no rela-tivista, mediante ω = 0. Que son las dos configuraciones mas importantes parael viejo modelo estandar que prescindıa en principio de la energıa de vacıo. Enambos casos la ecuacion de continuidad (2.17) puede integrarse para dar

(2.20) ρ ∼ a−3(1+ω).

Sustituyendo en (2.15), cuando Λ = 0 y k = 0 obtenemos

(2.21) 3(a

a

)2

= 8πGρ0

(a

a0

)−3(1+ω)

,

donde el subındice ”0” rotula cantidades referidas al tiempo actual. De aquı seobtiene la evolucion del factor de escala

(2.22) a2 ∼ a2−3(1+ω).

11

Ası, para un universo dominado por radiacion se tiene que

(2.23) arad(t) ∼ t12 ,

y para un universo dominado por materia no relativista

(2.24) amat(t) ∼ t23 ,

lo que diferencia las tasas de expansion en universos dominados por una u otraconfiguracion.

Si la componente dominante corresponde a una fuente de energıa de vacıoV0, esta debe actuar como una constante cosmologica con Λ = 8πGV0 y unaecuacion de estado con ω = −1. En este caso la solucion de (2.15) genera unaexpansion exponencial dada por

(2.25) avac(t) = a0e

√Λ3t.

Una forma de cuantificar la rapidez de la expansion es a traves del parametrode desaceleracion q(t), definido por

(2.26) q(t) = −aaa2,

de modo que si q < 0 el universo se encuentra en una etapa de expansionacelerada. Tambien podemos obtener una medida de la cantidad de materiacontenida, definiendo a partir de (2.15) una densidad crıtica ρc, como aquellaque corresponde a un universo con geometrıa espacialmente plana

(2.27) ρc(t) =3

8πGH2(t).

Aquı podemos definir un parametro de densidad

(2.28) Ω(t) =ρ(t)ρc(t)

,

que tomando en cuenta la ecuacion de Friedmann (2.15), en presencia de unaconstante cosmologica no nula, nos conduce a

(2.29) Ω− 1 +Λ

3H2=

k

a2H2.

Esta ecuacion indica una relacion directa entre cantidad de materia y curvaturaespacial. En el caso en que Λ = 0 vemos que

12

(2.30) Ω < 1 −→ k = −1,

(2.31) Ω = 1 −→ k = 0,

(2.32) Ω > 1 −→ k = 1,

donde los valores de k han sido reescaleados y corresponden respectivamente aun universo abierto, plano o cerrado.En general es necesario distinguir entre las diferentes contribuciones a la den-sidad de energıa total. Por esto se definen los parametros asociados a materia,radiacion y vacıo actuales, de modo que (2.29) debe reescribirse

(2.33)k2

a20H

20

= Ωm + Ωr + Ωv − 1,

donde[

ΩΛ(t) = Λ(t)3H2(t)

]y Ωv es su valor actual.

2.4 Evidencia experimental y realismo cosmologico

La cosmologıa observacional se ha desarrollado enormemente en los ultimos anos,por ejemplo a traves del seguimiento de fenomenos relacionados con la formacionde estructura a gran escala. Particularmente en la distribucion de galaxias yen supernovas con altos corrimientos al rojo. Asimismo la observacion de lasanisotropıas en la radiacion cosmica de fondo y del espectro de potencias de lasperturbaciones primordiales de densidad, a partir de la superficie de determi-nadas galaxias, han resultado en una estimacion muy precisa de los parametroscosmologicos actuales. De este modo es posible obtener un escenario cada vezmas completo y realista, como nuevo marco de referencia en que desarrollar losmodelos cosmologicos modernos.Presentaremos en esta seccion una sıntesis de la realidad cosmologica actuala traves de algunos importantes conceptos, planteando las caracterısticas delescenario cosmologico soportado por las evidencias experimentales.

2.4.1 Corrimiento al rojo

Las propiedades del universo han sido estudiadas desde hace anos a partir dela espectroscopıa de la radiacion proviniente de las estrellas. Se ha comprobado

13

que los espectros de aquellas situadas fuera de nuestra galaxia presentan losmismos conjuntos caracterısticos de frecuencias ausentes que en los casos corre-spondientes a las estrellas de nuestra galaxia, pero desplazados hacia el extremoinfrarrojo del espectro.El parametro que mide el corrimiento es

(2.34) z =νe − ν0

ν0,

donde ν0 es la frecuencia medida en la Tierra y νe la frecuencia emitida por lafuente.Edwin Hubble, basandose en observaciones que acreditaban el aumento del cor-rimiento en relacion a la distancia entre la fuente y la Tierra, sugirio una relacionlineal entre distancia y corrimiento, dada segun

(2.35) z ' Hr,

donde H es el parametro de Hubble.En el marco de la TGR podemos decir que la luz viaja a traves del espaciosobre geodesicas nulas. Consideraremos dos senales emitidas desde una fuentelocalizada. La primera de ellas parte del punto (te, re) y es captada en (t0, 0),la segunda se origina en (te + δte, re) y es recibida en (t0 + δt0, 0). A su vez elobservador percibe los haces luminosos desde el centro de coordenadas, y los vepor tanto precipitandose radialmente hacia el. Utilizando estos datos, y el hechode que el universo es descripto por una metrica FRW (2.13), podemos integrarpara las geodesicas de ambas senales y obtenemos para la primera de ellas

(2.36)∫ t0

te

dt

a(t)=∫ re

0

dr√1− kr2

,

y para la segunda

(2.37)∫ t0+δt0

te+δte

dt

a(t)=∫ re

0

dr√1− kr2

.

Restando (2.36) y (2.37), bajo la presuncion de que a(t) ha variado muy pocoentre ambas emisiones, se tiene que

(2.38)δt0δte

=a0

ae,

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y por lo tanto

(2.39) 1 + z =νeν0

=a0

ae.

Esto implica un tipo de corrimiento Doppler propio de la estructura de lasmetricas FRW y asociado a la expansion misma del universo, mas alla de cualquiermovimiento de la fuente.Mediante la observacion de diversos objetos, su distancia y corrimiento al rojose ha logrado estimar el valor actual de distintos parametros.

2.4.2 Radiacion cosmica de fondo

En principio el universo habrıa sido demasiado caliente (con una temperaturadel orden de 1MeV ), para que se diera siquiera la formacion de nucleos atomicos.Con el paso del tiempo, mediando una asimetrıa entre bariones y antibarionesque evito su completa aniquilacion, la disminucion de la temperatura permitioque los valores de la energıa cinetica de partıculas como protones y neutronesfueran adecuados para la nucleogenesis.Aun ası los bariones existıan solo en forma de plasma, y debieron transcurrir unos300.000 anos para que la temperatura permitiera la recombinacion. Proceso enel cual los protones logran atrapar electrones libres y engendrar los primerosatomos de hidrogeno.

Hasta esta epoca el universo fue opaco a la radiacion, debido a la dispersionde los fotones por los electrones libres. Tras la recombinacion la densidad deelectrones libres disminuyo lo suficiente para generar el desacoplamiento entremateria y radiacion. Esto se ve hoy dıa como un fondo cosmico de microondas,que fue generado por fotones fosiles al interactuar finalmente con la materia.La radiacion cosmica de fondo representa un evidencia observacional preponder-ante para la medida de parametros cosmologicos y el estudio de modelos. Laradiacion fosil es fuertemente isotropica, hecho que el viejo modelo estandar nopodıa explicar.

2.4.3 Escenario cosmologico actual

En definitiva el escenario realista soportado por los datos observacionales debecontar con una serie de ingredientes especıficos[10].

• La cosmologıa homogenea e isotropica, con un universo en expansion desdeuna fase inicial caliente y regulada por las ecuaciones de Friedmann-Lemaitre

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obtenidas en el marco de la TGR.

• Las secciones espaciales del espacio-tiempo son muy cercanas a una ge-ometrıa plana. El valor estimado actual del parametro Ω se encuentra dado por[−0.3 ≤ Ω− 1 ≤ 0.1 ].

• Hay generacion de perturbaciones primordiales de densidad en una epocainflacionaria. Con un espectro de potencia cuyo ındice tiene un valor n =0.98 ± 0.02, cercano a la invariancia de escala. EL impacto de las perturba-ciones en las anisotropıas de la radiacion cosmica de fondo indica correlacion aescalas superiores al horizonte causal.

• La evolucion de las perturbaciones de densidad sujetas a la inestabilidadgravitacional ha generado la estructura a gran escala del universo.

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Chapter 3

Ideas basicas sobre Inflacion eInflacion Tibia

3.1 Introduccion

Esta seccion no pretende dar una detallada evolucion y desarrollo de los mod-elos cosmologicos inflacionarios sino apenas una breve introduccion historica, yposteriormente una sıntesis de su formalismo y estructura matematica con elobjetivo de motivar el trabajo desarrollado en los capıtulos siguientes.

El primer modelo inflacionario realista se debe a Alexey Starobinsky (1979)que propuso la expansion acelerada del universo desde un cierto estado inicial[11].Esto durante un perıodo en que el universo habrıa incrementado su factor de es-cala en una cantidad abrumadoramente superior a la correspondiente al modeloestandar.Sin embargo no fue clara la interpretacion de aquel estado inicial del universo,sino hasta la sugerencia de Yakob Zel’dovich que lo asociaba a un estado devacıo[12]. Esta idea no fue tan bienvenida en principio, pero ha ido ganandogran aceptacion hasta la actualidad. El trabajo de Starobinsky fundado en lagravedad cuantica y producido en la aislada URSS no conocio difusion, porlo que la formulacion debida a Alan Guth (1981), que ademas resultaba massencilla, fue adoptada rapidamente en Occidente. La propuesta de Guth[13] sefundaba en que el universo se habrıa expandido inicialmente desde un estado conuna temperatura T mayor a cierta Tc, con ϕ un campo escalar responsable de laexpansion, el llamado Inflaton. Tal estado ϕ(T ) = 0 serıa un mınimo local delpotencial efectivo V (ϕ, T ) por lo que el universo habrıa permanecido en ese es-tado de pseudo-vacıo durante un largo tiempo con un tensor de energıa-momento

17

Tαβ = gαβV (0). La expansion serıa exponencial, produciendo la planaridad. Eldecaimiento desde el estado localmente estable provocarıa la formacion de ”bur-bujas” para las que ϕ = ϕ0 (asociado a un mınimo del potencial V (ϕ0)). Lacolision entre las paredes de las burbujas provocarıa el recalentamiento del uni-verso, pero ademas una fuerte inhomogeneidad. Este problema convierte a lallamada Inflacion Vieja, en un modelo inadecuado puesto que la evidencia ob-servacional nos habla de gran homogeneidad a escalas cosmologicas.La Inflacion Nueva de Andrei Linde (1982) viene a tratar de solucionar este prob-lema a traves de una transicion de fase de segundo orden desde un falso vacıo,mas suave y que igualmente resolvıa el problema de planaridad [14]. Pero pre-decıa variaciones demasiado importantes para la Radiacion Cosmica de Fondo.Poco tiempo despues el propio Linde propuso un nuevo formalismo, el de la In-flacion Caotica [15]. Este predice una evolucion exponencial para los primerosinstantes del universo, caracterizada a traves de una energıa dominada por elpotencial V (ϕ) asociado a un campo escalar ϕ. La rapida expansion produce lahomogeneidad, planaridad e isotropıa del universo, que hoy observamos. Trasesto da lugar a un perıodo de recalentamiento debido a la transformacion de laenergıa potencial en energıa termica. Posteriormente la evolucion del universoserıa tratable mediante el Modelo Estandar.Actualmente hay varios modelos que coinciden con las observaciones experimen-tales. Estos en general asocian la formacion de estructura en el universo a lasfluctuaciones cuanticas del campo escalar, a traves del derrame de modos fueradel horizonte observable.

3.2 Inflacion

3.2.1 Formalismo

Podemos partir de una lagrangiana

(3.1) L(ϕ,ϕ, µ) = −√|g|(

R16πG

+12gµνϕ, µϕ, ν + V (ϕ)

),

cuando el campo escalarϕ aparece como mınimamente acoplado a la gravedad[16].Debido a la solidez del modelo de Inflacion Caotica, que exige una transicion defase de segundo orden, se trata en general con un potencial V (ϕ) muy plano,esto es

[d2V (ϕ)dϕ2 Mp

2], donde Mp es la masa de Planck. Dado que el proceso

de inflacion es de tipo clasico esto impone que[V (ϕ) . Mp

4]. El proceso de

18

inflacion termina cuando ϕ se encuentra muy proximo al mınimo ansoluto delpotencial y comienza el recalentamiento.La metrica adecuada para representar la geometrıa suavizada por la aceleradaexpasion es una FRW

(3.2) dS2 = dt2 − a2(t) d~r 2.

Claramente,[g = −a6

]. Ademas puede calcularse que la curvatura escalar es[

R = 6(aa + a2

a2

)].

Aplicando las ecuaciones de Lagrange

(3.3)∂L∂ϕ

− ∂

∂xµ

(∂L∂ϕ,µ

)= 0,

obtenemos la ecuacion de movimiento para el campo escalar cuantico ϕ

(3.4) ϕ+ 3a

aϕ− ∇2ϕ

a2+ V ′(ϕ) = 0,

donde[V ′(ϕ) = ∂V (ϕ)

∂ϕ

]. La ecuacion es operatorial, y ademas no-lineal (salvo

en el caso en queV (ϕ) sea cuadratico) debido a la libertad para la forma quepuede adoptar V (ϕ). Lo que la hace en general muy complicada o irresoluble.Por ello se trabaja comunmente con una aproximacion.

3.2.2 Aproximacion semi-clasica

Supongamos que podemos escribir

(3.5) ϕ(t, ~r) = φc(t) + φq(t, ~r),

donde φc representa una parte clasica, asociada a la metrica de fondo y porende independiente de ~r, y φq, en cambio, representa pequenas fluctuacionescuanticas. Pedimos algunas propiedades razonables

(3.6) φc(t) =< 0 |ϕ(t, ~r)| 0 >,

entonces tenemos

19

(3.7) < 0 |φq(t, ~r)| 0 >=< 0 |ϕ(t, ~r)| 0 > −φc(t) = 0.

Ademas vamos a necesitar, cosa que justificaremos luego, que

(3.8) < 0 |φq(t, ~r)| 0 >= 0.

Empleando todo esto en (3.4) resulta

(3.9) φc + φq + 3a

a

(φc + φq

)− 1a2∇2

r(φq) + V ′(ϕ) = 0,

expresion en la que utilizamos el hecho de que∇2r(φc) = 0, pues solo tiene

dependencia temporal.Desarrollando ahora V ′(ϕ) a orden uno en torno a φc, y recordando (3.8), seobtienen las siguientes ecuaciones:

(3.10) φc + 3Hcφc + V ′(φc) = 0,

(3.11) H2c(t) =

8πG3

<φ2c

2+ V (φc) >,

(3.12) φq + 3Hcφq −1a2∇2

rφq + V ′′(φc)φq = 0,

donde (3.10) y (3.11) describen la parte clasica de la dinamica. La expresion(3.12) hace lo propio con las pequenas fluctuaciones cuanticas a escala cos-mologica, en el rango en que a

a∼= Hc.

3.2.3 Dinamica clasica

Para tratar la dinamica de la parte casica del potencial comencemos derivandola ecuacion (3.11), y reemplazando la expresion de φc por la que se deduce de(3.10), se obtiene

(3.13) Hc = −4πGφ2c ,

20

donde se ha utilizado que[V (φc) = V ′(φc) φc

]. Sabiendo que

[Hc(φc) = H ′

c(φc) φc]

resulta

(3.14) H ′c = −4πGφc.

Con esto y (3.11) encontramos

(3.15) V (φc) =3M2

p

8π

(H2c −

M2pH

′c2

12π

).

Esto significa que es suficiente con proponer la forma deHc(φc), o del poten-cialV (φc), o bien del factor de expansion a(t) para obtener completamente ladinamica clasica. Por ejemplo a traves de una ley de potencias de tipo [a(t) = βtp];con [p > 1]. En tal caso, para el lımite en que [p 1] se recupera una expansionajustada a un modelo de De Sitter.

3.2.4 Dinamica cuantica del Inflaton

En este caso nuestro punto de partida es (3.12). Redefiniremos las fluctuacionesmediante un cambio de variables

[φ = a−

32 χ]

en busqueda de una ecuacion

analoga a la de Klein-Gordon[φ−

(∇2 +m2

)φ = 0

].

Esto nos conduce a

(3.16) χ− ∇2χ

a2−m2

effχ = 0,

con[m2eff = 9

4H2c + 3

2Hc − V ′′(φc)].

Proponiendo que χ(t, ~r) ∼ Fk(t)Gk(~r) se obtiene

(3.17) ∇2Gk(~r) + k2Gk(~r) = 0,

(3.18) Fk(t) + ω2k(t)Fk(t) = 0,

con[ω2k(t) = k2

a2 −(

94H

2c + 3

2Hc − V ′′(φc))2]. De aquı

21

(3.19) ω2k(t) =

1a2

(k2 − k2

0(t)),

donde[k2

0(t) =(

94H

2c + 3

2Hc − V ′′)2]

es una funcion creciente del tiempo. Si

tomamos un cierto modo k estable en un determinado instante, bastara conesperar suficiente para que resulte afectado por el crecimiento de k2

0(t) y se torneinestable.Puedo representarχpor el desarrollo

(3.20) χ(t, ~r ) =1

2π32

∫dk3

[ake

i~k.~r Fk(t) + a†ke−i~k.~r F ∗k (t)

].

Para cada Fk(t) de (3.18) podemos decir que

(3.21) ω2k > 0 −→ Fk ∼ α sinωt+ β cosωt ,

(3.22) ω2k < 0 −→ Fk ∼ αeλt + βe−λt .

En los modelos realizables de inflacion k0(t) crece con el tiempo y ademas k20a2 ∼

H2c . Definimos entonces la longitud de onda de horizonte causal

(3.23) λh ∼a

k0∼ 1Hc

,

y analogamente la longitud de honda de horizonte fısico

(3.24) λfis ∼a

k.

Resulta claro que cuando[ω2k < 0

]los modos son inestables, entonces

[k2 < k2

0

]y[λfis >

1Hc

]. Es decir que la longitud de onda fısica es mayor a la que es

propia del horizonte causal. Esto da una buena idea del mecanismo con que lasfluctuaciones cuanticas ”desparraman” la materia en el universo.Aplicando al desarrollo (3.20) la relacion de conmutacion [χ(t, ~r), χ(t, ~r′)] =iδ3(~r − ~r′), se obtiene la normalizacion de los modos segun

(3.25) Fk(t)F ∗k (t)− F ∗k (t)Fk(t) = i.

22

Para los modos del espectro de onda larga, que son los que importan a escalacosmologica, puede hacerse lo que se llama ”aproximacion de grano grueso”incluyendo en (3.20) una distribucion de Heavyside θ(ε0 − k), que discriminalas longitudes de onda cortas. De este modo definirıamos un χL , que llega atratarse tras cierto manejo matematico y algunas aproximaciones, basadas sobretodo en el hecho que k2

0 > k2, mediante una ecuacion estocastica que es validaen el lımite infrarrojo.

3.3 Inflacion Tibia

3.3.1 La Idea de Berera y Fang

El concepto de Inflacion tibia[17] es introducido por Arjun Barera y Li-Zhi Fang(1994) como un medio de estudiar las fluctuaciones del campo escalar. Es grandesu importancia debido a que estas fluctuaciones cuanticas son las responsablesde la formacion de estructuras a gran escala para el modelo de inflacion caotica.Las observaciones experimentales ayudaron al modelo a fijar ciertos parametrospara las amplitudes, que deberıan ser Gaussianas y ajustadas a una ley de po-tencias con un espectro regido por un ındice n ∼ 1. Pero al no poder expli-carlas naturalmente, debe recurrir a complicados potenciales establecidos Adhoc, en los que diversos parametros desconocidos pueden ajustar practicamentecualquier rango de amplitudes y en consecuencia no se obtienen prediccionesacerca de cuales deben ser sus valores iniciales.Es importante decir que la medicion de cierta anisotropıa en la radiacion cosmicade fondo facilita la oportunidad de poner a prueba directamente las posibles den-sidades iniciales de la perturbacion.Lo dicho motivo la idea de que fuera posible asignar al origen de las fluctuacionesuna naturaleza termica, no proviniente de las fluctuaciones cuanticas.La componente termica en la fase inflacionaria aparece como un recurso muyimportante a la hora de colocar al campo cercano a su mınimo en la transicionde fase. Despues de todo, al menos al comienzo de tal perıodo hay un contactotermico entre el campo escalar y aquellos otros con los que interactua. Durantela rodadura lenta ρφ yV (φ) permanecen aproximadamente constantes, lo cual esmuy sugerente.El modelo de inflacion cotica separa ademas la expansion exponencial y el reca-lentamiento del universo en dos perıodos bien definidos, emplazando el primeroal universo en un estado superfrıo y resultando el segundo a partir de un mecan-ismo temporalmente muy localizado que rapidamente distribuye una cantidadde energıa de vacıo en energıa termica, recalentandolo. El camino a traves deuna rodadura lenta con disipacion termica aparece como mas natural y evita ese

23

fuerte recalentamiento, y por ende el problema de la creacion de monopolos, quesegun predicciones del modelo estandar deberıan formarse en grandes cantidadesa altas temperaturas.

3.3.2 Desarrollo del modelo

Partimos de la lagrangiana

(3.26) L =12gµνϕ, µϕ, ν − V (ϕ) + Lint,

dondeV (ϕ) es el potencial efectivo yL describe la interaccion de ϕ con otroscampos. La ecuacion de movimiento para una expansion de De Sitter vienedada por

(3.27) ϕ+ 3Hϕ+ Υϕϕ− e−2Ht∇2ϕ+ V ′(ϕ) = 0,

donde [ Υϕϕ ] es un termino de friccion que se ajusta a la descripcion fenomeno-logica del decaimiento deϕ vıa interaccion Lint, y es una buena aproximacioncuando la disipacion se produce en un bano de radiacion termalizado.Se vera que la dependecia de las fluctuaciones con la forma de Υϕ no es demasi-ado importante.El hecho de que el modelo de inflacion caotica divida claramente los dos perıodos,de inflacion y de calentamiento, implica que el termino de friccion solo es impor-tante en el regimen de recalentamiento y despreciable durate la rodadura lenta,por lo que 3H Υϕ. En este caso la rodadura lenta viene dada por

(3.28) ϕ ' −V′(ϕ)3H

,

relacion que se satisface cuando[V ′2(ϕ) ≪ V 2(ϕ)

]. Aquı

[H2 = 8πG

3 ρϕ]

y[ρϕ = ϕ2 + V (ϕ

]donde ρϕ es la densidad de energıa de ϕ.

Ademas [V (ϕ) ∼ V (0) ].La primer obsevacion de Berera es que no resulta necesaria la condicion 3H Υϕ para obtener un proceso de rodadura lenta. Consideremos Υϕ ∼ H, estoimplica que el producto del decaimiento encuentra un rapido equilibrio en ciertatemperaturaTr. Suponiendo que tal producto sea materia relativista obtenemosla ecuacion de conservacion

(3.29) ρr + 4Hρr = Υϕϕ2,

24

donde ρr es la densidad de energıa de la componente termica. La condicion derodadura lenta (3.28) debe en tal caso reemplazarse por

(3.30) ϕ ' − V ′(ϕ)3H + Υϕ

,

(3.31) ρr = 0,

y ademas

(3.32) H2 =8πG

3(ρϕ + ρr) .

Estrictamente hablando, cuando se contempla una componente termica en eluniverso debe utilizarse un potencial efectivo de temperatura finita que reem-place al potencial de temperatura cero que aparece originalmente en nuestrotratamiento, V (ϕ).La ecuacion (3.31) nos indica que, independientemente de las condiciones ini-ciales, la componente termica encuentra un estado estable durante inflacion,donde la energıa termica radiada es debida a la friccion. De (3.29) y (3.31)obtenemos para el perıodo expansivo la expresion correspondiente a la densidadde energıa termica

(3.33) ρr ∼=Υϕ

4Hϕ2.

En esta epoca la energıa cinetica deϕ, dada por ϕ2

2 es muy pequena respectode ρϕ ∼ V (ϕ), por lo que tenemos ρϕ ρr.Si tomamos Υϕ cumpliendo

(3.34) Υϕ ≤ α4H,

con α > 1, el sistema, en inflacion, aun es dominado por la energıa de vacıodel campo escalar. En particular la componente termica resulta despreciable.De todos modos, en cuanto a la temperatura del sistema, la presencia de talcomponente no es necesariamente despreciable. La temperaturaTr viene dadapor

25

(3.35) Tr ∼= ρ14r∼=(

2MpVΥϕ

ϕ2

) 14

M12 .

A partir de (3.33), (3.34) y (3.35) se puede ver queTr debe ser mayor a la temper-atura de Hawking Haw.Si[

Υϕ >MMp

5(

2MV (ϕ)ϕ2

) ], esta relacion de temperaturas se cumple, al igual que

(3.34) y nuestra vieja condicion de rodadura lenta[V ′2(ϕ) ≪ V 2(ϕ)

], cuando

(3.36) V32M−3

p V ′ VM−1p .

Por otro lado (3.35) implica que

(3.37) Tr M.

Usando[V (ϕ) = λϕ4

]como un potencial posible, una expansion inflacionaria

requiere[λ

(MMp

)2]. El efecto de este potencial en la temperatura es λT 2

r .

Estas ultimas condiciones conducen a

(3.38) λT 2r

M4

M2p

∼ H2aw,

que, como habıamos pensado para la influencia del potencial, no es demasiadoimportante.Las fluctuaciones termicas deϕ, estan determinadas porHaw. Se puede esperarque (3.37) nos de la condicion bajo la cual las fluctuaciones termicas compitencon las fluctuaciones cuanticas.

26

Chapter 4

Espacio Tiempo Materia

4.1 Introduccion

Abordaremos las teorıas llamadas ”Espacio-Tiempo-Materia”[18] desde su evolucionhistorica, motivando su aparicion y construccion como un medio de unificacionde la gravedad con otras interacciones de la naturaleza.Theodor Kaluza[19] (1921) y Oscar Klein[20] (1926) propusieron que un espa-cio 5D de coordenadas (t, ~r, ψ) podıa utilizarse para obtener una teorıa unificadade relatividad general y electromagnetismo. La unificacion se da en tanto que,segun las construcciones efectuadas por cada uno de ellos, ambas interaccionesse ven descriptas en la metrica pentadimensional.La importancia de estas ideas sigue siendo enorme debido a su naturaleza fun-dacional en la materia.Muchos otros trabajos han llegado a nuestros dıas como modificaciones o exten-siones de las Teorıas de Kaluza-Klein, dando origen a las Teorıas de Cuerdas,que a su vez sirven de genesis a las de Supercuerdas y Gravedad 11D.En las teorıas modernas la idea de Kaluza-Klein se encuentra con fuertes modi-ficaciones. Por ejemplo puede darse una naturaleza no-compacta a la quintacoordenada, que repercute en el comportamiento de la materia en 4D. Entre es-tas ultimas se encuentra la Teorıa Espacio-Tiempo-Materia (STM), que es unade las formulaciones pentadimencionales no-compactas con fundamentos en elTeorema de Campbell-Magaard[21].El teorema de Campbell-Magaard basicamente nos dice que toda variedad n-dimensional libre de singularidades puede ser localmente embebida en una var-iedad (n+1)-dimensional Ricci plana.

27

4.2 Teorıas de Kaluza-Klein

Desarrollaremos aquı las ideas basicas de Kaluza y de Klein en su esfuerzo porunificar la Relatividad General de Einstein y el electromagnetismo de Maxwellen una misma teorıa.La idea de Kaluza radica en postular la existencia de una quinta dimension de laque todos los campos son independientes. Esta condicion es llamada ”de cilin-dricidad” ya que se expresa mediante la anulacion de todas las derivadas de loscampos respecto a la quinta coordenada.Si bien las ecuaciones esperadas son de la forma (5)GAB = k (5)TAB, con untensor de energıa momento de 5D, en general se han utilizado, por simplicidadmatematica e interpretativa, las ecuaciones propias de un vacıo aparente pen-tadimencional, es decir (5)GAB = 0.La unificacion para las teorıas de Relatividad General de Einstein y de Electro-magnetismo de Maxwell es obtenida por Kaluza a traves del lımite de campodebil.El trabajo de Theodor Kaluza sufre de algunos inconvenientes. No hay expli-cacion para la suposicion de que ningun campo deba tener dependencia con laquinta coordenada, ni se encuentra justicacion al hecho de que tal coordenadaadicional no sea percibida por nosotros.Ademas existen problemas de aplicabilidad en el area de partıculas elementales,debido a la aproximacion lımite de campo debil y bajas velocidades, que no re-sulta adecuada para electrones ni protones.Oscar Klein resuelve los dos problemas anteriores (inherentes a la teorıa mismade Kaluza), mediante la suposicion de que la coordenada adicional es compactay periodica, sin necesidad de exigir la condicion de cilindricidad. Dotando lacoordenada extra con una topologıa circular (S(1)), y radio del orden de la Lon-gitud de Planck. Este radio tan pequeno para la coordenada adicional serıa elmotivo por el que no la habrıamos apreciado ya experimentalmente.La periodicidad de ψ agrega el hecho de que los campos admitan una expansionde Fourier, y desde tal desarrollo se obtiene su dinamica. Esto termina de re-dondear la idea central de las Teorıas de Kaluza-Klein (KK).Aunque esta formulacion tampoco es ajena a los inconvenientes, ya que existenen particular ciertas evidencias experimentales que le son contradictorias en elambito de su aplicacion a fermiones.

4.2.1 Desarrollo de la idea de Kaluza

Theodor Kaluza efectuo su trabajo sobre una variedad Riemanniana pentadi-mensional cuyo elemento de lınea esta dado por

28

(4.1) dS2 = gAB(xµ, ψ)dxAdxB,

con [ A,B = 0,1,2,3,4 ], donde ψ es la coordenada espacial adicional.Una vez establecido el elemento de lınea. Puede reconstruirse de modo total-mente analogo a lo efectuado en 4D una formulacion tipo TGR para el vacıopentadimensional en funcion de la metrica.En virtud de la condicion de cilindricidad tenemos

(4.2) 2Γλµν = gλµ,ν − gµν,λ − gνλ,µ,

(4.3) 2Γλµ4 = −gµ4,λ − g4λ,µ,

(4.4) 2Γ4µν = g4µ,ν − gν4,µ,

(4.5) 2Γ44ν = g44,ν ,

(4.6) 2Γ4µ4 = −g44,µ,,

(4.7) 2Γ444 = 0.

Se impone la condicion

(4.8) g4µ = 2αAµ,

(4.9) g44 = 2φ,

siendo Aµ el potencial tetravector electromagnetico,φun campo escalar yα unaconstante de proporcionalidad. Relacionando la parte puramente pentadimen-sional de la metrica con el electromagnetismo, las ecuaciones toman la forma

(4.10) 2Γλµν = gλµ,ν − gµν,λ − gνλ,µ,

(4.11) Γ4µν = α (Aµ,ν −Aν,µ) = αFµν ,

(4.12) Γµν4 = −α (Aµ,ν −Aν,µ) = −αFµν ,

29

(4.13) Γ44µ = −Γ4µ4 = φ,µ.

Ademas se puede ver que

(4.14) F[µν,λ] = 0,

(4.15) φ,µν = 0,

donde los corchetes denotan antisimetrizacion. Notar que (4.14) corresponde alas ecuaciones de Maxwell homogeneas.

Efectuando la aproximacion de campo debil, en que la metrica gAB difierede un espacio de Minkowsky, representado por ηAB, solo en una cantidad muypequena

(4.16) gAB = ηAB + hAB,

con hAB 1, podemos obtener las cincuenta componentes independientes deltensor de Riemann, cuyos coeficientes no nulos son

(4.17) Rµνσλ = Γµνσ,λ − Γµνλ,σ + ΓµρλΓρνσ − ΓµρσΓρνλ,

(4.18) Rµνλ4 = αFµν,λ,

(4.19) R4µ4ν = −φ,µν ,

mediante cotraccion obtenemos el tensor de Ricci

(4.20) Rµν = Γλλν,λ,

(4.21) R4ν = −α∂ µFµν ,

(4.22) R44 = −φ,

donde es el operador D’alambertiano.Bajo la aproximacion de campo debil el tensor de energıa-momento toma laforma

(4.23) TAB = %UAUB,

30

donde % es la densidad de masa y UA la pentavelocidad.Las ecuaciones gravitacionales resultantes son

(4.24) Rµν = κ

(Tµν −

12gµνgABT

AB

).

De estas ecuaciones se recupera la Relatividad General. Las ecuaciones electro-magneticas son

(4.25) R4µ = −κT4µ.

Por otro lado sabemos que

(4.26) ∂µFµν = Jν = ρ0Vν ,

donde ρ0 es la densidad de carga, Vν la tetravelocidad asociada y ∂µ Fµν es ladivergencia del tensor de Maxwell. Substituyendo (4.26) en (4.25) y tomandoen cuenta (4.23) se obtiene

(4.27) ρ0Vµ =(κα

)%U4Uµ.

En el lımite de bajas velocidades, definido por [U0 = c, Ui c ], se puede decirque [Vµ ∼ Uµ ] y cuando

[α =

√κ2

], se obtiene una carga por unidad de masa

dada segun

(4.28)ρ0

%= 2αU4.

Esta ecuacion permite interpretar a la carga moviendose a traves de la quinta di-mension en relacion a la correspondiente componente del tensor energıa-momento,[T44 ∝ ρ0V4 ].

Finalmente para las ecuaciones propias del campo escalar debemos tomar encuenta que, a bajas velocidades, [Tij ∼= 0 ], con i, j 6= 0. Entonces

(4.29) T = gABTAB = −T00 = −%,

y por ende las ecuaciones resultan en la forma

(4.30) R44 =12κ%.

Kaluza obtuvo entonces una teorıa que mediante un solo campo covariante encinco dimensiones genera la Relatividad General y el Electromagnetismo en 4D.Sin embargo, como ya se ha mencionado esta teorıa tiene varios inconvenientes,fallando en el lımite de altas velocidades.

31

4.2.2 Desarrollo de la idea de Klein

La propuesta de Klein es similar a la de Kaluza, pero la metrica es definidamediante un tensor fundamental cuyas componentes son

(4.31) (5)gαβ = gαβ − k2φ2AαAβ,

(4.32) (5)gα4 = −kφ2Aα,

(4.33) (5)g44 = −φ2,

donde k es una constante de acoplamiento vinculada a las ecuaciones de campo4D. Con esto Klein garantizaba que gαβ , Aα y φ se coportaran como un tensor,un vector y un escalar respectivamente y ante transformaciones generales decoordenadas en el espacio tetradimensional.La accion asociada a un espacio pentadimensional que permite describir efectosgravitacionales viene dada segun

(4.34) (5)I =1

2 (5)k2

∫d5x√|(5) g | (5)R,

donde (5)k2 es la constante de acoplamiento gravitacional pentadimensional y(5)R la curvatura escalar pentadimensional. Esta accion es invariante ante latransformacion en cinco dimensiones

(4.35) δgAB = ∂AξCgCB + ∂Bξ

CgCA + ξC∂CgAB,

donde ξC es un vector de desplazamiento diferencial vinculado a las simetrıas5D.

Con esto las ecuaciones de campo en el vacıo 5D se reducen a las ecuacionesde campo 4D

(4.36) Gµν =k2φ2

2Tµν −

1φ

(∇µ∇νφ− gµνφ) ,

(4.37) ∇µFµν = −3∇µφ

φFµν ,

(4.38) φ = −k2φ3

4FµνF

µν ,

32

donde [µ, ν = 0, 1, 2, 3 ]. Todas las cantidades mensionadas son las usuales en4D. Con

[Tµν = 1

2

(14gµνFαβF

αβ − F γµFνγ) ]

y [ = gµν∇µ∇ν ] el operador deonda asociado al espacio tetradimensional.Las ecuaciones (4.37) representan el electromagnetismo, con fuentes modificadaspor el campo escalar, que satisface a su vez una ecuacion de onda a traves de(4.38). El lado derecho de (4.36) representa el tensor de energıa-momento 4Dinducido desde 5D a partir de la curvatura provocada por el campo escalar y elelectromagnetismo.Ahora debemos implementar la condicion de compacidad, mediante la expresion[ψ = ψ + 2πr ], lo que implica periodicidad de los campos en ψ y nos permiterealizar las siguientes expansiones en series de Fourier para los campos

(4.39) gαβ(~x, ψ) =∑

(n=−∞→+∞)

gαβn(~x)ein(ψ/r),

(4.40) Aα(~x, ψ) =∑

(n=−∞→+∞)

Aαn(~x)ein(ψ/r),

(4.41) φ(~x, ψ) =∑

(n=−∞→+∞)

φn(~x)ein(ψ/r).

Dado que tambien ξC = ξC(~x, ψ), entonces

(4.42) ξC(~x, ψ) =∑

(n=−∞→+∞)

ξCn (~x)ein(ψ/r),

donde los coeficientes en cada expansion satisfacen

(4.43) C ∗n(~x) = C−n(~x).

Por lo tanto la teorıa describe infinitos campos y simetrıas tetradimensionales.Originalmente Klein solo se ocupo de los primeros terminos de cada expansion,simplificando ası el problema.

Las ecuaciones de movimiento correspondientes a la accion (4.34) puedenescribirse de la siguiente manera

(4.44)(∂µ∂µ − ∂ψ∂ψ

)gµν(~x, ψ) = 0,

(4.45)(∂µ∂µ − ∂ψ∂ψ

)Aµ(~x, ψ) = 0,

33

(4.46)(∂µ∂µ − ∂ψ∂ψ

)φ(~x, ψ) = 0.

Dadas las expansiones de Fourier podemos transformar estas ecuaciones en otrasequivalentes para los correspondientes coeficientes

(4.47)(∂µ∂µ +

n2

r2gµνn(~x)

)= 0,

(4.48)(∂µ∂µ +

n2

r2Aµn(~x)

)= 0,

(4.49)(∂µ∂µ +

n2

r2φn(~x)

)= 0.

Mediante la comparacion de estas expresiones con la ecuacion de Klein-Gordonse obtiene la ”masa” para los campos,

[mn ∼ 1

r

], donde n hace referencia a cada

modo de excitacion. Por otra parte, debido a que el objetivo es unificar las inter-acciones gravitacionales y electromagneticas, el radio natural de compactificaciondebe corresponderse con la longitud de Planck,

[r ∼= 1

Mp= 1.62 10−35m

].

4.3 Teorıas Espacio-Tiempo-Materia (STM)

Estas teorıas fueron desarrolladas por Paul Wesson y Jaime Ponce de Leon[22]en la decada de 1980, y explican las propiedades de la materia como una conse-cuencia del vacıo geometrico en 5D. A diferencia de las viejas teorıas KK todoslos coeficientes metricos dependen de la quinta coordenada ψ no-compacta, ypueden entonces definirse adecuadamente cantidades relacionadas con la mate-ria a partir de ψ y sus derivadas. El paso de 5D a 4D se efectua habitualmentepor medio de una foliacion ψ = cte.

4.3.1 Desarrollo de la teorıa STM segun el enfoque de Mc Manus

La teorıa STM es tratada por Des J. Mc Manus[23] para el caso de una subfamiliaparticular de las metricas 4D tipo FRW o intrınsecamente FRW, es decir para elcaso cosmologico. Propone como punto de partida las ecuaciones de Einstein 5Dde un vacıo aparente

[(5)GAB = 0

](donde c = 8πG = 1) y se centra en obtener

las ecuaciones 4D[(4)Gαβ =(4) Tαβ

]utilizando la metrica 5D

(4.50) dS2 = −e2Adt2 +(

1 +k

4r2)−2

e2Bd~r2 + e2Cdψ2,

34

donde A,B,C son coeficientes con dependencia en las coordenadas t y ψ. Ademas[r2 = x2 + y2 + z2] y [k = −1, 0,+1].La metrica resultante de la foliacion ψ = cte. para la hipersuperficie 4D es

(4.51) dσ2 = −e2Adt2 +(

1 +k

4r2)−2

e2Bd~r2.

Claramente, si e2A = 1 y e2B(t) = a2(t), estamos ante una metrica de FRW. De

no ser ası mediante el cambio de variables[τ =

∫eA dt

];[R =

∫dr

1+ k4r2

]obten-

emos una metrica de FRW a la que corresponde e2B(t(τ)) = a2(t(τ)).

4.3.2 Algunas ecuaciones importantes sobre la metrica FRW

De aplicar las ecuaciones de Einstein, con el tensor de energıa-momento de ungas ideal para una metrica de FRW, surge que

(4.52)a2 + 2ka2

=8πG

3ρ,

(4.53) −(2aa+ a2 + 2k

)a2

= 8πGp ,

siendo p la presion y ρ la densidad.De la convinacion de las ecuaciones (4.52)y(4.53) surge que

(4.54)a

a= −4πG

3(3p+ ρ) .

De (4.52) y (4.54) se obtiene la llamada Ecuacion de Continuidad

(4.55)∂(a3ρ)

∂t= −p∂a

3

∂t.

La metrica 4D dada por (4.51) cuandoψ = cte, donde[τ =

∫eA dt

];[R =

∫dr

1+ k4r2

],

es

(4.56) dσ2 = −dτ +(eB(t(τ))

)2d~r2.

Esta debe responder a las ecuaciones (4.54) y (4.55) como cualquier caso partic-ular de metrica FRW, de modo que

35

(4.57)∂2eB(t(τ))

∂τ2+

4πG3

(3p+ ρ) eB(t(τ)) = 0,

(4.58)∂(ρe3B(t(τ))

)∂τ

+ p∂e3B(t(τ))

∂τ= 0,

donde p y ρ, son claramente magnitudes referidas al universo 4D y a la realidadfısica.

4.3.3 Idea Central

Para desarrollar el nucleo de la idea que gobierna las teorıas STM vamos a tomarla metrica propuesta por Mc Manus segun (4.50) y a plantear las ecuaciones deEinstein de vacıo en 5D, redefiniendo despues p y ρ en funcion de cantidadesasociadas a la quinta coordenada ψ y sus derivadas. En nuestro caso esas can-tidades seran el coeficiente C, derivadas temporales de C y derivadas respectode ψ. Ası veremos surgir la dinamica de un universo 4D material a partir de unespacio 5D vacıo. Es decir que veremos a la materia siendo inducida por fuentespropias del vacıo pentadimensional.

4.3.4 Desarrollo de las Ecuaciones de Einstein y materia in-ducida

Para la metrica (4.51), con c = 8πG = 1, las ecuaciones asociadas a un tensorde energıa-momento de un gas ideal resultan

(4.59) (4)G00 = 3

[e−2AB2 + k e−2B

]= ρ,

(4.60) (4)G11 = −

[e−2A

(2AB − 3B2 − 2B

)− e−2B

]= −p,

de modo que estas ρ y p satisfacen (4.57) y (4.58) por ser la metrica intrınsecamenteFRW.Ahora escribiremos (4.59) y (4.60) con fuentes que provienen de la quinta coor-denada de un espacio 5D vacıo, que de este modo induce la materia del universo4D.Las ecuaciones de Einstein de vacıo para la metrica (4.50), considerando los co-eficientes A,B,C como funciones de t y de ψ, con r2 = x2 + y2 + z2; k = −1, 0, 1

36

y denotando ∂A∂ψ = A′, son

(4.61)(5)G0

0 = 3[e−2C

(2B′2 −B′C ′ +B′′

)− e−2ABC

]− 3

[e−2AB2 + ke−2B

]= 0,

(4.62)(5)G1

1 =[e−2C

(A′2 + 2A′B′ −A′C ′ +A′′ + 3B′2 − 2B′C ′ + 2B′′

)+

+ e−2A(AC − 2BC − C2 − C

)]+[e−2A

(2AB − 3B2 − B

)− ke−2B

]= 0,

(4.63)(5)G0

4 = 3e−2A(B′ + BB′′B −B′C

)= 0,

(4.64)(5)G4

4 = 3e−2A(AB − 2B2 − B

)+ 3e−2C

(A′B′ +B′2

)− 2ke−2B = 0.

Ademas, cabe aclarar que[(5)G1

1 =(5) G22 =(5) G3

3

]y[(5)G0

1 =(5) G02 =(5) G0

3 = 0].

Comparando las ecuaciones (4.59) y (4.61) vemos que el ultimo termino de (5)G00

es justamente la expresion de ρ en el universo 4D. Nuevamente, cotejando (4.60) y (4.62) resultaclaro que el ultimo termino de (5)G1

1 es la expresion obtenida en el universo 4Dpara p.Podemos expresar entonces ρ y p por

(4.65) ρ = 3[e−2C

(2B′2 −B′C ′ +B′′

)− e−2ABC

],

(4.66)p = −

[e−2C

(A′2 + 2A′B′ −A′C ′ +A′′ + 3B′2 − 2B′C ′ + 2B′′

)+

+ e−2A(AC − 2BC − C2 − C

)],

que estan escritas exclusivamente en terminos dependientes de la quinta coorde-nada. Asociando un tensor de energıa-momento de vacıo (5)(TAB = 0) al espacio5D se engendra entonces una dinamica para el espacio 4D con un tensor de en-ergıa-momento propio de un gas perfecto, induciendo las expresiones de presiony densidad desde el 5D vacıo.El hecho de que deban cumplirse las condiciones (4.63) y (4.64) impone una re-striccion sobre las metricas en que es factible utilizar la condicion de vacıo,remitiendonos como resultado a una subclase de las metricas de FRW.

37

4.3.5 Aplicacion a una metrica particular

La metrica que utilizaremos para describir el vacıo pentadimensional es Riemann-plana, por lo que satisface naturalmente las condiciones (4.63) y (4.64) , resul-tando directamente de sus ecuaciones de Einstein que (5)Gi j = 0,

(4.67) dS2 = ψ2 Λ(t)3

dt2 − ψ2 e2∫dt√

Λ(t)/3d~r2 − dψ2.

En este caso la curvatura espacial k es nula y

(4.68) e2A =ψ2Λ

3,

(4.69) e2B = ψ2 e2

∫ √Λ3dt,

(4.70) eC = 1,

De acuerdo a las ecuaciones (4.65) y (4.66) , conducen a las siguientes expresionespara ρ y p:

(4.71) ρ = 3ψ−2,

(4.72) p = −3ψ−2.

Claramente ambas son constantes y responden a una ecuacion de estado

(4.73) p = ωρ,

en la que ω = −1. En el caso en que Λ = cte representa el comportamientotıpico de un modelo inflacionario de de Sitter.

38

Chapter 5

Disipacion desde un vacıo en5D

5.1 Introduccion

Consideraremos una metrica pentadimensional plana (RABCD = 0), sobre la quedefinimos un estado de vacıo. Nuestra intencion es obtener la dinamica de uncampo escalar sobre una hipersuperficie 4D, basandonos en el enfoque de la teorıade materia inducida[22]. A diferencia de lo hecho hasta ahora en los trabajosque hemos visto, utilizaremos una foliacion dinamica sobre la dimension extra.Dicha dimension se piensa de tipo espacial y no compacta. Esto es equivalentea considerar una metrica efectiva 4D que describe la expansion de un universoespacialmente isotropico, homogeneo y plano. Desde el punto de vista relativistaesto significa sostener la eleccion de un sistema de referencia particular.Consideraremos la expansion adiabatica del universo sobre la metrica foliada yfinalmente estudiaremos una metrica de tipo FRW. Veremos que al analizar ladinamica del campo inflaton desde dicha metrica se constata la aparicion de untermino adicional, que puede ser interpretado como de procedencia disipativa.Tal disipacion puede ser vista en funcion de la Lagrangiana efectiva sobre lametrica FRW como de origen no conservativo, dando lugar a un incremento dela entropıa en el sistema. Desde el punto de vista relativista la expansion noadiabatica se puede considerar una consecuencia de la ”ruptura” del principiode equivalencia.

5.2 Desarrollo de la dinamica 5D

La metrica 5D que utilizaremos es[24]:

39

(5.1) dS2 = ψ2 Λ(t)3

dt2 − ψ2 e2∫dt√

Λ(t)/3d~r 2 − dψ2,

que tiene la propiedad de que todos los coeficientes del tensor de curvatura sonnulos, es decir que resulta Riemann-plana.Consideremos la accion:

(5.2) (5)I =∫d4x dψ

√∣∣∣∣ (5)g(5)g0

∣∣∣∣(

(5)R16πG

+12gABϕ,A ϕ,B

),

donde (5)g es el determinante de gAB, con [A,B = 0, 1, 2, 3, 4 ], cuya expresiones

(5.3) (5)g = ψ8 Λ3e6

∫dt

√Λ3 .

En general las ecuaciones de Lagrange, cuando ∂L∂ϕ = 0, se escriben

(5.4)∂L∂ϕ

− ∂

∂xµ

(∂L∂ϕ,µ

)=

∂

∂xµ

(∂L∂ϕ,µ

)= 0,

Aplicandolas a la accion (5.2), sobre una metrica dada por

(5.5) dS2 = gtt dt2 + gij dx

i dxj 2 + gψψ dψ2,

donde [i, j = 1, 2, 3], se obtiene la ecuacion que describe la dinamica para elcampoϕ

(5.6)

ϕ+

[3aa

+gttgtt

+˙√gψψ√gψψ

]ϕ−∇

2rϕ

a2−gttgψψ

[(a′

a+gtt

′

gtt+grr

′

grr+

√gψψ

′√gψψ

)ϕ′ + ϕ′′

]= 0,

donde se ha usado la tilde o ”prima” para denotar la derivada respecto deψ.

Ademas,[a(t) =

√3

Λ(t) ψ e∫dt

√Λ(t)3

].

La ecuacion de movimiento que describe la dinamica de ϕ en el espacio 5D,segun (5.6) cuando la metrica (5.5) toma la forma (5.1), es:

40

(5.7) ϕ+

[3

√Λ3− Λ

2Λ

]ϕ− Λ

3e−2

∫ √Λ3dt∇2ϕ− Λ

3(4ψϕ,ψ +ψ2ϕ,ψψ

)= 0,

donde[

3aa + gtt

gtt= 3√

Λ3 −

Λ2Λ

]y[gψψ = 1

].

Para trabajar esta ecuacion utilizamos el siguiente cambio de variables:

(5.8) ϕ(t, ~r, ψ) = χ(t, ~r, ψ) e− 1

2

∫dt3

(√Λ3− Λ

2Λ

),

obteniendo ası la nueva expresion

(5.9)

χ − 12

32

Λ√3Λ

− 12

ΛΛ−

(ΛΛ

)2+

12

(3

√Λ3− Λ

2Λ

)2χ−

− Λ3e−2

∫dt

√Λ3∇2

rχ−Λ3(4ψχ,ψ + ψ2χ,ψψ

)= 0.

Consideramos la siguiente separacion de variables χ ∼ Fkm(t)Gk(~r)Hm(ψ),y luego hacemos la sustitucion: Hm(ψ) = e−

32Z(ψ)Lm (Z(ψ)), con Z(ψ) =

ln(ψ/ψ0). Se obtiene el nuevo conjunto de ecuaciones

(5.10) m2 Lm(ψ) + ( Lm(ψ)),zz = 0,

(5.11) ∇2rGk(~r) + k2Gk(~r) = 0,

(5.12) Fkm(t) +[k2Λ(t)

3e−2

∫dt

√Λ3 −m2

eff

]Fkm(t) = 0,

donde meff puede ser interpretado como un termino de masa efectiva y se ex-presa de la siguiente manera

(5.13) m2eff =

34

Λ√3Λ

− 14

ΛΛ−

(ΛΛ

)2+

14

(3

√Λ3− Λ

2Λ

)2

−Λ

(m2 + 9

4

3

)2

.

41

A su vez podemos escribir χ como una expansion de Fourier:

(5.14) χ(t, ~r, ψ) =e−

32z

(2π)32

∫d3k

(ake

i~k.~rξk(t, ψ) + a†ke−i~k.~rξ∗k(t, ψ)

),

para lo cual usamos que

(5.15) ξk(t, ψ) =∫dmLm (z(ψ)) Fkm(t).

Entonces se obtiene la relacion

(5.16)⟨0[χ(t, ~r, ψ), χ(t, ~r ′, ψ)

]0⟩

= i δ3(~r − ~r ′),

que se cumple cuando

(5.17) ξk(t, ψ) ξ∗k(t, ψ)− ξ∗k(t, ψ) ξk(t, ψ) = i e−3Z .

Finalmente, recordando que Z = ln( ψψ0) y Π0 = ∂L

∂ϕ , se obtiene el siguientealgebra:

(5.18)[ϕ(t, ~r, ψ),Π0(t, ~r′, ψ)

]= igtt

√|(5)g||(5)g0|

[ψ0

ψ

]3

e−3

∫dt

(√Λ3− Λ

Λ

)δ3(~r − ~r′),

con gtt = 3Λψ2 .

La identidad gAB UA UB = 1 (con A,B=0,1,2,3,4), hace referencia a que la

metrica es globalmente hiperbolica. Considerando un sistema de coordenadascomoviles ( U i = 0 ; i = 1, 2, 3), nos conduce a partir de su aplicacion sobre (5.1)a una relacion para las pentavelocidades dada por

(5.19)ψ2Λ

3U0U0 − ψ2 = 1.

5.3 Desarrollo de la dinamica 4D, para una hipersu-perficie caracterizada mediante una metrica obtenidaa partir de la foliacion ψ = cte

Consideraremos una distancia S(t, ~r) en (5.1) tal que ψ = cte , e incluiremosesta ligadura para obtener una foliacion del espacio de 5D a 4D[25]. En este

42

caso esta claro que dψ = 0.La accion efectiva en 4D, con (α, β = 0, 1, 2, 3), sera:

(5.20) (4)L = (5)L|(ψ=cte) =

√|(4)g||(4)g0|

((4)R16πG

+12gαβϕ,α ϕ,β −

12ϕ2,ψ

)|(ψ=cte),

donde (4)R es el escalar de Ricci sobre la metrica efectiva de 4D,

(5.21) dσ2 = dS2|ψ=cte =ψ2Λ

3− ψ2 e2

∫dt√

Λ(t)/3d~r2,

luego de haber realizado la foliacion.Las ecuaciones de Lagrange resultan en una dinamica gobernada por la siguienteexpresion:

(5.22) ϕ+

( ˙√|(4)g|√|(4)g|

+gtt

gtt

)ϕ+

gxx

gtt∇2

rϕ−Λ3(4ψχ,ψ + ψ2χ,ψψ

)|(ψ=cte)= 0,

donde [gxx = gyy = gzz] y el subındice ”r” en ∇2r indica que este operador solo

actua en las componentes espaciales x,y,z. Usando [ϕ = Aχ] , y expresando

(5.23) A = A0 e− 1

2

∫dt

˙√|(4)g|√|(4)g|

+ gtt

gtt

,

con A0 constante, se obtiene:

χ −

14

( ˙√|(4)g|√|(4)g|

+gtt

gtt

)2

+12

( ˙√|(4)g|√|(4)g|

+gtt

gtt

)χ+(5.24)

+Λ3e−2

∫dt

√Λ3∇2

rχ−Λ3(4ψχ,ψ + ψ2χ,ψψ

)|(ψ=cte)= 0.

Proponemos la siguiente separacion de variables χ ∼ Fm(t)Gk(~r)Hm(ψ) . Luegose obtienen las ecuaciones para los modos sobre la hipersuperficie:

(5.25) Hm(ψ) |(ψ=cte)= κm = cte,

43

(5.26) ∇2rGk(~r) + k2Gk(~r) = 0,

Fkm(t) +k2

(Λ3e−2

∫dt

√Λ3

)−(5.27)

−

14

( ˙√|(4)g|√|(4)g|

+gtt

gtt

)2

+12

( ˙√|(4)g|√|(4)g|

+gtt

gtt

)+m2

3Λ

Fkm(t) = 0.

Entonces, χ(t, ~r) puede ser reexpresada a traves de la expansion de Fourier:

(5.28) χ(~r, t) =1

2π32

∫d3k

(ake

i~k.~rξk(t) + a†ke−i~k.~rξ∗k(t)

),

donde

(5.29) ξk(t) =∫dmκm Fkm(t).

Observando a traves del conmutador de χ con χ el aspecto concerniente a sunaturaleza cuantica llegamos a una relacion canonica [χ(~r, t), χ(~r′, t)] = iδ3(~r −~r′) que impone la condicion de normalizacion:

(5.30) ξkξ∗k − ξ∗k ξk = i,

dando lugar a

(5.31)[ϕ(t, ~r),Π0(t, ~r′)

]= igttA2

0

√|(4)g||(4)g0|

e−

∫dt

˙√|(4)g|√|(4)g|

+ gtt

gtt

δ3(~r − ~r′),

donde gtt = 3Λψ2 .

Desde el punto de vista de Relatividad General, para el observador sobre unsistema comovil y con Uψ = 0, se cumple (4)gαβU

αUβ (conα, β = 0, 1, 2, 3), enel sistema comovil, nos conduce a una ecuacion de la forma

(5.32) (5)gABUAUB =

ψ2Λ3U0U0 − ψ2 =

ψ2Λ3U0U0 = (4)gαβU

αUβ = 1,

debido a esto el principio de equivalencia se cumple en todo momento.

44

5.4 Desarrollo de la dinamica a traves de una metrica4D, en la que ψ = ψ(t).

Estudiaremos ahora el caso en el cual se elige una foliacion dinamica ψ = ψ(t).Consideramos la accion dada por (5.20), sobre la metrica (5.5) con

[gψψ = −1

].

Las ecuaciones de Lagrange, cuando ∂L∂ϕ = 0, se escriben

(5.33)∂L∂ϕ

− ∂

∂xµ

(∂L∂ϕ,µ

)=

∂

∂xµ

(∂L∂ϕ,µ

)= 0,

siempre y cuando no existan fuerzas externas o elementos disipativos. La corre-spondiente dinamica viene dada por

(5.34) ϕ+[

3aa

+gttgtt

]ϕ− ∇

2rϕ

a2−gtt

[(a′

a+gtt

′

gtt+grr

′

grr

)ϕ′ + ϕ′′

]∣∣∣∣ψ=ψ(t)

= 0.

5.4.1 Ecuaciones de movimiento para una metrica tetradimen-sional obtenida a partir de una foliacion dinamica

La metrica 4D que efectiva luego de realizar la foliacion dinamica ψ = ψ(t) sobrela metrica (5.1), es

(5.35) dS 2 =(ψ2 Λ(t)

3− ψ2

)dt2 − ψ2 e2

∫dt√

Λ(t)/3d~r 2.

La ecuacion de movimiento para el campo ϕ, sera

(5.36) ϕ+

(3

√Λ3− 3Λ

2Λ+

2ψψ

)ϕ− 1

a2∇2rϕ−

Λ3(4ψϕ,ψ + ψ2ϕ,ψψ

)|(ψ=ψ(t))= 0.

La ecuacion (5.36), que describe la dinamica de ϕ, sobre la metrica efectiva (5.35)puede ser tratada mediante un cambio de variables [ϕ = Aχ ], con

(5.37) A = A0e− 1

2

∫dt

(√3Λ− Λ

2Λ+2 ψ

ψ

),

y se obtiene

(5.38) χ+Aχ− 1

a2∇2

rχ−Λ3(4ψχ,ψ + ψ2χ,ψψ

)|(ψ=ψ(t))= 0,

45

dondeA

viene dado por

(5.39)A

=AA

+AA

(3

√Λ3− Λ

2Λ+

2ψψ

).

Separando variables segun χ ∼ Fkm(t)Gk(~r)Hm(ψ), se obtiene

(5.40) ∇2rGk(~r) + k2Gk(~r) = 0,

(5.41) m2Lm(ψ(t)) + Lm,zz(ψ(t)) = 0,

(5.42) Fkm(t) +

[k2

a2−

(A−

(m2 + 9

4

3

)Λ

)]Fkm(t) = 0.

Tal queχ se puede escribir mediante una expansion en series de Fourier sobre lametrica efectiva (5.35), como

(5.43) χ(t, ~r) =1

2π32

∫d3k

(ake

i~k.~rξk(t) + a†ke−i~k.~rξ∗k(t)

),

con

(5.44) ξk(t) =∫dmLm(ψ(t))Fkm(t).

Trabajando con esta expresion en el conmutador de χ con χ , a traves de larelacion canonica [χ(t, ~r), χ(t, ~r′)] = iδ3(~r−~r′) obtenemos la normalizacion paralos modos ξk , que es igual a la del caso con foliacion estatica

(5.45) ξkξ∗k − ξ∗k ξk = i.

Finalmente, se obtiene el conmutador

(5.46)[ϕ(t, ~r),Π0(t, ~r′)

]= iA0

2g00

√|(4)g||(4)g0|

e−

∫dt

(3√

Λ3− Λ

2Λ+2 ψ

ψ

)δ(3)(~r − ~r′),

donde[g00 = 3

Λψ2−3ψ2

]y la expresion para

[(4)g]

esta dada por la metrica (5.35),

(5.47) (4)g =

(√ψ2Λ(t)

3− ψ2

)ψ3e3

∫dt

√Λ(t)3 .

46

5.4.2 Analisis de disipasion y entropıa ante la foliacion ψ =√

3Λ

El espacio 4D obtenido a partir de la foliacion dinamica [ψ = ψ(t)], sobre (5.1),viene dado por:

dS2∣∣ψ=ψ(t)

= dσ2 − ψ2dt2(5.48)

≡[ψ2(t)

Λ3− ψ2(t)

]dt2 − ψ2(t) e2

∫ √Λ3dtd~r2,

donde la condicion ψ2(t)Λ3 − ψ2 > 0 implica un comportamiento Lorentziano, y

gαβUαUβ = 1 (Uα = dxα

dS ) son las componentes de la tetra-velocidad).Estudiaremos el comportamiento de ϕ en la hiper-superficie dada segun

(5.49) dσ2 = gµν (t, ~r, ψ(t)) dxµdxν 6= dS2,

en la que el principio de equivalencia se ”rompe”: gαβUαUβ 6= 1. Mas tarde

volveremos sobre el significado de esta aparente ruptura, que en realidad im-plica un cambio en la interpretacion de la covariancia de las leyes fısicas. Porahora es suficiente notar que el principio de equivalencia requiere un trato ade-cuado al referirnos a la induccion de una dinamica en 4D desde dimensionesextra.

Sean ρ = ρ0 + ∆ρ y p = p0 + ∆p, las densidades de energıa y presion sobredσ2. Si ρ0(t) y p0(t) son densidad de energıa y presion sobre (5.48), el sistemacaracterizado por ρ0 y p0 describira una expansion adiabatica.

(5.50)d

dt

[ρ0 a

3(t)]

+ p0d

dt

[a3(t)

]= 0.

Por otro lado, dado que dσ2 6= dS2, debe cumplirse

(5.51)d

dt

[ρ0 a

3(t)]

+ p0d

dt

[a3(t)

]=

T

a3(t)S 6= 0.

Si ahora consideramos las definiciones dadas para la densidad de energıa y lapresion, junto a la expresion (5.51), se obtiene

(5.52) ∆ρ+ 3H (∆ρ+ ∆p) =T

a3(t)S.

47

Aquı,[a(t) = ψ(t) e

∫ √Λ3dt], [H(t) = a/a ], T es la temperatura del sistema de

(5.48) y S su entropıa.Definimos γ = 1 + ∆p

∆ρ . Entonces (5.52) se reescribe como

(5.53) ∆ρ+ 3H γ∆ρ =T

a3(t)S.

Un caso de interes particular es ∆p∆ρ = 1/3, donde podemos identificar ∆ρ y ∆p

con la densidad de radiacion y su presion: ∆ρ ≡ ρr y ∆p ≡ pr. En este casoγ = 4/3

(5.54) ρr + 4H ρr = δ,

donde la interaccion δ ≡ Ta3(t)

S > 0 esta relacionada con la variacion de entropıaS. Vemos que S aumenta con el tiempo, entonces los dos lados de (5.54) sonpositivos. Las ecuaciones de Lagrange para el sistema no conservativo son

(5.55)∂(4)L∂ϕ

− ∂

∂xµ∂(4)L∂ϕ,µ

= Fext,

donde Fext ∼ ϕ2, describe un termino no conservativo, que puede relacionarse auna Lagrangiana de interaccion. El origen de este termino esta dado por omitir−ψ2 dt2 de (5.48) en (5.49). Puede ser interpretado como una auto-interaccionde ϕ sobre dσ2. Esta auto-interaccion puede verse como el origen de la disipacionde ϕ en un bano termalizado. Consideremos el caso particular ψ2(t) = 3/Λ(t).Entonces:

(5.56) dσ2∣∣ψ=

√3Λ

= dt2 − 3Λe2

∫ √Λ3dtdr2 ≡ dt2 − a2(t) dr2.

La metrica efectiva 4D (5.48) es

(5.57) dS2∣∣ψ=

√3Λ

=

1− 3Λ

(Λ2Λ

)2 dt2 − 3

Λe2

∫ √Λ3dtdr2.

En este caso la dinamica del campo escalar sobre la metrica (5.57) es

48

(5.58) ϕ+

3a

a+ 2

ψ

ψ

∣∣∣∣∣ψ=

√3Λ

ϕ− 1a2∇2rϕ−

Λ3[4ψϕ,ψ + ψ2ϕ,ψψ

]|(ψ=

√3Λ

)= 0.

La ecuacion de movimiento para ϕ(t, ~r) en la metrica (5.56) inducida desde el5D vacıo, es

(5.59) ϕ+ 3a

aϕ− 1

a2∇2rϕ−

Λ3

[4ψ

∂ϕ

∂ψ+ ψ2 ∂

2ϕ

∂ψ2

]∣∣∣∣ψ=

√3Λ

=δ

ϕ,

donde la interaccion δ es inducida por la dependencia temporal de la quinta coor-denada en la brana (5.56). Los terminos disipativos en la ecuacion de movimientopara ϕ son inducidos por la dependencia temporal de gtt en (5.57) omitida en(5.56). Por esta razon, la interaccion δ depende de ψ y de ψ

(5.60) δ = 2ψ

ψϕ2 =

T

a3(t)S > 0.

Podemos obtener la evolucion temporal de la entropıa en funcion de la quinta

coordenada para ψ(t) =√

3Λ

(5.61) S = −

(ΛΛ

)a3

Tϕ2 > 0.

Esto significa que la funcion Λ(t) decae con el tiempo: Λ < 0.Finalmente, la ecuacion (5.59) describe la dinamica deϕ en la metrica FRW(5.56), conψ = (3/Λ)1/2.

(5.62) ϕ+

[3a

a+

ΛΛ

]ϕ− 1

a2∇2rϕ−

Λ3

[4ψ

∂ϕ

∂ψ+ ψ2 ∂

2ϕ

∂ψ2

]∣∣∣∣ψ=

√3Λ

= 0,

donde ΛΛ ϕ tiene una interpretacion puramente disipativa en la brana (5.56) y

describe la energıa disipada por el campo inflaton en un bano de radiacion ter-malizado.Notemos que (5.54) es equivalente a (3.29) y (5.62) lo es a (3.27). Entonces

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son las mismas ecuaciones que describen los escenarios de inflacion tibia[17] yfresca[26] con un potencial auto-interactivo de Yukawa: δ = Γ ϕ2 y con ϕ de-cayendo con: Γ = 2 ψψ

∣∣∣ψ=

√3Λ

= − ΛΛ . En estos escenarios la expansion acelerada

del universo y la radiacion de energıa desde ϕ son producidas juntas durante elestadıo inflacionario.Usando el hecho de que ante el corrimiento al rojo la temperatura evolucionasegun T (t) = T0 [a0/a(t)], entonces (5.61) puede reescribirse como

(5.63) S =Γ a4(t)T0 a0

ϕ2 > 0,

donde T0 es la temperatura de fondo a t0 < t y a0 es el factor de escala actual.Este resultado es una generalizacion del obtenido por Hosoya y Sakagami[27]para una metrica FRW espacialmente plana usando teorıa de campos cuanticosa temperatura finita.

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Chapter 6

Conclusiones

A lo largo de este trabajo hemos estudiado algunos aspectos fundamentales dela cosmologıa inflacionaria, desde las nociones mas basicas sobre su formalismohasta las teorıas de materia inducida. Se ha tratado con particular atencion elproblema de un universo disipativo.

En el segundo capıtulo establecimos los lineamientos basicos para la formu-lacion de una teorıa adecuada. Desarrollamos las herramientas que propias dela Teorıa General de Relatividad, utilizada como piedra angular para cimen-tar la construccion de las teorıas modernas. Mostramos los puntos centralesdel modelo estandar, sus falencias y virtudes. Terminamos con la explicacionde los parametros cosmologicos mas importantes, refiriendonos a algunas cotasempıricas y su implicancia en la elaboracion de un modelo. Finalmente se obtu-vieon las condiciones elementales apropiadas a una construccion realista.En el tercer capıtulo nos abocamos al formalismo inflacionario, discutiendo losmecanismos que proveen a la formacion de estructura a gran escala. Se dio par-ticular importancia a la interpretacion efectuada por Berera sobre estos, a travesde Inflacion Tibia.En el cuarto capıtulo presentamos las teorıas de dimensiones extras. Extendiendo-nos sobre las ideas originales de Kaluza-Klein y Espacio-Tiempo-Materia en elenfoque de Mc Manus. Sobre este punto en particular pudimos reconstruir lasecuaciones de conservacion de energıa para una subfamilia de metricas FRW de-terminadas por una foliacion desde el espacio 5D vacıo (adiabatico) y obtuvimosuniversos 4D ”reversibles”.En el capıtulo cinco utilizamos una metrica pentadimensional particular, queresulta Riemann-plana. Sobre ella desarrollamos la dinamica corresondiente alcampo escalar en 5D. Trabajamos tambien las ecuaciones de movimiento para elcampo escalar en dos metricas efectivas obtenidas por foliacion. Ninguna de ellas

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rompe el principio de equivalencia y las ecuaciones de movimiento resultantesrepresentan, en ambos casos, un campo escalar en un universo adiabatico.Se describe tambien la dinamica sobre una brana tetradimensional que quiebrael principio de equivalencia perdiendo la naturaleza conserativa del espacio 5D.En el caso en que efectuamos la foliacion ψ =

(3Λ

) 12 , que tambien puede rein-

terpretarse como la redefinicion de la constante cosmologica en funcion de unafoliacion ψ = ψ(t), identificamos una estructura asimilable a la disipacion propiade un bano termalizado. Obtenemos ası un universo cuya dinamica es propia deInflacion Tibia, siendo ademas la entropıa del sistema definida por la naturalezageometrica del mismo[28]. La segunda ley de la termodinamica resulta consis-tente con una constante cosmologica para la cual Λ < 0, que por otra parte eslo esperado de acuerdo a la evidencia observacional.Con respecto al principio de equivalencia se puede decir, citando a P.S. Wesson[29]:

”Cho y Park[30] (1991) han evaluado la masa gravitacional e iner-cial de un soliton, no desde 5D sino desde 7D. Ellos encontraron quesus valores eran diferentes, a primera vista esto indicarıa ”una ob-via violacion” del pricipio de equivalencia. Pero, en una discusionposterior argumentan que la penta-fuerza extra, asociada con la ge-ometrıa extendida es responsable de la aparente violacion, esto nodebe describirse como una ruptura en el principio de equivalenciasino como una desviacion de las leyes usuales(4D) de movimientosobre geodesicas.Wesson (1996) revisa estos argumentos utilizando ecuaciones de movi-miento [al igual que Cho y Park, en el campo de los solitones], llegaa la conclusion de que el problema es sobre todo semantico: lasrelaciones que describen el movimiento geodesico en 5D no son, engeneral, las mismas que describen el movimiento geodesico en 4D,entonces los terminos adicionales que provienen de 5D se ven comoviolaciones del principio de equivalencia en 4D.”

En otras palabras, es natural que debamos reescribir el principio de equivalen-cia adaptandolo a los desarrollos de tipo STM. Puesto que es evidente que laecuacion de geodesicas pentadimensional homogenea que engendra una ecuacionde geodesicas tetradimensional no-homogenea nos habla de otra interpretacionpara la covariancia de las leyes fısicas. No la simple ”traslacion literal” de lasexpresiones de un espacio a otro. Esta ”traslacion literal” solo podra efectuarseen aquellos casos en que las ecuaciones de movimiento para la parte 4D del uni-verso 5D sean indistinguibles de aquellas propias del universo 4D. Esto ocurreen los casos previamente revisados desde nuestro espacio 5D caracterizado por(5.1), tanto para la foliacion constante como para la foliacion dinamica, cuyas

52

metricas efectivas estan dadas por (5.21) y (5.34) respectivamente.En anadidura, es de esperarse que

[(5)gABU

AUB =(4) gαβUαUβ = 1

]. No puede

decirse lo mismo cuando abordamos la brana (5.49), obtenida al retringirnosa una hipersuperficie tetradimensional por la simple amputacion a la metrica(5.1) del termino referido a la quinta coordenada. Inmediatamente podemoscomprobar que

[(5)gABU

AUB 6=(4) gαβUαUβ

]y tendremos que reinterpretar el

principio de equivalencia ligando esta diferencia a la perdida de la homogeneidadde las ecuaciones geodesicas (2.12). Las trayectorias geodesicas corresponden auna generalizacion de las leyes de Newton, entonces lo que estamos viendo no esotra cosa que la aparicion de un termino no nulo del lado derecho de la ecuacionde movimiento (2.12), que es una influencia externa surgida al restringirnos a labrana. En este trabajo esto resulta asociado a un efecto disipativo para ϕ.En este sentido es un abuso semantico referirnos a ”ruptura” del principio deequivalencia, cuando deberıamos hablar de una reinterpretacion.

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