Criptografía Cuántica yComputación Cuántica

J. IGNACIO CIRAC

MAX-PLANCK INSTITUT FÜR QUANTENOPTIK

BARCELONA, 8 de NOVIEMBRE 2003

Si es posible y entonces

Mecánica Cuántica: Superposiciones

En la práctica: con objetos microscópicos

Con fotones:

Con átomos:

laser

Con dos o más objetos: entrelazamiento

Mecánica Cuántica: Entrelazamiento

De las paradojas:

...a las aplicaciones:

No-localidad, determinismo, etc

Información cuántica

Con fotones:

Con átomos:

InformaciónClásica

- Información codificada en bits:

- Comunicación:

- Computación:

Alice Bob

N

N

H

- Comunicación Cuántica:

Información Cuántica

- Información codificada en qubits:

| 0 |1 |1 | 0 |1 o|

0 1 1 0 1

0 1 1 0 1

Alice Bob

| 0 |1 |1 | 0 |1 |

110

0

- Computación Cuántica:

N

N

|1|1|0

|0

Con un sistema cuántico se puede hacer lo mismo que con uno clásico... y más

Aplicaciones:

Computación Cuántica:

Comunicación Cuántica:

Medidas de precisión:

Q Q

Consecuenciasen

criptografía

Ìndice

1. MECÁNICA CUÁNTICA EN QUINCE MINUTOS.

2. CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA.

3. COMPUTACIÓN CUÁNTICA.

1. Mecánica Cuántica

ESPACIO FÍSICO ESPACIO MATEMÁTICO

1.1. ESTADOS:

H

21:| 0

0

20:|1

1

21:| 0 |1

1

?

ESTADOS ENTRELAZADOS:

2 20 0:|1,1

1 1

2 21 1 0 0:| 0,0 |1,1

0 0 1 1

ESTADOS PRODUCTO:

2 21 1:| 0,0

0 0

Dos objetos:

ESPACIO FÍSICO ESPACIO MATEMÁTICO

H H

1.2. MEDIDAS:

PROPIEDAD ESPACIO MATEMÁTICO

Base (ortonormal) en H

Está en la 1a oen la 2a órbita?

{| 0 ,|1 }

2|

20

21

| 0 | |

| 1| |

P

P

Sistema Propiedad Base Probabilidad Estado

| 0

|1

El resultado es probabilista: „Dios juega a los dados?“

El estado después de la medida cambia.

Polarización vertical o horizontal?

{| 0 ,|1 }

2| 0 |1 21 | 1| | 0P

Sistema Propiedad Base Probabilidad Estado

| 02

0 | 0 | | 1P

Polarización vertical o horizontal?

{| 0 ,|1 }

2| 0 |1 21

1| 1| |

2P

| 0

|1

20

1| 0 | |

2P

En la práctica:Selecciona la base

| 0

|1

|1

| 0 |1

|1| 0| 0

2| |

2| |

Comentarios:

- Generador de números aleatorios.- Si intentamos medir un estado, lo destruimos.- No se puede averiguar un estado desconocido- No se pueden copiar estados.

| 0 |1

No Localidad:

| 0,0 |1,1

A B

Obtengo

| 0 |1 | 0 |1

| 0 |1 | 0 |1

|1 |1

| 0 | 0

Comentarios:

- Existe una anticorrelación perfecta.- El „colapso“ es instantáneo.- Los fotones pueden estar en distintos puntos del mundo.

1.3. EVOLUCIÓN:

2| ( ) |T U 2|

T

Operadorunitario

laser

Durante los últimos 20 anyos se han verificado completamente todos estos efectos.

La Mecánica Cuántica es una teoría establecida.

Criptografía clásica Criptografía cuántica

1| |1 | 00| 0 00 1 1

La Mecánica Cuántica permite detectar la presencia de un un „eavesdropper“.

La Mecánica Cuántica permite establecer claves aleatorias seguras:

00101

100101

1?????

?

110110100101clave

mensaje

010011010011100101 clave

110110 mensaje

One time pad:

1. Protocolo BB84:(Bennett & Brassard, 1984)

1. Emisión

Distribución cuántica de la clave:

{| 0 ,|1 }

{| 0 |1 ,| 0 |1 }

| |1 | 0|

Elección aleatoria de base

2. Medida

| |1 | 0|

{| 0 ,|1 }

{| 0 |1 ,| 0 |1 }

Elección aleatoria

Si la elección coincide, los resultados están perfectamente correlacionados

| 0

| 0 |1

| 0

| 0 |1

| 0 |1

| 0 |1

|1

{| 0 ,|1 }

{| 0 |1 ,| 0 |1 }

Z

X

Emisión Base:

Z

Z

X

X

Z

X

Z

|1

| 0 |1

| 0

| 0

| 0

|1

| 0 |1

|1

3. Discusión pública:

Anuncia la base

Confirma coincidencia

canal público

Tienen correlación perfecta

| 0

| 0 |1

| 0 |1

|1

| 0

| 0 |1

| 0 |1

|1

| 0

| 0 |1

| 0 |1

|1

| 0

| 0 |1

| 0 |1

|1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

Ya poseen una clave aleatoria. Falta ver que es segura.

4. Autenticación:

Alice y Bob anuncian públicamente alguno de los resultados

Si tienen correlaciones perfectas, la clave es segura.En caso contrario, alguien ha intentado leer los qubits.

| | 0 | 0|

En la práctica:

laser

preparación medida

Problemas:

- Nada es perfecto:

Corrección de errores.Amplificación de la privacidad.

Por encima de un nivel de ruido, la comunicación es segura.

- Los fotones se absorben en las fibras:

Comunicación por satélite.Repetidores cuánticos.

Situación experimental:

1991: transmisión en 10 cm a un rate de 10 bits/s2003: transmisión en 50 Km a un rate de 10-100 kbits/s

Existen varias companyias que venden sistemas cuánticos.La EU y los EEUU tienen proyectos para mejorar los sistemas

2. Protocolo Ekert 91:

| 0,0 |1,1

Ambos miden aleatoriamente en las bases{| 0 ,|1 }

{| 0 |1 ,| 0 |1 }

Z

X

Si miden en la misma base, los resultados están perfectamente correlacionados.

Ventaja: se pueden extender a distancias largas a través de los repetidores cuánticos.

3. Teletransporte:

2| ?

- No se puede determinar el estado.- No se puede enviar.

Alice desea enviar las propiedades de un estado desconocido a Bob.

| 0,0 |1,1

Con la ayuda de estados entrelazados lo puede conseguir

3. Teletransporte:

2| ?

- No se puede determinar el estado.- No se puede enviar.

Alice desea enviar las propiedades de un estado desconocido a Bob.

Con la ayuda de estados entrelazados lo puede conseguir

- No pasa ninguna información de Alice a Bob.- Puede utilizarse para enviar mensajes secretos directamente.

| in | out

Ciertos problemas se pueden resolver de una manera más eficiente

Por ejemplo:

Ordenador cuánticoOrdenador clásico

QNP

QP

NP

P

1. Ganancia exponencial:

Factoring: 1.234.567.890? 23? .1

Discrete log: ?log (mod N) (i.e. (mod N) )? n X n X

Pell‘s equation:2 2 1x dy

Gauss sums: ( ) ( )?x R

x e x

Finite ring

Multiplicative character

Additive character

In Out

1

2

3

-Los algoritmos están basados en la „transformada de Fourier „cuántica“.

- Está basado en un oráculo.

Random walks:

N qubits

1 2 2| | 0,0,...,0 | 0,0,...,1 ... |1,1,...,1Nc c c

1

0

..

..

0

1

2

2

..

..

N

c

c

c

Con un ordenador clásico,

son necesarias, mientras que uno cuántico requiere N.

22 N

Existen sistemas que no se pueden simular con ordenadores clásicos y que se podrían simular con los cuánticos.

Ejemplo: origen de la superconductividad a alta temperatura.

Simulaciones cuánticas:

2. Ganancia polinómica:

Búsquedas en bases de datos:

Arias, Alvaro Benito, FernandoBusto, JavierDefarges, PabloDesantes, VicenteDonesteve, Felipe . . .

2729293 85436682272083415125932778862552973 . . .

- El número de „look ups“ escala como- Está basado en un oráculo.- Puede ser adaptado a otros problemas NP.

N

Cómo construir un ordenador cuántico?

REQUERIMIENTOS:

4. Medir el resultado.

| in | out

1. Identificar qubits.

| 0,0,0,...,0 2. Inicializarlos al estado

| | 0,0,0,...,0 out U 3. Realizar las operaciones.

+ Escalable.

Puertas lógicas cuánticas:

Fase: Hadamard

H

Puertas de un solo qubit:

Puertas de dos qubits:

Pi-controlada00 00

01 01

10 10

11 11

01

01ie

0

1

0 10 1

Es necesario poder realizar interacciones arbitrarias?

No. Se pueden utilizar puertas lógicas cuánticas.

Debemos ser capaces de crear una evolución arbitraria:

| = | (0)U

No son necesarias puertas lógicas de tres qubits:

0

H

H

Cualquier operación se puede descomponer en: - Puertas de 1 qubit: Fase y Hadamard. - Puertas de 2 qubit: Fase-controlada.

En la práctica:

Iones atrapados Atomos neutros Atomos en cavidades

Superconductores

Puntos cuánticos Sistemas RMN

Iones atrapados

1. Identificar qubits:

1 2 3 4 5

=

| 0|1

2. Inicializar:

| 0 | 0 | 0 | | 0 0

Bombeo óptico

| 0|1

3. Medida:

| 0 |1 | 0 |1 | 1

Saltos cuánticos

| 0|1

3. Operaciones

Laser | 0|1

+ Escalables:

m o tio n

p u sh in gla se r

h e a d

ta rg e t

Propuestas escalables

Cuanto más iones, más juntos están y es más difícil manipularlos sin afectar al resto.

© D. Leibfried et al

Situación experimental

Los procesos básicos del modelo escalable han sido demostrados:

- Los iones pueden ser movidos sin afectar la computación.

- Puertas lógicas de un qubit se realizan con una eficiencia del 99.9%.

- Puertas lógicas de dos qubits con un 97%.

Purtas lógicas con hasta iones:

Para factorizar números:- 100.000 iones- Eficiencia del 99.99%

Para realizar simulaciones útiles:- 30 iones- Eficiencia del 99%

Qué se necesita?

Progreso en tecnología

ENIAC 1948

rápido = pequenyorápido = pequenyo

Pentium 4 (2002)

1 átomo

19751980198519901995200020052010

8086

80286i386

i486Pentium® Processor

Pentium® Pro Processor

projectedprojected

103

104

105

106

107

108

109

1000 millones de transistores !

Ley de Moore: cada 18 meses los microprocesadores doblan la velocidad

1960

1970

1980

1990

2000

2010 2020year

1910

1510

1110

710

310010

1 atom per bit

~ 2017

Átomos por bit

Progreso en tecnología

ENIAC 1948

rápido = pequenyorápido = pequenyo

Pentium 4 (2002)

1 átomo

-Implementacionesfíscas

Conclusiones

Información cuántica

Computer Science

Th. Physics/Math. Exp. Physics

AMO Phys. C. Matter

- Algoritmos.- Aplicaciones.

- Leyes básicas.- Teoría información.

Theory@MPQ

F. VerstraeteK. VollbrechtM. Wolf

T. CubittV. MurgN. SchuchD. Xialong

Quantum InformationTheory Cold Gases

J.J. Garcia-RipollB. ParedesD. Porras

M. PoppH. Christ

Quantum Optics

B. KrausAn. NemesG. TothE. SolanoF. Grossans

K. HammererC. Schön

Quantum Communication

Efficient communication:

Dense coding: 1 qubit = 2 bits

Agenda problem:

Artificial problem: exponential speed-up.

Quantum Communication

Q Q

Secrecy:

Cryptography:

Secret sharing:

Authentication:

Precission measurements

Atomic clocks:

GPS?:

Lithography:Resolution / N

then /ent prod ent prodT T N

detector

feed back

4. Decoherence

Simple model:

Prob. nothing happens

Prob. error1 p

p

0 1

1 error in the computation gives a wrong result.

Probability of success:Np

Number of repetitions:1Np

We loose the exponential gain unless 1

(1 )pN

1 atom:

Error correction

|1 |111 | 0 | 000

-Detect if all qubits are the same.-If not, use majority vote to correct.

Fail if two errors occur in a trio.

Using redundant coding and measuring often (Zeno effect) one can have a high success probability.

Redundant coding:

Fault-tolerant error correction

Errors occur during quantum gates.Errors occur during error corrections.

Error thereshold:

4 610 10 Error probability: per unit step (gate).