Costo de Oportunidad y Matemáticas Financieras

Profesor: Matias Lyon

Costo de Oportunidad

• Es el beneficio al que se renuncia al invertir en un proyecto determinado o de realizar una actividad determinada.

• Así entonces el C. de O. Representa el máximo beneficio al que se puede optar si el recurso en análisis es dedicado a la mejor alternativa.

• Costo de Oportunidad del Capital, es la rentabilidad a la que se renuncia al invertir en un proyecto, en vez de destinarlo a la mejor opción financiera que tiene la empresa: Tasa mínima o Tasa de Descuento.

Rentabilidad

• La rentabilidad es el beneficio, como una proporción de la inversión o desembolso inicial.

Consideremos un mundo sin impuestos, donde invertimos $150 y nos retorna $170 en un año, sin límite de inversión.

Rentabilidad = (170-150)/150 = 13,3%

Si esta tasa, supera nuestro costo de oportunidad, entonces realizaríamos este tipo de inversión

Valor Futuro y Valor Presente

• El dinero, que es el medio que nos permite realizar las transacciones en los mercados, no tiene el mismo “valor”, en distintos instantes de tiempo. Ello nos lleva a buscar formas de igualar el valor de este dinero en distintos instantes de tiempo.

• Qué relación hay entre el valor de $1 hoy, en un año más o un año atrás.

• Así entonces si hoy tengo $1 millón “seguro” en el bolsillo, que cantidad debería tener en un año más (también seguro) en el bolsillo para que sea indiferente tenerlo hoy o en un año más.

Relación entre Valor Futuro y Valor Presente

VF = VP + Costo de Oportunidad

Costo de Oportunidad = r*V.P

donde “r” es la rentabilidad o tasa de descuento que debo exigir al dinero a causa

de las oportunidades de inversión de que dispongo

Para el ejemplo anterior, entonces nos sería indiferente tener $1 millón hoy o

$1.133.333 dentro de un año.

También, podemos decir:

VP = factor de descuento x VF

VP = 1/(1+r) x VF

El costo de oportunidad del dinero, se expresa como una tasa de interés para un período determinado.

Tasas de Interés

Interés Simple:

Se fija una tasa de interés, que se aplica sobre el VP, según el número de períodos que transcurren:

VF = VP (1 + n* is)

Interés Compuesto:

La tasa de interés se aplica sobre el Valor Presente, calculado al inicio de cada período.

VFn = VFn-1 (1+ic)

como VF0 = VP, entonces VFn = VP(1+i)n

Inflación:Inflación:

• Es el aumento sostenido y generalizado del nivel de precios

• Se mide a través del Indice de Precios al Consumidor (IPC), que refleja los cambios en el precio de una canasta de bienes y servicios. Dicha canasta representa el consumo promedio de las familias, y se estima a partir de la Encuesta de Presupuestos Familiares.

• Poder adquisitivo del dinero: ¿Cuántas canastas puedo comprar con una determinada cantidad de dinero? Si hay inflación el poder adquisitivo cae.

Inflación y Tasa de Interés

• Tasa de interés nominal: mide el aumento en dinero, es Tasa de interés nominal: mide el aumento en dinero, es decir, lo que se paga por sobre lo adeudado.decir, lo que se paga por sobre lo adeudado.

Ejemplo : Depósitos en pesos a una cierta cantidad de días.Ejemplo : Depósitos en pesos a una cierta cantidad de días.

• Tasa de interés real: mide el aumento de poder adquisitivoTasa de interés real: mide el aumento de poder adquisitivo

Ejemplo: tasas en UF + X% (esto significa que al cabo de Ejemplo: tasas en UF + X% (esto significa que al cabo de un año el dinero debiera tener el mismo poder adquisitivo un año el dinero debiera tener el mismo poder adquisitivo que el dinero que invertí) ejemplo fisherque el dinero que invertí) ejemplo fisher

Inflación y Tasa de Interés

Inflación y tasa de interés

• Ejemplo: en qué banco me conviene depositar 100UM, en el banco que ofrece 18% de interés anual o en el que ofrece UF+5.5% anual.

Interés nominal (i):Esta tasa incluye las expectativas de inflación o de variación de precios en el período relevante y una expectativa de tasa real. Esta tasa intenta igualar el valor del dinero en el futuro, para adquirir bienes reales.

Interés real (r):

Es la tasa que iguala en términos físicos, bienes de hoy, con bienes del futuro.

tipo de Interés nominal = tipo de interés real+tasa de inflación esperada

Ejemplo:

Ud. es exactamente igual de feliz, con 100 manzanas hoy, que con 105 dentro de un año. En este caso el interés real es de 5%.

Supongamos además que sabemos que el valor de las manzanas va a subir en un año en un 10%, es decir la inflación () = 10%.

Así entonces, la pregunta es, que tasa debo pedir en términos nominales (del dinero), para obtener las 105 manzanas dentro de un año?

Flujos de Dinero en el tiempo

Si extendemos la situación en que nos es indiferente recibir un dinero hoy o en el futuro, siempre y cuando éste nos permita adquirir igual cantidad de bienes, podemos llegar al extremo siguiente:

Valoración de Activos

El Valor Actual de un activo que produce un flujo C1 dentro de un período, se puede calcular como:

VA = C1

1 + r1

El Valor Actual de un activo que genera un flujo Ct en cada período, se puede calcular entonces como:

VA = Ct(1+rt)t

Por último, si agregamos el flujo inicial (normalmente negativo, llegamos al VAN = C0 + VA

Perpetuidades y Anualidades:

Perpetuidad: Es una obligación que entrega cada cierto período un pago constante:

VA = C + C + C +…….

1+r (1+r)2 (1+r)3

Sea a = C/(1+r) y x = 1/(1+r)

Tenemos entonces que: VA = a(1+x+x2+……..) (1)

multiplicando por “x” a ambos lados: Vax = a(x+x2+x3+……) (2)

Restando (2)-(1), tenemos: VA(1-x) = a

Sustituyendo los valores de “a” y “x”, tenemos: VA (1-1/(1+r)) = C/(1+r)

Finalmente entonces : VA = C/r

Perpetuidades Crecientes:

Supongamos que la perpetuidad crece a una tasa “g” en cada período:

VA = C1 + C1(1+g) + C1(1+g)2 +…….

1+r (1+r)2 (1+r)3

Se llega finalmente a que VA = C1/(r-g)

Anualidad: es un activo que produce cada año (o período), una suma fija, durante un número determinado de años.

Una anualidad que paga el flujo permanentemente, desde el año 1, se transforma en una perpetuidad VA0 = C/r

Una perpetuidad que hace su primer pago en el año t+1, se puede anotar como : VA0 = (C/r)* 1/(1+r)t

Esto debido a que en el año t, tiene un VA de C/r y debe ser traída a t=0.

Cómo se valora entonces, una anualidad que paga un flujo desde el año 1 al año t.

Esto se representa por la diferencia de los dos valores anteriores:

VA anualidad = C 1 - 1 (1+r)tr

Valores Futuros

Valor Futuro de una cuota constante:

VF = C(1+r)t

Demostrar que se puede calcular como:

VF = C(1+r) (1+r)n - 1 r

Ejemplo: Si ahorramos $16.000 mensuales por los próximos 25 años, una tasa mensual de 1%, al término del período tendríamos:

VF = 16000*1,01*(1,01300 - 1) = 30.363.161 0,01

Cálculo de la cuota de un Préstamo:

VP = C t = 1

n

(1+r)t

Se puede demostrar que:

C = VP * (1+r)nr(1+r)n - 1

Ejemplo:

Se pide un crédito de 1000UF para pagarse en 10 cuotas anuales, con una tasa de interés anual de 10%.

C = 1000 * (1,110 * 0,1/(1,110 -1))

Nota: hacer S= 1/(1+r)t , se prueba que S= (1+r)n -1t =k

n

(1+r)n * r

Año Deuda Interés Amortización Cuota0 10001 937,3 100 62,7 162,72 868,2 93,7 69,0 162,73 792,3 86,8 75,9 162,74 708,8 79,2 83,5 162,75 616,9 70,9 91,9 162,76 515,9 61,7 101,0 162,77 404,7 51,6 111,2 162,78 282,5 40,5 122,3 162,79 148 28,3 134,5 162,710 0 14,8 148,0 162,7

627,5 1000,0 1627,5

Tabla de desarrollo del crédito:

Un alumno financia el 100% de su carrera con crédito. El arancel anual es de $1.600.000 (100 UF) y la tasa de interés real es de 2% anual.

Sus estudios duran 6 años. Una vez recibido tendrá dos años de gracia en que no paga intereses ni amortización y luego 10 años para pagarlo en cuotas mensuales iguales.

a) Cuánto debe al término de la Carrera:

VF = 100* (1,02)*(1,026 -1) = 643,43 UF

b) Tasa de Interés mensual:

imes = (1 + ianual)1/12 -1 = 0,165%

0,02

C) Cálculo de la cuota:

643,43 UF = C 1(1+r)t

t = 25

144

Así se llega a que se deben pagar 6,154 UF/mes

AnualidadAnualidad: Flujo constante C que se paga durante n años:: Flujo constante C que se paga durante n años:

• Multiplicando la ecuación anterior por (1+r):

• Restando la primera ecuación de la segunda:

nn r

C

r

C

r

C

r

CVP

)1()1(...........

)1()1( 12

12 )1()1(...........

)1()1(

nn r

C

r

C

r

CCVPr

nr

CCVPVPr

)1()1(

Fórmulas últiles

• Despejando el valor de VP:

PerpetuidadPerpetuidad: Flujo constante C que se paga infinitamente: Flujo constante C que se paga infinitamente

rr

rCVP

n

n

)1(

]1)1[(

r

CVP

rr

rCLimVP

n

n

n

)1(

]1)1[(

Fórmulas últiles