Cuadernillo de ejercicios de Matemáticas IV: Geometría...

2018

Material elaborado, recopilado y

organizado por M. en C. Rita Ochoa Cruz

Cuadernillo de ejercicios de Matemáticas IV: Geometría Analítica

ESCUELA DE BACHILLERES DE LA UAQ TAREA DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UAQ 2018 NOMBRE

Material creado, recopilado y organizado por M. en C. Rita Ochoa Cruz 2

Contenido Matemáticas IV: Geometría Analítica ................................................................................................................................. 3

Unidad I: Conceptos preliminares ...................................................................................................................................... 4

Sistema de coordenadas ................................................................................................................................................. 4

Distancia entre dos puntos dados .................................................................................................................................. 7

Proyecto 1: ................................................................................................................................................................ 12

División de un segmento en una razón dada ............................................................................................................... 12

Proyectito 2 .............................................................................................................................................................. 16

Pendiente de una recta. Angulo entre dos rectas. Condición de paralelismo y perpendicularidad ............................ 16

Área de un polígono ..................................................................................................................................................... 22

Experimento 1. Cometa ................................................................................................................................................ 23

Unidad II: Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica ......................................................................... 24

Segundo problema fundamental de la geometría: ecuación de un lugar geométrico ................................................ 24

Primer problema fundamental de la geometría: Gráfica de una ecuación .................................................................. 32

Unidad III: La línea recta ................................................................................................................................................... 33

Ecuación de la recta en su forma: punto – pendiente, pendiente ordenada al origen, simétrica, general. ............... 33

Condición de paralelismo y perpendicularidad ............................................................................................................ 39

Proyectito 3 ............................................................................................................................................................... 41

Distancia de una recta a un punto dado ...................................................................................................................... 42

Proyectito 4 .............................................................................................................................................................. 43

Aplicaciones lineales ..................................................................................................................................................... 45

Unidad IV: Las cónicas ...................................................................................................................................................... 47

Circunferencia ............................................................................................................................................................... 47

Proyectito 4 .............................................................................................................................................................. 56

Experimento 2 Ojos y circunferencia. ........................................................................................................................... 56

Parábola ........................................................................................................................................................................ 60

Proyectito 5 .............................................................................................................................................................. 68

Elipse ............................................................................................................................................................................. 69

Proyectito 6 .............................................................................................................................................................. 76

Hipérbola ...................................................................................................................................................................... 77

Ecuación general de segundo grado ............................................................................................................................. 82

Evaluación y acreditación ................................................................................................................................................. 85

Bibliografía. ....................................................................................................................................................................... 86



Matemáticas IV: Geometría Analítica Semestre: Cuatro Asignatura: Geometría Analítica Tipo: Curso

Horas por semestre: 80 horas Horas por semana : 5 horas Créditos: 8 (ocho)

Horas teoría/sem: 3 Horas práctica/sem: 1 Horas de lab/sem: 1

La idea del curso de matemáticas IV es dar una visión amplia de la Geometría Analítica, se considera que esta materia

en la formación de un bachiller cumple un papel importante para su formación integral. Las ideas de algebrización de

la geometría y de geometrización del álgebra permitieron un gran avance a la humanidad, tanto en el terreno de las

matemáticas mismas como en las aplicaciones que de esta disciplina se hacen a otras ciencias.

La Geometría Analítica es una asignatura integradora del Álgebra, la Trigonometría y Geometría Euclidiana, siendo una

herramienta básica para el aprendizaje del cálculo Diferencial e integral.

Objetivo general de la materia

Esta materia es base para el desarrollo de dos de las habilidades matemáticas claves para el futuro del estudiante de

bachillerato: la capacidad de abstracción y generalización, así como a la valoración del lenguaje algebraico como una

potente herramienta para representar de manera matemática relaciones y propiedades en este caso de lugares

geométricos. Al finalizar el curso el alumno debe ser capaz de identificar y establecer la relación existente entre el

Algebra y la Geometría, como consecuencia de la asociación de ecuaciones y figuras geométricas, lo que le proporciona

bases para llevar a buen término las últimas dos asignaturas de matemáticas.

Contenido programático por unidad

Unidad I: Conceptos preliminares. Sistema de coordenadas. Distancia entre dos puntos dados. División de

un segmento en una razón dada. Pendiente de una recta. Angulo entre dos rectas. Condición de paralelismo y

perpendicularidad. Área de un polígono.

Unidad II: Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica. Primer problema fundamental de

la geometría: Gráfica de una ecuación. Segundo problema fundamental de la geometría: ecuación de un lugar

geométrico.

Unidad III: La línea recta. Ecuación de la recta en su forma: punto – pendiente, pendiente ordenada al origen,

simétrica, general. Distancia de una recta a un punto dado. Condición de paralelismo y perpendicularidad.

Unidad IV: Las cónicas. Circunferencia. (Forma ordinaria. Forma general. Determinación de una

circunferencia dada algunas condiciones geométricas). Parábola. (Forma ordinaria. Forma general.

Propiedades y aplicaciones de la parábola. Elipse (Forma ordinaria. Forma general. Propiedades de la elipse

y aplicaciones. Hipérbola. Forma ordinaria. Forma general. Propiedades de la hipérbola y sus aplicaciones.

Ecuación general de segundo grado en dos incógnitas. Discriminante.



Unidad I: Conceptos preliminares

Sistema de coordenadas

1. Diga si son falsos o verdaderos los siguientes ejercicios y justifique en caso de ser falso.

a. El plano cartesiano se encuentra dividido en cuatro cuadrantes

b. Los ejes coordenados de un plano cartesiano son perpendiculares.

c. El eje coordenado “y” corresponde al eje de las abscisas.

d. El punto A(3,8) tiene por ordenada 8.

e. La abscisa y la ordenada pueden ser positivas, negativas o cero.

f. La distancia entre dos puntos ubicados en el plano cartesiano no puede determinarse.

I. Traza los puntos indicados en el plano cartesiano. Rotula cada punto con la letra correspondiente. Traza una línea

en orden entre los puntos. Escribe el cuadrante al que corresponde cada punto a un lado de la coordenada.

A(0, 8) D(3, 0) G(-4, -6) J(-2, 3)

B(2, 3) E(4, -6) H(-3, 0) K(0, 8)

C(7, 3) F(0, -3) I(-7, 3)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 9 8 7 6 5 4 3 2 1



1 3

1

20

2

4

3

4

56

-1

-2

-3

-1 -2 -3 -4 -5

-4

-5

-5

●A

●

C

●J

●H

●D

●F

●

B

●E

●G

●I

●K

II. Escribe las coordenadas de cada punto indicado en el plano a la derecha

Coloque una foto de su rostro o de su personaje favorito trace un plano cartesiano y ubique las coordenadas de sus

ojos, orejas, la punta de su nariz y el centro de su boca.

Punto x y Par Ordenado Cuadrante

A -2 3 (-2, 3) II

B

C

D

E 0 2 (0, 2)

F

G

H

I

J

K



Distancia entre dos puntos dados

1. Diga cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas. Justifique en cada caso.

a. ( ) Si un punto tiene ordenada 0 entonces está sobre el eje y

b. ( ) La distancia entre (a + b,0) y (a − b,0) es 2b

c. ( ) Si un punto tiene ordenada -3 y está sobre el eje y entonces el punto es (0,−3)

d. ( ) La distancia entre los puntos (a,b) y (0,0) es a + b

1. Representar gráficamente los puntos: P1(-2,1) y P2(3,-4) y calcular la distancia entre estos dos

puntos.

2. Representar gráficamente los puntos P1(2,-1) y P2(0,4) y calcular la distancia entre estos dos puntos.



3. Demostrar que los puntos A(3, 8), B (–11, 3) y C (–8, –2), son los vértices de un triángulo isósceles.

4. Demostrar que los puntos A(7, 5), B(2,3) y C (6,–7), son los vértices de un triángulo rectángulo.

5. Verificar si los siguientes puntos son los vértices de un rectángulo A (1,2); B(4, 7); C( –6, 13); y D(–9, 8)



6. Calcular el perímetro del triángulo formado por los puntos: A(-3,6), B(6,5) y C(1,6). Clasifíquelo.

7. Determinar si el triángulo formado por los puntos A(0,0), B(6,5) y C(1,6) es Isósceles, Escaleno o Equilátero.

8. Demostrar que los puntos A(7, 5), B(2,3) y C (6,–7), son los vértices de un triángulo rectángulo.



9. Los siguientes puntos: A(2,-4), B(-1,2) y C(-7,-1) son los vértices de un triángulo. Determina si el triángulo es

rectángulo.

10. Decimos que tres o más puntos son colineales cuando pertenecen a una misma línea recta, determina, en cada

caso, si los puntos son o no colineales. Realiza además el gráfico correspondiente:

A(2, 3) ; B(4, 5) ; C(6, 7) A(-5, 1) ; B(1, 15) ; C(-4, 15)

11. Demostrar que los puntos P1 (12,1), P2 (-3,-2) y P3 (2,-1) son colineales, es decir están sobre la misma línea.



12. Dado el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son los puntos A(1,2), B(5,2), C(3,4) y D(7,4). Demuestra que éste

cuadrilátero es un paralelogramo. Calcula el perímetro y el área.

13. Grafique en el plano cartesiano los siguientes puntos A(0,-1); B ( 4, -1) ; C ( 6, 5) ; D ( -1, 4 ). Únalos y calcule el área

de la figura que se forma.

14. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto P (3,-2). Si la abscisa de un extremo es 6.

Hallar su ordenada. Resp: Y1=-6 y Y2=2



Proyecto 1:

En un plano cartesiano, ayuda a Enrique a encontrar el camino para regresar al campamento y determina las

distancias que tuvo que recorrer. “En un paseo de campo Enrique y sus amigos ubicaron el campamento en

las coordenadas (2,5), después de alojarse decidieron ir en busca de madera y hojas secas para una fogata,

Enrique y otro compañero emprendieron camino hacia el noreste hasta la coordenada (7,9), como no

encontraron lo que se necesitaba, se dirigieron hacia el sur y buscaron en el sector de coordenadas (0,11),

recogieron algo pero siguieron hacia el sur hasta llegar al punto (-3,12). Los jóvenes se sintieron perdidos y

se dirigieron a la izquierda hacia el punto (-5,2). Hallar la distancia entre cada movimiento realizado y cuanto

caminaron al final e identificar a que distancia se encuentran perdidos del campamento.

El proyectito se entrega en dos partes. Primero en hojas milimétricas o blancas y a mano. Segundo se resuelve en algún paquete de

matemáticas con forma de reporte de práctica.

División de un segmento en una razón dada 1. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A (-2,3) y B (6,-3).

Resp: P1(2/3, 1) ; P2(10/3, -1) Pm(2,0)

2. Los puntos extremos de un segmento son P1 (2, 4) y P2 (8,-4). Hallar el punto P(x,y) que divide a este segmento

en dos partes tales que P1P/PP2= -2 Resp: P(-4,12)



3. El punto P3 (-2,4) es el punto medio del segmento P1P2 y el punto P4 (1,1) es el más cercano a P2 de los que

divide al segmento en 5 partes iguales. Hallar las coordenadas de P1 y P2. Resp: P1(-7,9) , P2(3,-1)

4. Si los puntos P1 (-4,2) y P2 (4,6) son los puntos extremos del segmento dirigido P1P2. Hallar las coordenadas del

punto P (x, y) que divide a ese segmento en la razón P1P/PP2= -3 sin utilizar la formula.

5. Hallar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en cinco partes iguales. A (1, 1); B(11, 6)



6. Para el tendido de un cableado telefónico sobre una calle se requieren cuatro postes, los cuales deben estar

separados por distancias iguales. Si el primero de los postes se encuentra en uno de los extremos del cableado que

está en el punto A(60, 90) y el último en el extremo que se localiza en B(-30, -30), se deben determinar las

coordenadas de los puntos C y D para colocar ahí los otros dos postes entre A y B. Las longitudes están en metros.

7. Marco, Gerardo y Paco competirán en una carrera, Marco es corredor de alto rendimiento y les dará una ventaja

de 10 m a Gerardo, éste a su vez le dará una ventaja de 4 m a Paco, quien es el menos veloz, una vez alineados y

ubicados en sus posiciones, encuentra la razón a la que se ubicó Paco.

8. Dados los puntos A ( 3, −2 ) y B ( 1, 7 ) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.



9. Carmen debe sembrar 6 arbolitos en un surco. Los árboles deben estar separados por distancias iguales. Si uno de

los extremos del surco es el punto R(–5, 2) y el otro extremo es S(10, –5), Escribe las razones que debe usar Carmen

para encontrar las coordenadas donde debe plantar cada arbolito.

10. Los puntos A (-4, – 5 ), B( 4, 2 ) y C( 1, 6 ) forman un triángulo. Graficar el triángulo que se forma al unir los

puntos medios de cada lado del triángulo original.

11. Un segmento de recta está determinado por los puntos A y B, y el punto medio está dado por M. Si las

coordenadas de A son (-1,3) y de M son (5, 8), calcular las coordenadas del punto B.



12. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A ( 2 , 0 ) y B ( 9 , 4 ). Las coordenadas del

centro M son M (4 , 3.5 ). Hallar las coordenadas de los otros dos vértices C y D

Proyectito 2. Un agricultor quiere dividir un campo rectangular cuyas coordenadas de sus vértices son: A (-1, 2), B (7,

2), C (-1, -4) y D (7, -4) en ocho parcelas triangulares iguales, pero no sabe cómo hacerlo. Su sobrino, que resulta ser un

estudiante de bachillerato muy inteligente, le dice que una manera de lograrlo es uniendo los puntos medios de los

lados opuestos y trazando a continuación las diagonales del rectángulo. a) Traza el rectángulo y comprueba que es

correcto el consejo del sobrino. b) Calcula el perímetro de cada una de las parcelas, sabiendo que el centro del campo

es el punto P (3, -1). c) ¿Cuál es el área de cada una de las parcelas? d) ¿Cuál es el área total del campo? Se entrega de

igual manera que el anterior.

Ejercicio para punto en el examen. Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1). Hallar las

coordenadas de los tres vértices. Resp: V1(-1,4), V2(5,6), V3(3,-2)

Pendiente de una recta. Angulo entre dos rectas. Condición de paralelismo y

perpendicularidad

1. Dígase el ángulo de inclinación de cada una de las siguientes rectas dirigidas:

a) El eje X

b) El eje Y

c) Una recta paralela at eje X y dirigida hacia la

derecha

d) Una recta paralela al eje X y dirigida hacia la

izquierda



2. Interpreta y dibuja las siguientes situaciones: 3

2 m ,

3

-2 m parte del punto (2, 5)

3. Determine la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (– 3, 2) y (7, –3)

4. Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (2, – 1) y (4, 3)

5. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa per los puntos (- 3,2) y (7.- 3).



6. Una recta pasa por los puntos A(–3, –1) y B(2, – 6). Encuentre el ángulo de inclinación.

7. Los vértices de un triángulo son los puntos (-4 , 5), (6 , 8), (2 , -7). Calcular la pendiente de cada uno de

sus lados. Encuentre geométricamente y analíticamente.

8. Por medio de pendientes demostrar que los tres puntos son colineales (1 , 3), (-2 , -3), (0 , 1)



9. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos (9, 2), (11, 6), (3, 5) y (1, 1) son vértices de un

paralelogramo.

10. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de Otro punto de la recta es 4. Hallar su

ordenada.

11. Tres de los vértices de un paralelogramo son (- 1, 4), (1,-1), (6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6

¿cuál es su abscisa?



12. Demostrar analíticamente que la recta que pasa por los dos puntos (- 2, 5) y (4, 1) es perpendicular a la

que pasa por los dos puntos (- 1, 1) y (3,7).

13. Una recta l1 pasa por los puntos (3, 2) y (- 4, - 6), y otra recta l2 pasa por el punto (- 7,1) y el punto A cuya

ordenada es - 6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es perpendicular a 12.

14. Demostrar que los tres puntos (2, 5), (8, - 1) y (- 2, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo, y hallar

sus ángulos agudos.



15. Demostrar que los cuatro puntos (2, 4), (7, 3), (6, - 2) y (1, - 1) son vértices de un cuadrado y que sus

diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.

16. Demostrar que los cuatro puntos (2, 2), (5,6), (9, 9) y (6, 5) son vértices de un rombo y que sus diagonales

son perpendiculares y se cortan en su punto medio



Área de un polígono i. Calcular el área de los polígonos formados por los tres últimos ejercicios de la sección anterior.



Experimento 1. Cometa (1 punto extra para el parcial si el papalote vuela) Elaborar un papalote tradicional en equipo de a lo más 6 personas.

1. Escribir la definición de cometa. 2. Escriba las medidas de su cometa. 3. Dibuje su cometa (a escala) en R2 e identifique sus coordenadas 4. Demuestre en forma analítica que su figura es un cometa. 5. Encuentre el perímetro del su cometa. 6. Por tres formas diferentes, encuentre el área de su comete. 7. Encuentre las dimensiones de sus diagonales. 8. Pruebe que sus diagonales son perpendiculares. 9. Encuentre las pendientes de cada lado del cometa. 10. Encuentre los ángulos interiores de su cometa y pruebe que la suma le da 360º. 11. Encuentre la razón en que las diagonales se intersectan. 12. Coloque una foto de su cometa final. 13. Si su cometa voló anexe una foto como prueba de esto.

El reporte se entrega a mano y en computadora usando el formato conocido. Se tomará como examen de la unidad.



Unidad II: Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica

Segundo problema fundamental de la geometría: ecuación de un lugar geométrico

Enuncia el segundo problema fundamental de la geometría.

Encuentre el lugar geométrico que se solicita y si le es posible bosqueje una gráfica del mismo e identifiquela.

1. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que se conserva siempre a dos unidades a la izquierda del eje Y

2. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su abscisa es siempre igual al doble de su ordenada

3. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su abscisa es siempre la recíproca de su ordenada.

4. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al eje Y menos 3 unidades es siempre igual al doble de su distancia al eje X.

5. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al origen siempre

es dos.



6. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al punto C( 2 , 3)

es siempre igual a cinco.

7. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre está a la misma

distancia de los puntos fijos A( 1 , –2 ) y B( 5 , 4 )

8. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al

punto Q(4 , 1 ) es siempre igual a su distancia al eje Y.



9. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al eje X es siempre

igual a su distancia al punto P(0 , 4 )

10. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de

sus distancias a los dos puntos A( 3 ,5 ) y B( –4 , 2 ) es siempre igual a 30

11. Determine el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya distancia al punto (7 , 1) es dos veces su distancia al punto

(1,4).



12. Determine el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que equidistan a los puntos (-1,2) y (-2,1 ).

13. Determine el lugar geométrico de los puntos P(x, y) ales que su distancia al punto (1, 1) es dos veces su distancia

al punto (1,4).

14. Determine el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos (-3,0)y (3,0)es 10.



15. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia al punto A(-3,-1) es 3.

16. Un punto se mueve en el plano de tal manera que equidista siempre de los puntos A=(-2,-6) y B=(4,-1). Encontrar

la ecuación de su trayectoria.

17. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje Y y del punto A=(4,0).



18. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje X y del punto B=(3,4).

19. Un punto se mueve de manera que equidista siempre del origen y de una recta paralela cuatro unidades arriba del

eje X. Encontrar la ecuación de su trayectoria.

20. Un punto se mueve en el plano de manera que la suma de las pendientes de las rectas que lo unen con los puntos

A=(1,4) y B=(1,2) es siempre igual a 2. Encontrar la ecuación de su trayectoria.



21. La pendiente de la recta que une un punto P de cierta curva al origen es un tercio de la pendiente de la recta que

une al punto P a A=(1,1). ¿Cuál es la ecuación de esta curva?

22. Un punto se mueve en el plano de manera que su distancia al eje X es siempre igual al doble de su distancia al

punto A=(0,4). Encontrar la ecuación de su trayectoria.

23. Desde cualquier punto de una curva, la distancia al punto A=(-5,0) menos la distancia al punto B=(5,0) es igual a 8.

Encontrar la ecuación de esta curva.



24. Un punto se mueve en el plano de manera que la suma de sus distancias al origen y al punto A=(8,0) es igual a 12.

Encontrar su ecuación.

25. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de los dos

puntos fijos: A( –1 , 2 ) y B( 4 , –1)



Primer problema fundamental de la geometría: Gráfica de una ecuación

Enuncia el primer problema fundamental de la Geometría Analítica

Discute las siguientes ecuaciones. Utiliza hojas milimétricas para realizar las gráficas.

2 2

2 2

2 2

2

2 2

)16 16 0

) 16 16 0

)9 4 36 0

) 4 16 0

) 4 0

i x y

ii x y

iii x y

iv x y

v x y y

2 2

2

) 2 2 14

) 4 3 1 0

b x y x y

c x x y

2) 2 8 12 0d y x y

3)8 0g x y

2 2

2 2

3

2 2

) 4 2 16 13 0

)4 2 2

) 0

)4 9 36 0

e x y x y

f x y y

h x x y

i x y

Discute las siguientes ecuaciones

2

) 3 0

) 2 2 2 0

) 4 0

a xy y y

b xy x y

d x y y x

2 2) 2 2 2 1 0c x xy y x y

2) 9 1 0e xy x y

2 2

2 2 2 2

3 2 2

) 4 4 0

) 4 4 0

) 0

f x y x xy y

g x y x y

h y x y x



Unidad III: La línea recta

Ecuación de la recta en su forma: punto – pendiente, pendiente ordenada al origen,

simétrica, general. Relacione las columnas

__ 1. Distancia . A Todo par de rectas que se cortan en un solo punto

__ 2. Dos puntos definen B. Grado de inclinación de la recta

__ 3. Eje vertical C. Representa las componentes de un punto en el plano

__ 4. Origen de coordenadas D. Punto de corte de los ejes de los cartesianos

__ 5. Par ordenado E. Punto del se segmento que equidista de sus extremos

__ 6. Pendiente F. Medida de la línea recta más corta que separa a dos puntos

__ 7. Pendiente es igual a cero G. Ordenada

__ 8. Perpendiculares H. La recta paralela a las abscisa

__ 9. Punto medio I. Rectas que dividen al plano en cuatro partes iguales

__ 10. Secantes J. Una recta

Selecciona la respuesta correcta.

1. 1. Los puntos que contiene una recta son: A) Infinitos y alineados B) Infinitos y no alineados C) Finitos y no alineados D) Finitos y alineados

2. 2. Por un solo punto pasan: A) Infinitas rectas B) Una sola rectas C) Dos Rectas D) Ninguna recta

3. 3. Si dos rectas tiene todos sus puntos en común son: A) Secantes B) Paralelas C) Perpendiculares D) Coincidentes

4. 4. La línea que es limitada por dos puntos es: A) Segmento B) Vector C) La recta D) La semi-recta

5. 5. El eje de las x en un sistema de coordenadas cartesianas se denomina A) Eje principal B) Eje vertical C) Eje abscisas D) Eje de la ordenada

6. 6. El punto de la coordenada (2,-3) se encuentra en el cuadrante: A) Cuatro B) Dos C) Tres D) uno

8. 8. La distancia entre dos puntos viene dado por el teorema de: A) Thales B) Euclides C) Pitágoras D) fundamental de la geometría analítica

9. La variación de la elevación de la vertical con respecto a la variación del desplazamiento horizontal se conoce como: A) Recta B) Segmento C) Punto medio D) Pendiente

10. 10. Si la pendiente no está definida, la recta con respecto a la horizontal:

A) Forma un ángulo de 90º B) Desciende C) Es paralela D) Asciende

Resuelva los siguientes ejercicios. Realice la gráfica, solo los de esta página, si le es posible en el espacio .



La ecuación de la recta que pasa por el punto P(0,5) y tiene pendiente m = - 2 es:

La ecuación de la recta que pasa por el punto P(-4,3) y tiene pendiente m = 1/2 es de la forma:

Obtener la ecuación de la recta con pendiente m y que pasa por el punto P. P=(-3/2,7/2) y m=-3/8

Obtener la ecuación de la recta con pendiente m y

que pasa por P=(3,1) y m=2

La recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3,

respectivamente, es de la forma:

La ecuación de la recta que pasa por el punto P(0,-1) y

tiene pendiente m = 0 es de la forma:



La pendiente y el punto de corte con el eje Y de la recta

Y = - 3 X + 7 , respectivamente ,son:

Ecuación de la recta que pasa por los puntos A(4,3) y

B(5,2)

Halla la mediana correspondiente al vértice A del

triángulo de vértices A(1,2). B(1,3) y C(-3,5)

Halla la ecuación de la recta que pasa por P(5,8) y tiene

1 de pendiente.

Ecuación de la recta que pasa por el punto C(3,1) y

tiene la misma pendiente que la recta que pasa por

A(1,1) y B(2,0)

Dada la recta y=2x-2, di si los siguientes puntos

pertenecen a ella: A(1,1), B(3,1), C(5,8) y D(1/2, 1/3)



Ecuación de la recta de pendiente -1 que pasa por el

punto de intersección de x+2y=12; x-2y-12=0

Punto de intersección de y=5x+8; y=4x+10

Ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1) y cuya

pendiente es el doble de la de la recta x+2y=2

Encuentra la pendiente y las intersecciones con los ejes

de la recta 4 3 5 0x y

Calcula el ángulo agudo que forman, al cortarse, las

rectas 2 3 4 0x y , y, 3 5 0x y .

Encuentra las coordenadas del baricentro del triángulo

cuyos vértices son A(1,2), B(5,3) y C(3,9). Utilizando

línea recta.



Datos Gráfica Ecuación

Pasa por el punto A(-2,5) y tiene pendiente m = -2

y – y1 = m(x – x1) y – 5 = -2 (x – (-2)) y – 5 = -2x – 4 2x + y – 5 + 4 = 0 2x + y – 1 = 0

Pasa por los puntos (-3, -5) y por B(1,7)

Tiene por ecuación 2x + 3y – 6 =0



1. Para las siguientes ecuaciones de rectas, determinar el valor de la pendiente m, la ordenada al origen, la abscisa al origen y su forma simétrica, si esto es posible.

2x – 3y + 3 =0 4x – y – 12=0 3x – 2y – 8 = 0

x – y – 7 = 0 x – 5y + 20 = 0 2x + 3y = 0

3x – 5 = 0 3y – 6 = 0 5x – 3y – 1=0

Seleccione la respuesta correcta de acuerdo a la gráfica correspondiente. Utilice colores, donde sea necesario, sobre la gráfica para justificar su respuesta.

¿Qué valor tiene la

pendiente de la recta?

A) m = 2/3

B) m = - 3/2

C) m = 3/2

D) m = -2/3

¿Qué valor tiene la abscisa

al origen de la recta?

a = -2

a = 2

b = 3

b = -3

¿Qué valor tiene la

ordenada al origen de la

recta?

b = -3

b = 3

a = 2

a = -2



¿Cuánto mide el ángulo

de inclinación de la recta?

80º

60º

45º

30º

¿Que valor tiene la

pendiente de la recta?

m = 1

m = 0

m = ∞

m = -1

Sabiendo el ángulo de

inclinación, la pendiente se

obtiene con la fórmula.

m = senθ

m = (y2-y1)/(x2-x1)

m = tanθ

m = (x2-x1)/(y2-y1)

Fórmula para la pendiente

de una recta,

conociendo dos puntos.

m = tanθ

m = (x2-x1)/(y2-y1)

m = (y2-y1)/(x2-x1)

m = cotθ

La pendiente de una recta

horizontal es de:

∞

0

1

-1

La pendiente de una recta

vertical es de:

1

∞

0

-1

Las pendientes de rectas paralelas son:

diferentes

iguales

mayores de 1

menores de 1

Las pendientes de rectas perpendiculares son:

iguales

reciprocas y de signo contrario

mayores de 1

menores de 1

Condición de paralelismo y perpendicularidad La recta l1 pasa por los puntos A y B, mientras que la recta l2 pasa por los puntos M y N. Determinar en cada caso si las rectas l1 y l2 son paralelas, perpendiculares u oblicuas (es decir, las rectas que no se cortan perpendicularmente).

A(-4,2) B(1,4); M(-4,-5) N(1,-3)

A(1,3) B(-2,-3); M(-5,1) N(1,-2)



A=(-2,3) B=(4,-1); M=(-1,0) N=(5,3)

A=(0,3) B=(3,-5); M=(-5,-2) N=(7,2)

Encontrar la ecuación de la mediatriz al segmento de recta que une los puntos P y Q.

P(3,2) y Q(7,4) P (1,4) y Q(-6,2)

Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a la recta 5x + 2y + 3 = 0 y que pasa por el punto (-4,1).

Ecuación de la recta paralela a 5x-6y+2=0 que pasa por (3,5).



Escribir la recta que pasa por ( 8, -2 ) y que es perpendicular a la recta 5x – 3y = 7.

Recta que pasa por A(0,2) y es paralela a 3x – 2y + 1 = 0

Proyectito 3

a) Los alumnos del último semestre están organizando un baile de bienvenida a los alumnos de nuevo ingreso. Decidieron contratar a dos grupos de rock y las condiciones de pago que imponen los grupos son: El primer grupo cobra 3 000 pesos más el 40% de lo recaudado por las entradas mientras que el segundo grupo cobra 6 450 pesos más el 10% de lo recaudado por las entradas. Pero no hay acuerdo entre los organizadores: se establece una ardua discusión entre ellos porque algunos piensan que el segundo grupo cobrará más que el primero, otros (partidarios del primer grupo) le piden que argumenten irrefutablemente su posición (es decir, usando matemáticas). Los partidarios del primer grupo piensan que lo que deben hacer es manipular el precio de las entradas de tal forma que el primer grupo gane más que el segundo. ¿Cuánto es lo menos que tienen que cobrar por persona para que eso se cumpla si estiman que habrá 500 personas que paguen su entrada? Por otro lado, independientemente de quién gane más que quién, también se enfrentan a otra cuestión: deben poder pagarle a los dos grupos con el dinero que se recaude de las entradas ¿Cuánto es lo menos que deben cobrar por persona para que con las entradas alcancen a pagarle a los dos grupos? ¿Cuál es el grupo que cobraría más, finalmente? b) Diseño del esquema de un parque recreativo en forma de polígono regular (de 6 o más lados) en cada vértice existe un poste de alumbrado, para lo cual se requieren los siguientes elementos: a. Traza en el plano cartesiano del polígono regular que mida de lado 50 m (a escala). b. Coloca una letra y sus coordenadas a cada vértice. c. Ubica el centro donde se colocará una fuente. d. ¿Existen segmentos paralelos en tu trazo? Justifica tu respuesta analíticamente. e. Determina las ecuaciones de las rectas que contiene cada lado. f. Traza las apotemas y obtén las ecuaciones de las rectas que las contienen. g. En el contorno se colocará una banqueta con guarnición. Calcula el perímetro. h. Calcula el área total del parque.

En hojas cuadriculadas desarrolla los siguientes ejercicios.

1. Encuentra las coordenadas del circuncentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(- 2,- 3), B(6,1) y C(4,5).

2. Encuentra las coordenadas del ortocentro del triángulo cuyos vértices son A(- 2,- 3), B(6,1) y C(4,5).



Distancia de una recta a un punto dado

1. Calcular la distancia entre las rectas 0332 yx y 0164 yx

2. Calcula la longitud del radio de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(2,3) y que es tangente a la recta

4 3 3 0x y .

3. Calcula la distancia, si es posible, entre las rectas 4 3 3 0x y y 4 3 3 0x y .



4. Determina la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas x - 1/2 y = 4 y 2x + y = 9/2. 5. Halla la ecuación de la bisectriz de cada uno de los ángulos que forman las rectas

2 4 3 0, y, 2 8 0x y x y al cortarse.

Proyectito 4

1. Una mosca vuela por una habitación y Martín espera a que esté a su alcance para matarla con periódico. La mosca

lleva una trayectoria descrita por la ecuación. x − 2y − 4 = 0 ; si el brazo de Martín junto con el periódico mide 1.15

m, ¿podrá pegarle a la mosca? Suponga que el brazo de Martín esta en el origen.

2. Para comunicar el fraccionamiento las Palmas con la carretera que une los poblados de Higuerón y Cerritos, se

construirá un camino recto de asfalto. ¿A qué distancia de la entrada del fraccionamiento quedará la carretera? Sol

»d=33.442 u.



Ejercicios complementarios. Si se entregan en hojas aparte (deben incluir operaciones y graficas), obtendrá

un punto en el parcial. (Sección de falso y verdadero y opción múltiple)

Señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, en caso de ser falso justifica tu respuesta.

1) Al matemático francés René Descartes le debemos los fundamentos de la Geometría Analítica.

2) El plano cartesiano se encuentra dividido en cuatro cuadrantes.

3) Los ejes coordenados de un plano cartesiano son perpendiculares.

4) El eje coordenado “y” corresponde al eje de las abscisas.

5) El punto A(3,8) tiene por ordenada 8.

6) La abscisa y la ordenada pueden ser positivas, negativas o cero.

7) La distancia entre dos puntos ubicados en el plano cartesiano no puede determinarse.

8) La distancia entre los puntos (2,5) y (-4,-3) es 100 unidades.

9) Para obtener la pendiente de una recta que pasa por dos puntos, se restan las abscisas y esta diferencia se divide por la resta de las ordenadas.

10) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (4,9) es 2.

11) La ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto (1,2) es y = 2x.

12) La fórmula de la ecuación punto pendiente de la recta es y = mx + n.

13) A “x” se le denomina variable independiente, en la ecuación de la recta.

14) La ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene pendiente 1 es y – x – 5 = 0.

15) En la ecuación y = 3x + 2, su pendiente es 3.

17) Dos rectas son paralelas entre sí cuando sus pendientes son iguales.

18) Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus pendientes es 1.

20) Las rectas 2x + 3y – 3 = 0 y 3x – 2y = 0 son perpendiculares.

21) A la ecuación Ax + By + C = 0 se la conoce como Ecuación General de la Recta.

22) Toda ecuación general de la recta puede ser expresada en su forma simética.

23) Al dibujar dos rectas en el plano cartesiano, estas siempre se interceptan.

24) En la ecuación general Ax + By + C = 0, si C = 0, la recta pasa por el origen.

25) En la ecuación general Ax + By + C = 0, si A = 0, la recta es paralela al eje y.

26) Una recta que se “levanta” de izquierda a derecha tiene pendiente positiva.

27) Una recta paralela al eje x tiene pendiente 0.

28) Una recta perpendicular al eje x tiene pendiente negativa.

29) La recta que determinan los puntos (5,3) y (2,-4) es paralela a la recta que determinan los puntos (-4,2) y (3,-1)

30) El punto (1,2) pertenece a la recta x + 2y = -5.

Selección múltiple

1.- ¿Cuál (es) de las siguientes ecuaciones corresponde (n) a rectas de pendiente ⅔?

I. 2x + 3y = 3 II. 3x – 2y – 1 = 0 III. 4x – 6y + 5 = 0

a) sólo I b) sólo II c) sólo III d) I y II e) I y II

2.- La recta de ecuación 2x – 3y = 6 intersecta al eje Y en el punto de ordenada:

a) -3 b) -2 c) 1 d) 2 e) 3 3.- ¿Cuál es la ecuación de la recta que

pasa por A (-3,0 ) y B (0,-2 )?

a) 2x + y = 6 b) 2x – y – 6 = 0 c) 2x + 3y = 6 d) 2x + 3y + 6 = 0

e) 3x + 2y + 6 = 0



4.- ¿En qué cuadrante se intersectan las rectas cuyas ecuaciones son: 3x + 2y = 6 ; 5x + 3y – 11 = 0?

a) I cuadrante b) II cuadrante

c) III cuadrante d) IV cuadrante

e) No se intersectan

5.- Las rectas cuyas ecuaciones son: x + 4y = 6 y x – ay – 8 = 0 son paralelas, entonces el valor de a es:

a) -4 b) -2 c) 0 d) 2 e) 4 6.- Si la recta 3x + 2y + 3k – 9 = 0 pasa por el origen, entonces el valor de k es:

a) 6 b) 3 c) 1 d) -1 e) -37.- El punto (8 , 7 ) pertenece a la recta de ecuación:

a) 3x + 2y = 10 b) 3x – 2y = 10

c) 2x + 3y – 10 = 0 d) 2x – 3y + 10 = 0

e) Otra recta

8.- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones de recta representa una recta paralela al eje de las ordenadas?

a) y – 3 = 0 b) y + 7 = 0

c) x = 5 d) x + y = 0

e) x – y = 0

9.- ¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a la recta x – 5y + 2 = 0?

a) -5 b) -2 c) 2 d) 5 e) Otro valor

10.- Las rectas cuyas ecuaciones son: 2x + y = 6 y ax – 4y – 1 = 0 son perpendiculares, entonces el valor de a es:

Aplicaciones lineales 1. En 1985 BMWx produjo 1,135,000 autos y en el año 2005, produjo 3,825,000 autos. Admitiendo un aumento

constante cada año. a) ¿ Cuál es la tasa de producción anual? (pendiente) b) Construye una ecuación lineal para la producción de y vehículos en cada año x c) ¿Cuántos vehículos se produjeron en 1996?

2. Tienes $1,200 y deseas comprar camisas y pantalones cuyo precio es de $80 y $150. Genera una ecuación lineal y

determina cuantos P y cuantas C puedes comprar.

3. “En mi casa cada persona se come dos panes al día, además, mi madre siempre compra tres panes extra para que la

bolsa del pan nunca quede vacía” Encuentra y grafica la ecuación que modele esta situación. Además se sabe que, en

la casa de Pedro el promedio de panes por persona es de 3, pero su madre compra solo un pan extra, representa

gráficamente la ecuación que representa esta situación. ¿Existe alguna cantidad de personas con la cual en ambas

casas deba comprarse la misma cantidad de pan?

4. Un pequeño fabricante de electrodomésticos observa que si se produce x tostadores en un mes su costo de producción

está representado por la ecuación: y= 6x +3000, donde y se mide en euros.

a) Trace una gráfica de su ecuación lineal

b) ¿Qué representa la pendiente y la ordenada en el origen de la gráfica?

5. Santiago abrió una cuenta de ahorro y no ha hecho ningún depósito desde su apertura; la ecuación 25x + 2y − 3000 =

0, proporciona las comisiones que se descuentan a su capital por manejo de cuenta, entre otros aspectos, donde “y” es el

capital en pesos, y “x” el tiempo transcurrido en meses. Calcular la cantidad de dinero que Santiago depositó para abrir la

cuenta y el tiempo que tardará para perder su capital por completo.



6. ¿A qué distancia de la pista principal queda la torre de control del aeropuerto, si está ubicada en (0, 0) como lo

muestra la gráfica?

Un submarino ubicado en las coordenadas (3,2) detecta un navío enemigo que tiene una trayectoria representada por la

ecuación 4x −5y +10 = 0. ¿Cuál es la distancia mínima entre el submarino y el navío?

x

y



Unidad IV: Las cónicas

Circunferencia (Forma ordinaria. Forma general. Determinación de una circunferencia dada algunas condiciones

geométricas).

Escriba la definición de la circunferencia.

1. Completa la siguiente tabla:

Centro Radio Ecuación

C(0,0) r = 8

C(0,0) r= √7

C(0,0) r= 3/4

x² + y² - 36 =0

9x² + 9y² - 49 =0

x² + y² =6.25

2. Uno de los diámetros de una circunferencia tiene por extremos a los puntos A(-6,8) y B(6,-8). Traza su

gráfica y determina su ecuación.

3. Completa la siguiente tabla:

CENTRO RADIO ECUACION ORDINARIA LONGITUD AREA

C(-4,3) r=7

C(2,5) r=4.5

C(0,0) r=√8

(x-2)² + (y+4)² = 9

(x+3) ² + (y-0) ² = 7

C(0,6) 25 u²



Encuentra las ecuaciones de las circunferencias en su forma ordinaria dadas en la gráfica.

C3

C1

C2

4. Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el origen y radio.

r = 8

r = 2 r = 3

1

5. Escribe la ecuación ordinaria y general de la circunferencia con el centro y el radio proporcionados.

C (5,2) r = 3 C(-1,1) r = 5 C(-3, -10) r = 8



6. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias, NO USE FORMULAS:

(x - 5)2 + (y - 1)2 = 4

(x + 2/5)2 + (y - 3/4)2 = 3 [5(x + 4)]2 + 25(y - 2)2 = 625

x2 + y2 - 2x + 16y -14 = 0 x2 + y2 + 4x -10y + 11 = 0 2x2 + 8x + 2y2 - 6y = 18

7. Determine geométrica y analíticamente, si el punto proporcionado ésta sobre la circunferencia dada, o bien, en su interior o su exterior.

A(2,1)

P(-4,-5) 16)5()4( 22 yx Q(0,1) 25)4()5( 22 yx

1622 yx



8. Determine la ecuación de c/u de las 6 circunferencias de la figura

.

9. Obtén, el centro y el radio de las circunferencias siguientes, use las formulas.

x2 + y2 + 10y = 0 x2 + y2 + 16x - 4y + 13 = 0 x2 + y2 + 10x + 8y + 5 = 0

10. Mediante un sistema de navegación, una navegación turística se mueve de una isla a la costa, conservando perpendiculares sus distancias a dos faros situados, uno en cada sitio, en los puntos F1 (0, -8) y F2 (0,8). (cada unidad es 1 Km.)

a) Encuentra la ecuación que describe su trayectoria entre la isla y la costa. Justifica tu respuesta.

b) ¿Cuál es la longitud de dicha trayectoria?

x

y



11. Hallar la ecuación general, la ecuación ordinaria, coordenadas del centro y medida del radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos indicados.

A(-5, -4) B(3,4) C( -5,12)

A(10, 1) B(-14,1) C( -2,13)



A(1, 0) B(1,- 4) C( 3 ,- 2)

12. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en la intersección de las rectas 53 xy , 3 xy y con

recta tangente 3x-5y+12=0



13. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en la intersección de las rectas 32 xy , 6 xy y

tangente 4x+6y-32=0

14. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro son los puntos (-2,4) y (3,6).



Aplicaciones de la circunferencia

1. Un servicio sismológico de Baja California detectó un sismo con origen en la ciudad de Mexicali a 5km este

y 3km sur del centro de la ciudad, con un radio de 4km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la

circunferencia del área afectada?. Utilizando esta ecuación, indica si afectó a la ciudad de Mexicali?

2. ¿Cuál es el lugar geométrico descrito por la trayectoria de un avión que se mantiene (a la misma altura)

sobrevolando la ciudad de Querétaro a una distancia constante de 4km de la torre del aeropuerto

esperando instrucciones para su aterrizaje? ¿Cuántos kilómetros recorre durante una vuelta de espera?



3. Mediante un sistema de navegación por radio, una embarcación turística se mueve de una isla a la costa,

conservando perpendiculares sus distancias a dos faros situados en los puntos de coordenadas (0, - 10) y (0,

10). ¿Cuál es la longitud de dicha trayectoria?

4. Un campesino tiene un manantial dentro de sus tierras. Éste se encuentra 5 km hacia el este y 3 km hacia el

norte del cruce de dos caminos perpendiculares. Desea construir una cerca circular cuyo centro sea el

manantial y que la distancia máxima sea hasta la casa, la cual se ubica 1km hacia el este y 2 km hacia el sur

de dicho cruce. Obtén la ecuación que representa a la cerca circular.



5. A partir del centro del Ecocentro de Querétaro (0,0) un circo se instala en las coordenadas 6 Km al este, 2 km al sur, desea colocar propaganda a partir del punto donde se instala y alrededor con un alcance de 3km de distancia a la que se encuentra, ¿cuál es la ecuación que describe la circunferencia?

Proyectito 4

1. María compró un nuevo aspersor que cubre parte del total de un área circular. Considerando como origen el centro del aspersor, éste lanza agua lo suficientemente lejos para alcanzar un punto ubicado en (12, 16), cuya unidad de longitud está dada en metros. a) Encuentra una ecuación que represente los puntos más lejanos a los que el aspersor puede llegar. b) El jardín de María mide 40 metros de ancho y 50 de largo. Si María riega sus jardín sin mover el aspersor, ¿qué porcentaje del jardín no se mojará directamente?

2. El ojo de un ciclón se encuentra sobre una isla del Caribe, si su trayectoria máxima está descrita por la ecuación de la circunferencia x2 + y2 – 120y – 10800 = 0 , ¿Cuál es la ubicación de la isla en el plano cartesiano?, ¿cuántos kilómetros abarca el radio del ciclón?

Experimento 2 Ojos y circunferencia. Individual. Tomar una fotografía al ojo de un compañero (o busque una de internet), imprima a color e identifica: a) En la fotografía, traza el plano cartesiano b) Ubicar la punta d ojo en el origen del plano cartesiano y utilizar una escala adecuada, indicando cuál es. c) Indica las coordenadas del centro de la circunferencia del iris de la fotografía. d) Indica el radio, el diámetro, el perímetro y el área de la circunferencia. e) Traza la recta tangente que une al ojo y al iris, estima el punto de intersección entre la tangente y la circunferencia y encuentra su ecuación. f) Escribe las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia del iris y la de la pupila.



Repaso de circunferencia

ELEMENTOS/CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN ORDINARIA ECUACIÓN GENERAL

C(0,0) y radio r

C(h,k) y radio r

centro sobre el eje X y radio r

centro sobre el eje Y y radio r

Completa los siguientes enunciados

1) Si (a,b) y (c,d) son los extremos del diámetro de una circunferencia, cuáles serán las coordenadas de su

centro?¿Cuál será la medida de su radio?

2) Si la circunferencia es tangente al eje x se cumple que el radio es___________________________________

3) Si la circunferencia es tangente al eje y se cumple que el radio es___________________________________

4) Si la circunferencia es tangente a ambos ejes se cumple que el radio es ______________________________

7) El centro de un círculo circunscrito a un triángulo con vértices (0,4) (2,0) y (4,6) se encuentra en las

mediatrices de los lados. Utilice este hecho para encontrar el centro del

círculo.

9) En la estructura que se indica calcule las longitudes de todas las barras.

(Aclaración: Dibuje en escala e indique ésta.)

1.- completa la tabla, realiza una gráfica.

ECUACIÓN CENTRO RADIO ECUACIÓN GENERAL

4y2x 22

161y3x22

91yx22



Averigua si los puntos pertenecen a las mismas (hacerlo de forma analítica y gráfica)

PUNTO 4y2x 22 161y3x

22 91yx

22

2,2P1

4,0P2

1,7P3



2.- Completar el siguiente cuadro:

Centro C Radio R Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria

0,0 3

0,0 4

2,0 2

5

9yx 22

1y4x 22

03y9x4yx 22

022y2x10yx 22



Parábola

(Forma ordinaria. Forma general. Propiedades y aplicaciones de la parábola.

1. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco ( 2 , 0). Encuentre sus elementos.

2. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco ( - 4,0). Encuentre sus elementos.

3. Encuentra la ecuación de la directriz de la parábola con vértice en el origen y foco en ( 8 , 0 )



4. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco (0,-2). Encuentre sus elementos.

5. Encuentra la ecuación de la directriz de la parábola con vértice en el origen y foco en ( 0, -3 )

6. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en (2,4) y foco ( 6,4)



7. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en (1,3 ) y foco ( 1,7)

8. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en (-2,4 ) y foco ( 3,4)

9. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en (5,- 6 ) y foco ( 5,- 4)



10. Encuentra la ecuación de la parábola si se sabe que su directriz y = 4 y vértice V(0,0)

11. Encuentra la ecuación de la parábola si se sabe que su directriz x= -3 y vértice V(5,2)

12. Encuentra la ecuación de la directriz de la parábola con vértice (-2,4) y foco en ( -2 , 7 )



Marca la ecuación de la parábola:

A) y= 4x2 + 24 x + 32

B) y= 4x2 – 3x + 28

C) y= 4x2 – 6x – 17

D) y=4 x2 + 3x + 22


A) y= –2x2 – 4x + 10

B) y= –2x2 + 4x

C) y= –2x2 – 4x – 10

D) y= – 2x2 – 4x

La ecuación de la parábola:

A) y= – 3x2 – 10x – 57

B) y= – 3x2 – 10x – 77

C) y= – 3x2 – 30x – 77

D) y= – 3x2 – 5x + 77


A) y= x2 +6x + 12

B) y= x2 – 6x +12

C) y= x2 + 3x + 12

D) y= x2 – 3x + 3



13. Dada la función cuadrática y= 2x2 -4x+8, obtener las coordenadas del vértice.

A) (0,5) B) (-1,14) C) (1,14) D) (1,6)

14. Una ecuación cuadrática se compone de tres términos ¿qué son?

A) cúbico, lineal y cuartico B) constante, cúbico y lineal

C) cuadrático, lineal y constante D) lineal, cuadrática y cúbico

15. El eje de simetría pasa por el vértice.

A) no necesariamente B) a veces C) nunca D) siempre

16. Si el vértice es el punto más bajo, entonces la parábola abre hacia:

A) abajo B) arriba C) derecha D) izquierda

17. Si el vértice es el punto más alto, entonces la parábola abre hacia:

A) abajo B) arriba C) derecha D) izquierda

18. Si x2 + 8x + c es un trinomio cuadrado perfecto, ¿cuál es el valor de c?

A) 16 B) 8 C) 32 D) 64

Encuentre los elementos de las siguientes parábolas y sus gráficas.

y=2x2+3



b) x2 - 6x + 4y +21 = 0

c) y2 - 4y - 12x +1 = 0



Aplicaciones

Resuelve en hojas separadas y luego anéxalas.

1. Una rana describe en un salto una trayectoria parabólica, si la longitud de su salto fue de 40 cm y la altura máxima

alcanzada de 30 cm. Determina una ecuación para el salto de la rana.

2. Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, la fórmula S = 32t − 8t2 nos da la altura en

metros de la piedra después de t segundos. a) Grafica la trayectoria de la piedra. b) Determina en cuantos segundos,

la piedra alcanza su máxima altura. c) ¿Qué altura alcanza la piedra a los 3 segundos?

3. Se dispone de 60 m de alambre para cercar un jardín en forma rectangular, pero uno de los lados corresponderá a la

pared de la casa. ¿Qué dimensiones del jardín nos darán el área máxima?

4. Un disco receptor de sonido está diseñado de forma parabólica, el foco esta a 5cm del vértice, ¿cual será el ancho si

la profundidad es de 2cm?

5. Hallar la distancia que separa el centro de un túnel con forma de arco parabólico y altura máxima de 18 mts. con

respecto del punto de sujeción de una señal colocada a una altura de 10 mts. El túnel tiene una luz total de 24 mts

6. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere una catenaria parabólica. Las columnas que lo soportan miden

60 m de altura y se encuentran espaciadas a 500 m quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 m sobre

la superficie del puente. Considere como eje X la superficie del puente y como eje Y la simetría del cable, para

encontrar la altura de un punto situado a 80 m del centro del puente.

7. La ganancia semanal de una empresa se relaciona con el número de artículos producidos cada semana y esto se

puede representar por la función: P(x) = − 2x2 x+96 x −52 donde P(x) representa la ganancia semanal en pesos y x el

número de artículos producidos por semana. a) Representa gráficamente esta situación. b) Si la empresa produce 26

artículos en una semana ¿Cuál será su ganancia? c) Determina cuántos artículos deberá producir la empresa a la

semana para que obtenga una ganancia máxima.

8. Uno de los arcos parabólicos que se forma en la entrada principal de la iglesia San Antonio ubicada en Bethania, Arco

que mide en su base 14 pulgadas y su altura máxima es de 15 pulgadas es colocado en un eje de coordenadas en

donde 2 de los puntos por donde pasa la parábola es (-7,0) y (7,0) respectivamente, y el V (7,15) ¿Hallar la ecuación

de dicho arco parabólico?

9. Un cable suspendido por soportes a la misma altura, que distan 240 m. entre si, cuelga en el centro 30 m. Si el cable

tiene forma de parábola, encuentre su ecuación colocando el origen en el punto más bajo. Encuentre la amplitud

del cable a una altura de 15 m sobre el punto más bajo.



10. Un cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola, los pilares que lo soportan

tienen una altura de 60 m y están separados una distancia de 500 m, quedando el punto más bajo del cable a una

altura de 10 m sobre la calzada del puente. Tomando como eje x la horizontal que define el puente, y como eje y el

de simetría de la parábola, hallar la ecuación general de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80 metros del

centro del puente.

Proyectito 5

1. Una compañía que fabrica sacapuntas electrónicos decide mostrar el comportamiento de sus costos e ingresos en función del número de sacapuntas que produce en la gráfica siguiente:

a) ¿Cuáles son los costos fijos por la fabricación de sacapuntas? b) Encuentra la ecuación de costos por la producción de sacapuntas. c) Encuentra la ecuación de ingresos debidos a la venta de sacapuntas. d) ¿Cuántos sacapuntas deben venderse para no perder ni ganar? e) ¿Qué ganancia se obtiene al vender 170 sacapuntas? f) Encuentra la ecuación de la ganancia. Grafícala. g) ¿Cuántos sacapuntas se deben vender para obtener la ganancia máxima? Experimento 2. (Punto extra para el parcial) Toma el video de un compañero tuyo pateando un balón (describiendo una trayectoria parabólica) y registra la distancia recorrida y el tiempo transcurrido desde que lo pateó hasta que toca el piso (por primera vez). Usado estos datos deberá: a) Representar en el plano cartesiano el punto inicial y final del balón. b) Establecer la ecuación, en forma ordinaria y general, de la parábola asociada a la trayectoria del balón. c) Determina ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó el balón? ¿Al cabo de cuánto tiempo se alcanzó la altura máxima? ¿Cuál es el foco de la parábola? d) Transcurridos 3 segundos del pateo ¿Cuál es la altura del balón? Justificar de manera algebraica y gráfica, para esto último deberá realizarse la grafica de la parábola en y señalar la posición del balón a los tres segundos del evento. Se puede utilizar el lanzamiento de un balón en lugar de patearlo. Se entrega reporte a mano y en computadora. Además se anexan fotografías a color del experimento y se envía el video del proyecto. Se puede entregar en equipos de a lo más 5 personas.



Elipse

(Forma ordinaria. Forma general. Propiedades de la elipse )

Encuentre las coordenadas del centro, de los focos, de los extremos del eje mayor y del eje menor, y de los

extremos de cada lado recto. A partir de esa información, dibuje la curva.

19. 1259

22

yx

20. 11622 yx

21. 116

)2(

9

)3(22

yx



22. Obtenga los elemento y la gráfica de 9x2+25y2 – 225 = 0

23. Obtenga los elemento y la gráfica de 4x2+16y2 – 32 = 0



24. Obtenga los elementos y la gráfica de 0484100224251622 yxyx

25. Obtenga los elemento y la gráfica de 01893625922 xyx



26. Encontrar la ecuación de la elipse con foco (2,0) y vértice (5,0) centrada en el origen.

Obtener las ecuaciones de las elipses que se indican y graficarlas

27. Focos (0,5) y eje mayor de longitud 14



28. Vértices (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud 6

29. Focos (2,3) y (6,3) y excentricidad 2/3



30. Centro en (1, 4), un foco en (1, 8) y excentricidad e=1/5

31. Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es

8.



¿Cuáles son las ecuaciones de las elipses del siguiente dibujo?

¿Qué ecuación representa la gráfica?



Aplicaciones de la elipse

1. La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es una elipse con la Tierra en uno de sus focos. La longitud del eje mayor es de 608202Km y la excentricidad 0.0549. Encontrar la máxima y la mínima distancias de la Tierra a la Luna. R. Distancia Máxima = 320796.14Km; distancia Mínima = 287405.86Km

2. El arco de un túnel es una semielipse de 20m de ancho y 7m de alto. Encuentre la altura en la orilla de un

carril si la orilla esta a 7m del centro. R. m5110

7

3. Un arco de entrada a un zoológico tiene una sección transversal como se muestra en la figura de abajo, donde la curva es una semielipse. Encuentre la altura del arco, medida desde el suelo, a 5 pies de distancia desde una de las orillas de la entrada.

4. La primera ley de Kepler afirma que: “Las órbitas de los planetas son elipses que tienen al sol en uno de sus

focos”. Calcular la distancia del sol al centro de la elipse, sabiendo que la excentricidad de la órbita terrestre

es 017,0 y que 000.493.153a Km.

5. El arco de un puente es semielíptico con su eje mayor horizontal, la base del arco mite 30 pies y el punto

más alto está a 10 pies sobre la carretera horizontal. Calcular la altura del arco a seis pies del centro de la

base.

Proyectito 6

Un puente es soportado por una semielipse, el cual se usa para cruzar un río de 24 metros de ancho y el arco elíptico mide 7 metros de alto. a) ¿Cuál es la ecuación del arco? b) Si una lagartija reposa en el arco a 6.5 m del nivel del agua, ¿a qué distancia se encuentra de la orilla del rio?

10’

5’ 5’ 20’

18’

25’



Hipérbola

Encuentre las coordenadas del centro, de los focos, de los extremos del eje mayor y del eje menor, y de los

extremos de cada lado recto. A partir de esa información, dibuje la curva.

1. 1259

22

yx

2. 2 2

16 16x y

3. 116

)2(

9

)3( 22

yx



4. Obtenga los elementos y la gráfica de

9y2 – 25x 2 – 225 = 0

5. Obtenga los elementos y la gráfica de

4x2+16y2 – 64 = 0



6. Obtenga los elementos y la gráfica de 16x2 – 9y2 – 64x – 54y – 161 = 0

7. Obtenga los elemento y la gráfica de y2 – x2 – 2x – 2y + 4 = 0



8. Encontrar la ecuación de la hipérbola y sus elementos si tiene Focos (5,0) y vértices (3,0)

9. Focos (2,3) y (6,3) con excentricidad 2



10. Extremos del eje conjugado (6,3), (-4,3) y vértice (1,10)

11. C(2,-1), longitud del lado recto = 9/2 y vértice (6,-1)



12. C(0,0), vértice (2,0) y eje conjugado = 6

Ecuación general de segundo grado

Escriba la ecuación general de segundo grado.

Escriba el discriminante de esta ecuación y sus interpretaciones



Identifique cada una de las siguientes cónicas.

xy - 1 = 0

x2 + xy + y2 = 4

8x2 + 8xy – 7y2 – 35 = 0

x2 – 2xy + y2 – 8x – 8y =0

3x2+2 3xy+y2+2x - 2 3y = 0

xy – y = 2

La Ecuación General de una sección cónica: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

- Si B=0, nos queda : Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Complete la siguiente tabla, consideremos las curvas que representa esta ecuación

Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola

Definición: Es el

conjunto de todos los

puntos P del plano tales

que…

…la diferencia entre

sus distancias a dos

puntos fijos (los

focos) es una

constante

Clasificación según:

Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0

(Excepto degenerados)

A=C

c (0,0) (horizontal) x2 + y2 = r2 12

2

2

2

b

y

a

x 1

2

2

2

2

b

y

a

x y2 = 4 p x

c (0,0) (vertical) 12

2

2

2

b

x

a

y

Eje horizontal C (h,k) (x-h)2 + (y-k)2 = r2

Eje vertical c (h,k) (x-h)2 + (y-k)2 = r2

Parámetros o

elementos

r = el radio de la

circunferencia

p = la distancia

desde el foco a

la directriz

Relación entre

parámetros c = 0 a2= b2 + c2 c2 = a2+ b2 p = p

Excentricidad: a

ce e = 0 0 < e <1 e >1 e = 1

ESCUELA DE BACHILLERES DE LA UAQ UAQ 2018 TAREA DE GEOMETRÍA ANALÍTICA


Evaluación y acreditación

Sobre la evaluación se señala lo siguiente:

1. La evaluación debe ser continua y se le debe dar un peso para la acreditación al trabajo diario de los alumnos,

como es la participación en clase, tareas y prácticas de laboratorio realizadas, etc.

2. El profesor debe recomendar el uso de los bancos de reactivos de la academia con la finalidad de que el

alumno aplique los conocimientos adquiridos y desarrolle habilidades, aptitudes y destrezas en la resolución

de ejercicios y problemas. Estos reactivos deben ser resueltos por los alumnos fuera del horario de clases.

3. Se propiciará trabajo colaborativo que permita al estudiante desarrollar los conocimientos, habilidades,

valores, actitudes, colaboración, claridad de ideas, honestidad, tolerancia, respeto, compromiso con el trabajo

que contribuyan al desarrollo individual y de la sociedad.

En cuanto a la acreditación:

1. La calificación mínima aprobatoria de 6 (seis)

2. La asistencia igual o mayor al 80%, así como el 80% en trabajos entregados, es requisito indispensable para

tener derecho a presentar los exámenes parciales. En relación a las prácticas de laboratorio el alumno debe

cubrir al menos el 80% de las prácticas realizadas durante el curso.

3. Los exámenes parciales se realizan por lo regular dos días después de finalizar la unidad correspondiente.

4. Las dudas generales del curso, se resolverán tanto en clase como en asesorías.

5. Para exentar la materia deberá de tener un promedio numérico mínimo de 8 (ocho) siempre y cuando todos

los parciales estén acreditados.

6. Para presentar el examen final, el alumno deberá de contar con al menos el 80% de asistencias de las sesiones

programadas según el calendario escolar.

7. Un examen con fines de acreditación debe incluir problemas, ejercicios y preguntas teóricas que relacionen

conceptos y aplicaciones.

8. En el caso de trabajos de investigación, se evaluarán los contenidos, la puntualidad de la entrega, la

presentación, la ortografía y la limpieza del mismo.



Bibliografía.

FUENLABRADA, Samuel. 2000. Geometría analítica. Ed. Mcgraw – Hill Interamericana

LEHMANN Charles. 1994. Geometría Analítica. México. Editorial Limusa.

RIDDLE, Douglas F. 1997. Geometría Analítica. Editorial Thomson International.

RUIZ BASTOS Joaquín. 2001. Geometría analítica. México. Ed. Publicaciones Cultural.

SWOKOWSKI, Earl W.; LOLE, Jeffery A. 1996. Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica. México

.Grupo Editorial Iberoamericano.

Manual de Prácticas de Laboratorio de Matemáticas para la Materia de Geometría Analítica.

Problemario de Ejercicios de Geometría Analítica elaborados por la Academia de Matemáticas de la Escuela de

Bachilleres, UAQ.

Programas computacionales: Geogebra, Graphmatica, SW y Geómetra.

Páginas Web:

1. http://soko.com.ar/matm/matematica/Conicas.htm

2. http://home.cvc.org/science/kepler.htm

3. http://descartes.cnice.mecd.es/

http://soko.com.ar/matm/matematica/Conicas.htm

http://home.cvc.org/science/kepler.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/



El retrato oval, un cuento de Edgar Allan Poe (Estados Unidos, 1808-1849) El castillo al cual mi criado se había atrevido a entrar por la fuerza entes de permitir que, gravemente herido como estaba,

pasara yo la noche al aire libre, era una de esas construcciones en las que se mezclan la lobreguez y la grandeza, y que

durante largo tiempo se han alzado cejijuntas en los Apeninos, tan ciertas en la realidad como en la imaginación de mistress

Radcliffe. Según toda apariencia, el castillo había sido recién abandonado, aunque temporariamente. Nos instalamos en

uno de los aposentos más pequeños y menos suntuosos. Hallábase en una apartada torre del edificio; sus decoraciones

eran ricas, pero ajadas y viejas. Colgaban tapices de las paredes, que engalanaban cantidad y variedad de trofeos

heráldicos, así como un número insólitamente grande de vivaces pinturas modernas en marcos con arabescos de oro.

Aquellas pinturas, no solamente emplazadas a lo largo de las paredes sino en diversos nichos que la extraña arquitectura

del castillo exigía, despertaron profundamente mi interés, quizá a causa de mi incipiente delirio; ordené, por tanto, a Pedro

que cerrara las pesadas persianas del aposento -pues era ya de noche-, que encendiera las bujías de un alto candelabro

situado a la cabecera de mi lecho y descorriera de par en par las orladas cortinas de terciopelo negro que envolvían la

cama. Al hacerlo así deseaba entregarme, si no al sueño, por lo menos a la alternada contemplación de las pinturas y al

examen de un pequeño volumen que habíamos encontrado sobre la almohada y que contenía la descripción y la crítica de

aquéllas.

Mucho, mucho leí… e intensa, intensamente miré. Rápidas y brillantes volaron las horas, hasta llegar la profunda media

noche. La posición del candelabro me molestaba, pero, para no incomodar a mi amodorrado sirviente, alargué con

dificultad la mano y lo coloqué de manera que su luz cayera directamente sobre el libro.

El cambio, empero, produjo un efecto por completo inesperado. Los rayos de las numerosas bujías (pues eran muchas)

cayeron en un nicho del aposento que una de las columnas del lecho había mantenido hasta ese momento en la más

profunda sombra. Pude ver así, vívidamente, una pintura que me había pasado inadvertida. Era el retrato de una joven

que empezaba ya a ser mujer. Miré presurosamente su retrato, y cerré los ojos. Al principio no alcancé a comprender por

qué lo había hecho. Pero mientras mis párpados continuaban cerrados, cruzó por mi mente la razón de mi conducta. Era

un movimiento impulsivo a fin de ganar tiempo para pensar, para asegurarme de que mi visión no me había engañado,

para calmar y someter mi fantasía antes de otra contemplación más serena y más segura. Instantes después volví a mirar

fijamente la pintura.

Ya no podía ni quería dudar de qué estaba viendo bien, puesto que el primer destello de las bujías sobre aquella tela había

disipado la soñolienta modorra que pesaba sobre mis sentidos, devolviéndome al punto a la vigilia.

Como ya he dicho, el retrato representaba una mujer joven. Sólo abarcaba la cabeza y los hombros, pintados de la manera

que técnicamente se denomina vignette, y que se parecía mucho al estilo de las cabezas de Sully. Los brazos, el seno y

hasta los extremos del radiante cabello se mezclaban imperceptiblemente en la vaga pero profunda sombra que formaba

el fondo del retrato. El marco era oval, ricamente dorado y afiligranado en estilo morisco. Como objeto de arte, nada podía

ser tan admirable como aquella pintura. Pero lo que me había emocionado de manera tan súbita y vehemente no era la

ejecución de la obra, ni la inmortal belleza del retrato. Menos aún cabía pensar que mi fantasía, arrancada de su

semisueño, hubiera confundido aquella cabeza con la de una persona viviente. Inmediatamente vi que las peculiaridades

del diseño, de la vignette y del marco tenían que haber repelido semejante idea, impidiendo incluso que persistiera un solo

instante. Pensando intensamente en todo eso, quedeme tal vez una hora, a medias sentado, a medias reclinado, con los

ojos fijos en el retrato. Por fin, satisfecho del verdadero secreto de su efecto, me dejé caer hacia atrás en el lecho. Había

descubierto que el hechizo del cuadro residía en una absoluta posibilidad de vida en su expresión que, sobresaltándome al



comienzo, terminó por confundirme, someterme y aterrarme. Con profundo y reverendo respeto, volví a colocar el

candelabro en su posición anterior. Alejada así de mi vista la causa de mi honda agitación, busqué vivamente el volumen

que se ocupaba de las pinturas y su historia. Abriéndolo en el número que designaba al retrato oval, leí en él las vagas y

extrañas palabras que siguen.

“Era una virgen de singular hermosura, y tan encantadora como alegre. Aciaga la hora en que vio y amó y desposó al

pintor. Él, apasionado, estudioso, austero, tenía ya una prometida con el Arte; ella, una virgen de sin igual hermosura y

tan encantadora como alegre, toda luz y sonrisas, y traviesa como un cervatillo; amándolo y mimándolo, y odiando tan

sólo al Arte, que era su rival; temiendo tan sólo la paleta, los pinceles y los restantes enojosos instrumentos que la privaban

de la contemplación de su amante. Así, para la dama, cosa terrible fue oírle hablar al pintor de su deseo de retratarla. Pero

era humilde y obediente, y durante muchas semanas posó dócilmente en el oscuro y elevado aposento de la torre, donde

sólo desde lo alto caía la luz sobre la pálida tela. Mas él, el pintor, gloriábase de su trabajo que avanzaba hora a hora y día

a día. Y era un hombre apasionado, violento y taciturno, que se perdía en sus ensueños; tanto, que no quería ver cómo esa

luz que entraba, lívida, en la torre solitaria, marchitaba la salud y la vivacidad de su esposa, que se consumía a la vista de

todos salvo de la suya. Mas ella seguía sonriendo sin exhalar queja alguna, pues veía que el pintor, cuya nombradía era

alta, trabajaba con un placer fervoroso y ardiente, bregando noche y día para pintar a aquélla que tanto le amaba y que,

sin embargo, seguía cada vez más desanimada y débil. Y, en verdad, algunos que contemplaban el retrato hablaban en

voz baja de su parecido como de una asombrosa maravilla, y una prueba tanto de la excelencia del artista como de su

profundo amor por aquélla a quien representaba de manera tan insuperable. Pero, a la larga, a medida que el trabajo se

acercaba a su conclusión, nadie fue admitido ya en la torre, pues el pintor habíase exaltado en el ardor de su trabajo y

apenas si apartaba los ojos de la tela, ni siquiera para mirar el rostro de su esposa. Y no quería ver que los tintes que

esparcía en la tela eran extraídos de las mejillas de aquella mujer sentada a su lado. Y cuando pasaron muchas semanas y

poco quedaba por hacer, salvo una pincelada en la boca y un matiz en los ojos, el espíritu de la dama osciló, vacilante como

la llama en el tubo de la lámpara. Y entonces la pincelada fue puesta y aplicado el matiz, y durante un momento el pintor

quedó en trance frente a la obra cumplida. Pero, cuando estaba mirándola, púsose pálido y tembló mientras gritaba:

“Ciertamente ésta es la Vida misma”. Y volviose de improviso para mirar a su amada. ¡Estaba muerta!”.

Cuadernillo de ejercicios de Matemáticas IV: Geometría...

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